BAC Amérique du Nord, 1 juin 2005 – extrait suites

Soit la fonction \(f\) définie sur l’intervalle \([0~;~2]\) par \[f(x)=\frac{2x+1}{x+1}.\]

1. Étudier les variations de \(f\) sur l’intervalle \([0~;~2]\). Montrer que si \(x\in[1~;~2]\), alors \(f(x)\in[1~;~2]\).

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2. Les suites \((u_n)\) et \((v_n)\) sont définies sur \(\N\) par : \[u_0=1\quad\text{et, pour tout entier naturel }n,\quad u_{n+1}=f(u_n),\] \[v_0=2\quad\text{et, pour tout entier naturel }n,\quad v_{n+1}=f(v_n).\]

   1. Montrer à l’aide d’un raisonnement par récurrence que : \[\text{pour tout entier naturel }n,\quad 1\leqslant v_n\leqslant 2,\] puis que \[\text{pour tout entier naturel }n,\quad v_{n+1}\leqslant v_n.\]

      On admettra que l’on peut démontrer de la même façon que : \[\text{pour tout entier naturel }n,\quad 1\leqslant u_n\leqslant 2 \quad\text{et}\quad u_n\leqslant u_{n+1}.\]

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   2. Montrer que, pour tout entier naturel \(n\), \[v_{n+1}-u_{n+1}= \frac{v_n-u_n}{(v_n+1)(u_n+1)}.\]

      En déduire que, pour tout entier naturel \(n\), \[v_n-u_n\geqslant 0 \quad\text{et}\quad v_{n+1}-u_{n+1}\leqslant \frac14\left(v_n-u_n\right).\]

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   3. Montrer que, pour tout entier naturel \(n\), \[v_n-u_n\leqslant \left(\frac14\right)^n.\]

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