BAC Métropole, 19 juin 2008 – extrait suites

On cherche à modéliser l’évolution du nombre, exprimé en millions, de foyers français possédant un téléviseur à écran plat, en fonction de l’année.

Partie A : un modèle discret

Soit \(u_n\) le nombre, exprimé en millions, de foyers possédant un téléviseur à écran plat l’année \(n\).

On pose \(n=0\) en 2005, \(u_0=1\) et, pour tout \(n\geqslant 0\), \[u_{n+1}=\frac{1}{10}u_n(20-u_n).\]

1. Soit \(f\) la fonction définie sur \([0~;~20]\) par \[f(x)=\frac{1}{10}x(20-x).\]

   1. Étudier les variations de \(f\) sur \([0~;~20]\).

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   2. En déduire que, pour tout \(x\in[0~;~20]\), \(f(x)\in[0~;~10]\).

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2. Montrer par récurrence que, pour tout \(n\in\N\), \[0\leqslant u_n\leqslant u_{n+1}\leqslant 10.\]

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