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Puissances d’un nombre relatif

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Puissances d’un nombre relatif

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Ce que tu dois savoir faire à la fin du cours :

  • comprendre ce que signifie une puissance ;

  • déterminer le signe d’une puissance d’un nombre négatif ;

  • utiliser les exposants \(0\), \(1\) et les exposants négatifs ;

  • simplifier des produits et quotients de puissances ;

  • transformer des nombres pour faire apparaître une même base ;

  • utiliser les puissances de \(10\) et l’écriture scientifique.

1. Comprendre ce qu’est une puissance

Quand on multiplie plusieurs fois un même nombre par lui-même, on peut raccourcir l’écriture à l’aide d’une puissance.

Définition

Soit \(a\) un nombre relatif et \(n\) un entier positif non nul. \[\boxed{a^n=\underbrace{a\times a\times\cdots\times a}_{n\text{ facteurs}}}\] Le nombre \(a\) est la base et \(n\) est l’exposant.

Exemple

\[4^3=4\times4\times4=64.\] L’exposant \(3\) indique qu’il y a trois facteurs égaux à \(4\).

Piège classique

Une puissance n’est pas, en général, une multiplication de la base par l’exposant. \[5^3=5\times5\times5=125\qquad\text{et non}\qquad 5\times3=15.\]

À toi

Sans calculatrice, calcule : \[2^5\qquad\text{et}\qquad 10^4.\] Réponses : \(2^5=32\) et \(10^4=10\,000\).

À retenir

Avant tout calcul, demande-toi : « Quelle est la base ? Combien de fois est-elle multipliée par elle-même ? »

2. Signe, parenthèses et exposants particuliers

2.1 Puissance d’un nombre négatif

Considérons \((-2)^4\) : \[(-2)^4=(-2)\times(-2)\times(-2)\times(-2)=16.\] Il y a un nombre pair de facteurs négatifs : le résultat est positif.

En revanche : \[(-2)^3=(-2)\times(-2)\times(-2)=-8.\] Il y a un nombre impair de facteurs négatifs : le résultat est négatif.

À retenir

Pour \(a>0\) et \(n\) entier positif : \[n\text{ pair }\Rightarrow(-a)^n>0 \qquad ; \qquad n\text{ impair }\Rightarrow(-a)^n<0.\] Premier geste : regarde la parité de l’exposant avant de calculer.

À toi

Quel est le signe de \((-7)^8\) ? Et celui de \((-3)^5\) ?

Réponses : \((-7)^8\) est positif car \(8\) est pair ; \((-3)^5\) est négatif car \(5\) est impair.

2.2 Les parenthèses changent la base

Piège classique

Les écritures \((-4)^2\) et \(-4^2\) ne signifient pas la même chose. \[(-4)^2=(-4)\times(-4)=16,\] mais \[-4^2=-(4^2)=-16.\] Dans \((-4)^2\), la base est \(-4\). Dans \(-4^2\), la puissance porte seulement sur \(4\).

2.3 Exposants \(1\) et \(0\)

Définition

Pour tout nombre \(a\) : \[\boxed{a^1=a}.\] Pour tout nombre \(a\neq0\) : \[\boxed{a^0=1}.\]

Exemple

\[12^1=12,\qquad (-9)^1=-9,\qquad 7^0=1,\qquad (-5)^0=1.\]

Piège classique

Ne confonds pas \(a^0\) et \(0^a\) : \[5^0=1\qquad\text{mais}\qquad 0^5=0.\]

3. Comprendre les exposants négatifs

Un exposant négatif ne signifie pas que le résultat est négatif. Il indique que l’on prend un inverse.

Définition

Pour \(a\neq0\) et \(n\) entier positif : \[\boxed{a^{-n}=\frac{1}{a^n}}.\] En particulier : \[\boxed{a^{-1}=\frac1a}.\]

Méthode - Que faire quand l’exposant est négatif ?

Quand tu vois \(a^{-n}\) :

  1. écris l’inverse \(\dfrac{1}{a^n}\) ;

  2. calcule ensuite la puissance si c’est demandé.

Exemple

\[2^{-3}=\frac{1}{2^3}=\frac18.\] De même : \[5^{-2}=\frac{1}{5^2}=\frac1{25}.\]

Piège classique

\[4^{-2}\neq -16.\] En réalité : \[4^{-2}=\frac{1}{4^2}=\frac1{16}.\] Le signe « \(-\) » appartient ici à l’exposant, pas à la valeur de la puissance.

À toi

Transforme puis calcule : \[10^{-2}\qquad\text{et}\qquad (-2)^{-3}.\] Réponses : \[\textcolor{green}{10^{-2}=\frac1{100}=0,01} \qquad\text{et}\qquad \textcolor{green}{(-2)^{-3}=\frac1{(-2)^3}=-\frac18}.\]

À retenir

Pour une base négative, le signe dépend toujours de la parité de l’exposant. Prendre l’inverse ne change pas le signe.

4. Calculer avec des puissances

Il faut surtout reconnaître la forme de l’expression avant d’appliquer une règle.

Forme Ce qui est identique Règle
\(a^m\times a^n\) même base \(\boxed{a^m\times a^n=a^{m+n}}\)
\(\dfrac{a^m}{a^n}\) même base, \(a\neq0\) \(\boxed{\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n}}\)
\((a^m)^n\) puissance d’une puissance \(\boxed{(a^m)^n=a^{mn}}\)
\(a^n\times b^n\) même exposant \(\boxed{a^n b^n=(ab)^n}\)
\(\dfrac{a^n}{b^n}\) même exposant, \(b\neq0\) \(\boxed{\dfrac{a^n}{b^n}=\left(\dfrac ab\right)^n}\)

Condition à vérifier

Les expressions doivent être définies. En particulier, une base portant un exposant négatif doit être non nulle.

Comment choisir la bonne règle ?

1. Regarde d’abord les bases. Sont-elles identiques ?

2. Sinon, regarde les exposants. Sont-ils identiques ?

3. Regarde enfin s’il y a une puissance à l’intérieur d’une autre.

Exemple 1 - Même base

\[7^3\times7^5=7^{3+5}=\boxed{7^8}.\] On additionne les exposants car on rassemble tous les facteurs \(7\).

Exemple 2 - Quotient de même base

\[\frac{5^9}{5^4}=5^{9-4}=\boxed{5^5}.\] On soustrait les exposants car quatre facteurs \(5\) se simplifient.

Exemple 3 - Puissance d’une puissance

\[(3^2)^4=3^{2\times4}=\boxed{3^8}.\]

Piège classique

Trois écritures proches, trois gestes différents : \[\boxed{a^m a^n=a^{m+n}},\qquad \boxed{(a^m)^n=a^{mn}},\qquad \boxed{a^n b^n=(ab)^n}.\] Même base : on travaille sur les exposants. Même exposant : on peut regrouper les bases.

5. Transformer pour faire apparaître une même base

Dans beaucoup d’exercices, les bases ne sont pas immédiatement identiques. Il faut parfois réécrire certains nombres sous forme de puissances.

Premier geste - Chercher une base commune

Devant une expression comme \(8^2\times2^5\) :

  1. les bases \(8\) et \(2\) sont différentes ;

  2. demande-toi si l’une peut s’écrire comme une puissance de l’autre ;

  3. comme \(8=2^3\), remplace \(8\) par \(2^3\) ;

  4. applique ensuite les règles sur les puissances.

Exemple 1

\[8^2\times2^5=(2^3)^2\times2^5=2^6\times2^5=\boxed{2^{11}}.\]

Exemple 2

Écrire \(25\times125\) comme une puissance de \(5\). \[25\times125=5^2\times5^3=\boxed{5^5}.\]

Exemple 3

\[9\times81\times3=3^2\times3^4\times3^1=\boxed{3^7}.\]

Quelques écritures à reconnaître rapidement

\[4=2^2,\quad 8=2^3,\quad 16=2^4,\quad 32=2^5,\] \[9=3^2,\quad 27=3^3,\quad 81=3^4,\] \[25=5^2,\quad 125=5^3.\] Tu n’as pas besoin de tout apprendre par coeur : l’objectif est surtout de savoir reconstruire ces écritures.

À toi

Écris sous la forme d’une seule puissance : \[4^3\times2^5\qquad\text{et}\qquad 27\times9.\] Réponses : \[\textcolor{green}{4^3\times2^5=(2^2)^3\times2^5=2^{11}}\] \[\textcolor{green}{27\times9=3^3\times3^2=3^5}.\]

6. Puissances de 10 et écriture scientifique

6.1 Puissances positives et négatives de \(10\)

\[10^1=10,\qquad 10^2=100,\qquad 10^3=1\,000.\] Pour \(n>0\), \(10^n\) est égal à \(1\) suivi de \(n\) zéros.

Avec un exposant négatif : \[10^{-1}=0,1,\qquad 10^{-2}=0,01,\qquad 10^{-3}=0,001.\]

Exemple

\[3,27\times10^4=32\,700, \qquad 6,4\times10^{-3}=0,0064.\]

6.2 Écriture scientifique

Définition

L’écriture scientifique d’un nombre non nul est de la forme \[\boxed{a\times10^n}\] où \(n\) est un entier et \[\boxed{1\leq |a|<10}.\]

Écrire un nombre en écriture scientifique - 3 gestes

  1. Place la virgule pour obtenir un nombre dont la valeur absolue est comprise entre \(1\) et \(10\).

  2. Compte le nombre de rangs parcourus.

  3. Choisis le signe de l’exposant : \(|N|\geq10\) \(\Rightarrow\) exposant positif ; \(0<|N|<1\) \(\Rightarrow\) exposant négatif ; \(1\leq|N|<10\) \(\Rightarrow\) exposant \(0\).

Deux exemples

\[72\,000\,000=\boxed{7,2\times10^7} \qquad\text{et}\qquad 0,000053=\boxed{5,3\times10^{-5}}.\] Dans le premier cas, la virgule se déplace de \(7\) rangs ; dans le second, de \(5\) rangs.

Piège classique

\(23,7\times10^4\) n’est pas une écriture scientifique car \(23,7\) n’est pas compris entre \(1\) et \(10\). \[23,7\times10^4=\boxed{2,37\times10^5}.\]

À toi

Donne l’écriture scientifique de \(4\,830\,000\) puis de \(0,00072\).

Réponses : \(4,83\times10^6\) et \(7,2\times10^{-4}\).

7. Je dois savoir faire seul

Fiche de survie - Je vois ceci, je fais cela

Je vois... Je pense... Je fais...
\(5^3\times5^7\) même base \(5^{3+7}=5^{10}\)
\(\dfrac{2^9}{2^4}\) même base \(2^{9-4}=2^5\)
\((3^4)^2\) puissance d’une puissance \(3^{4\times2}=3^8\)
\(2^6\times7^6\) même exposant \((2\times7)^6=14^6\)
\(4^{-3}\) exposant négatif \(\dfrac1{4^3}\)
\(8^2\times2^3\) base transformable \((2^3)^2\times2^3=2^9\)
\(0,00072\) écriture scientifique \(7,2\times10^{-4}\)

Mini-test sans calculatrice

Essaie de répondre avant de regarder la correction.

  1. Calculer \(2^6\).

  2. Donner le signe de \((-5)^7\).

  3. Comparer \((-4)^2\) et \(-4^2\).

  4. Écrire \(3^{-2}\) sous forme de fraction.

  5. Simplifier \(7^4\times7^3\).

  6. Simplifier \(\dfrac{5^8}{5^3}\).

  7. Simplifier \((2^3)^4\).

  8. Écrire \(16^2\times2^3\) comme une puissance de \(2\).

  9. Donner l’écriture scientifique de \(6\,250\,000\).

  10. Donner l’écriture scientifique de \(0,000091\).

Correction express

  1. \(2^6=64\).

  2. Négatif, car \(7\) est impair.

  3. \((-4)^2=16\) et \(-4^2=-16\), donc \(\boxed{(-4)^2>-4^2}\).

  4. \(3^{-2}=\dfrac1{9}\).

  5. \(7^4\times7^3=7^7\).

  6. \(\dfrac{5^8}{5^3}=5^5\).

  7. \((2^3)^4=2^{12}\).

  8. \(16^2\times2^3=(2^4)^2\times2^3=2^{11}\).

  9. \(6,25\times10^6\).

  10. \(9,1\times10^{-5}\).

Avant de passer aux exercices

Si tu hésites, ne cherche pas immédiatement à calculer. Commence par reconnaître la structure de l’expression. C’est souvent cette première décision qui permet de choisir la bonne propriété.