Fiche de cours
Puissances d’un nombre relatif
Fiche de cours
Puissances d’un nombre relatif
Puissances d’un nombre relatif
Comprendre • Calculer • Transformer • Écriture scientifique
exposant \(\downarrow\) \(\displaystyle 5^{3}\) \(\uparrow\) base Sens :
\(\displaystyle a^n=\underbrace{a\times a\times\cdots\times a}_{n\text{ facteurs}}\) \((n>0)\);
\(3^4=3\times3\times3\times3=81\).
Cas particuliers :
\(a^1=a\) ;
\(a^0=1\) si \(a\neq0\) ;
\(\displaystyle a^{-n}=\frac1{a^n}\) si \(a\neq0\) et \(n>0\).
1. SIGNE, PARENTHÈSES, EXPOSANTS NÉGATIFS
Signe d’une puissance de base négative
Pour \(a>0\) et \(n>0\) : \[n\text{ pair}\Rightarrow(-a)^n>0 \qquad ; \qquad n\text{ impair}\Rightarrow(-a)^n<0.\]
Base négative : \((-a)^n\) \(\downarrow\) parité de \(n\) ?
pair \(\Rightarrow +\) impair \(\Rightarrow -\)
Parenthèses : la base change
\[(-4)^2=16 \qquad\text{mais}\qquad -4^2=-(4^2)=-16.\] Dans \((-4)^2\), la base est \(-4\) ; dans \(-4^2\), la puissance porte seulement sur \(4\).
Exposant négatif = inverse
\[a^{-n}=\frac1{a^n}\quad(a\neq0,\ n>0),\qquad 2^{-3}=\frac18,\qquad(-2)^{-3}=-\frac18.\] Le signe \(-\) de l’exposant ne signifie pas que le résultat est négatif.
Si la base est négative, la parité de l’exposant fixe le signe ; l’exposant négatif indique seulement que l’on prend l’inverse.
2. PUISSANCES DE 10
Repères
\[10^3=1\,000,\qquad10^{-3}=0{,}001.\]
\(6{,}4\) \(\longrightarrow\ \times10^3\) \(6\,400\) \(6{,}4\) \(\longrightarrow\ \times10^{-3}\) \(0{,}0064\)
SOS erreurs classiques
\(2^3\neq2\times3\)
\((-3)^2\neq-3^2\)
\(a^m a^n=a^{m+n}\)
et non \(a^{mn}\) en général
\(a^{-n}\neq-a^n\).
3. FORMULAIRE : RECONNAÎTRE LA FORME
\(m,n\in\mathbb Z\) et les expressions considérées doivent être définies.
Je vois Je fais \(a^m\times a^n\) même base \(\Rightarrow a^{m+n}\) \(\dfrac{a^m}{a^n}\) même base \(\Rightarrow a^{m-n}\), \(a\neq0\) \((a^m)^n\) puissance d’une puissance \(\Rightarrow a^{mn}\) \(a^n b^n\) même exposant \(\Rightarrow (ab)^n\) \(\dfrac{a^n}{b^n}\) même exposant \(\Rightarrow \left(\dfrac ab\right)^n\), \(b\neq0\) \(a^{-n}\) exposant négatif \(\Rightarrow \dfrac1{a^n}\), \(a\neq0\), \(n>0\)
Même base ? Même exposant ?
Même base \(\Rightarrow\) travailler sur les exposants.
Même exposant \(\Rightarrow\) regrouper les bases.
Arbre de décision : premier geste
Bases identiques ? \(\downarrow\) OUI \(\Rightarrow\) travailler sur les exposants \(\downarrow\) Sinon : exposants identiques ? \(\downarrow\) OUI \(\Rightarrow\) regrouper les bases \(\downarrow\) Sinon : une base est-elle transformable ? \(\downarrow\) OUI \(\Rightarrow\) réécrire puis appliquer la règle
Exemples express
\[5^3\times5^4=5^7,\qquad \frac{2^8}{2^3}=2^5,\qquad (3^2)^4=3^8.\] \[2^6\times7^6=(2\times7)^6=14^6.\]
4. TRANSFORMER POUR OBTENIR UNE MÊME BASE
Écritures à reconnaître rapidement
\(4=2^2\) \(8=2^3\) \(16=2^4\) \(32=2^5\) \(9=3^2\) \(27=3^3\) \(81=3^4\) \(25=5^2\) \(125=5^3\)
Transformer \(\rightarrow\) appliquer \(\rightarrow\) simplifier
\[8^2\times2^5=(2^3)^2\times2^5=2^6\times2^5=\boxed{2^{11}}.\]
5. ÉCRITURE SCIENTIFIQUE
Forme à connaître
\[\boxed{a\times10^n}\qquad\text{avec}\qquad\boxed{1\le|a|<10},\] où \(n\) est un entier.
Méthode en 3 gestes
placer la virgule pour obtenir \(1\le|a|<10\) ;
compter les rangs parcourus ;
choisir le signe de l’exposant.
\[4\,830\,000=4{,}83\times10^6,\qquad 0{,}00072=7{,}2\times10^{-4}.\]
Choisir le signe de l’exposant
\(|N|\ge10\) exposant positif \(1\le|N|<10\) exposant nul \(0<|N|<1\) exposant négatif
Vérification
\(23{,}7\times10^4\) n’est pas une écriture scientifique : \(23{,}7\notin[1;10[\). \[23{,}7\times10^4=2{,}37\times10^5.\]
TEST FLASH - 30 s
Réponds avant de lire la correction.
1. signe de \((-2)^5\)
2. \(3^4\times3^2\)
3. \((5^3)^2\)
4. \(0{,}00081\) en écriture scientifique
Vérification
négatif ;
\(3^6\) ;
\(5^6\) ;
\(8{,}1\times10^{-4}\).
3e Générale
Fiche de cours - Faire Les 2k\(\pi\)