Formulaire
Calcul littéral — Formulaire : démontrer et réfuter
Formulaire
Calcul littéral — Formulaire : démontrer et réfuter
Troisième · Mathématiques · Formulaire de référence · 2026–2027
Calcul littéral — Démontrer et réfuter
Formes algébriques, entiers, divisibilité, preuves générales et contre-exemples.
1. Représenter des entiers
Ici \(m,n,p\in\mathbb{Z}\), entiers relatifs.
Entiers voisins : \(n-1\), \(n\), \(n+1\).
Trois consécutifs : \(n\), \(n+1\), \(n+2\).
\[\text{pair}=2n,\qquad \text{impair}=2n+1\]
Pairs successifs : \(2n\) et \(2n+2\).
Impairs successifs : \(2n+1\) et \(2n+3\).
Deux impairs quelconques : \(2n+1\) et \(2p+1\).
Multiple de \(d\) : \(M=dn\), où \(d\in\mathbb{Z}\) et \(d\ne0\).
2. Écritures décimales
Si \(a,b,c\) sont des chiffres :
\[\overline{ab}=10a+b\]
\[\overline{abc}=100a+10b+c\]
\[\overline{abba}=1001a+110b\]
Le premier chiffre \(a\) est entre 1 et 9 ; les autres sont entre 0 et 9.
3. Parité : formes à reconnaître
Toutes les lignes ci-dessous valent pour \(n,p\in\mathbb{Z}\).
\[n+(n+1)=2n+1\]
\[2n+2p=2(n+p)\]
\[(2n+1)+(2p+1)=2(n+p+1)\]
\[2n+(2p+1)=2(n+p)+1\]
\[(2n)^2=4n^2\]
\[(2n+1)^2=4n(n+1)+1\]
\[(2n+1)(2p+1)=2(2np+n+p)+1\]
Lire la forme finale : \(2q\) est pair, \(2q+1\) est impair, dès que \(q\) est entier.
4. Modèles et changements d’échelle
Carré : \(A(s)=s^2\), \(A(ks)=k^2s^2\), pour \(s,k\geq0\) (longueurs).
\[v=\frac{d}{t},\qquad d=vt\ (t>0),\qquad t=\frac{d}{v}\ (v>0)\]
\(d\geq0\) distance ; \(t\) durée ; \(v\) vitesse.
Cône : \(V=\frac{\pi r^2h}{3}\) (\(r,h\geq0\)).
5. Développer, réduire et factoriser
Pour tous réels \(a,b,c,d,k\).
\[k(a+b)=ka+kb\]
\[k(a-b)=ka-kb\]
\[(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd\]
\[(a-b)(c-d)=ac-ad-bc+bd\]
\[(a+b)(c-d)=ac-ad+bc-bd\]
\[(a-b)(c+d)=ac+ad-bc-bd\]
\[-(a+b)=-a-b\]
\[-(a-b)=-a+b\]
Ces égalités se lisent aussi dans l’autre sens quand on factorise.
6. Identités remarquables
Pour tous réels \(a,b\).
\[\boxed{(a+b)^2=a^2+2ab+b^2}\]
\[\boxed{(a-b)^2=a^2-2ab+b^2}\]
\[\boxed{(a-b)(a+b)=a^2-b^2}\]
Formes inverses :
\[a^2+2ab+b^2=(a+b)^2\]
\[a^2-2ab+b^2=(a-b)^2\]
\[a^2-b^2=(a-b)(a+b)\]
7. Variantes utiles pour les preuves
Avec \(a,b,h,t,k\in\mathbb{R}\) ; avec \(n\in\mathbb{Z}\) pour les deux dernières.
\[(a+h)^2-a^2=2ah+h^2\]
\[(a+t)(b+t)=ab+t(a+b)+t^2\]
\[(ka)^2=k^2a^2\]
\[(a+b)^2-(a-b)^2=4ab\]
\[(a+b)^2+(a-b)^2=2(a^2+b^2)\]
\[(n+1)^2-n^2=2n+1\]
\[n^2+(n+1)^2=2n(n+1)+1\]
\[(2n+3)^2-(2n+1)^2=8(n+1)\]
Exemple de modèle fourni dans un énoncé : \(R=KSv^2\) (\(K,S\) constantes ; \(v\geq0\)).
8. Montrer une divisibilité
Ici \(d,m,n,r\in\mathbb{Z}\) et \(d\ne0\).
\[dm+dn=d(m+n)\]
\[dm-dn=d(m-n)\]
\[r(dm)=d(rm)\]
\[n+(n+1)+(n+2)=3(n+1)\]
\[n+(n+1)+(n+2)+(n+3)=2(2n+3)\]
Un nombre est divisible par \(d\) si l’on peut l’écrire \(dq\), avec \(q\) entier.
Critère par 4 : \(\overline{abc}=100a+(10b+c)\) et \(100a=4(25a)\). Ainsi, \(\overline{abc}\) est divisible par 4 si et seulement si \(10b+c\) l’est.
Pas pour 8 : 32 est multiple de 8, mais 132 ne l’est pas.
9. Égalité, preuve et réfutation
\(E\) et \(F\) sont définies sur le même ensemble \(D\).
Identité sur \(D\) :
\[E(x)=F(x)\ \Longleftrightarrow\ E(x)-F(x)=0\]
Ces deux relations valent pour chaque \(x\in D\).
Réfutation : trouver un seul \(t\in D\) tel que
\[E(t)\ne F(t)\]
Un exemple favorable ne prouve pas une identité.
10. Programmes de calcul
On part d’un nombre réel \(x\).
Ajouter \(b\), puis multiplier par \(k\) : \(k(x+b)\).
Multiplier par \(k\), puis ajouter \(b\) : \(kx+b\).
Retirer \(b\), puis élever au carré :
\[(x-b)^2=x^2-2bx+b^2\]
11. Faux en général : un seul témoin
Fausse identité : \((a+b)^2=a^2+b^2\).
Contre-exemple : \(a=b=1\), car \(4\ne2\).
Autre piège : \(\sqrt{a+b}=\sqrt a+\sqrt b\).
Pour \(a,b\geq0\), prendre \(a=b=1\) : \(\sqrt2\ne2\).
Si le lecteur ne s’affiche pas, ouvrir le PDF dans un nouvel onglet ou télécharger le PDF.