Exercice écrit

BAC Polynésie, 8 juin 2012, 5 points

BAC — sujet officiel

Polynésie 8 juin 2012 5 points Raisonnement par récurrence / suites

BAC Polynésie, 8 juin 2012, 5 points

Partie A

On considère la fonction Python suivante.

def suite(N):
    u = 0
    for k in range(N):
        u = 3*u - 2*k + 3
    return u

Quelle valeur est renvoyée par cette fonction lorsque l’on exécute suite(3) ?

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Partie B

On considère la suite \((u_n)\) définie par \(u_0=0\) et, pour tout entier naturel \(n\),

\[u_{n+1}=3u_n-2n+3.\]

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Calculer \(u_1\) et \(u_2\).
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1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel \(n\), \(u_n\ge n\).
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2. En déduire la limite de la suite \((u_n)\).
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Démontrer que la suite \((u_n)\) est croissante.
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Soit la suite \((v_n)\) définie par \[v_n=u_n-n+1.\]
1. Démontrer que la suite \((v_n)\) est géométrique.
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2. En déduire que, pour tout entier naturel \(n\), \[u_n=3^n+n-1.\]
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Soit \(p\) un entier naturel non nul.
1. Justifier qu’il existe un entier \(n_0\) tel que, pour tout \(n\ge n_0\), \[u_n\ge10^p.\]
  
  On s’intéresse au plus petit entier vérifiant cette propriété.
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2. Justifier que \(n_0\le3p\).
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3. Déterminer à l’aide de la calculatrice la valeur de \(n_0\) lorsque \(p=3\).
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4. On souhaite déterminer le plus petit entier \(n_0\) tel que \[u_{n_0}\ge10^p.\]
  
  Compléter la fonction Python suivante.
```
def seuil(p):
    u = 0
    n = 0
    while ..........:
        ..............
        ..............
    return n
```
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