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Exercice écrit

Exercice 34

  • Terminale maths expertes
  • Nombres complexes : partie algébrique

Dossier 2kπ — sujet officiel

Exercice source 126 Nombres complexes : partie algébrique

On définit la suite de nombres complexes \((z_n)\) par \(z_0=1\) et, pour tout \(n\in\mathbb{N}\), \[z_{n+1}=\frac13 z_n+\frac23 i.\] Soit \((u_n)\) la suite définie pour tout \(n\in\mathbb{N}\) par \(u_n=z_n-i\).

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  1. Exprimer \(u_{n+1}\) en fonction de \(u_n\) pour tout entier naturel \(n\).

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  2. Démontrer que pour tout entier naturel \(n\), \[u_n=\left(\frac13\right)^n(1-i).\]

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  3. En déduire l’expression de \(z_n\) en fonction de \(n\).

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