BAC Antilles-Guyane, septembre 2008 – extrait suites

Partie A

On définit :

• la suite \((u_n)\) par : \(u_0=13\) et, pour tout entier naturel \(n\), \[u_{n+1}=\frac15 u_n+\frac45 ;\]

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• la suite \((S_n)\) par : pour tout entier naturel \(n\), \[S_n=\sum_{k=0}^{n}u_k=u_0+u_1+u_2+\cdots+u_n.\]

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1. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel \(n\), \[u_n=1+\frac{12}{5^n}.\]

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2. 1. Déterminer le sens de variation de la suite \((S_n)\).

   2. Calculer \(S_n\) en fonction de \(n\).