Exercice écrit

BAC Liban, 28 mai 2013, 5 points

BAC — sujet officiel

Liban 28 mai 2013 5 points Raisonnement par récurrence / suites

BAC Liban, 28 mai 2013, 5 points

On considère la suite \((v_n)\) définie par \[v_0=1,\qquad v_{n+1}=\frac{9}{6-v_n}.\]

Partie A

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On considère les trois fonctions Python suivantes.

Une seule affiche tous les termes de la suite \((v_n)\), du rang \(0\) au rang \(n\).

Préciser laquelle en justifiant votre réponse.
```
def algo1(n):
    v = 1
    for i in range(n):
        v = 9/(6-v)
    print(v)
```
```
def algo2(n):
    for i in range(n):
        v = 1
        print(v)
        v = 9/(6-v)
```
```
def algo3(n):
    v = 1
    print(v)
    for i in range(n):
        v = 9/(6-v)
        print(v)
```
Explication
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Après l’exécution de la fonction correcte avec \(n=10\), on obtient l’affichage suivant :

1 1,800 2,143 2,333 2,455 2,538 2,600 2,647 2,684 2,714

Après l’exécution avec \(n=100\), les derniers termes affichés sont :

2,967 2,968 2,968 2,968 2,969 2,969 2,969 2,970 2,970 2,970

Quelles conjectures peut-on émettre concernant la suite \((v_n)\) ?
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1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel \(n\), \[0<v_n<3.\]
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2. Démontrer que, pour tout entier naturel \(n\), \[v_{n+1}-v_n=\frac{(3-v_n)^2}{6-v_n}.\]
  
  La suite \((v_n)\) est-elle monotone ?
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3. Démontrer que la suite \((v_n)\) est convergente.
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Partie B – Recherche de la limite de la suite \((v_n)\)

On considère la suite \((w_n)\) définie par \[w_n=\frac1{v_n-3}.\]

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Démontrer que \((w_n)\) est une suite arithmétique de raison \(-\dfrac13\).
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En déduire l’expression de \(w_n\), puis celle de \(v_n\) en fonction de \(n\).
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Déterminer la limite de la suite \((v_n)\).
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