BAC Antilles-Guyane, 22 juin 2015, 5 points

Partie A

On considère la fonction Python suivante.

def suite(p):
    u = 5
    for k in range(1, p+1):
        u = 0.5*u + 0.5*(k-1) - 1.5
    return u

Faire fonctionner cette fonction pour \(p=2\) en indiquant les valeurs des variables à chaque étape.

Quelle valeur est renvoyée ?

1. Répondre à la question de la Partie A.

Partie B

Soit \((u_n)\) la suite définie par \(u_0=5\) et, pour tout entier naturel \(n\),

\[u_{n+1}=0,5u_n+0,5n-1,5.\]

1. Modifier la fonction précédente afin qu’elle affiche successivement les valeurs de \(u_n\) pour \(n\) variant de \(1\) à \(p\).

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2. Après avoir exécuté cette fonction avec \(p=4\), on obtient :

   \(n\)	1	2	3	4
   \(u_n\)	1	\(-0,5\)	\(-0,75\)	\(-0,375\)

   Peut-on affirmer, à partir de ces résultats, que la suite \((u_n)\) est décroissante ? Justifier.

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3. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel \(n\ge3\), \[u_{n+1}>u_n.\]

   Que peut-on en déduire quant au sens de variation de la suite \((u_n)\) ?

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4. Soit \((v_n)\) définie par \[v_n=0,1u_n-0,1n+0,5.\]

   Démontrer que \((v_n)\) est une suite géométrique de raison \(0,5\) puis exprimer \(v_n\) en fonction de \(n\).

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5. En déduire que, pour tout entier naturel \(n\), \[u_n=10\times0,5^n+n-5.\]

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6. Déterminer la limite de la suite \((u_n)\).

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