Continuité d’une fonction

Terminale spécialité mathématiques — Cours en classe

Objectifs. Relier une limite à une valeur ; utiliser la continuité dans les suites ; établir l’existence et l’unicité d’une solution ; l’encadrer.

1. Continuité : définitions et propriétés

1.1. Limite, valeur et continuité

La continuité demande que la limite des images rejoigne la valeur de la fonction au point.

Définitions — En un point, puis sur un intervalle

Soit \(f\) définie sur un intervalle \(I\) et soit \(a\in I\). La fonction \(f\) est continue en \(a\) lorsque \[\lim_{\substack{x\to a\\x\in I}}f(x)=f(a).\] Elle est continue sur \(I\) si elle est continue en chaque point de \(I\). À une extrémité incluse, on considère seulement le côté appartenant à l’intervalle.

Exemple 1 — Une limite ne fixe pas la valeur.

La fonction \(f(x)=x+1\) est continue en \(1\), car sa limite vaut \(2=f(1)\). En revanche, si \(g(x)=x+1\) pour \(x\ne1\) et \(g(1)=5\), alors \(\lim_{x\to1}g(x)=2\ne5=g(1)\) : \(g\) n’est pas continue en \(1\). Une valeur isolée peut changer la continuité sans changer la limite.

Propriété — Critère des limites latérales

Si \(a\) est intérieur à \(I\), alors \(f\) est continue en \(a\) si et seulement si \[\lim_{x\to a^-}f(x)=f(a)=\lim_{x\to a^+}f(x).\] Les deux limites doivent exister, être finies et être égales à la valeur au point.

Justification. Une limite bilatérale égale à \(f(a)\) impose les mêmes limites latérales. Réciproquement, les proximités suffisantes à gauche et à droite peuvent être réunies en prenant la plus petite : tous les voisins approchent alors \(f(a)\).

Un point plein donne une valeur ; un point vide exclut le point correspondant. À droite, \(s(x)=-1\) si \(x<0\) et \(s(x)=1\) si \(x\ge0\) : les limites \(-1\) et \(1\) diffèrent. Aucune modification de \(s(0)\) ne supprime ce saut.

Vigilance. Un graphique aide à comprendre ou conjecturer ; il ne prouve pas à lui seul la continuité. Si \(a\notin D_f\), la valeur \(f(a)\) n’existe pas : on ne teste pas une égalité avec cette valeur.

1.2. Fonctions usuelles et opérations

Propriété — Fonctions de référence

Les fonctions polynomiales, valeur absolue, exponentielle, sinus et cosinus sont continues sur \(\mathbb{R}\). La racine carrée est continue sur \([0;+\infty[\) ; la fonction inverse est continue sur chacun des intervalles \(]-\infty;0[\) et \(]0;+\infty[\).

Ces propriétés sont admises ici comme résultats de référence des chapitres antérieurs. Elles fournissent les continuités utilisées dans les méthodes de ce chapitre.

Exemple 2 — Une extrémité incluse et une valeur interdite.

Pour \(r(x)=\sqrt{x}\), seule l’approche à droite intervient en \(0\) : \[\lim_{x\to0^+}\sqrt{x}=0=r(0).\] La fonction est donc continue en \(0\) sur son domaine. À l’inverse, \(1/x\) n’est pas définie en \(0\) : elle ne peut pas être continue sur le segment \([-1;1]\), même si elle est continue sur chacun des deux demi-axes.

Propriété — Opérations et composition

Si \(u\) et \(v\) sont continues en \(a\), alors \(u+v\), \(u-v\), \(\lambda u\) et \(uv\) le sont aussi, pour tout réel \(\lambda\). Le quotient \(u/v\) est continu en \(a\) si \(v(a)\ne0\).

Si \(u\) est continue en \(a\), \(v\) continue en \(u(a)\), et si les valeurs \(u(x)\) considérées appartiennent au domaine de \(v\), alors \(v\circ u\) est continue en \(a\).

Justification par les limites usuelles. Par exemple, \[\lim_{x\to a}(u(x)+v(x))=u(a)+v(a)=(u+v)(a).\] Le même raisonnement utilise les règles de produit, de quotient à dénominateur non nul et de composition. Les domaines restent une condition de ces règles.

Exemple 3 — Identifier l'opération et son domaine.

\(A(x)=e^x+\sin x\) est une somme de fonctions continues sur \(\mathbb{R}\). Pour \(B(x)=\sin(\sqrt{x-1})\), la racine impose \(x\ge1\). La succession \(x\mapsto x-1\mapsto\sqrt{x-1}\mapsto\sin(\sqrt{x-1})\) donne la continuité sur \([1;+\infty[\), y compris à droite en \(1\).

Enfin, pour \(q(x)=\cos x/(2+\sin x)\), l’encadrement \(1\le2+\sin x\le3\) exclut un dénominateur nul ; le quotient est continu sur \(\mathbb{R}\).

Vigilance. La continuité d’une fonction usuelle ne supprime aucune valeur interdite de l’expression composée. On fixe le domaine avant d’utiliser la règle.

1.3. Lire un raccordement

Une fonction définie par morceaux peut être continue sur chaque morceau ouvert et présenter un saut à leur jonction. Le raccordement permet d’appliquer concrètement la définition.

Méthode — Vérifier un raccord en \(a\)

Lire la ligne qui définit \(f(a)\), puis calculer séparément les limites à gauche et à droite. Imposer l’égalité des trois quantités. Vérifier ensuite le paramètre obtenu et conclure aussi sur les autres points du domaine.

Exemple 4 — Choisir un paramètre pour raccorder deux morceaux.

Pour \(a\in\mathbb{R}\), on définit \[f(x)=\begin{cases}x^2&\text{si }x<1,\\ax-1&\text{si }x\ge1.\end{cases}\] Les expressions sont polynomiales sur les deux morceaux. Au seul raccord \(1\), \[\lim_{x\to1^-}f(x)=1,\qquad f(1)=a-1,\qquad \lim_{x\to1^+}f(x)=a-1.\] La continuité en \(1\) équivaut à \(a-1=1\), donc à \(a=2\). Réciproquement, pour \(a=2\), les trois quantités valent \(1\) : \(f\) est continue sur \(\mathbb{R}\).

Vigilance. Une condition sur les hauteurs ne se remplace pas par une condition sur les pentes. Il n’est pas nécessaire de dériver pour effectuer ce raccordement.

2. Continuité et dérivabilité

2.1. Dérivable implique continue

Définition rappelée — Nombre dérivé

Pour un point intérieur \(a\) du domaine, \(f\) est dérivable en \(a\) lorsque le taux de variation admet une limite réelle finie : \[f'(a)=\lim_{\substack{h\to0\\h\ne0}}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.\]

Théorème — Dérivabilité et continuité

Si \(f\) est dérivable en \(a\), alors elle est continue en \(a\). Par conséquent, une fonction dérivable sur un intervalle ouvert y est continue.

Démonstration.

Pour \(h\ne0\), on écrit \[f(a+h)-f(a)=h\,\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.\] Lorsque \(h\to0\), le premier facteur tend vers \(0\) et le second vers le réel \(f'(a)\). Le produit tend donc vers \(0\). Ainsi \(f(a+h)\to f(a)\) : \(f\) est continue en \(a\).

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Le caractère fini du nombre dérivé permet ce produit de limites. Aucune division par \(0\) n’est effectuée.

Exemple 5 — Une fonction continue qui n'est pas dérivable.

La fonction \(f(x)=|x|\) est continue en \(0\), car \(|x|\to0=f(0)\). Cependant, \[\frac{f(h)-f(0)}h=\frac{|h|}h =\begin{cases}-1&h<0,\\1&h>0.\end{cases}\] Les deux limites latérales du taux diffèrent : \(f\) n’est pas dérivable en \(0\). La réciproque du théorème est donc fausse.

À gauche, \(|x|\) a deux pentes latérales différentes. À droite, pour \(\sqrt{x}\), les sécantes issues de l’origine se rapprochent d’une verticale. Dans les deux cas, la valeur est rejointe : la continuité demeure.

Exemple 6 — Continuité au bord, sans dérivée finie.

Pour \(r(x)=\sqrt{x}\) et \(h>0\), le taux de variation est \(\dfrac{r(h)-r(0)}h=\dfrac1{\sqrt h}\longrightarrow+\infty\). La fonction est continue à droite en \(0\), mais n’y a pas de nombre dérivé réel fini.

Vigilance. Dérivable à l’intérieur ne règle pas les valeurs aux bords. Si \(f(0)=10\) et \(f(x)=x\) pour \(0<x\le1\), alors \(f\) est dérivable sur \(]0;1[\), mais discontinue en \(0\). La contraposée du théorème est vraie : discontinue en un point intérieur implique non dérivable en ce point.

3. Continuité et suites

3.1. Image d'une suite convergente

La continuité permet de passer de la limite des entrées \(u_n\) à celle des images \(f(u_n)\). Elle ne prouve pas que la suite \((u_n)\) converge.

Théorème — Image d'une suite convergente

Soit \(f\) définie sur un intervalle \(I\). On suppose que :

\(u_n\to\ell\) avec \(\ell\in I\) ;
à partir d’un certain rang, \(u_n\in I\) ;
\(f\) est continue en \(\ell\), relativement à \(I\).

Alors les images sont définies à partir de ce rang et \[\boxed{\lim_{n\to+\infty}f(u_n)=f(\ell).}\] Les termes peuvent être égaux à \(\ell\). Une extrémité incluse de \(I\) est également autorisée.

Démonstration.

Fixons une précision positive autour de \(f(\ell)\). Par continuité en \(\ell\), les images respectent cette précision dès que les entrées de \(I\) sont suffisamment proches de \(\ell\). Or \(u_n\to\ell\) : à partir d’un certain rang, toutes les entrées \(u_n\) sont dans \(I\) et satisfont cette proximité. Leurs images restent donc aussi proches de \(f(\ell)\) que la précision choisie l’exige. Cela vaut pour toute précision positive : \(f(u_n)\to f(\ell)\).

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Méthode — Avant de remplacer un terme par sa limite

Identifier la fonction appliquée aux termes ; vérifier le domaine des termes et de leur limite, puis la continuité en cette limite. Calculer ensuite l’image du point limite.

Exemple 7 — Un quotient et une racine au bord du domaine.

Si \(u_n\to2\), la fonction \(Q(x)=(x+1)/(x^2+1)\) est continue sur \(\mathbb{R}\), car \(x^2+1\ge1\). Ainsi \[\frac{u_n+1}{u_n^2+1}\longrightarrow Q(2)=\frac35.\] Pour \(v_n=2-1/(n+1)\), on a \(1\le v_n<2\) et \(v_n\to2\). La fonction \(f(x)=\sqrt{4-x^2}\) est continue sur \([-2;2]\), y compris en \(2\) du côté accessible. Les termes et leur limite appartiennent à ce domaine, donc \(\sqrt{4-v_n^2}\to f(2)=0\).

Vigilance. Pour \(u_n=1/(n+1)\to0\), les inverses sont définis, mais \(0\) n’appartient pas au domaine de \(x\mapsto1/x\). On ne peut pas remplacer \(u_n\) par \(0\) : ici \(1/u_n=n+1\to+\infty\).

3.2. Étudier une suite définie par récurrence

Pour \(u_{n+1}=f(u_n)\), distinguer la bonne définition des termes, leur convergence et l’identification de la limite.

Définitions — Intervalle stable et point fixe

Un intervalle \(I\) est stable par \(f\) si \(f\) est définie sur \(I\) et \(f(I)\subset I\) : chaque entrée de \(I\) a encore son image dans \(I\).

Un point fixe de \(f\) est un réel \(\ell\) de son domaine tel que \(f(\ell)=\ell\). Il correspond à une intersection de la courbe \(y=f(x)\) avec la droite \(y=x\).

Proposition — Bonne définition par stabilité

Si \(I\) est stable par \(f\) et \(u_0\in I\), alors la relation \(u_{n+1}=f(u_n)\) définit tous les termes et \(u_n\in I\) pour tout \(n\in\mathbb{N}\).

Démonstration.

Le terme \(u_0\) est défini dans \(I\). Si \(u_n\) est défini et appartient à \(I\), la stabilité assure que \(u_{n+1}=f(u_n)\) existe et appartient encore à \(I\). On conclut par récurrence.

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Proposition — Équation d'une limite éventuelle

Si la suite définie par \(u_{n+1}=f(u_n)\) converge vers un réel \(\ell\) du domaine de \(f\), et si \(f\) est continue en \(\ell\), alors \(\boxed{\ell=f(\ell)}\).

Démonstration.

Le décalage d’un rang conserve la limite : \(u_{n+1}\to\ell\). La continuité en \(\ell\) donne \(f(u_n)\to f(\ell)\). Puisque \(u_{n+1}=f(u_n)\), l’unicité de la limite impose \(\ell=f(\ell)\).

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Méthode — Organiser une étude complète

Vérifier le départ et établir un intervalle stable ; en déduire les bornes par récurrence.
Prouver la convergence, par exemple par monotonie et borne : une suite croissante majorée ou décroissante minorée converge.
Vérifier que la limite appartient au domaine de continuité, puis passer à la limite dans la relation.
Résoudre l’équation obtenue et rejeter les candidats incompatibles avec les bornes ou avec l’équation initiale.

On peut chercher des candidats dès le départ en supposant la convergence, mais cette recherche ne dispense pas de la démontrer.

Exemple 8 — Une étude complète : \(u_0=1\) et \(u_{n+1}=\sqrt{2+u_n}\).

1. Définition et bornes. Posons \(f(x)=\sqrt{2+x}\), définie et continue sur \([-2;+\infty[\). Si \(1\le x\le2\), alors \[3\le2+x\le4\quad\Longrightarrow\quad1\le\sqrt3\le f(x)\le2.\] Le segment \([1;2]\) est donc stable. Initialement, \(u_0=1\in[1;2]\) ; si \(u_n\) est défini dans ce segment, l’encadrement précédent assure que \(u_{n+1}\) existe et y appartient. Par récurrence, \(1\le u_n\le2\) pour tout \(n\).

2. Monotonie et convergence. Sur \([1;2]\), \(x\) et \(\sqrt{2+x}\) sont positifs. Comparer leurs carrés conserve donc l’ordre : \[\sqrt{2+x}\ge x \quad\Longleftrightarrow\quad 2+x-x^2=(2-x)(x+1)\ge0.\] La dernière inégalité est vraie sur ce segment. Avec \(x=u_n\), on obtient \(u_{n+1}\ge u_n\). La suite est croissante et majorée par \(2\) : elle converge vers un réel \(\ell\in[1;2]\).

3. Identification. La fonction \(f\) est continue en \(\ell\). On peut maintenant écrire \[\ell=\sqrt{2+\ell} \quad\Longrightarrow\quad \ell^2-\ell-2=0 \quad\Longleftrightarrow\quad (\ell-2)(\ell+1)=0.\] Le candidat \(-1\) est exclu par \(\ell\in[1;2]\) ; de plus il ne vérifie pas l’équation initiale. Le candidat \(2\) la vérifie. Ainsi \(\boxed{u_n\to2}\).

À gauche, les segments verticaux donnent les images et les segments horizontaux vers \(y=x\) les reportent en abscisse. À droite, le procédé fait apparaître un cycle. Un dessin suggère un comportement ; il n’établit pas la convergence.

Vigilance. Sur \([0;1]\), \(f(x)=1-x\) est continue, conserve le segment et a l’unique point fixe \(1/2\). Pourtant, depuis \(u_0=0\), on a \(u_{2n}=0\) et \(u_{2n+1}=1\) : la suite ne converge pas. Une borne et un point fixe ne remplacent pas une preuve de convergence.

4. Continuité et équations

4.1. Le théorème des valeurs intermédiaires

Théorème — Valeurs intermédiaires (TVI)

Soit \(f\) continue sur un segment \([a;b]\), avec \(a<b\). Pour tout réel \(k\) compris entre \(f(a)\) et \(f(b)\), il existe au moins un réel \(c\in[a;b]\) tel que \(f(c)=k\).

Si \(k\) est strictement compris entre les deux images, une telle solution appartient à \(]a;b[\).

Statut : théorème admis dans ce cours. Une courbe continue ne peut pas passer d’une hauteur à une autre en sautant une hauteur intermédiaire. Cette interprétation explique l’énoncé ; elle n’en constitue pas une démonstration.

Corollaire — Existence d'un zéro

Si \(f\) est continue sur \([a;b]\) et \(f(a)f(b)\le0\), alors \(f\) possède au moins un zéro dans \([a;b]\). Si \(f(a)f(b)<0\), au moins un zéro appartient à \(]a;b[\).

Démonstration.

Si une image de borne est nulle, cette borne est une solution. Sinon, les images sont de signes opposés : le niveau \(0\) est strictement compris entre elles. Le TVI donne alors un zéro intérieur.

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Exemple 9 — Une existence, sans unicité.

\(P(x)=x^3-3x\) est continue sur \([-2;2]\) car polynomiale, et \(P(-2)=-2<0<2=P(2)\). Le TVI assure au moins un zéro dans \(]-2;2[\). Il ne précise pas leur nombre : ici \(P(x)=x(x^2-3)\) donne trois zéros distincts, \(-\sqrt3\), \(0\) et \(\sqrt3\).

À gauche, la continuité permet d’atteindre le niveau \(0\), plusieurs fois ici. À droite, les valeurs aux bornes encadrent \(0\), mais le saut empêche tout zéro : l’hypothèse de continuité est indispensable.

Vigilance. Le niveau \(k\) se situe entre les images \(f(a)\) et \(f(b)\), pas entre les abscisses \(a\) et \(b\). Le TVI donne une existence, aucune valeur exacte et aucune unicité.

Deux autres frontières à connaître

Pour \(1/x\), les images en \(-1\) et \(1\) ont des signes opposés, mais la fonction n’est pas définie sur tout \([-1;1]\) : le TVI y est inutilisable. Des signes identiques ne prouvent pas l’absence de zéro : \(x^2-1\) vaut \(3\) aux deux bornes de \([-2;2]\) et s’annule en \(-1\) et \(1\).

4.2. Établir une existence et une unicité

Corollaire du TVI — Fonction continue strictement monotone

Si \(f\) est continue et strictement monotone sur \([a;b]\), alors tout réel \(k\) compris entre \(f(a)\) et \(f(b)\) possède un unique antécédent dans \([a;b]\).

Démonstration.

Le TVI donne au moins une solution. Si deux solutions vérifiaient \(x<y\), la stricte croissance imposerait \(f(x)<f(y)\), ou la stricte décroissance \(f(x)>f(y)\). Cela contredit \(f(x)=f(y)=k\). Il y a donc au plus une solution, et finalement exactement une.

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Méthode — Rédiger une preuve d'unicité

Fixer la fonction et l’intervalle. Pour \(f(x)=g(x)\), poser \(h=f-g\) et chercher \(h(x)=0\).
Établir ou utiliser la continuité sur tout l’intervalle retenu.
Établir une stricte monotonie, éventuellement par le signe de la dérivée.
Encadrer le niveau par les images de deux points et appliquer le TVI.
Préciser l’intervalle de localisation et le domaine sur lequel l’unicité est prouvée.

Exemple 10 — Une racine dans \(]0;1[\), unique dans \(\mathbb{R}\).

Soit \(p(x)=x^3+x-1\). Cette fonction est continue sur \(\mathbb{R}\). La règle \((x^n)'=nx^{n-1}\) donne \[p'(x)=3x^2+1>0 \qquad(x\in\mathbb{R}),\] donc \(p\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\). Comme \(p(0)=-1<0<1=p(1)\), le TVI sur \([0;1]\) donne une racine \(\alpha\in]0;1[\). La stricte croissance sur tout \(\mathbb{R}\) exclut toute autre racine réelle.

Elle donne aussi le signe : pour \(x<\alpha\), \(p(x)<p(\alpha)=0\) ; pour \(x>\alpha\), \(p(x)>0\). \[\begin{array}{c|ccccc} x&-\infty&&\alpha&&+\infty\\\hline p(x)&&-&0&+& \end{array}\]

Exemple 11 — Comparer deux fonctions.

Sur \([0;1]\), l’équation \(\cos x=x\) équivaut à \(h(x)=0\), où \(h(x)=\cos x-x\). Cette différence est continue, et \[h'(x)=-\sin x-1\le-1<0,\] car \([0;1]\subset[0;\pi]\) et \(\sin x\ge0\) sur cet intervalle. Ainsi \(h\) est strictement décroissante. De plus, \(h(0)=1\) et \(h(1)=\cos1-1<0\), puisque \(0<1<\pi\). Le TVI et la stricte décroissance donnent une unique solution dans \(]0;1[\).

Vigilance. La continuité fournit l’existence ; la stricte monotonie fournit l’unicité. Une croissance au sens large ne suffit pas : une fonction constante possède plusieurs antécédents de sa valeur. Une flèche de variation ne remplace pas non plus l’hypothèse de continuité.

4.3. Bornes ouvertes et nombre de solutions

Corollaire du TVI — Sur un intervalle quelconque

Une fonction continue strictement monotone sur un intervalle \(I\) prend une seule fois chaque valeur de son intervalle image \(f(I)\). Pour trouver cet intervalle image, on utilise les valeurs aux bornes incluses et les limites aux bornes exclues ou infinies.

Une valeur extrême est incluse si elle est atteinte ; pour une fonction strictement monotone, une limite à une borne exclue n’est pas atteinte ailleurs dans \(I\).

Justification. Pour un niveau strictement entre les limites aux bornes, on choisit deux points intérieurs dont les images encadrent ce niveau, puis on applique le TVI sur leur segment. La stricte monotonie donne l’unicité. Dans le cas croissant, une limite \(L\) au bord gauche exclu vérifie, pour tout \(x\in I\), \(L\le f(y)<f(x)\) dès qu’on choisit \(y<x\) dans \(I\) : \(L\) n’est donc pas atteint. L’autre bord et le cas décroissant se traitent de même. On n’écrit jamais une « valeur de \(f\) en l’infini ».

Exemple 12 — Un niveau limite qui n'est pas atteint.

Sur \([0;+\infty[\), soit \(f(x)=x/(1+x)\). Elle est continue, et \[f'(x)=\frac{1}{(1+x)^2}>0,\qquad f(0)=0,\qquad f(x)=1-\frac1{1+x}\longrightarrow1 \quad(x\to+\infty).\] Ainsi \(f([0;+\infty[)=[0;1[\). L’équation \(f(x)=k\) possède une unique solution pour \(0\le k<1\) et aucune sinon. Pour ces niveaux autorisés, \((1-k)x=k\), donc \(x=k/(1-k)\ge0\). Le niveau \(1\) n’est pas pris.

Méthode — Compter les solutions d'une équation \(f(x)=m\)

Établir la continuité, découper le domaine en intervalles de stricte monotonie, déterminer l’image de chaque intervalle, puis compter les antécédents du niveau \(m\). Une jonction commune à deux branches ne compte qu’une fois.

Exemple 13 — Une cubique et un niveau variable.

Pour \(P(x)=x^3-3x\), fonction polynomiale continue sur \(\mathbb{R}\), \[P'(x)=3(x-1)(x+1),\qquad P(-1)=2,\qquad P(1)=-2.\] Le signe de \(P'\) et les limites de \(P\) donnent le tableau suivant.

Les images des trois branches sont respectivement \(]-\infty;2]\), \([-2;2]\) et \([-2;+\infty[\). Le corollaire du TVI sur chacune permet de conclure :

\(m\)	\(m<-2\)	\(m=-2\)	\(-2<m<2\)	\(m=2\)	\(m>2\)
Solutions distinctes	1	2	3	2	1

Aux seuils, les factorisations confirment le compte : \[P(x)-2=(x-2)(x+1)^2,\qquad P(x)+2=(x+2)(x-1)^2.\] Pour \(m=2\), les solutions sont \(-1\) et \(2\) ; pour \(m=-2\), elles sont \(-2\) et \(1\). Une racine double est une seule abscisse, pas deux solutions distinctes.

4.4. Encadrer une solution par dichotomie

Pour résoudre \(f(x)=k\), on pose \(g=f-k\). On suppose \(g\) continue sur \([a_0;b_0]\), avec \(a_0<b_0\) et des images de signes opposés. Si une image de borne est nulle, une solution est déjà trouvée.

Méthode — Conserver la moitié qui contient un zéro

Au rang \(n\), calculer le milieu \(m_n=(a_n+b_n)/2\).

Si \(g(m_n)=0\), arrêter : \(m_n\) est une solution exacte.
Si \(g(a_n)\) et \(g(m_n)\) sont de signes opposés, garder \([a_n;m_n]\).
Sinon, garder \([m_n;b_n]\).

Décider avec les anciennes valeurs, puis modifier une seule borne.

Démonstration.

Le segment conservé est inclus dans le précédent et les images de ses bornes gardent des signes opposés. Le TVI assure qu’il contient au moins un zéro. Si l’unicité a été prouvée, ce zéro est nécessairement la même racine \(\alpha\). Sans unicité, on ne conserve pas nécessairement toutes les racines.

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Exemple 14 — Quatre étapes exactes.

Pour \(g(x)=x^3+x-1\), on a déjà établi une unique racine dans \(]0;1[\). Partons de \([a_0;b_0]=[0;1]\) ; la dernière colonne donne le segment après la décision.

\(n\)	\([a_n;b_n]\)	\(m_n\)	\(g(m_n)\)	segment conservé
0	\([0;1]\)	\(\frac12\)	\(-\frac38\)	\([\frac12;1]\)
1	\([\frac12;1]\)	\(\frac34\)	\(\frac{11}{64}\)	\([\frac12;\frac34]\)
2	\([\frac12;\frac34]\)	\(\frac58\)	\(-\frac{67}{512}\)	\([\frac58;\frac34]\)
3	\([\frac58;\frac34]\)	\(\frac{11}{16}\)	\(\frac{51}{4096}\)	\([\frac58;\frac{11}{16}]\)

Par exemple, à la deuxième ligne, \(g(1/2)<0<g(3/4)\) : c’est la borne droite qui devient \(3/4\). La méthode convient aussi à une fonction décroissante : ce sont les signes qui décident.

Proposition — Largeur et erreur du milieu

Après \(n\) bissections, sans arrêt anticipé sur un zéro exact, \[b_n-a_n=\frac{b_0-a_0}{2^n}.\] Si \(\alpha\in[a_n;b_n]\) et \(c_n=(a_n+b_n)/2\), alors \[|c_n-\alpha|\le\frac{b_n-a_n}{2} =\frac{b_0-a_0}{2^{n+1}}.\]

Démonstration.

Chaque bissection divise la largeur par \(2\) ; une récurrence donne la première formule. Tout point du segment est à une distance du milieu au plus égale à la demi-largeur, d’où la seconde.

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Une amplitude au plus \(\varepsilon\) demande \(b-a\le\varepsilon\). Une erreur du milieu au plus \(\varepsilon\) demande seulement \(b-a\le2\varepsilon\).

L'algorithme, de l'initialisation à la sortie

Voici une version pour des bornes et une tolérance rationnelles, fournies avec Fraction, et des images évaluées exactement, comme pour notre polynôme. Ce modèle évite les erreurs de signes dues aux arrondis.

from fractions import Fraction

def dichotomie(g, a, b, tolerance):
    # Hypothese mathematique : g continue sur [a, b].
    if not (a < b and tolerance > 0):
        raise ValueError("Bornes ou tolerance invalides")
    ga, gb = g(a), g(b)
    if ga == 0:
        return a, a, 0
    if gb == 0:
        return b, b, 0
    if (ga < 0) == (gb < 0):
        raise ValueError("Signes non opposes")
    n = 0
    while b - a > tolerance:
        m = (a + b) / 2
        gm = g(m)
        n += 1
        if gm == 0:
            return m, m, n
        if (ga < 0) != (gm < 0):
            b = m
        else:
            a, ga = m, gm
    return a, b, n

À lire dans le programme. a et b sont les bornes ; ga mémorise l’image de la borne gauche ; m est le milieu ; n compte les bissections. La boucle s’arrête lorsque la largeur est au plus la tolérance ou lorsqu’un zéro exact est trouvé. Une seule borne change à chaque passage. L’appel utilise \(g(x)=x^3+x-1\), Fraction(0), Fraction(1) et Fraction(1,1000), qui représente exactement \(10^{-3}\).

Exemple 15 — Interpréter la précision obtenue.

Le programme renvoie \[a=\frac{349}{512},\quad b=\frac{699}{1024},\quad n=10.\] La largeur vaut \(1/1024<10^{-3}\). Le milieu \(c=1397/2048\) vérifie donc \(|c-\alpha|\le1/2048\). Avec une largeur initiale \(1\), dix bissections suffisent pour une amplitude au plus \(10^{-3}\) ; neuf suffisent pour une erreur du milieu au plus \(10^{-3}\).

Vigilance. Le programme ne démontre ni la continuité ni l’unicité. Une adaptation aux nombres flottants doit contrôler la fiabilité des signes et un éventuel milieu confondu avec une borne ; un zéro affiché peut résulter d’un arrondi.

Une petite largeur ne garantit pas un arrondi

Après dix bissections, l’intervalle précédent traverse le seuil \(0{,}6825\) : il ne permet pas encore de choisir entre les arrondis \(0{,}682\) et \(0{,}683\) au millième. Après douze bissections, on obtient \[0{,}68212890625=\frac{1397}{2048} \le\alpha\le \frac{2795}{4096}=0{,}682373046875.\] Tout cet intervalle est situé entre \(0{,}6815\) et \(0{,}6825\) : l’arrondi au millième est alors \(0{,}682\).

4.5. Deux autres exemples d'algorithmes

Ces méthodes construisent des approximations à partir de droites. Elles ne fournissent pas automatiquement un encadrement ni une garantie de convergence.

Définition — Itération de Newton

Pour une fonction \(g\) dérivable, un départ \(x_0\) étant choisi, on calcule \[x_{n+1}=x_n-\frac{g(x_n)}{g'(x_n)},\] tant que les expressions existent et que \(g'(x_n)\ne0\). Le nouvel itéré doit rester dans le domaine pour poursuivre.

Démonstration.

La tangente au point d’abscisse \(x_n\) a pour équation \(y=g'(x_n)(x-x_n)+g(x_n)\). Son intersection avec l’axe des abscisses vérifie \(y=0\). En divisant par \(g'(x_n)\ne0\), on obtient \(x=x_n-g(x_n)/g'(x_n)\). Cette preuve justifie la formule, pas la convergence.

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Exemple 16 — Approcher la racine positive de \(x^2-2\).

Pour \(g(x)=x^2-2\), \(g'(x)=2x\). Avec \(x_0=2\), \[x_1=2-\frac{2}{4}=\frac32,\qquad x_2=\frac32-\frac{1/4}{3}=\frac{17}{12}.\] La formule devient \(x_{n+1}=\tfrac12(x_n+2/x_n)\), dite méthode de Héron. Les deux valeurs calculées sont des approximations ; elles ne prouvent pas à elles seules la convergence vers \(\sqrt2\).

La tangente \(y=4x-6\), prise en \((2;2)\), coupe l’axe en \(x_1=3/2\). Le prochain point se calcule à partir de la courbe en cette nouvelle abscisse.

Mise en œuvre de Newton

Choisir \(x_0\) dans le domaine et un nombre maximal \(N\) de mises à jour. À chaque étape, vérifier d’abord que \(x_n\) appartient au domaine. Arrêter si \(g(x_n)=0\) ; sinon, vérifier que \(g'(x_n)\) existe et est non nul, puis calculer \(x_{n+1}\). Renvoyer la dernière abscisse et le motif d’arrêt : zéro exact, \(N\) étapes effectuées ou calcul impossible. Après \(N\) étapes, aucune précision n’est certifiée.

La sécante : utiliser deux points de la courbe

Définition — Itération de la sécante

À partir de deux abscisses distinctes \(x_0,x_1\), on calcule \[x_{n+1}=x_n- g(x_n)\frac{x_n-x_{n-1}}{g(x_n)-g(x_{n-1})},\] à condition que les valeurs existent et que \(g(x_n)\ne g(x_{n-1})\).

Justification. La pente de la droite passant par les deux derniers points est \(\dfrac{g(x_n)-g(x_{n-1})}{x_n-x_{n-1}}\). Résoudre l’équation de cette droite pour \(y=0\) donne la formule. On remplace ensuite les deux anciens essais par \(x_n\) et \(x_{n+1}\).

Exemple 17 — Une étape sans calcul de dérivée.

Pour \(g(x)=x^2-2\), \(x_0=1\) et \(x_1=2\), les images sont \(-1\) et \(2\). Ainsi \[x_2=2-2\frac{2-1}{2-(-1)}=2-\frac23=\frac43.\] La droite sécante fournit une nouvelle abscisse, pas un encadrement garanti.

La droite \(y=3x-4\) passe par \((1;-1)\) et \((2;2)\). Son intersection avec l’axe des abscisses fournit \(x_2=4/3\).

Mise en œuvre de la sécante

Choisir deux départs distincts dans le domaine et un nombre maximal \(N\) de mises à jour. Vérifier le domaine avant chaque évaluation. Si une image vaut \(0\), renvoyer cette abscisse comme solution exacte. Sinon, vérifier que les deux images diffèrent, calculer le nouvel essai, puis remplacer le couple par les deux derniers essais. Arrêter après \(N\) mises à jour ou si un calcul est impossible ; renvoyer le dernier essai avec ce motif, sans lui attribuer une précision non démontrée.

Vigilance. Newton peut rencontrer une dérivée nulle ou cycler. Pour \(g(x)=x^3-2x+2\) et \(x_0=0\), la formule donne \(x_1=1\), puis \(x_2=0\) : la suite alterne sans converger. La sécante échoue si ses deux dernières images sont égales. Un petit résidu \(|g(x_n)|\) ne donne pas, sans information supplémentaire, une borne sur l’erreur en abscisse.

5. À savoir et à savoir faire

Les énoncés essentiels

Continuité en \(a\). Le point appartient au domaine et \(\lim_{x\to a}f(x)=f(a)\), avec l’approche autorisée par ce domaine.
Dérivabilité. Dérivable implique continue ; la réciproque est fausse.
Image d’une suite. Si \(u_n\to\ell\), si les termes sont dans le domaine et si \(f\) est continue en \(\ell\) dans ce domaine, alors \(f(u_n)\to f(\ell)\).
TVI. Une fonction continue sur \([a;b]\) prend tout niveau situé entre \(f(a)\) et \(f(b)\). Il s’agit d’une existence.
Unicité. La stricte monotonie donne au plus un antécédent d’un niveau. Avec les hypothèses du TVI, on obtient exactement une solution.
Dichotomie. Après \(n\) bissections non interrompues, la largeur est \((b_0-a_0)/2^n\) ; l’erreur du milieu est au plus la moitié de cette largeur.

Choisir la méthode et contrôler la conclusion

Question	Démarche de référence
Continuité à un raccord	Lire la valeur, calculer les deux limites latérales, comparer les trois quantités.
Limite de \(f(u_n)\)	Trouver la limite de \(u_n\), vérifier le domaine et la continuité à cette limite, puis composer.
Suite \(u_{n+1}=f(u_n)\)	Établir la stabilité du domaine, puis la convergence. Utiliser ensuite \(\ell=f(\ell)\) et sélectionner les solutions admissibles.
Existence de \(f(x)=k\)	Fixer un segment de continuité et encadrer \(k\) par les images des bornes.
Unicité	Ajouter une stricte monotonie sur le domaine où l’on prétend à l’unicité.
Nombre de solutions	Étudier les branches monotones et leurs images ; compter une seule fois les jonctions.
Approximation	Choisir la précision : largeur, erreur du milieu ou arrondi. Contrôler les signes et interpréter la sortie.

Les erreurs à éviter

Un dessin ne remplace pas une hypothèse. Une limite existante ne signifie pas continuité. Le TVI ne donne pas l’unicité. Une équation de point fixe ne prouve pas la convergence. Un nombre affiché n’est pas un encadrement. Une valeur limite à une borne exclue ne s’inclut pas automatiquement dans l’image.

Pour la rédaction. Nommer la fonction, l’intervalle et le théorème ; écrire les hypothèses utiles ; conclure exactement sur la question posée.