Limites de fonctions — Exercice 21

On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par : \[f(x)=x-\left(x^2+4x+3\right)\text{e}^{-x}.\] On désigne par \((\mathcal C)\) sa courbe représentative dans le plan rapporté à un repère orthonormal \(\left(O ; \overrightarrow{\imath}, \overrightarrow{\jmath}\right)\) ; l’unité graphique est 2 cm.

On considère aussi la fonction \(g\) définie sur \(\mathbb{R}\) par : \[g(x)=\left(x^2+2x-1\right)\text{e}^{-x}+1.\]

1. Étudier les limites de \(g\) en \(+\infty\) et en \(-\infty\).

2. Calculer \(g'(x)\) et montrer que \(g'(x)\) et \((3-x^2)\) ont le même signe.

3. En déduire le tableau de variations de \(g\).

4. Déterminer les limites de \(f\) en \(-\infty\) et en \(+\infty\).

5. Démontrer que la droite \((D)\) d’équation \(y=x\) est asymptote à la courbe \((\mathcal C)\).

6. 1. Montrer que la droite \((D)\) et la courbe \((\mathcal C)\) se coupent en deux points A et B dont on donnera les coordonnées.

   2. Étudier la position relative de la droite \((D)\) et de la courbe \((\mathcal C)\).