1. Commencer, se repérer et choisir une reprise

Ce cours apprend à relier une limite à une valeur, à justifier un passage à la limite et à prouver qu’une équation possède une solution. Son fil conducteur est la continuité. Les limites, les suites, les fonctions trigonométriques et les règles de dérivation déjà étudiées servent d’outils, avec les rappels utiles au moment de les employer.

Trois façons de travailler avec le même cours

Pour apprendre la première fois, lire un exemple expliqué, cacher sa correction, puis produire l’essai proposé sur papier. N’ouvrir un indice qu’après une vraie tentative. Les corrections montrent les étapes, pas seulement la réponse finale.

Pour réparer une difficulté, repartir de la rubrique « Réparer » : elle nomme une première erreur, rappelle l’idée utile, traite un cas plus simple et propose un nouvel essai corrigé. Revenir ensuite à l’exemple qui posait problème. La reprise ne consiste pas à recopier une correction entière sans identifier le geste manquant.

Pour réviser, utiliser la synthèse finale (unité 18) et les énoncés numérotés. Les tâches « À reprendre plus tard » se font avant de relire leur correction. Le dossier de problèmes (unité 17) sépare les énoncés, les indices et les corrections : il permet de vérifier si l’on sait choisir une méthode dans une situation nouvelle.

Les passages « Pour approfondir » fournissent des preuves ou des variantes supplémentaires. La preuve du TVI par dichotomie (unité 10), les fonctions additives et les compléments de l’unité 16 peuvent être abordés après le parcours principal. Le chapitre fonctionne sans logarithme, dérivée seconde ni convexité.

Lire le statut d'un énoncé

Un résultat antérieur est identifié comme tel ; un résultat admis est annoncé. Une intuition ou un dessin aide à comprendre, mais n’est pas présenté comme une preuve. Une conjecture tirée des premiers termes d’une suite reste à démontrer.

Diagnostic d'entrée — Essayer avant de lire les réponses

1. Que signifie \(f(2)=5\) ? Où placer le point de la courbe correspondant ?

2. Simplifier \((x^2-1)/(x-1)\). Pour quelles valeurs l’égalité obtenue est-elle valable ?

3. Résoudre \(x^2-4\ge0\). Les nombres \(\pm2\) sont-ils autorisés dans \(1/\sqrt{x^2-4}\) ?

4. Une suite croissante et majorée par \(2\) converge-t-elle ? Sa limite vaut-elle forcément \(2\) ?

5. Dériver \(x^3+x-1\). Que permet de dire le signe de cette dérivée ?

6. Résoudre \(\ell=\sqrt{2+\ell}\). Pourquoi une mise au carré peut-elle produire un candidat à rejeter ?

7. Si \(a\le\alpha\le b\), quelle borne donne-t-on pour l’erreur du milieu \((a+b)/2\) ?

Correction du diagnostic et point de reprise

1. L’entrée est \(2\), l’image \(5\) ; le point est \((2;5)\). Si les coordonnées ont été échangées, reprendre les premières lectures de l’unité 2.

2. \(x^2-1=(x-1)(x+1)\). Pour \(x\ne1\), le facteur \(x-1\) est non nul et la fraction vaut \(x+1\). La fonction initiale reste non définie en \(1\). Voir les domaines dans l’unité 3 et le prolongement dans l’unité 5.

3. \((x-2)(x+2)\) est positif ou nul pour \(x\le-2\) ou \(x\ge2\). Mais une racine au dénominateur doit être strictement positive : \(1/\sqrt{x^2-4}\) est défini seulement pour \(x<-2\) ou \(x>2\). Reprendre la distinction racine/inverse de racine dans l’unité 3.

4. Le théorème des suites monotones assure une limite réelle \(\ell\le2\). Elle peut être \(1\) : \(u_n=1-1/(n+1)\) en est un exemple. Les bornes ne nomment pas automatiquement la limite ; l’unité 8 sépare ces étapes.

5. La dérivée est \(3x^2+1>0\), donc la fonction est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\). Cela donnera au plus une solution d’un niveau ; une existence demande un autre argument. Voir les unités 6 et 11.

6. Une solution doit être positive ou nulle. Le carré donne \(\ell^2=2+\ell\), donc \((\ell-2)(\ell+1)=0\). Les candidats sont \(2\) et \(-1\), mais \(-1\ne\sqrt1\) ; seule la valeur \(2\) convient. Les conditions de l’équation initiale se conservent après les transformations ; voir l’unité 8.

7. L’erreur est au plus \((b-a)/2\), pas nécessairement égale à ce nombre. Le milieu est à cette distance de chaque borne ; tout point du segment est au plus aussi éloigné. Voir l’unité 14 pour distinguer largeur, erreur et arrondi.

Comment savoir si une correction a vraiment servi ?

Fermer le texte et refaire le premier geste avec des données nouvelles. Pouvoir justifier une condition oubliée vaut davantage que reconnaître une formule déjà vue. Pour une réponse de continuité, le domaine et le point doivent être clairs. Pour une équation, distinguer « existe » et « est unique ». Pour une suite, repérer l’argument qui prouve la convergence avant d’annoncer une limite. Pour une approximation, préciser ce qui est effectivement garanti.

2. A — Comprendre la continuité : limite, valeur et domaine

Avant de poursuivre. Une fonction associe une image \(f(x)\) à chaque réel \(x\) de son domaine \(D_f\). Dans le point \((x;f(x))\), l’entrée est l’abscisse, la sortie est l’ordonnée. Pour \(f(x)=2x+1\), \(f(3)=7\) signifie que \((3;7)\) appartient à sa courbe. Ce n’est pas le point \((7;3)\). Si cette lecture hésite, calcule \(f(0)=1\) et place d’abord \((0;1)\).

1. La question nouvelle : les voisins annoncent-ils la bonne valeur ?

Pour \(x\) proche de \(2\), le nombre \(x^2\) est proche de \(4\). Par exemple \(1{,}9^2=3{,}61\) et \(2{,}1^2=4{,}41\). En resserrant davantage les entrées autour de \(2\), les images se resserrent autour de \(4\). Or la valeur de la fonction au point est elle aussi \(2^2=4\) : le comportement des voisins rejoint la valeur effectivement définie.

Il faut distinguer trois questions. La fonction est-elle définie au point ? Cela concerne son domaine. Vers quoi tendent les images voisines ? C’est une question de limite. Cette limite coïncide-t-elle avec la valeur au point ? C’est la continuité. Un calcul de valeur ne répond pas automatiquement aux deux autres questions.

Dans la limite ponctuée usuelle, les voisins \(x\ne a\) déterminent la limite. Dans la continuité, le cas \(x=a\) ne gêne jamais : alors \(f(x)-f(a)=0\). Une définition doit fixer un sens ; elle n’a pas à être démontrée. Les propriétés qui en découlent, elles, demandent une justification.

Lecture de la figure. Le cercle vide \((1;2)\) représente un point absent du graphe de \(g\), alors que le point plein \((1;5)\) donne sa vraie valeur en \(1\). Dans le second dessin, les branches ont des limites différentes : \(-1\) à gauche de \(0\), \(1\) à droite. Une nouvelle valeur au seul point \(0\) ne rapprocherait pas ces deux branches.

2. L'image du crayon : utile pour comprendre, insuffisante pour prouver

Sur un intervalle, la continuité évoque une courbe que l’on peut suivre sans saut. Le déplacement horizontal représente l’entrée ; la hauteur représente l’image. Un saut impose un changement soudain de hauteur. Cette image aide à distinguer raccord et rupture.

Mais un tracé numérique ne visite qu’un nombre fini de points. Il peut ignorer le point exceptionnel de \(g\), relier artificiellement les branches d’une fonction discontinue, ou masquer des oscillations. On utilise la figure pour conjecturer, puis l’expression, le domaine et les limites pour démontrer. « Je peux dessiner d’un trait » n’est pas une définition générale utilisable comme preuve.

3. Pour approfondir — Mettre des distances sur la définition

La notation suivante n’est pas une rédaction à réciter systématiquement dans les exercices. Elle précise le sens de « aussi proche que l’on veut » et éclaire certaines démonstrations du cours.

Lecture de la figure. Pour \(f(x)=2x+1\) en \(a=1\), la bande horizontale autour de \(f(1)=3\) exprime l’erreur autorisée sur les images. Une bande verticale deux fois plus étroite autour de \(1\) assure que la courbe reste dans cette bande horizontale. Le dessin correspond à un choix de précision ; le calcul suivant vaut pour toute précision positive.

Réparer — Utiliser la valeur comme preuve de la limite

Première erreur : « \(g(1)=5\), donc sa limite est \(5\) ». Cette substitution supposerait la continuité, précisément ce que l’on cherche. Repartons de \(r(x)=0\) pour \(x\ne0\) et \(r(0)=1\) : les voisins donnent toujours \(0\), donc la limite est \(0\), et non \(1\). Nouvel essai : \(t(x)=3x\) pour \(x\ne2\), \(t(2)=0\). La limite est \(6\), la valeur \(0\), donc pas de continuité. Reviens maintenant à \(g\) : les voisins suivent \(x+1\), la limite est \(2\), et la valeur exceptionnelle est \(5\).

À reprendre plus tard, avant de relire

Sans relire les exemples, traiter \(p(x)=2x-1\) pour \(x\ne-1\), \(p(-1)=4\). Puis expliquer à un camarade la différence entre « limite existante » et « fonction continue ». Aide : séparer les voisins et la valeur. Correction : \(2x-1\to2(-1)-1=-3\), mais \(p(-1)=4\). La limite existe ; elle ne coïncide pas avec la valeur. Il faut remplacer cette valeur par \(-3\) pour obtenir une autre fonction continue. Une réponse complète nomme les deux objets et leur comparaison.

Je sais faire seul si… je lis les coordonnées, le domaine et les points pleins ou vides ; je sépare valeur et limites latérales ; je précise le côté accessible au bord ; je sais dire pourquoi un graphique seul ne suffit pas.

3. A — Justifier une continuité : fonctions usuelles, opérations et domaines

Avant de poursuivre. La continuité en \(a\) signifie que la limite des images est \(f(a)\). Avant toute limite, l’expression doit être définie. \(\sqrt{x-1}\) exige \(x\ge1\) ; \(1/(x-1)\) exige \(x\ne1\) ; \(1/\sqrt{x-1}\) exige \(x>1\). La dernière condition est stricte parce qu’une racine nulle deviendrait un dénominateur nul.

1. Les fonctions de référence : une réserve de résultats justifiés

2. Un fait local souvent caché dans les calculs

Lecture de la figure. Le voisinage marqué autour de \(2\) se situe entièrement au-dessus de l’axe des abscisses. Le zéro \(1\) se trouve hors de ce voisinage. Le signe peut changer plus loin sans contredire le résultat local.

L’ordre des deux demandes est utile à comprendre : on part de la précision voulue à la sortie, on remonte vers une précision suffisante à l’étape intermédiaire, puis vers la proximité des entrées. Pour utiliser la propriété dans un exercice ordinaire, il suffit d’identifier les fonctions et leurs domaines.

3. Le domaine peut demander un véritable raisonnement

4. Les réciproques des règles peuvent être fausses

Soit \(s(x)=-1\) pour \(x<0\) et \(s(x)=1\) pour \(x\ge0\). Les fonctions \(s\) et \(-s\) sont discontinues en \(0\), mais \(s+(-s)=0\) est continue. De même \(s^2=1\) est continue. La continuité d’une somme ou d’un produit ne permet donc pas de remonter à celle de chaque terme ou facteur. Pour la composition, la fonction extérieure constante \(v(t)=0\) donne \(v(s(x))=0\), même si \(s\) est discontinue. Les règles énoncent des conditions suffisantes ; leur conclusion ne prouve pas leurs hypothèses.

Réparer — Une simplification ne change pas le domaine initial

La phrase « \(x/x=1\) pour tout \(x\) » est fausse : la simplification exige \(x\ne0\). Pour \(R(x)=(x-3)/(x^2-9)\), factoriser le dénominateur donne \((x-3)(x+3)\). L’expression initiale exclut \(-3\) et \(3\). On obtient \(R(x)=1/(x+3)\) seulement pour \(x\ne-3,3\). Nouvel essai : \((x+2)/(x^2-4)\) se simplifie en \(1/(x-2)\) pour \(x\ne-2,2\), mais conserve ces deux exclusions. Revenir à une racine de quotient : même si l’expression simplifiée existe à une ancienne valeur interdite, il faudrait définir une nouvelle fonction pour l’y ajouter.

À reprendre plus tard, avant de relire

Étudier le domaine puis la continuité de \(W(x)=\sqrt{(x-4)/(x+1)}\). Aide : ordonner les zéros des deux facteurs. Correction : \(x+1\) s’annule en \(-1\), qui est interdit ; \(x-4\) s’annule en \(4\), autorisé car le dénominateur y vaut \(5\). Avant \(-1\), les deux facteurs sont négatifs ; entre \(-1\) et \(4\), leurs signes sont opposés ; après \(4\), ils sont positifs. Le quotient est donc positif ou nul sur \(]-\infty;-1[\cup[4;+\infty[\). Quotient puis composition par la racine : continuité sur ce domaine, à droite en \(4\).

Je sais faire seul si… je détermine le domaine avant de citer une règle, identifie somme, produit ou composition, vérifie les images intermédiaires et garde les conditions des dénominateurs.

4. A — Étudier un raccordement et déterminer des paramètres

Avant de poursuivre. Une accolade définit une seule fonction, par des formules valables sur des morceaux différents. L’inégalité qui inclut le point indique où lire sa valeur. Pour \(f(x)=x^2\) si \(x<1\) et \(f(x)=3x-2\) si \(x\ge1\), la valeur \(f(1)=1\) vient de la seconde ligne, même si la première expression pourrait aussi être calculée en \(1\).

Avant de poursuivre, lire une accolade. Pour \(r(x)=x+2\) si \(x<1\) et \(r(x)=5\) si \(x\ge1\), quelle ligne donne \(r(1)\) ? Vers quelle valeur tend le morceau de gauche ? Vérification : \(1\ge1\), donc \(r(1)=5\) ; les valeurs \(x+2\) tendent vers \(3\) quand \(x\to1^-\). Si tu as écrit \(r(1)=3\), entoure la condition de chaque ligne et reprends le repère : une limite d’un morceau ne donne pas automatiquement la valeur définie au raccord.

Le mot « suffisantes » compte : après avoir trouvé les paramètres nécessaires, il faut vérifier qu’ils rendent bien égales les trois quantités et qu’aucun autre point ne pose problème.

Lecture de la figure. La parabole à gauche du raccord est identique dans les deux cas. La droite horizontale de droite rejoint la même valeur mais donne une pente \(0\), différente de la pente \(2\) à gauche. La droite \(2x-1\) rejoint à la fois la valeur et la pente : deux conditions distinctes apparaissent sur le dessin.

Lecture de la figure. Les trois morceaux rejoignent les points \((0;1)\) et \((1;2)\). En \(0\), la direction du trait change : les deux pentes sont différentes. En \(1\), les directions se raccordent. Les jonctions sont pleines, car ces valeurs font partie de la fonction.

Réparer — Choisir la mauvaise ligne au point de raccord

Première erreur : lire \(F(1)=1\) dans la formule valable pour \(x<1\), avant d’avoir établi \(a+b=1\). Reprenons \(v(x)=0\) si \(x<0\) et \(v(x)=2\) si \(x\ge0\) : \(v(0)=2\), car \(0\ge0\). Nouvel essai : \(w(x)=x+3\) si \(x<2\), \(w(2)=-1\), \(w(x)=5\) si \(x>2\). Les voisins donnent \(5\) des deux côtés ; la valeur est \(-1\), lue dans sa propre ligne. Il faut la remplacer par \(5\). Retour à \(F\) : la valeur initiale est bien \(a+b\), que la continuité oblige ensuite à égaler \(1\).

À reprendre plus tard, avant de relire

Pour \(q(x)=x^2\) si \(x<2\), \(q(x)=ax+b\) si \(x\ge2\), trouver les conditions de continuité puis de dérivabilité en \(2\). Aide : lire la valeur, puis développer \((2+h)^2\). Correction : les limites et la valeur imposent \(2a+b=4\). Sous cette condition, \(q(2)=4\). Pour \(h<0\), \((2+h)^2=4+2h+2h+h^2=4+4h+h^2\), donc le taux vaut \((4+4h+h^2-4)/h=h(4+h)/h=4+h\) pour \(h\ne0\), et tend vers \(4\). Pour \(h>0\), \(q(2+h)=2a+b+ah=4+ah\), d’où le taux \(a\). La dérivabilité exige \(a=4\), puis \(2\times4+b=4\) donne \(b=-4\). Vérifier : les deux limites de taux valent \(4\) et les valeurs se raccordent.

Je sais faire seul si… je traite chaque raccord, garde les contraintes simultanées, vérifie leur suffisance et distingue égalité des hauteurs et égalité des pentes.

5. A — Pour approfondir : prolonger une fonction par continuité

Approfondissement du chapitre. Cette unité prolonge le travail sur les limites. Le but n’est pas de donner une valeur à une division par zéro, mais de définir une nouvelle fonction à un point où l’ancienne n’existait pas.

Avant de poursuivre. Pour \(x\ne1\), \((x^2-1)/(x-1)=x+1\) après factorisation. Cette égalité ne définit pas la fraction en \(1\). La limite vaut pourtant \(2\). Si la différence entre expression, fonction et domaine est fragile, compare \(x/x\) sur \(\mathbb{R}\setminus\{0\}\) et la constante \(1\) sur \(\mathbb{R}\) : mêmes valeurs sur l’ancien domaine, domaines différents.

Lecture de la figure. Les deux enveloppes \(y=|x|\) et \(y=-|x|\) enferment le produit \(x\sin(1/x)\). Elles se rejoignent en \(0\) : toute oscillation entre elles est forcée d’avoir une hauteur tendant vers \(0\). La preuve par encadrement reste valable pour les oscillations trop rapides pour être distinguées sur le dessin.

Réparer — Une forme indéterminée n'est pas un résultat

Dire « le numérateur tend vers \(0\), donc le quotient tend vers \(0\) » oublie le dénominateur. Pour \(x\ne0\), \(x/x=1\), \(x^2/x=x\to0\), tandis que \(x/x^2=1/x\) n’a pas de limite réelle finie en \(0\). Trois quotients de forme initiale \(0/0\) donnent trois comportements différents.

Nouvel essai corrigé. Pour \((\sqrt{9+x}-3)/x\), le conjugué est \(\sqrt{9+x}+3>0\). On obtient \((9+x-9)/(x(\sqrt{9+x}+3))=1/(\sqrt{9+x}+3)\) pour \(x\ne0\), donc limite \(1/6\). Reviens maintenant à la racine de \(1+x\) : les deux termes \(1\) du dénominateur transformé expliquent \(1/2\).

À reprendre plus tard, avant de relire

Déterminer si \((e^{2x}-1)/x\) se prolonge en \(0\). Aide : faire apparaître le taux \((e^h-1)/h\). Correction : pour \(x\ne0\), \((e^{2x}-1)/x=2(e^{2x}-1)/(2x)\). En posant \(h=2x\to0\), le quotient entre parenthèses tend vers \(1\), dérivée de l’exponentielle en \(0\). La limite est donc \(2\), seule valeur ajoutable. Ne pas oublier le facteur \(2\) produit par le changement de dénominateur.

Je sais faire seul si… je conserve l’ancien domaine, choisis la transformation avec une raison, vérifie les simplifications et distingue trou supprimable, saut, divergence et oscillations.

6. B — Continuité et dérivabilité : comprendre le lien et ses limites

Avant de poursuivre. La continuité compare des valeurs. La dérivabilité compare des taux de variation. Pour \(f(x)=x^2\) en \(a=2\), \((f(2+h)-f(2))/h=(4+4h+h^2-4)/h=4+h\) pour \(h\ne0\). Sa limite \(4\) est la dérivée \(f'(2)\). Le dénominateur doit être non nul : \(h\ne0\), ou \(x\ne a\) dans l’écriture avec \(x-a\).

Un premier contrôle, avant la définition. Pour \(p(x)=x^2\) en \(a=1\), écris le taux de variation avec l’entrée \(1+h\), puis précise la valeur interdite de \(h\). Pourquoi ne calcule-t-on pas directement ce quotient en \(h=0\) ? Vérification : le taux est \([(1+h)^2-1]/h\) pour \(h\ne0\). Le quotient initial n’est pas défini en \(0\) ; on étudie sa limite. Si le numérateur a été remplacé par \((1+h)^2\) seul, réécris la différence \(p(1+h)-p(1)\) avant de développer ; si la division par zéro a été utilisée, reprends la distinction « valeurs voisines » et « valeur au point » du repère.

1. La réciproque est fausse : trois mécanismes distincts

Lecture de la figure. La pointe de \(|x|\) associe deux pentes finies différentes. Pour \(\sqrt x\), les sécantes issues de l’origine deviennent de plus en plus proches d’une direction verticale. Ces deux formes de non-dérivabilité ne remettent pas en cause la continuité au point.

2. Utiliser une dérivée pour préparer l'unicité d'une solution

Une variation stricte assurera au plus un antécédent d’un niveau. Elle ne prouvera pas, à elle seule, que ce niveau est atteint. Par exemple, \(e^x\) est strictement croissante mais ne vaut jamais \(-1\). La continuité interviendra avec un encadrement de niveau pour prouver l’existence.

3. Pour approfondir — Une fonction peut être dérivable sans dérivée continue

Cette question porte sur la continuité de deux fonctions différentes, \(f\) et \(f'\). Elle n’est pas un nouveau prérequis du parcours principal.

Réparer — Écrire « la dérivée vaut l'infini »

Une dérivée ordinaire est un réel fini. Si un taux tend vers \(+\infty\), on décrit une direction verticale, mais on ne l’utilise pas comme un nombre dans les règles de dérivation. Nouvel essai : pour \(v(x)=\sqrt{x-2}\) en \(2\), l’approche est par la droite. Le taux vaut \(\sqrt h/h=1/\sqrt h\to+\infty\), tandis que \(v(2+h)\to0=v(2)\). Continuité à droite, pas de dérivée réelle à droite. Revenir à la racine en \(0\) conduit exactement aux deux mêmes conclusions distinctes.

À reprendre plus tard, avant de relire

Retrouver la démonstration de « dérivable implique continue » en écrivant avec \(x-a\) plutôt qu’avec \(h\). Aide : isoler la différence \(f(x)-f(a)\). Correction : pour \(x\ne a\), \(f(x)-f(a)=(x-a)\,\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\). Le premier facteur tend vers \(0\), le quotient vers le réel \(f'(a)\) ; leur produit tend vers \(0\), donc \(f(x)\to f(a)\). La condition est \(x\ne a\), pas \(x\ne0\). Pour contrôler le sens logique, donner ensuite \(|x|\) en \(0\) comme contre-exemple à la réciproque.

Je sais faire seul si… je reconstruis la preuve, distingue les deux fonctions \(f\) et \(f'\), traite les bords à part et utilise les dérivées pour la variation sans leur attribuer une existence de solution.

7. C — L'image d'une suite convergente

Objectif. Une suite donne des entrées de plus en plus proches d’un nombre. La continuité permet de prévoir leurs images. Ce passage est le maillon qui servira ensuite à identifier la limite d’une suite récurrente. Il ne prouve pas, à lui seul, que la suite de départ converge.

Avant de poursuivre. Une suite \((u_n)\) converge vers \(\ell\) lorsque ses termes finissent par rester aussi proches de \(\ell\) que l’on veut. Le rang \(n\) n’est pas l’entrée de la fonction \(f\) : dans \(f(u_n)\), l’entrée est le nombre \(u_n\). Essai : pour \(u_n=2+1/(n+1)\), calculer \(u_0,u_1\) et leur carré, puis donner la limite de \(u_n\).

Idée de la preuve — D'abord les images, puis les entrées, puis le rang

Nous voulons des images proches de \(f(\ell)\). La continuité indique de quelle proximité des entrées cela résulte. La convergence de la suite garantit ensuite cette proximité à partir d’un rang. L’ordre des choix est donc : précision souhaitée sur les images, proximité suffisante des entrées, puis rang à partir duquel cette proximité est acquise.

Méthode — Les vérifications qui précèdent la substitution

Lire la limite connue de la suite ; identifier la fonction appliquée aux termes ; vérifier que ces termes sont dans son domaine ; vérifier que la limite y est aussi ; justifier la continuité en ce point ; calculer enfin son image. La substitution est la dernière ligne autorisée par les précédentes.

Contre-exemples — Ce que le théorème ne permet pas d'inverser

Sans continuité au point limite. Soit \(f(0)=1\) et \(f(x)=0\) pour \(x\ne0\). Avec \(u_n=1/(n+1)\), on a \(u_n\to0\), mais \(f(u_n)=0\to0\ne f(0)\). Le domaine et la convergence étaient corrects ; c’est la continuité qui manque.

Si la limite n’appartient pas au domaine. Pour \(f(x)=1/x\) et \(u_n=1/(n+1)>0\), les images sont toutes définies mais \(0\) n’appartient pas au domaine. On ne peut écrire \(f(u_n)\to f(0)\). En réalité, \(f(u_n)=n+1\to+\infty\). Les valeurs finies de chaque terme ne garantissent pas une limite réelle finie.

Si seules les images convergent. La suite \(u_n=(-1)^n\) ne converge pas : ses termes pairs valent \(1\) et ses termes impairs \(-1\). Pourtant, pour \(f(x)=x^2\), les images valent toutes \(1\). La convergence de \(f(u_n)\) ne force donc pas celle de \(u_n\), même lorsque \(f\) est continue partout.

Une seule approche ne prouve pas la continuité. Posons \(s(x)=0\) pour \(x\le0\) et \(s(x)=1\) pour \(x>0\). Avec \(u_n=-1/(n+1)\), on a \(s(u_n)=0\to s(0)\). Mais \(s\) n’est pas continue en \(0\) : les entrées positives ont toutes l’image \(1\). Tester un seul chemin favorable ne contrôle pas les autres chemins.

Réparer — La substitution précède ses conditions

Tentative erronée : « \(u_n\to0\), donc \(1/u_n\to1/0=0\). » La première expression sans sens est \(1/0\) ; elle n’est ni nulle ni un réel infini. Rappel ciblé : l’inverse est continu en un réel non nul, pas en \(0\). Exemple simple : \(u_n=1/(n+1)\) donne \(1/u_n=n+1\).

Nouvel essai. Pour \(v_n=3+1/(n+1)\), déterminer la limite de \(1/v_n\) puis celle de \(1/(v_n-3)\). Correction. L’inverse est continu en \(3\ne0\), donc \(1/v_n\to1/3\). En revanche \(1/(v_n-3)=n+1\to+\infty\) ; la fonction \(x\mapsto1/(x-3)\) n’est pas définie en la limite \(3\). Retour à la tentative initiale : écrire d’abord la fonction et son domaine aurait empêché la substitution interdite.

À reprendre plus tard, avant de relire

Avant de relire, traiter deux nouvelles situations. (a) \(v_n\ge0\) et \(v_n\to0\) : limite de \(\sqrt{1+v_n}/(2+v_n)\) ? (b) \(q(x)=0\) pour \(x\ne1\) et \(q(1)=4\) : construire une suite réfutant la continuité en \(1\). Corrections. (a) La fonction \(x\mapsto\sqrt{1+x}/(2+x)\) est continue en \(0\) ; les termes positifs ou nuls sont dans son domaine, le dénominateur y est \(\ge2\) et la limite \(0\) y appartient. Les images tendent vers \(1/2\). (b) Choisir \(u_n=1+1/(n+1)\) : les termes sont différents de \(1\), donc \(q(u_n)=0\to0\), alors que \(u_n\to1\) et \(q(1)=4\). Une continuité imposerait la limite \(4\) des images : contradiction.

Je sais faire seul si… je distingue le rang, le terme et son image ; je vérifie le domaine des termes et celui de leur limite ; j’explique où intervient la continuité ; j’autorise les termes égaux au point limite ; je distingue une preuve de continuité, un contrôle sur une approche et un contre-exemple suffisant pour la réfuter.

8. C — Suites récurrentes : conjecturer, prouver, identifier

Objectif. Étudier une suite \(u_{n+1}=f(u_n)\) demande de distinguer trois questions : les termes existent-ils tous ? La suite converge-t-elle ? Si elle converge, quelle est sa limite ? La continuité répond à une étape de la troisième question. Les premières demandent leurs propres arguments.

Avant de poursuivre. Une suite réelle croissante et majorée converge ; une suite décroissante et minorée aussi. La limite respecte les bornes larges. La monotonie seule ne suffit pas : \(u_n=n\) croît sans limite réelle finie. Une borne seule ne suffit pas : \((-1)^n\) reste dans \([-1;1]\) sans converger. Essai : si une suite croît et reste inférieure à \(2\), sa limite vaut-elle nécessairement \(2\) ?

Méthode — Une recherche de candidats est autorisée, une conclusion prématurée ne l'est pas

On peut chercher d’abord : « Si la suite converge vers un réel du domaine où \(f\) est continue, alors sa limite devra vérifier \(\ell=f(\ell)\) ». Cette recherche peut suggérer une borne ou un intervalle stable. Il faut ensuite revenir aux termes réels de la suite, prouver leur bonne définition et leur convergence, puis vérifier que la limite appartient au bon domaine avant de retenir un candidat.

Deux organisations sont donc possibles : prouver la convergence puis chercher la limite ; ou chercher des candidats conditionnels, s’en servir pour préparer la preuve, puis établir la convergence et conclure. Dans les deux cas, l’égalité de point fixe ne remplace jamais la preuve d’existence de la limite.

Lecture de la figure. Pour la suite à racine, partir de \((u_0;0)\) et monter verticalement au point \((u_0;f(u_0))=(u_0;u_1)\). Aller horizontalement jusqu’à la diagonale \(y=x\) atteint \((u_1;u_1)\). Monter de nouveau à la courbe atteint \((u_1;u_2)\) ; le prochain segment horizontal reporte \(u_2\) en abscisse. À droite, le même procédé pour \(f(x)=1-x\) depuis \(0\) boucle entre \(0\) et \(1\). La construction montre des termes ; seule la preuve écrite permet de conclure pour tous les rangs.

Contre-exemples — Les trois hypothèses que le calcul ne doit pas remplacer

Un unique point fixe n’impose pas la convergence. Sur \([0;1]\), \(f(x)=1-x\) est continue et stable. Son point fixe satisfait \(1-\ell=\ell\), donc \(\ell=1/2\), unique. Depuis \(u_0=0\), on obtient \(u_1=1\), \(u_2=0\), puis \(u_{2n}=0\), \(u_{2n+1}=1\) par récurrence. Ces deux sous-suites ont des limites différentes : la suite ne converge pas. Depuis \(u_0=1/2\), elle serait constante. Il faut donc tenir compte du départ.

La convergence seule ne remplace pas la continuité. Définissons \(f(0)=1\) et \(f(x)=x/2\) pour \(0<x\le1\). Depuis \(u_0=1\), une récurrence donne \(u_n=2^{-n}>0\), donc \(u_n\to0\). Pourtant \(f(0)=1\ne0\). La fonction n’est pas continue en \(0\), car les images des entrées positives tendent vers \(0\). L’équation de point fixe n’était pas autorisée en cette limite.

Un intervalle stable ouvert ne contient pas forcément la limite. Sur \(]0;1[\), \(f(x)=(x+1)/2\) conserve l’intervalle. Depuis \(u_0=1/2\), le calcul \(1-u_{n+1}=(1-u_n)/2\) donne \(u_n=1-2^{-(n+1)}\to1\). La fonction restreinte à \(]0;1[\) n’est pas définie en \(1\). On peut prolonger ici la formule affine à cette borne et utiliser la nouvelle fonction continue, mais il faut annoncer cette extension ; la stabilité seule n’a pas ajouté \(1\) au domaine initial.

Pour approfondir — Une fonction décroissante peut donner une suite oscillante convergente

Le cycle de \(1-x\) ne signifie pas que toute fonction décroissante provoque une divergence. Voici une étude qui prouve l’inverse sans utiliser de théorème général de contraction.

Lecture de la figure. À gauche, les allers-retours entre la courbe \(y=1+1/x\) et la diagonale construisent les termes depuis \(u_0=1\). À droite, les points de la suite passent alternativement au-dessus et au-dessous de \(\varphi\). Les tirets aident à suivre leur ordre ; la suite est constituée de points de rangs entiers. Le rapprochement observé est justifié par la borne géométrique démontrée, pas par ces seuls premiers points.

Réparer — Une borne ou un point fixe se transforme trop vite en limite

Tentative : « \(0\le u_n\le2\) et le seul point fixe est \(2\), donc la suite converge vers \(2\). » Les bornes n’établissent pas une convergence ; l’équation de point fixe ne le fait pas non plus. Exemple plus simple : \(u_{n+1}=1-u_n\), \(u_0=0\), reste bornée mais alterne. La première erreur est la déduction « donc converge », pas le calcul du point fixe.

Nouvel essai. Pour \(u_0=1/4\) et \(u_{n+1}=1-u_n\), écrire trois termes supplémentaires puis décider. Correction. On obtient \(3/4,1/4,3/4\) ; une récurrence donne \(u_{2n}=1/4\) et \(u_{2n+1}=3/4\). Les deux sous-suites ont des limites différentes : pas de convergence, malgré le point fixe unique \(1/2\). Retour à la suite à racine : c’est sa croissance et sa majoration qui ont justifié l’existence de la limite avant son identification.

Autre erreur : « \(f\) décroît, donc \((u_n)\) décroît ». La fonction inverse les comparaisons au lieu de les conserver. Reprendre les premières valeurs \(1,2,3/2\) pour \(1+1/x\) réfute déjà cette phrase. Sa convergence a demandé une réduction démontrée des écarts, non une fausse monotonie.

À reprendre plus tard, avant de relire

À une autre séance, avant de relire : (a) étudier \(w_0=0\), \(w_{n+1}=(w_n+3)/4\) ; (b) pour \(t_0=1/2\) et \(t_{n+1}=t_n^2\), déterminer la limite sans présenter les deux points fixes comme deux réponses possibles ; (c) expliquer pourquoi le dessin d’un escalier presque stabilisé ne prouve pas une convergence. Corrections. (a) \([0;1]\) est stable puisque \(3/4\le(x+3)/4\le1\) sur ce segment. L’initialisation et la stabilité donnent les bornes par récurrence. La différence \(w_{n+1}-w_n=3(1-w_n)/4\ge0\) donne la croissance, puis la convergence. La fonction affine est continue en la limite \(\ell\in[0;1]\) ; \(4\ell=\ell+3\), donc \(\ell=1\). Le contrôle donne \(1-w_n=4^{-n}\). (b) Le segment \([0;1/2]\) est stable et \(x^2\le x\) dessus. La suite décroît, reste positive et converge vers \(\ell\in[0;1/2]\). La continuité donne \(\ell^2=\ell\) ; le candidat \(1\) est exclu par la borne, donc \(\ell=0\). (c) Le dessin ne montre qu’un nombre fini de termes avec une précision limitée. Il faut un argument portant sur tous les rangs, comme monotonie et borne ou une majoration de l’erreur tendant vers zéro.

Je sais faire seul si… je vérifie le départ, les divisions et la stabilité ; je distingue monotonie de la fonction et de la suite ; j’annonce conditionnellement une recherche de candidats ; je prouve la convergence par un argument adapté ; je vérifie le domaine de la limite avant de passer à la limite ; je rejette les candidats incompatibles et contrôle l’erreur lorsque la question le demande.

9. D — Le théorème des valeurs intermédiaires : prouver une existence

Avant de poursuivre. Résoudre \(f(x)=k\), c’est chercher les abscisses dont l’image vaut le niveau \(k\). Pour \(f(x)=x^2\) et \(k=4\), les nombres \(-2\) et \(2\) sont des antécédents de \(4\). Le nombre \(4\) est une image, pas une abscisse à placer automatiquement entre les bornes d’un intervalle de recherche.

À essayer avant le théorème. Pour \(p(x)=2x+3\) sur \([0;2]\), calcule les deux images des bornes. Le niveau \(6\) est-il compris entre les deux abscisses ou entre les deux images ? Trouve ici son antécédent pour vérifier les rôles. Vérification : \(p(0)=3\) et \(p(2)=7\), donc \(3<6<7\). L’équation \(2x+3=6\) donne \(2x=3\), puis \(x=3/2\), qui appartient à \([0;2]\). Le niveau \(6\) est une ordonnée ; \(3/2\) est une abscisse. Si tu as cherché \(0\le6\le2\), reprends le repère et écris deux lignes séparées « entrées » et « images » avant de lire le TVI.

1. Atteindre une valeur sans savoir résoudre l'équation

On sait calculer les images d’une fonction, mais on ne sait pas toujours isoler \(x\) dans l’équation \(f(x)=k\). La continuité permet néanmoins de prouver une existence. Si la courbe va continûment d’une hauteur sous le niveau \(k\) à une hauteur au-dessus, elle doit rencontrer ce niveau. Elle peut le rencontrer plusieurs fois : la continuité ne lui interdit pas de monter puis de redescendre.

La démonstration complète par dichotomie figure dans l’unité suivante, en approfondissement. L’énoncé peut être utilisé dans le parcours principal sans avoir à reproduire cette preuve. Il ne s’agit pas d’une propriété établie par le seul dessin.

Lecture de la figure. Une droite horizontale représente le niveau demandé. Les images des deux bornes se situent de part et d’autre de ce niveau. La continuité assure au moins une rencontre ; les éventuelles autres intersections ne sont pas exclues. L’abscisse d’une intersection est une solution, son ordonnée est le niveau \(k\).

2. Tester les hypothèses et les limites de la conclusion

Lecture de la figure. À gauche, les deux bornes sont au-dessus de l’axe, mais la courbe le coupe deux fois entre elles. À droite, la courbe touche l’axe en \(0\) sans passer sous celui-ci. Ces deux exemples empêchent de transformer un critère suffisant de zéro en équivalence.

Réparer — Mettre le niveau entre les abscisses

Pour \(f(x)=x^2\) sur \([2;3]\), la condition pertinente est \(4\le k\le9\), et non \(2\le k\le3\). Par exemple \(k=6\) est un niveau intermédiaire ; l’antécédent \(\sqrt6\) est entre \(2\) et \(3\). Nouvel essai : pour \(f(x)=2x+5\) sur \([0;1]\), le niveau \(6\) est entre \(f(0)=5\) et \(f(1)=7\). L’équation \(2x+5=6\) donne \(2x=1\), donc \(x=1/2\). Le niveau est \(6\), l’abscisse est \(1/2\) : les deux rôles restent distincts dans la preuve générale.

À reprendre plus tard, avant de relire

Prouver que \(p(x)=x^3-x\) prend la valeur \(2\) sur \([1;2]\). Le TVI donne-t-il à lui seul le nombre exact de solutions ? Correction : \(p\) est un polynôme, donc continue sur \([1;2]\). \(p(1)=1-1=0\) et \(p(2)=8-2=6\), d’où \(p(1)<2<p(2)\). Le TVI fournit au moins un antécédent dans \(]1;2[\), aucune borne n’ayant l’image \(2\). Pour compter exactement, il faudrait un argument supplémentaire, par exemple une variation stricte sur le domaine de recherche.

Je sais faire seul si… j’encadre des images par des images, je vérifie la continuité sur un intervalle entier et je distingue existence démontrée, valeur approchée, formule exacte et unicité.

10. D — Comprendre la preuve du TVI par dichotomie

Parcours approfondi. Cette démonstration explique pourquoi un niveau intermédiaire est atteint. Elle figure parmi les approfondissements possibles du programme : sa présence ici ne la rend pas obligatoirement exigible. Objectif : reconstruire une preuve, sans supposer déjà le théorème que l’on cherche à établir.

Avant de poursuivre. Si \(a_n\to A\), \(b_n\to B\) et \(b_n-a_n\to0\), que vaut \(B-A\) ? Réponse : la règle de différence donne \(b_n-a_n\to B-A\) ; l’unicité de la limite impose \(B-A=0\), donc \(A=B\). En cas de difficulté, sépare bien les limites des deux suites avant d’utiliser leur différence. C’est le geste décisif ci-dessous.

Idée de la preuve — Fabriquer une abscisse, puis son image

On coupe le segment en deux et on conserve des signes opposés aux bornes. Si aucun milieu ne donne exactement le niveau cherché, les segments deviennent de plus en plus courts. Leurs bornes se rapprochent d’une même abscisse \(c\). La continuité empêche alors les images de garder, à la limite, deux positions incompatibles avec le niveau \(k\). À ce stade, on ne dit pas « une racine subsiste dans la moitié conservée grâce au TVI » : ce serait utiliser le TVI dans sa propre preuve. Nous ne savons conserver que des signes ; l’existence sera la conclusion.

Démonstration complète — Trois invariants, deux cas

Lecture de la figure. Illustration sur \([-2,2]\) avec \(f(x)=x^3-3x+2\) et \(k=3\). Le graphe supérieur montre les images : \(f(1)=0<3<4=f(2)\). Sous l’axe sont dessinés trois segments d’abscisses : \([-2,2]\), puis \([0,2]\), puis \([1,2]\). Le niveau \(k\) reste une hauteur du graphe ; il n’est pas une borne de ces segments. La courbe n’est pas monotone. Le dessin illustre les invariants, sans prouver l’existence à lui seul ni l’unicité.

Variation — Orientation inverse et zéro exact

Si les signes sont \(g(a)>0>g(b)\), on applique la construction à \(-g\) ; on ne remplace pas \(a<b\) par \(b<a\). Par exemple \(g(x)=2-x\) sur \([1,3]\) a ces signes. Son milieu \(2\) donne \(g(2)=0\) : la preuve s’arrête immédiatement avec \(c=2\). Il n’y a aucune nécessité de continuer des suites artificielles. Si l’on choisissait plutôt des segments dégénérés \([2,2]\) après cet arrêt, leur largeur serait \(0\), et non \((3-1)/2^n\) : la formule de largeur du cas sans arrêt ne s’y transporterait pas.

Réparer — Le niveau n'est pas une abscisse

Erreur annoncée : « \(a_n\le k\le b_n\), donc à la limite \(c=k\) ». La première ligne mélange une entrée et le niveau de sortie. Rappel : \(f(a_n)\le k\le f(b_n)\) porte sur des images, dans l’orientation choisie. Exemple simple corrigé : \(f(x)=10x\) sur \([0,1]\), \(k=5\). On a \(0=f(0)<5<f(1)=10\), alors que \(5\notin[0,1]\). La solution est l’abscisse \(c=1/2\), car \(f(1/2)=5\), pas \(c=5\).

Nouvel essai. Pour \(f(x)=100+x\) sur \([0,2]\), \(k=101\), écrire les deux lignes correctes et trouver \(c\). Correction : abscisses \(0\le c\le2\) ; images \(100=f(0)<101<f(2)=102\). Soustraire \(100\) aux deux membres de \(100+c=101\) donne \(c=1\), et \(f(1)=101\) contrôle la réponse. Retour à la preuve : \(a_n,b_n\to c\), tandis que \(f(a_n),f(b_n)\to f(c)=k\). Rien ne dit \(c=f(c)\), qui serait une équation de point fixe différente.

À reprendre plus tard, avant de relire

À une prochaine séance, reconstruire les trois invariants et les deux dernières étapes sans relire, pour une fonction continue \(h\) sur \([2,5]\) avec \(h(2)=-3\), \(h(5)=4\), sans zéro exact rencontré. Aide : séparer ce qui se passe sur l’axe des abscisses et sur l’axe des images. Correction : les segments emboîtés donnent \(2\le a_n\le a_{n+1}\le b_{n+1}\le b_n\le5\) ; les images gardent \(h(a_n)<0<h(b_n)\) ; les largeurs valent \(3/2^n\). Les deux suites convergent par monotonie et bornes, leur différence tend vers \(0\), donc elles ont une même limite \(c\in[2,5]\). Par continuité séquentielle, leurs images tendent toutes deux vers \(h(c)\). L’ordre donne \(h(c)\le0\) et \(h(c)\ge0\), donc \(h(c)=0\). Les images initiales non nulles imposent \(c\in]2,5[\). Aucune unicité n’a été établie.

Je sais faire seul si… je traite les zéros exacts avant le cas infini ; je construis les deux branches avec les anciennes bornes ; je distingue abscisses, images et largeur ; j’obtiens d’abord deux convergences, puis une limite commune ; j’utilise la continuité seulement pour les images ; je conclus \(f(c)=k\) sans invoquer le TVI au milieu de sa propre preuve.

11. D — Existence et unicité : deux arguments différents

Avant de poursuivre. Le TVI dit : fonction continue sur \([a;b]\), niveau \(k\) entre \(f(a)\) et \(f(b)\), donc au moins un antécédent dans le segment. Une stricte croissance signifie \(x<y\Rightarrow f(x)<f(y)\) ; une croissance large autorise l’égalité. Essai corrigé : la constante \(f=2\) est croissante au sens large, mais le niveau \(2\) possède une infinité d’antécédents et le niveau \(3\) aucun.

Deux phrases à départager. « Une équation a au plus une solution » garantit-il qu’elle a une solution ? « Une équation a au moins une solution » exclut-il qu’elle en ait deux ? Répondre avant de poursuivre et donner les nombres de solutions encore possibles. Vérification : « au plus une » autorise zéro ou une solution ; « au moins une » autorise une, deux ou davantage. Pour conclure exactement une, il faut réunir les deux informations. Si ces mots ont été confondus, reprendre la constante du repère : le niveau \(3\) n’est jamais atteint, tandis que le niveau \(2\) possède plusieurs antécédents. Dans la preuve qui suit, affecte une question différente à chaque hypothèse : existence, puis unicité.

Une rédaction complète, puis une rédaction courte

Le résultat d’existence et d’unicité est souvent appelé corollaire du TVI, ou théorème de la bijection sur un intervalle. Le mot « bijection » exprime ici que chaque valeur de l’image a exactement un antécédent ; il n’est pas nécessaire d’étudier une fonction réciproque générale.

Pour le polynôme \(p(x)=x^3+x-1\), la rédaction développée a séparé chaque hypothèse. Une fois ces gestes compris, une rédaction courte correcte est : « \(p\) est continue et strictement croissante sur \(\mathbb{R}\). Comme \(p(0)<0<p(1)\), le corollaire du TVI assure un unique réel \(\alpha\in]0;1[\) tel que \(p(\alpha)=0\). La stricte croissance sur tout \(\mathbb{R}\) exclut tout autre zéro réel. » Une rédaction courte conserve les hypothèses et la portée ; elle ne se réduit pas à « TVI, donc unique ».

Lecture de la figure. Le niveau horizontal \(1\) rencontre la branche décroissante à la borne \(-2\) et la branche croissante en \(2/3\). Le point anguleux en \(0\) est continu et ne bloque pas le TVI. Une monotonie par branche ne devient pas une monotonie sur leur réunion.

Deux hypothèses, deux frontières

Une fonction croissante avec palier, par exemple la constante \(0\) sur \([0;1]\), ne donne pas l’unicité du niveau \(0\). À l’inverse, \[j(x)=\begin{cases}x&x<0,\\x+1&x\ge0\end{cases}\] est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\) : dans chaque morceau c’est vrai, et si \(x<0\le y\), \(j(x)<0<1\le j(y)\). Pourtant le niveau \(1/2\) n’est jamais pris. Malgré \(j(-1)<1/2<j(1)\), le saut interdit le TVI. Une fonction peut donc assurer « au plus une » sans existence ; la cubique à trois zéros assurait une existence sans unicité.

Réparer — Écrire « unique » dès que le TVI s'applique

Erreur : une existence est promue en unicité. Cas simple : \(x^2=1\) sur \([-2;2]\) possède deux solutions. Nouvel essai : \(x(x-1)(x+1)=0\) sur \([-2;2]\). Correction : les trois facteurs donnent \(-1,0,1\) ; une continuité ne les fusionne pas. Retour à \(p\) : c’est \(p'>0\) sur \(\mathbb{R}\), ajouté au TVI, qui élimine la deuxième racine possible.

À reprendre plus tard, avant de relire

Montrer que \(x+e^x=0\) admet une unique solution dans \(]-1;0[\). Correction : somme continue, dérivée \(1+e^x>0\) sur \(\mathbb{R}\) ; en \(-1\), \(-1+e^{-1}<0\) car \(0<e^{-1}<1\), en \(0\) la valeur vaut \(1>0\). TVI pour existence, croissance pour unicité globale.

Je sais faire seul si… je rédige deux arguments séparés, calcule les signes de la bonne dérivée sur le bon intervalle et ne confonds pas localisation et domaine d’unicité.

12. D — Images d'intervalles et nombre de solutions

Avant de poursuivre. Le TVI donne un antécédent d’un niveau entre les images de deux points intérieurs ; la stricte monotonie donne au plus un. Une limite à une borne exclue n’est pas une valeur au point. Essai corrigé : sur \([0;+\infty[\), \(x/(1+x)=1-1/(1+x)<1\) et tend vers \(1\) ; on n’a jamais une image égale à \(1\).

Un essai sur les crochets. Pour \(p(x)=x+1\) avec \(0\le x<2\), quelles valeurs prennent les images ? Le niveau \(3\) est-il atteint ? Justifier autrement qu’en recopiant les crochets. Vérification : ajouter \(1\) donne \(1\le p(x)<3\). Réciproquement, pour \(1\le y<3\), poser \(x=y-1\) donne \(0\le x<2\) et \(p(x)=y\) : l’image est \([1;3[\). Le niveau \(3\) exigerait \(x=2\), exclu. Si tu as inclus \(3\), résous cette dernière équation ; si tu as seulement obtenu une inclusion, vérifie aussi que chaque niveau annoncé possède un antécédent. Ces deux contrôles seront conservés pour les fonctions moins simples.

Passer d'une limite à un vrai segment de TVI

Une borne infinie n’est pas un point où évaluer la fonction. Supposons, par exemple, \(f\) continue et strictement croissante sur \(]a;+\infty[\), avec \(\lim_{x\to a^+}f(x)=L\) réel et \(\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\). Pour un niveau \(k>L\), la première limite fournit un point \(r>a\) dont l’image est \(<k\). La seconde permet de choisir \(s>r\) dont l’image est \(>k\). Le TVI s’applique alors au segment réel \([r;s]\). Il donne une solution, et la stricte croissance lui donne l’unicité sur l’intervalle initial.

Le niveau limite \(L\) n’est pas atteint : pour tout \(x>a\), on peut choisir \(y\in]a;x[\), et la stricte croissance donne \(L\le f(y)<f(x)\). Ainsi \(f(x)>L\). Cet argument explique un crochet ouvert ; il ne suffit pas de dire « le point \(a\) est exclu », car sans monotonie un niveau limite pourrait être atteint ailleurs.

Lecture de la figure. Le point plein \((0;0)\) est pris. La ligne horizontale pointillée \(y=1\) est une limite de la courbe \(x/(1+x)\), pas une valeur atteinte : chaque fraction reste strictement inférieure à \(1\). On peut viser tout niveau entre \(0\) et \(1\), mais pas \(1\).

Les trois intervalles monotones ont pour images \(]-\infty;2]\), \([-2;2]\) et \([-2;+\infty[\). Chaque niveau intérieur donne une solution par branche. Mais un extremum commun à deux branches n’est qu’un seul réel : \[\begin{array}{c|ccccc}m&m<-2&m=-2&-2<m<2&m=2&m>2\\\hline \text{solutions réelles distinctes}&1&2&3&2&1\end{array}\] En \(m=2\), \(x^3-3x-2=(x-2)(x+1)^2\), donc les réels distincts sont \(-1\) et \(2\). Le facteur carré donne une multiplicité algébrique, pas deux abscisses \(-1\) différentes. En \(m=-2\), \((x+2)(x-1)^2=0\) donne \(-2,1\). Hors des deux seuils, les images des branches justifient exhaustivement le tableau, sans chercher une formule compliquée des racines.

Déplier les cinq cas du paramètre

Si \(m<-2\), seule la branche de gauche, d’image \(]-\infty;2]\), contient ce niveau : une solution. Si \(-2<m<2\), le niveau appartient à l’intérieur des trois images : une solution dans chacune des trois branches, donc trois solutions distinctes. Si \(m>2\), seule la branche de droite le prend : une solution.

Au seuil \(m=-2\), la branche gauche fournit une abscisse \(-2\), tandis que les branches centrale et droite se rejoignent en l’abscisse \(1\), commune aux deux : cela fait deux solutions, pas trois. Au seuil \(m=2\), les branches gauche et centrale partagent l’abscisse \(-1\), et la branche droite fournit \(2\) : encore deux solutions. L’exhaustivité vient de la réunion des trois intervalles, qui couvre tout \(\mathbb{R}\), et des images calculées sur chacun d’eux.

Réparer — Inclure une borne parce que la limite existe

Erreur : écrire \([0;1]\) pour l’image de \(x/(1+x)\). Cas simple : \(f(x)=x\) sur \([0;1[\) n’atteint pas \(1\). Nouvel essai : image de \(2-x\) sur \(]0;1]\) ? Correction : décroissante, valeur \(1\) au bord droit inclus, limite \(2\) à gauche exclue ; image \([1;2[\). Retour à la fraction : le niveau limite \(1\) ne se transforme pas en image et l’infini n’est pas un point à ajouter.

À reprendre plus tard, avant de relire

Compter les solutions de \(x^3-3x=-2\), puis expliquer pourquoi le compte n’est pas \(3\). Correction : \((x+2)(x-1)^2=0\) donne \(-2\) et \(1\). La jonction \(x=1\) est partagée par deux intervalles monotones, mais se compte une fois seulement ; deux réels distincts.

Je sais faire seul si… je remets les bornes d’image dans l’ordre, justifie chaque crochet et distingue nombre d’abscisses, nombre de branches et multiplicité.

13. D — Une fonction auxiliaire pour étudier les niveaux

Avant de poursuivre. Pour \(u/v\), \((u/v)'=(u'v-uv')/v^2\) quand \(v\ne0\) ; \((e^x)'=e^x>0\). Le signe d’une dérivée donne la variation, pas automatiquement le nombre de solutions. Le TVI demande la continuité sur un intervalle entier. Essai corrigé : la dérivée de \(x/(1+x)\) vaut \(((1+x)-x)/(1+x)^2=1/(1+x)^2\) ; ne pas dériver numérateur et dénominateur séparément.

Choisir l’information utile. On sait que \(q'(x)=(2-x)/(1+x^2)\) sur \([0;4]\). Sans calculer \(q\) ni dériver encore, déterminer où \(q\) croît et où elle décroît. Quelle propriété du dénominateur as-tu utilisée ? Vérification : \(1+x^2\ge1>0\), donc le signe de \(q'\) est celui de \(2-x\) : positif avant \(2\), nul en \(2\), négatif après. La fonction \(q\) croît jusqu’à \(2\), puis décroît. Si tu as conclu qu’elle décroît partout parce que \(2-x\) décroît, sépare « signe du numérateur » et « variation du numérateur » : c’est le premier qui commande ici le signe de \(q'\). L’étude suivante apprend à trouver ce signe lorsqu’il est moins immédiat.

Une chaîne de trois questions, à garder séparées

Nous avons dérivé \(H\) pour connaître ses variations, puis utilisé le TVI pour localiser son zéro \(\beta\). Cela donne le signe de \(H\). Le quotient qui exprime \(F'\) a un dénominateur positif, donc ce signe est aussi celui de \(F'\). Enfin, le signe de \(F'\) fournit les variations de \(F\). La chaîne est \[H'\ \longrightarrow\ \text{variations de }H\ \longrightarrow\ \text{signe de }H \ \longrightarrow\ \text{signe de }F'\ \longrightarrow\ \text{variations de }F.\] Le zéro de \(H\) n’est pas un zéro de \(F\) : \(F(\beta)>0\) puisque \(\beta>1\) et son dénominateur est positif. Ici, le TVI appliqué à l’auxiliaire sert à repérer où la variation de la fonction initiale change.

Lecture de la figure. La ligne \(H\) indique un signe, pas une variation. Son zéro \(\beta\) correspond à un zéro de \(F'\). La fonction \(F\) augmente de la valeur \(0\) jusqu’au maximum \(M=\beta-1\), puis diminue vers la limite \(0\), non atteinte sur cette seconde branche. Les flèches relient des valeurs placées à des hauteurs distinctes.

Lecture de la figure. La courbe monte depuis \((0;0)\) puis redescend vers le niveau \(0\) sans le reprendre. Une horizontale entre \(0\) et le maximum donne deux intersections. Le tracé illustre la table démontrée ; la hauteur du maximum est déterminée par \(H(\beta)=0\), pas par une lecture approximative.

Réparer — Une fonction auxiliaire sans retour à la question

Erreur : conclure « \(H\) décroît, donc \(F\) décroît ». La relation réelle est \(\operatorname{sgn}(F')=\operatorname{sgn}(H)\), pas \(F'=H'\). Cas simple : \(H(x)=1-x\) décroît, mais peut être positif et donc donner une fonction \(F\) croissante avant son zéro. Nouvel essai : si \(G'=\frac{2-x}{1+x^2}\) sur \([0;4]\), correction : \(G\) croît jusqu’à \(2\), décroît après, car le dénominateur est positif et le numérateur change de signe en \(2\). Retour à \(F\) : ce sont les signes \(+,-\) de \(H\) qui fournissent les variations de \(F\).

À reprendre plus tard, avant de relire

Pour \(J(x)=x e^{-x}\) sur \([0;+\infty[\), compter les solutions de \(J(x)=k\). Correction : \(J'=1\cdot e^{-x}+x(-e^{-x})=(1-x)e^{-x}\), positif avant \(1\), négatif après. \(J(0)=0\), \(J(1)=e^{-1}\), \(J\to0\) à l’infini (limite antérieure). Il y a zéro solution si \(k<0\) ou \(k>e^{-1}\), une pour \(k=0\) (en \(0\)), une pour \(k=e^{-1}\) (en \(1\)), deux pour \(0<k<e^{-1}\) par continuité et variations.

Je sais faire seul si… je relie la fonction auxiliaire au signe exact de la dérivée, puis retourne aux images et au nombre de solutions sans confondre abscisse critique et hauteur maximale.

14. Encadrer une solution et contrôler la précision

Une calculatrice affiche beaucoup de chiffres ; cela ne dit pas encore lesquels sont justifiés. Nous cherchons ici un intervalle contenant une solution, puis nous traduisons sa largeur en information sur une valeur approchée. Le parcours conseillé est : calculs de signes, dichotomie à la main, preuve de précision, puis programme. Les précautions numériques expliquent ce que le programme peut, et ne peut pas, garantir.

Avant de poursuivre. Un nombre \(\alpha\) appartient à \([2;2{,}2]\). Quelle est la largeur ? Quel est le milieu ? Quelle est la plus grande distance possible entre ce milieu et \(\alpha\) ?

Préparer le problème avant de calculer

Un encadrement \(a\leq\alpha\leq b\) est une information sur des abscisses. Les nombres \(g(a)\) et \(g(b)\) sont des images servant à établir cette information. On ne remplace jamais un encadrement d’images par un encadrement d’abscisses.

Méthode — garder la bonne moitié

On part de \([a_0;b_0]\) avec \(g(a_0)\) et \(g(b_0)\) de signes strictement opposés. Au rang \(n\), les anciennes bornes sont \(a_n,b_n\) ; leur milieu est \[m_n=\frac{a_n+b_n}{2}.\] Si \(g(m_n)=0\), le calcul exact a trouvé une solution et l’on s’arrête. Sinon :

• si \(g(a_n)\) et \(g(m_n)\) sont de signes opposés, on pose \(a_{n+1}=a_n\) et \(b_{n+1}=m_n\) ;

• sinon, ces deux images ont le même signe et \(g(m_n)\) a le signe opposé à \(g(b_n)\) : on pose \(a_{n+1}=m_n\) et \(b_{n+1}=b_n\).

Il faut décider avec les anciennes valeurs, puis modifier une seule borne. La règle ne suppose pas que \(g\) soit croissante : elle convient aussi à une fonction décroissante ou non monotone, pourvu que la continuité et les signes soient établis.

Lecture de la figure. Sur la même droite graduée de 0 à 1, les segments successifs sont emboîtés. Le second resserrement modifie la borne droite, le troisième la borne gauche. Le milieu d’un segment est à égale distance de ses extrémités : cette distance vaut la demi-largeur. Les étiquettes des segments ne sont pas des valeurs de \(g\).

Trois demandes différentes : encadrement, erreur, arrondi

Pour un encadrement d’amplitude au plus \(\varepsilon\), on demande \(b-a\leq\varepsilon\). Pour une valeur approchée de milieu d’erreur au plus \(\varepsilon\), il suffit de \(b-a\leq2\varepsilon\). Le second objectif peut demander une bissection de moins.

Avec une largeur initiale 1 et \(\varepsilon=10^{-3}\), on compare sans logarithme : \(2^9=512<1000<1024=2^{10}\). Une largeur au plus \(10^{-3}\) demande 10 bissections ; une erreur du milieu au plus \(10^{-3}\) en demande 9, car \(1/2^{10}<10^{-3}\). Le nombre est un nombre de bissections, pas le numéro de la dernière ligne du tableau commencé à 0.

Algorithme — de la règle mathématique au programme

Voici la source Python utilisée. Elle évite le produit \(g(a)g(m)\), qui pourrait déborder numériquement, en comparant directement les signes. Les affectations multiples évaluent les membres de droite avant la mise à jour : l’ancienne information n’est pas perdue.

from math import isfinite


def dichotomie(g, a, b, epsilon, maxiter=200):
    """Avant l'appel : prouver la continuite sur [a,b].
    Sortie : (borne_gauche, borne_droite, bissections, etat).
    Les signes flottants ne sont pas des preuves de signes exacts.
    """
    if not all(isfinite(t) for t in (a, b, epsilon)):
        raise ValueError("Entrees non finies")
    if not a < b or epsilon <= 0:
        raise ValueError("Il faut a < b et epsilon > 0")
    if not isinstance(maxiter, int) or maxiter <= 0:
        raise ValueError("maxiter doit etre un entier positif")
    if not isfinite(b - a):
        raise ValueError("Largeur non representable")
    fa, fb = g(a), g(b)
    if not all(isfinite(t) for t in (fa, fb)):
        raise ValueError("Images non finies")
    if fa == 0:
        return a, a, 0, "zero_calcule"
    if fb == 0:
        return b, b, 0, "zero_calcule"
    if (fa < 0) == (fb < 0):
        raise ValueError("Pas de signes opposes aux bornes")
    n = 0
    while b - a > epsilon:
        if n == maxiter:
            return a, b, n, "maxiter"
        m = a + (b - a) / 2
        if m == a or m == b:
            return a, b, n, "stagnation"
        fm = g(m)
        if not isfinite(fm):
            raise ValueError("Image intermediaire non finie")
        n += 1
        if fm == 0:
            return m, m, n, "zero_calcule"
        # Comparer les signes AVANT de modifier une borne.
        if (fa < 0) != (fm < 0):
            b, fb = m, fm
        else:
            a, fa = m, fm
    return a, b, n, "largeur"


if __name__ == "__main__":
    from fractions import Fraction as F

    def g(x):
        return x**3 + x - 1

    a, b, n, etat = dichotomie(g, F(0), F(1), F(1, 1000))
    print(a, b, n, etat)
    print("Milieu :", (a + b) / 2)
    print("Erreur majoree par :", (b - a) / 2)

Le résultat exact du bloc final est \[\left(\frac{349}{512},\frac{699}{1024},10,\text{\texttt{largeur}}\right).\] Fraction représente ici exactement les rationnels et les images polynomiales : les signes sont exacts. Avec des nombres flottants ordinaires, zero_calcule signifie seulement que l’évaluation machine a donné 0 ; un sous-dépassement ou une soustraction arrondie peut produire ce 0 sans zéro mathématique. La sortie largeur n’est un encadrement mathématiquement certifié que si les signes calculés sont fiables et si la continuité a été prouvée. Pour une fonction transcendante près de 0, une précision accrue ou des bornes d’évaluation fiables peuvent être nécessaires.

La procédure ne détecte pas toutes les valeurs interdites et ne vérifie pas la continuité : par exemple, les signes de \(1/x\) en \(-1\) et 1 sont opposés, mais l’intervalle traverse 0, où la fonction n’est pas définie. Ce départ doit être rejeté avant l’appel. Les états maxiter et stagnation annoncent une précision non atteinte, pas une réussite. L’arithmétique flottante peut en effet ne plus représenter de nombre strictement entre deux flottants voisins.

Réparer une première erreur et repartir

Une seconde erreur serait d’affirmer « largeur \(0{,}02\), donc erreur du milieu \(0{,}02\) exactement ». On sait seulement une borne supérieure : l’erreur est au plus \(0{,}01\), et peut être nulle. Pour \([4;4{,}06]\), refais le geste : milieu \(4{,}03\), largeur \(0{,}06\), erreur au plus \(0{,}03\). Ce nouvel essai ramène à la demande initiale \([2;2{,}2]\) : l’erreur maximale y est \(0{,}1\), pas la largeur \(0{,}2\).

À reprendre plus tard, avant de relire

À une prochaine séance, avant de relire : pour \(p(x)=x^2-5\) sur \([2;3]\), justifier l’existence et l’unicité d’une racine, effectuer deux bissections, puis donner une borne d’erreur du milieu. Combien de bissections suffiraient pour une erreur de milieu au plus \(1/64\) ? Enfin, au premier milieu \(5/2\), un programme pose a = 5/2 parce que \(p(5/2)>0\) : repérer et corriger la ligne. Si un arrêt renvoie maxiter, la précision est-elle acquise ? Justifier. Aide locale. \(p\) est un polynôme ; sur \([2;3]\), sa dérivée \(2x\) est positive. Comparer les signes au milieu, puis utiliser une largeur initiale 1.

Je sais faire seul si… je vérifie le domaine et la continuité avant le code ; je distingue anciennes et nouvelles bornes ; je conserve les bons signes ; je donne une largeur, une borne d’erreur et un arrondi avec leurs justifications propres ; je lis la raison d’arrêt sans transformer un arrêt de sécurité en réussite.

15. Newton, Héron et sécante : construire une approximation, vérifier sa portée

Nous voulons résoudre \(g(x)=0\), ou \(f(x)=k\) en posant \(g=f-k\). La dichotomie fournit un encadrement par des signes contrôlés. Newton et la sécante tentent de se rapprocher d’une racine en remplaçant localement une courbe par une droite. Elles peuvent être très efficaces sur un exemple, mais ne gardent pas automatiquement une racine entre deux bornes. Cette unité explique leurs formules, prouve la convergence dans un cas particulier et montre leurs limites, sans utiliser la convexité.

Avant de poursuivre. La droite \(y=4(x-2)+2\) coupe-t-elle l’axe horizontal en \(2\), en \(3/2\) ou en \(-3/2\) ? Quelle valeur de \(y\) faut-il imposer ?

Méthode de Newton — pourquoi une tangente ?

L’idée est de prendre, comme nouvel essai, l’abscisse où cette tangente rencontre l’axe horizontal. Il faut donc résoudre \[0=g'(x_n)(x-x_n)+g(x_n).\] On soustrait \(g(x_n)\) aux deux membres : \[-g(x_n)=g'(x_n)(x-x_n).\] Si \(g'(x_n)\neq0\), diviser les deux membres par ce coefficient donne \[-\frac{g(x_n)}{g'(x_n)}=x-x_n, \qquad x=x_n-\frac{g(x_n)}{g'(x_n)}.\] Nous n’avons pas divisé par \(x\) : aucune condition \(x\neq0\) n’est nécessaire à cette opération. Le diviseur est la pente calculée en \(x_n\).

Lecture de la figure. La courbe pleine est \(y=x^2-2\), pour \(0{,}5\leq x\leq2{,}3\). Le point \(A_0=(2;2)\) fixe la tangente en tirets \(y=4x-6\). On suit cette droite jusqu’à l’axe pour obtenir \(x_1=1{,}5\), puis on remonte à la courbe pour préparer l’étape suivante. La racine positive \(\sqrt2\) n’est pas l’intersection de cette première tangente avec l’axe.

Un cas démontré sans convexité : la méthode de Héron

Pour \(g(x)=x^2-2\) et \(x_n>0\), la formule se transforme en \[x_{n+1}=x_n-\frac{x_n^2-2}{2x_n} =\frac{2x_n^2-(x_n^2-2)}{2x_n} =\frac{x_n^2+2}{2x_n} =\frac12\left(x_n+\frac2{x_n}\right).\] Dans la deuxième égalité, on a mis \(x_n\) au dénominateur \(2x_n\) ; le signe moins s’applique à toute la parenthèse \(x_n^2-2\), d’où \(-x_n^2+2\). La division par \(x_n\) est permise ici parce qu’il est strictement positif. Cette itération est appelée méthode de Héron pour la racine carrée de 2.

Les étapes décisives sont la positivité qui autorise les divisions, l’identité du carré qui donne la borne, puis le signe de la différence qui donne la monotonie. Résoudre seulement \(\ell=H(\ell)\) n’aurait pas suffi. Ce résultat prouve la convergence de cette suite ; il ne devient pas un théorème général de convergence de Newton.

Contre-exemples — pourquoi surveiller Newton ?

Méthode de la sécante — deux derniers points, sans dérivée

On utilise deux abscisses distinctes \(x_{n-1},x_n\) où \(g\) est définie, et les points \(A=(x_{n-1};g(x_{n-1}))\), \(B=(x_n;g(x_n))\). La pente de leur droite vaut \[p_n=\frac{g(x_n)-g(x_{n-1})}{x_n-x_{n-1}}.\] La droite passant par \(B\) a donc pour équation \(y=g(x_n)+p_n(x-x_n)\). Pour trouver son intersection avec l’axe, on impose \(y=0\), puis on soustrait \(g(x_n)\) et divise par \(p_n\), s’il est non nul. Cela donne \[x_{n+1}=x_n-\frac{g(x_n)}{p_n} =x_n-\frac{g(x_n)(x_n-x_{n-1})}{g(x_n)-g(x_{n-1})}.\] La dernière transformation remplace la division par une fraction par la multiplication par son inverse.

Deux abscisses distinctes ne suffisent donc pas : pour \(g(x)=x^2-2\), les abscisses \(-1\) et \(1\) ont la même image \(-1\), donc le dénominateur est nul. Géométriquement, leur sécante est horizontale et ne coupe pas l’axe \(y=0\).

Lecture de la figure. Pour \(g(x)=x^2-2\), la droite en tirets joint \((1;-1)\) et \((2;2)\). Sa pente vaut 3, donc son équation est \(y=3x-4\). Elle coupe l’axe en \(4/3\), nouvel essai situé à gauche de \(\sqrt2\). Pour continuer la méthode à deux derniers itérés, on utilisera les points d’abscisses 2 et \(4/3\), et non une tangente.

Précision — un petit résidu n'est pas une petite erreur

Le résidu d’un essai \(x\) est \(|g(x)|\) ; l’erreur sur la racine \(\alpha\) est \(|x-\alpha|\). Ce ne sont pas les mêmes grandeurs. Pour \[s(x)=10^{-12}(x-1),\qquad \alpha=1,\] l’essai \(x=0\) donne \(|s(0)|=10^{-12}\) mais \(|0-\alpha|=1\). Le graphe est très aplati : les images sont petites même loin de la racine. Ce contre-exemple suffit à réfuter une certification universelle fondée sur le seul résidu.

Un petit pas \(|x_{n+1}-x_n|\) ne garantit pas davantage une petite erreur sans hypothèse supplémentaire : il peut signaler un arrondi machine ou un ralentissement. Pour une réponse certifiée, on peut revenir à un encadrement obtenu séparément, avec continuité et signes fiables. Dans le cas de Héron, nous avons déjà construit \([2/x_n;x_n]\) par une preuve spécifique.

Programmes — rendre la raison d'arrêt visible

Les fonctions rendent l’essai, le nombre de mises à jour et un état. residu signifie seulement que le test numérique sur l’image est satisfait ; ce mot ne signifie pas « erreur certifiée ». Les autres sorties signalent une limite de calcul. Une erreur de domaine, par exemple une racine carrée évaluée en un négatif, doit être traitée par l’analyse de la fonction ou par le programme appelant : elle n’est pas effacée silencieusement.

from math import isfinite


def newton(g, dg, x, tolerance=1e-12, maxiter=30):
    """Un petit residu ne certifie pas l'erreur sur x."""
    if tolerance <= 0 or not isfinite(tolerance):
        raise ValueError("Tolerance strictement positive et finie")
    if not isinstance(maxiter, int) or maxiter <= 0:
        raise ValueError("Nombre maximal d'iterations invalide")
    for n in range(maxiter + 1):
        if not isfinite(x):
            return x, n, "non_fini"
        y = g(x)
        if not isfinite(y):
            return x, n, "non_fini"
        if abs(y) <= tolerance:
            return x, n, "residu"
        if n == maxiter:
            return x, n, "maxiter"
        pente = dg(x)
        if not isfinite(pente):
            return x, n, "non_fini"
        if pente == 0:
            return x, n, "derivee_nulle"
        suivant = x - y / pente
        if suivant == x:
            return x, n, "stagnation"
        x = suivant


def secante(g, precedent, x, tolerance=1e-12, maxiter=30):
    """Deux derniers iteres, sans maintien d'un encadrement."""
    if tolerance <= 0 or not isfinite(tolerance):
        raise ValueError("Tolerance strictement positive et finie")
    if not isinstance(maxiter, int) or maxiter <= 0:
        raise ValueError("Nombre maximal d'iterations invalide")
    if precedent == x:
        raise ValueError("Deux abscisses distinctes sont necessaires")
    for n in range(maxiter + 1):
        if not all(isfinite(t) for t in (precedent, x)):
            return x, n, "non_fini"
        ancien, y = g(precedent), g(x)
        if not all(isfinite(t) for t in (ancien, y)):
            return x, n, "non_fini"
        if abs(y) <= tolerance:
            return x, n, "residu"
        if n == maxiter:
            return x, n, "maxiter"
        denominateur = y - ancien
        if denominateur == 0:
            return x, n, "denominateur_nul"
        suivant = x - y * (x - precedent) / denominateur
        if suivant == x:
            return x, n, "stagnation"
        precedent, x = x, suivant


if __name__ == "__main__":
    print("Heron :", newton(lambda x: x*x - 2, lambda x: 2*x, 2.0))
    print("Secante :", secante(lambda x: x*x - 2, 1.0, 2.0))

maxiter empêche une boucle indéfinie ; pour le cycle 0/1, c’est cet état qui est obtenu. derivee_nulle et denominateur_nul signalent les divisions interdites. stagnation signifie que le nouvel essai calculé est identique à l’ancien, alors que le test de résidu n’a pas été satisfait. Comme pour la dichotomie, une égalité ou un signe calculés en flottants ne deviennent pas automatiquement une égalité ou un signe exacts.

Reprise après erreur — ne pas inverser le mauvais nombre

Autre obstacle à réparer : conclure « \(\ell^2=2\), donc la suite converge ». La première erreur est le passage d’une condition si elle converge à une preuve qu’elle converge. Rappel simple : \((-1)^n\) ne converge pas bien que ses termes satisfassent \(x^2=1\). Nouvel essai : la suite 0,1,0,1 a-t-elle une limite alors qu’elle possède deux valeurs bornées ? Non : ses termes pairs restent 0 et ses termes impairs restent 1. Retour à Héron : c’est la décroissance et la minoration démontrées qui donnent la convergence ; l’équation sert ensuite à nommer sa limite.

À reprendre plus tard, avant de relire

À une séance ultérieure, avant de relire : 1. retrouver l’étape de Newton pour \(q(x)=x^3-2x+2\) depuis 1, puis l’étape suivante ; expliquer pourquoi ce n’est pas une convergence. 2. Pour \(g(x)=x^2-2\), comparer la troisième nouvelle abscisse de la sécante à deux derniers points et celle de la corde à borne fixe 2, sachant que les deux derniers essais communs sont \(4/3\) puis \(7/5\). 3. Donner un contrôle certifié de \(\sqrt2\) à partir de l’essai de Héron \(17/12\). Aides locales. \(q'(x)=3x^2-2\). Dans la sécante, conserver \(4/3\) comme point précédent ; dans la corde fixe, conserver 2. Pour Héron, utiliser \(2/x\leq\sqrt2\leq x\) quand \(x\geq\sqrt2\).

Je sais faire seul si… je reconstruis la formule depuis une droite ; j’identifie le vrai dénominateur ; je distingue une preuve particulière de convergence, une observation numérique et un encadrement certifié ; je détecte le cycle et le résidu trompeur ; je ne confonds pas sécante à deux derniers points et corde à borne fixe.

16. Pour approfondir — Points fixes et contraintes de continuité

Objectifs. Déduire des résultats nouveaux du TVI ; distinguer existence d’un point fixe et convergence d’itérées ; comprendre pourquoi une fonction additive continue est de la forme \(x\mapsto cx\). Ces approfondissements ne sont pas des prérequis cachés des méthodes précédentes. Les fonctions additives continues sont un approfondissement possible du programme ; les autres corollaires sont des applications accessibles du TVI.

Avant de poursuivre. Résoudre \(t=(t+2)/4\). Multiplier les deux membres par \(4\) donne \(4t=t+2\) ; soustraire \(t\) donne \(3t=2\) ; diviser par le coefficient non nul \(3\) donne \(t=2/3\). Ce nombre est une entrée égale à sa propre image. Si la notion de point fixe est confuse, reprendre cette substitution avant le premier corollaire. Pour l’additivité, le repérage local sera repris au début de la dernière partie.

1. Trouver un point fixe sur un segment stable

Trois questions différentes — Existe-t-il ? Est-il unique ? Est-il atteint par itération ?

Contre-exemples expliqués. Sur \([0,1]\), \(f(x)=x\) est continue et stable, mais tous les points sont fixes : le corollaire ne donne pas l’unicité. Sur le même segment, \(f(x)=1-x\) est continue et stable. L’équation \(1-c=c\) donne \(1=2c\), donc l’unique point fixe est \(1/2\). Pourtant, pour \(u_0=0\), \(u_{n+1}=f(u_n)\) donne \(u_1=1\), \(u_2=0\), puis \(u_{2n}=0\) et \(u_{2n+1}=1\) par répétition des deux calculs. Les deux sous-suites ont des limites différentes, donc la suite ne converge pas. Un point fixe unique n’attire pas nécessairement les itérations.

Pourquoi le segment et la continuité comptent-ils ?

• Sur \(\mathbb{R}\), la fonction continue \(f(x)=x+1\) a toutes ses images dans \(\mathbb{R}\), mais \(c+1=c\) entraînerait \(1=0\), impossible. La stabilité de \(\mathbb{R}\) ne remplace pas celle d’un segment fermé borné.

• Sur \(]0,1[\), \(f(x)=(x+1)/2\) vérifie \(1/2<f(x)<1\), donc l’intervalle est stable. Mais \(2c=c+1\) donne seulement \(c=1\), qui est exclu. On ne réintègre pas cette borne par convenance.

• Sur \([0,1]\), définissons \(f(x)=1\) pour \(0\le x<1\) et \(f(1)=0\). Les images restent dans le segment. Pour \(x<1\), \(f(x)=1\ne x\) ; pour \(x=1\), \(f(1)=0\ne1\). Aucun point fixe. La continuité manque précisément en \(1\) : la limite à gauche vaut \(1\), pas \(f(1)=0\).

Réparer — Une équation ne fabrique pas la convergence

Erreur : « Je trouve \(c=1/2\), donc \(u_n\to1/2\) ». Le calcul a donné une condition sur une limite éventuelle, pas la convergence. Rappel : pour passer de \(u_{n+1}=f(u_n)\) à \(\ell=f(\ell)\), il faut d’abord une convergence vers un réel du domaine où \(f\) est continue. Exemple simple corrigé : une suite constante égale à \(1/2\) converge parce que tous ses termes sont égaux, non parce que l’équation de point fixe a une solution.

Nouvel essai. Pour \(u_0=1/4\), \(u_{n+1}=1-u_n\), calculer les trois termes suivants et décider la convergence. Correction : \(u_1=3/4\), \(u_2=1/4\), \(u_3=3/4\). La relation reproduit le motif de période deux : \(u_{2n}=1/4\), \(u_{2n+1}=3/4\) par récurrence. Les deux sous-suites constantes ont des limites différentes ; la suite ne converge pas. Retour à l’erreur : le point fixe reste \(1/2\), sans être la limite de cette suite.

2. Quand la continuité interdit un saut entre valeurs

Réparer — Le mot « intervalle » ne disparaît pas

Erreur : « \(s\) est continue et non nulle sur \(D\), donc son signe est constant ». La première utilisation erronée est le corollaire appliqué à \(D\), qui est troué en \(0\). Rappel : un intervalle contient tout le segment entre deux de ses points. Exemple plus simple corrigé : \(\{-1,1\}\) n’est pas un intervalle, car \(0\) est entre ses deux points et n’en fait pas partie.

Nouvel essai. Quelle conclusion est vraie pour \(s\) sur \([1,2]\) ? Et sur \([-2,-1]\) ? Correction : ces deux ensembles sont des intervalles inclus dans \(D\). Sur le premier, \(s(1)=1\) et le signe constant est positif ; en fait \(s\) y vaut \(1\). Sur le second, \(s(-1)=-1\) et le signe constant est négatif ; elle y vaut \(-1\). Retour à \(D\) : la validité sur chacun des morceaux ne fabrique pas une conclusion identique sur leur réunion.

3. Fonctions additives continues — Des rationnels à tous les réels

Avant de poursuivre. La propriété \(f(x+y)=f(x)+f(y)\) impose-t-elle \(f(0)=0\) ? Oui : prendre \(x=y=0\) donne \(f(0)=2f(0)\), puis soustraire \(f(0)\) aux deux membres donne \(0=f(0)\). En revanche \(f(x)=x+1\) n’est pas additive, même si elle est continue : son image de \(0\) vaut \(1\). Si le choix de \(x,y\) bloque, partir de l’égalité pour tous les couples permet de remplacer ces variables par les valeurs utiles.

Idée — Fixer les images rationnelles, puis combler les limites

Additionner plusieurs fois la même entrée contrôle les multiples entiers ; partager une unité contrôle les rationnels. Pour un réel non rationnel, on approche l’entrée par des rationnels. La continuité est précisément l’outil qui permet de passer de leurs images connues à l’image cherchée. Ce passage utilise la continuité d’une image de suite, pas un théorème de point fixe.

Réparer — Plusieurs égalités n'abolissent pas les quantificateurs

Erreur : « \(f(2)=2f(1)\), donc \(f(x)=xf(1)\) pour tout réel \(x\) ». La première égalité ne traite qu’une entrée. Rappel : une propriété sur tous les réels demande une justification qui couvre chaque réel. Exemple simple corrigé : \(q(x)=x^2\) vérifie \(q(0+0)=q(0)+q(0)=0\), mais échoue au couple \((1,1)\) puisque \(4\ne2\). Un couple favorable ne prouve pas l’additivité.

Nouvel essai. Tester \(L(x)=3x+2\) au couple \((0,0)\) ; puis tester \(M(x)=3x\) sur un couple arbitraire \((x,y)\). Correction : \(L(0+0)=2\), tandis que \(L(0)+L(0)=4\) : elle n’est pas additive. Pour \(M\), \(M(x+y)=3(x+y)=3x+3y=M(x)+M(y)\) pour tous les couples, et la fonction linéaire est continue. Retour à l’erreur : dans la preuve complète, les entiers puis les rationnels ont chacun leur justification ; la continuité ferme le passage à un réel quelconque. Elle ne peut être remplacée par quelques tests.

À reprendre plus tard, avant de relire

À une autre séance, avant de relire, traiter les trois demandes suivantes.

1. \(F:[0,1]\to[0,1]\) est continue : donner une preuve d’existence d’un point fixe et dire ce qui reste inconnu sur l’itération.

2. \(v\) est continue sur un intervalle non vide et \(v(x)^2=v(x)\) : déterminer les possibilités.

3. \(A\) est continue et additive sur \(\mathbb{R}\), \(A(1/2)=3\) : calculer \(A(\sqrt3)\) et justifier le passage aux réels.

Aides à consulter après une tentative. Pour (a), comparer une image à son abscisse ; pour (b), regrouper tous les termes d’un même côté ; pour (c), déterminer le coefficient sur les rationnels avant de passer à une entrée irrationnelle.

Je sais faire seul si… pour un point fixe, je construis \(f(x)-x\), vérifie continuité et signes aux bornes, et ne promets pas la convergence ; pour une contrainte sur les valeurs, je vérifie que le domaine est un intervalle et construis un niveau intermédiaire interdit ; pour l’additivité, j’utilise tous les couples nécessaires, traite zéro/opposés/entiers/rationnels, justifie l’approximation rationnelle et les deux limites, puis vérifie la réciproque.

17. Entraînement autonome — Choisir une méthode et la défendre

Les dix problèmes suivants font changer de représentation, de domaine ou de stratégie. Leur titre ne donne pas toujours la méthode à employer. Commence par une tentative écrite : la première information à chercher compte autant que le calcul final. Les indices sont regroupés après les énoncés ; les corrections viennent ensuite. Tu peux donc travailler sans avoir la réponse sous les yeux.

Énoncés — Une production personnelle avant les indices

Problème 1 — Trois segments et deux points particuliers

La figure définit exactement une fonction \(f\) sur \([-3;4]\) : les morceaux tracés sont des segments de droite et les coordonnées des points marqués sont exactes. Un point plein appartient à la courbe ; un point vide n’y appartient pas.