Exercice 31

On considère le polynôme \(P\) défini sur \(\mathbb{C}\) par \[P(z)=z^3-(2+i\sqrt2)z^2+2(1+i\sqrt2)z-2i\sqrt2.\]

1. Montrer que le nombre complexe \(z_0=i\sqrt2\) est une racine de \(P\).

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2. 1. Déterminer les réels \(a\) et \(b\) tels que \[P(z)=(z-i\sqrt2)(z^2+az+b).\]

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   2. En déduire les solutions dans \(\mathbb{C}\) de \(P(z)=0\).

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Source : Bac S 2012