E3C G1SSMAT02608 — 2 (5 points)

Exercice 2 (5 points) Aujourd’hui les chardons (une plante vivace) ont envahi \(300\,\text{m}^2\) des champs d’une région. Chaque semaine, la surface envahie augmente de \(5\,\%\) par le développement des racines, auquel s’ajoutent \(15\,\text{m}^2\) suite à la dissémination des graines. Pour tout entier naturel \(n\), on note \(u_n\) la surface envahie par les chardons, en \(\text{m}^2\), après \(n\) semaines ; on a donc \(u_0=300\,\text{m}^2\).

1. 1. Vérifier que \(u_1=330\) et calculer \(u_2\).

   2. Montrer que la suite \((u_n)\) ainsi définie n’est ni arithmétique ni géométrique.

2. On admet dans la suite de l’exercice que, pour tout entier naturel \(n\),\[u_{n+1}=1{,}05u_n+15.\] On considère la suite \((v_n)\), définie pour tout entier naturel \(n\), par \[v_n=u_n+300.\]

   1. Calculer \(v_0\), puis montrer que la suite \((v_n)\) est géométrique de raison \(q=1{,}05\).

   2. Pour tout entier naturel \(n\), exprimer \(v_n\) en fonction de \(n\), puis montrer que \[u_n=600\times 1{,}05^n-300.\]

3. Est-il correct d’affirmer que la surface envahie par les chardons aura doublé au bout de \(8\) semaines ? Justifier la réponse.