Limites de fonctions — Exercice 08

Partie A : question de cours

1. Soit \(f\) une fonction réelle définie sur \([a ; + \infty[\). Compléter la phrase suivante :

   « On dit que \(f\) admet une limite finie \(\ell\) en \(+ \infty\) si …»

2. Démontrer le théorème « des gendarmes »: soient \(f, g\) et \(h\) trois fonctions définies sur \([a ; + \infty[\) et \(\ell\) un nombre réel. Si \(g\) et \(h\) ont pour limite commune \(\ell\) quand \(x\) tend vers \(+ \infty\), et si pour tout \(x\) assez grand \(g(x) \leqslant f(x) \leqslant h(x)\), alors la limite de \(f\) quand \(x\) tend vers \(+ \infty\) est égale à \(\ell\).

Partie B

Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par

\[f(x) = \text{e}^x - x - 1\]

et soit \((\mathcal{C})\) sa courbe représentative dans un repère orthonormal du plan. La droite \((D)\) d’équation \(y = - x - 1\) est asymptote à \((\mathcal{C})\). On a représenté sur la feuille annexe la courbe \((\mathcal{C})\) et la droite \((D)\).

1. Soit \(a\) un nombre réel. Écrire, en fonction de \(a\), une équation de la tangente \((T)\) à \((\mathcal{C})\) au point \(M\) d’abscisse \(a\).

2. Cette tangente \((T)\) coupe la droite \((D)\) au point \(N\) d’abscisse \(b\). Vérifier que \(b - a = - 1\).

3. En déduire une construction, à effectuer sur la feuille annexe, de la tangente \((T)\) à \((\mathcal{C})\) au point \(M\) d’abscisse \(1,5\). On fera apparaître le point \(N\) correspondant.

Partie C

1. Déterminer graphiquement le signe de \(f\).

2. En déduire pour tout entier naturel non nul \(n\) les inégalités suivantes : \[(1) \ \text{e}^{\frac{1}{n}} \geqslant 1 + \dfrac{1}{n}\qquad (2) \ \text{e}^{\frac{-1}{n+1}} \geqslant 1 - \dfrac{1}{n+1}.\]

3. En utilisant l’inégalité (1), démontrer que pour tout entier naturel non nul \(n\)

   \[\left(1 + \dfrac{1}{n} \right)^n \leqslant \text{e}.\]

4. En utilisant l’inégalité (2), démontrer que pour tout entier naturel non nul \(n\)

   \[\text{e} \leqslant \left(1 + \dfrac{1}{n} \right)^{n + 1}.\]

5. Déduire des questions précédentes un encadrement de

   \[\left(1 + \dfrac{1}{n} \right)^n,\]

   puis sa limite en \(+ \infty\).