Exercice écrit

BAC Métropole, juin 2026 — J1, 16 juin 2026, 5 points

BAC — sujet officiel

BAC Métropole, juin 2026 J1 16 juin 2026 5 points Probabilités

Énoncé

Un navire assure la liaison entre deux ports de la Méditerranée.

Lors d’une traversée, une famille a la possibilité de réserver une cabine ainsi qu’un emplacement pour un véhicule.

Partie A

Parmi l’ensemble des familles effectuant la traversée, on constate que \(30\,\%\) réservent un emplacement pour un véhicule et, parmi ces dernières, \(80\,\%\) réservent une cabine.

On sait par ailleurs que \(75\,\%\) des familles effectuant la traversée réservent une cabine.

On choisit au hasard une famille effectuant la traversée, et on considère les évènements suivants :

\(V\) : « la famille réserve un emplacement pour un véhicule »;
\(C\) : « la famille réserve une cabine » .

Pour un évènement quelconque \(E\), on désigne par \(\overline{E}\) son évènement contraire et par \(P(E)\) sa probabilité.

1. Donner \(P(C)\).
2. Reproduire l’arbre ci-contre et compléter les quatre pointillés.

Calculer la probabilité qu’une famille réserve un emplacement pour un véhicule et une cabine.

Une famille a réservé une cabine.

Déterminer la probabilité qu’elle réserve un emplacement pour un véhicule.

Déterminer \(P_{\overline{V}}(C)\).

On arrondira le résultat à \(10^{-2}\).

Interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.

Partie B

Sur ce trajet, la réservation d’une cabine et d’un emplacement pour un véhicule sont facturés en supplément du coût de la traversée.

Ces suppléments sont d’un montant de :

100 € pour une cabine ;
70 € pour l’emplacement d’un véhicule.

On suppose qu’une famille peut réserver au maximum une cabine et au maximum un emplacement pour un véhicule.

À ces suppléments peuvent s’ajouter le prix payé pour des extras (repas, boissons, etc.).

On note \(X\) la variable aléatoire qui associe, à chaque famille effectuant la traversée, le prix qu’elle paie, en euro, pour les suppléments.

On donne ci-dessous la loi de probabilité de \(X\).

\(x_{i}\)	0	70	100	170
\(P\left(X=x_{i}\right)\)	0,19	0,06	0,51	0,24

On note \(Y\) la variable aléatoire qui associe, à chaque famille effectuant la traversée, le prix qu’elle paie, en euro, pour les extras.

On admet que la variable aléatoire \(Y\) a pour espérance \(\mathrm{E}(Y)=104\) et pour variance \(\mathrm{V}(Y)=1686\).

On suppose que les variables \(X\) et \(Y\) sont indépendantes.

Justifier que \(\mathrm{E}(X)=96\) et que \(\mathrm{V}(X)=3114\).
À titre exceptionnel, la compagnie propose une remise de \(40\,\%\) sur les suppléments et les extras.

On note \(Z\) la variable aléatoire qui, à chaque famille effectuant la traversée, associe le montant total pour les suppléments et les extras, en euro, payé par cette famille après réduction.
1. Justifier que \(Z = 0,6(X + Y)\).
2. En déduire que \(\mathrm{E}(Z)=120\) et que \(\mathrm{V}(Z)=1728\),
  
  où \(\mathrm{E}(Z)\) est l’espérance de la variable aléatoire \(Z\) et \(\mathrm{V}(Z)\) sa variance.
On note \(n\) un entier naturel non nul et on choisit au hasard un échantillon de \(n\) familles effectuant cette traversée bénéficiant de la réduction exceptionnelle définie en question 2.

On admet que ce choix peut être assimilé à un tirage avec remise.

On désigne par \(Z_{1}\) la variable aléatoire égale au prix total pour les suppléments et les extras payé par la première famille, \(Z_{2}\) la variable aléatoire égale au prix total pour les suppléments et les extras payé par la deuxième famille et ainsi de suite, \(Z_{n}\) la variable aléatoire égale au prix total pour les suppléments et les extras payé par la \(n\)-ième famille.

On considère la variable aléatoire \(M_{n}=\dfrac{Z_{1}+Z_{2}+\ldots+Z_{n}}{n}\) donnant le prix total moyen pour les suppléments et les extras, payé par ces familles.

On admet que les variables \(Z_{1}\) , \(Z_{2}\) , …, \(Z_{n}\) sont indépendantes et suivent la même loi de probabilité que la variable aléatoire \(Z\).
1. Montrer que l’espérance \(\mathrm{E}\big(M_{n}\big)\) de la variable \(M_{n}\) est égale à 120, et que sa variance \(\mathrm{V}\big(M_{n}\big)\) est égale à \(\dfrac{1728}{n}\).
2. Déterminer le plus petit entier \(n\) pour lequel l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev permet d’affirmer que \[\mathrm{P}\big(114<M_{n}<126\big) \geqslant 0,85.\]
  
  Interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.