Exercice écrit
Exercice 21
Exercice
TICE Des chercheuses et des chercheurs veulent étudier le nombre de poissons dans l'étang Lagoon. Pour cela, ils commencent une étude et comptent \(9000\) poissons dans l'étang.
A -- Lagoon est un bassin artificiel, ce qui permet de contrôler les conditions de vie et le nombre de poissons pêchés. D'une année sur l'autre, \(a%\) de poissons meurent de manière naturelle et par la pêche et \(b%\) de poissons naissent, avec \(a\) et \(b\) deux réels fixes appartenant à \([0;100]\).
On note \(u_n\) le nombre de poissons, \(n\) années après le début de l'étude.
1. Donner la valeur de \(u_0\) et justifier que, pour tout \(n\in\N\),
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Se connecter2. Exprimer \(u_n\) en fonction de \(n\).
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Se connecter3. Selon les valeurs de \(a\) et \(b\), déterminer le sens de variation de la suite \((u_n)\) et interpréter dans le contexte.
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Se connecter4. Selon les valeurs de \(a\) et \(b\), déterminer la limite de la suite \((u_n)\) et interpréter dans le contexte.
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Se connecterB -- Les chercheurs constatent empiriquement que le nombre de poissons dans Lagoon diminue chaque année de \(20%\) par rapport à l'année précédente.
Lorsqu'ils commencent leur deuxième étude, ils comptent \(3000\) poissons dans l'étang. Et pour leur deuxième étude, ils décident, pour compenser la baisse naturelle, de rajouter chaque année \(2150\) poissons dans l'étang.
On note \(v_n\) le nombre de poissons dans l'étang \(n\) années après le début de la deuxième étude.
1. Justifier que \(v_0=3000\) et que, pour tout \(n\in\N\),
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On veut modéliser l'évolution du nombre de poissons sur un tableur.
a) Recopier le tableau ci-dessous dans un tableur.
| A | B | |
|---|---|---|
| 1 | \(n\) | \(v_n\) |
| 2 | 0 | |
| 3 | 1 | |
| 4 | 2 |
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Se connecterb) Compléter la cellule B2.
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Se connecterc) Quelle formule faut-il rentrer dans la cellule B3 ?
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Se connecterd) Compléter la colonne B en étirant vers le bas.
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Se connectere) Combien de poissons peut-on prévoir \(10\) années après le début de l'étude ?
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Se connecterf) Conjecturer la limite de la suite \((v_n)\).
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On souhaite démontrer les résultats de la question précédente.
a) Déterminer l'expression de \(v_n\) en fonction de \(n\).
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Se connecterb) En déduire la limite de la suite \((v_n)\).
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TICE Des chercheuses et des chercheurs veulent étudier le nombre de poissons dans l'étang Lagoon. Pour cela, ils commencent une étude et comptent \(9000\) poissons dans l'étang.
A -- Lagoon est un bassin artificiel, ce qui permet de contrôler les conditions de vie et le nombre de poissons pêchés. D'une année sur l'autre, \(a%\) de poissons meurent de manière naturelle et par la pêche et \(b%\) de poissons naissent, avec \(a\) et \(b\) deux réels fixes appartenant à \([0;100]\).
On note \(u_n\) le nombre de poissons, \(n\) années après le début de l'étude.
1. Donner la valeur de \(u_0\) et justifier que, pour tout \(n\in\N\),
2. Exprimer \(u_n\) en fonction de \(n\).
3. Selon les valeurs de \(a\) et \(b\), déterminer le sens de variation de la suite \((u_n)\) et interpréter dans le contexte.
4. Selon les valeurs de \(a\) et \(b\), déterminer la limite de la suite \((u_n)\) et interpréter dans le contexte.
B -- Les chercheurs constatent empiriquement que le nombre de poissons dans Lagoon diminue chaque année de \(20%\) par rapport à l'année précédente.
Lorsqu'ils commencent leur deuxième étude, ils comptent \(3000\) poissons dans l'étang. Et pour leur deuxième étude, ils décident, pour compenser la baisse naturelle, de rajouter chaque année \(2150\) poissons dans l'étang.
On note \(v_n\) le nombre de poissons dans l'étang \(n\) années après le début de la deuxième étude.
1. Justifier que \(v_0=3000\) et que, pour tout \(n\in\N\),
2.
On veut modéliser l'évolution du nombre de poissons sur un tableur.
a) Recopier le tableau ci-dessous dans un tableur.
| A | B | |
|---|---|---|
| 1 | \(n\) | \(v_n\) |
| 2 | 0 | |
| 3 | 1 | |
| 4 | 2 |
b) Compléter la cellule B2.
c) Quelle formule faut-il rentrer dans la cellule B3 ?
d) Compléter la colonne B en étirant vers le bas.
e) Combien de poissons peut-on prévoir \(10\) années après le début de l'étude ?
f) Conjecturer la limite de la suite \((v_n)\).
3.
On souhaite démontrer les résultats de la question précédente.
a) Déterminer l'expression de \(v_n\) en fonction de \(n\).
b) En déduire la limite de la suite \((v_n)\).
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