Limites de fonctions — Exercice 18

On appelle \(f\) la fonction définie sur l’ensemble \(\mathbb{R}\) des nombres réels par : \[f(x)=\dfrac{1}{2}\left(\text{e}^x-\text{e}^{-x}\right).\] On désigne par \((\mathcal C)\) la courbe représentative de \(f\) dans le plan rapporté à un repère orthonormal \(\left(O ; \overrightarrow{\imath}, \overrightarrow{\jmath}\right)\).

1. Soit \(\mu\) un réel. Montrer que, pour tout réel \(x\), \(f(x)=\mu\) équivaut à \[\text{e}^{2x}-2\mu\text{e}^x-1=0.\] En déduire que l’équation \(f(x)=\mu\) a une unique solution dans \(\mathbb{R}\) et déterminer sa valeur en fonction de \(\mu\).

2. 1. Déterminer les limites de \(f\) en \(-\infty\) et en \(+\infty\).

   2. Calculer \(f'(x)\) pour tout nombre réel \(x\) et en déduire le sens de variation de \(f\) sur \(\mathbb{R}\).

3. 1. Déterminer une équation de la tangente \((T)\) à la courbe \((\mathcal C)\) au point d’abscisse \(0\).

   2. En étudiant le sens de variation de la fonction \(d\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \[d(x)=f(x)-x,\] préciser la position de \((\mathcal C)\) par rapport à \((T)\).