Exercice écrit

BAC Métropole, 21 juin 2019 — extrait

BAC — sujet officiel

Métropole 21 juin 2019 5 points Récurrence et comportement global

BAC Métropole, 21 juin 2019 – extrait

Une plateforme informatique propose deux types de jeux vidéo : un jeu de type \(A\) et un jeu de type \(B\).

Partie B

On admet que, dès que le joueur achève une partie, la plateforme lui propose une nouvelle partie selon le modèle suivant :

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si le joueur achève une partie de type \(A\), la plateforme lui propose de jouer à nouveau une partie de type \(A\) avec une probabilité de \(0,8\);
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si le joueur achève une partie de type \(B\), la plateforme lui propose de jouer à nouveau une partie de type \(B\) avec une probabilité de \(0,7\).
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Pour un entier naturel \(n\) supérieur ou égal à 1, on note \(A_n\) et \(B_n\) les évènements :

\(A_n\) : <<la \(n\)-ième partie est une partie de type \(A\).>>

\(B_n\) : <<la \(n\)-ième partie est une partie de type \(B\).>>

Pour tout entier naturel \(n\) supérieur ou égal à 1, on note \(a_n\) la probabilité de l’évènement \(A_n\).

1. Recopier et compléter l’arbre pondéré ci-contre
2. Montrer que pour tout entier naturel \(n\geqslant 1\), on a : \[a_{n+1}=0,5a_n+0,3\]

Dans la suite de l’exercice, on note \(a\) la probabilité que le joueur joue au jeu \(A\) lors de sa première partie, où \(a\) est un nombre réel appartenant à l’intervalle \([0~;~1]\). La suite \((a_n)\) est donc définie par : \(a_1=a\), et pour tout entier naturel \(n\geqslant 1\), \(a_{n+1}=0,5a_n+0,3\).

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Étude d’un cas particulier. Dans cette question, on suppose que \(a=0,5\).
1. Montrer par récurrence, que pour tout entier naturel \(n\geqslant 1\), on a : \(0\leqslant a_n\leqslant 0,6\).
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2. Montrer que la suite \((a_n)\) est croissante.
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Étude du cas général. Dans cette question, le réel \(a\) appartient à l’intervalle \([0~;~1]\).

On considère la suite \((u_n)\) définie pour tout entier naturel \(n\geqslant 1\) par \(u_n=a_n - 0,6\).
1. Montrer que la suite \((u_n)\) est une suite géométrique.
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2. En déduire que pour tout entier naturel \(n\geqslant 1\), on a : \(a_n=(a-0,6)\times 0,5^{n-1}+0,6\).
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