Exercice 21

On considère l’équation \[az^2+bz+c=0.\] On note \(\Delta\) son discriminant. On veut démontrer que si \(\Delta<0\) alors l’équation admet deux solutions complexes conjuguées : \[z_1=\frac{-b-i\sqrt{-\Delta}}{2a} \qquad\text{et}\qquad z_2=\frac{-b+i\sqrt{-\Delta}}{2a}.\] On rappelle qu’en classe de Première, nous avons démontré que \[az^2+bz+c=a\left[\left(z+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{\Delta}{4a^2}\right].\] On suppose que \(\Delta<0\).

1. Écrire \(\dfrac{\Delta}{4a^2}\) comme le carré d’un nombre complexe.

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2. En déduire une factorisation de \(az^2+bz+c\).

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3. En reconnaissant un produit nul, résoudre \(az^2+bz+c=0\).

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