Limites de fonctions — Exercice 13

Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par : \[f(x)=(2+\cos x)\text{e}^{1-x}.\] On note \((\mathcal C)\) la courbe représentative de \(f\) dans le repère \(\left(O ; \overrightarrow{\imath}, \overrightarrow{\jmath}\right)\).

1. Montrer que, pour tout \(x\) de \(\mathbb{R}\), \(f(x)>0\).

2. 1. Montrer que, pour tout \(x\) de \(\mathbb{R}\) : \[\sqrt2\cos\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)=\cos x+\sin x.\]

   2. En déduire que, pour tout \(x\) de \(\mathbb{R}\) : \[2+\cos x+\sin x>0.\]

   3. Montrer que \(f\) est strictement décroissante sur \(\mathbb{R}\).

3. 1. Montrer que, pour tout \(x\) de \(\mathbb{R}\) : \[\text{e}^{1-x}\leqslant f(x)\leqslant 3\text{e}^{1-x}.\]

   2. En déduire les limites de \(f\) en \(+\infty\) et en \(-\infty\).

   3. Interpréter géométriquement le résultat obtenu lors du calcul de la limite de \(f\) en \(+\infty\).