BAC Métropole, juin 2024 — J2, 20 juin 2024, 5 points

Montrer que \(x=0,9\).

L’étudiant interrogé a répondu « oui» à la question.

Quelle est la probabilité qu’il ait réussi l’examen?

La note obtenue par un étudiant interrogé au hasard est un nombre entier entre 0 et 20 . On suppose qu’elle est modélisée par une variable aléatoire \(N\) qui suit la loi binomiale de paramètres \((20 ; 0,615)\).

La directrice souhaite attribuer une récompense aux étudiants ayant obtenu les meilleurs résultats.

À partir de quelle note doit-elle attribuer les récompenses pour que \(65\,\%\) des étudiants soient récompensés?

On interroge au hasard dix étudiants.

Les variables aléatoires \(N_{1}, N_{2}, \ldots, N_{10}\) modélisent la note sur 20 obtenue à l’examen par chacun d’entre eux. On admet que ces variables sont indépendantes et suivent la même loi binomiale de paramètres \((20 ; 0,615)\).
Soit \(S\) la variable définie par \(S=N_{1}+N_{2}+\cdots+N_{10}\).
Calculer l’espérance \(E(S)\) et la variance \(V(S)\) de la variable aléatoire \(S\).

On considère la variable aléatoire \(M=\dfrac{S}{10}\).

1. Que modélise cette variable aléatoire \(M\) dans le contexte de l’exercice ?

2. Justifier que \(E(M)=12,3\) et \(V(M)=0,47355\).

3. À l’aide de l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev, justifier l’affirmation ci-dessous.

   « La probabilité que la moyenne des notes de dix étudiants pris au hasard soit strictement comprise entre 10,3 et 14,3 est d’au moins \(80\,\%\) ».