Exercice écrit

BAC Liban, 4 juin 2003, 4 points

BAC — sujet officiel

Liban 4 juin 2003 4 points Raisonnement par récurrence / suites

BAC Liban, 4 juin 2003, 4 points

Une urne contient quatre boules noires et deux boules blanches.

Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à $2$. On répète $n$ fois l’épreuve qui consiste à tirer une boule puis la remettre dans l’urne ; on suppose que toutes les boules ont la même probabilité d’être tirées et que les tirages sont indépendants.

On note $p_n$, la probabilité de tirer exactement une boule blanche lors des $n-1$ premiers tirages et une boule blanche lors du $n$-ième tirage.

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Calculer les probabilités $p_2$, $p_3$ et $p_4$.
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On considère les événements suivants : \[B_n : \text{« On tire une boule blanche lors du $n$-ième tirage »},\] \[U_n : \text{« On tire une boule blanche et une seule lors des $n-1$ premiers tirages »}.\]
1. Calculer la probabilité de l’événement $B_n$.
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2. Exprimer la probabilité de l’événement $U_n$ en fonction de $n$.
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3. En déduire l’expression de $p_n$ en fonction de $n$ et vérifier l’égalité : \[p_n=\frac{n-1}{4}\left(\frac23\right)^n.\]
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On pose : \[S_n=p_2+p_3+\cdots+p_n.\]
1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n\ge2$, \[S_n=1-\left(\frac n2+1\right)\left(\frac23\right)^n.\]
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2. Déterminer la limite de la suite $(S_n)$.
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