Exercice écrit
Exercice 46 – Un arbre binaire : niveau et total
Exercice
À l'étape \(0\), un arbre possède un seul segment terminal. À chaque étape, chaque segment terminal donne naissance à deux nouveaux segments terminaux. On note \(t_n\) le nombre de segments du niveau \(n\) et \(s_n\) le nombre total de segments des niveaux \(0\) à \(n\).
a) Déterminer \(t_n\).
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À l'étape \(0\), un arbre possède un seul segment terminal. À chaque étape, chaque segment terminal donne naissance à deux nouveaux segments terminaux. On note \(t_n\) le nombre de segments du niveau \(n\) et \(s_n\) le nombre total de segments des niveaux \(0\) à \(n\).
a) Déterminer \(t_n\).
b) Montrer que \(s_n=1+2+\cdots+2^n\) puis expliciter \(s_n\).
c) Démontrer directement que \(s_{n+1}=2s_n+1\).
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