Limites de fonctions — Exercice 04

Soit \(\mathbb{R}\) l’ensemble des nombres réels.

Partie A

Soit \(g\) la fonction définie et dérivable sur \(\mathbb{R}\) telle que, pour tout réel \(x\),

\[g(x) = - 2x^3 + x^2 - 1.\]

1. 1. Étudier les variations de la fonction \(g\).

   2. Déterminer les limites de la fonction \(g\) en \(- \infty\) et en \(+ \infty\).

Partie B

Soit \(f\) la fonction définie et dérivable sur \(\mathbb{R}\) telle que, pour tout réel \(x\),

\[f(x) = \left(1 + x + x^2 + x^3\right)\text{e}^{-2x + 1}.\]

On note \(f'\) la fonction dérivée de la fonction \(f\) sur \(\mathbb{R}\).

1. Démontrer que \(\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x) = - \infty\).

2. 1. Démontrer que, pour tout \(x > 1\),

      \[1 < x < x^2 < x^3.\]

   2. En déduire que, pour \(x > 1\),

      \[0 < f(x) < 4x^3 \text{e}^{-2x + 1}.\]

   3. On admet que, pour tout entier naturel \(n\), \(\displaystyle\lim_{x \to + \infty} x^n\text{e}^{-x} = 0\).

      Vérifier que, pour tout réel \(x\), \(4x^3\text{e}^{-2x + 1} = \dfrac{\text{e}}{2} (2x)^3\text{e}^{-2x}\) puis montrer que :

      \[\displaystyle\lim_{x \to + \infty} 4x^3\text{e}^{-2x + 1} = 0.\]

   4. On note \(\mathcal{C}_f\) la courbe représentative de \(f\) dans un repère orthonormé \(\left(O ; \overrightarrow{\imath}, \overrightarrow{\jmath}\right)\).

      En utilisant la question précédente, déterminer la limite de \(f\) en \(+ \infty\) et en donner une interprétation graphique.