Exemple 1 — Un grand angle négatif.

Calculer \(\sin(-29\pi/6)\) et \(\cos(-29\pi/6)\). On ajoute \(6\pi=36\pi/6\), c’est-à-dire trois tours complets : \[-\frac{29\pi}{6}+\frac{36\pi}{6}=\frac{7\pi}{6}.\] Cet angle est dans le troisième quadrant, c’est-à-dire dans la partie du cercle située en bas à gauche. Il s’écrit \(\pi+\pi/6\) : son abscisse et son ordonnée sont les opposées de celles de \(\pi/6\). On obtient donc \[\cos\left(-\frac{29\pi}{6}\right)=-\frac{\sqrt3}{2},\qquad \sin\left(-\frac{29\pi}{6}\right)=-\frac12.\] Pour la mesure principale, on retire encore \(2\pi\) à \(7\pi/6\) : on trouve \(-5\pi/6\in]-\pi;\pi]\). Le signe du nombre qui mesure l’angle ne suffit pas à déterminer le signe de son sinus : il faut regarder la position finale.

Exemple 2 — Une simplification qui laisse un trou.

Soit \(f(x)=\dfrac{\sin x}{1-\cos x}\). Commençons sur \([-\pi;\pi]\). Le dénominateur s’annule lorsque \(\cos x=1\), donc seulement en \(x=0\) sur cet intervalle. Le domaine de définition est ainsi \[D=[-\pi;0[\ \cup\ ]0;\pi].\] Le symbole \(\cup\) signifie ici que l’on prend les valeurs du premier intervalle ou celles du second : toutes les valeurs entre \(-\pi\) et \(\pi\) sont autorisées, sauf zéro.

Pour multiplier ensuite le numérateur et le dénominateur par \(1+\cos x\), il faut que ce nouveau facteur soit lui aussi non nul. Sur l’intervalle étudié, il s’annule en \(-\pi\) et en \(\pi\). Pour \(-\pi<x<0\) ou \(0<x<\pi\), on peut donc écrire \[\frac{\sin x}{1-\cos x} =\frac{\sin x(1+\cos x)}{1-\cos^2x} =\frac{1+\cos x}{\sin x}.\] À \(x=\pi\), le membre initial est défini et vaut \(0/2=0\), tandis que le dernier quotient n’est pas défini. Il en va de même en \(-\pi\). La transformation ne vaut donc pas sur tout \(D\) : ces deux valeurs doivent être traitées séparément. Cette distinction devient décisive dans une inéquation avec \(\leq\) ou \(\geq\), car une expression égale à zéro peut convenir.

Si l’on travaille dans tous les réels. Le quotient initial est défini pour tous les réels sauf les multiples de \(2\pi\), c’est-à-dire les nombres \(2k\pi\), où \(k\) est un entier relatif. La forme simplifiée exige en plus d’exclure les multiples impairs de \(\pi\). On peut énoncer ces conditions en toutes lettres sans introduire une nouvelle notation d’ensemble.

Exemple 3 — Un domaine qui est déjà une inéquation.

Pour \(g(x)=\sqrt{2\cos x-1}\), il faut \(2\cos x-1\ge0\), soit \(\cos x\ge1/2\). Sur \([-\pi;\pi]\), le cercle donne les angles entre \(-\pi/3\) et \(\pi/3\), car leurs points-images ont une abscisse au moins égale à \(1/2\). Ainsi, \[D_g=\left[-\frac\pi3;\frac\pi3\right] \quad\text{lorsque l'on se limite à }[-\pi;\pi].\] Les bornes sont incluses puisque la racine de zéro existe. Si l’on remplace \(\sqrt{2\cos x-1}\) par \(1/\sqrt{2\cos x-1}\), ces mêmes bornes deviennent exclues : la quantité sous la racine doit être strictement positive. Le domaine devient alors \(]-\pi/3;\pi/3[\) sur l’intervalle étudié.

Prolongement à tous les réels. La même situation se répète à chaque tour. On prend tous les intervalles \[\left[-\frac\pi3+2k\pi;\frac\pi3+2k\pi\right],\] où \(k\) est un entier relatif. Pour \(k=0\), on retrouve l’intervalle précédent ; pour \(k=1\), on obtient \([5\pi/3;7\pi/3]\) ; pour \(k=-1\), on obtient \([-7\pi/3;-5\pi/3]\). Le même entier déplace les deux bornes.

Exemple 4 — Une réduction utile de l'intervalle d'étude.

Pour \(f(x)=\cos^2x-\cos x\), on a \[f(-x)=\cos^2(-x)-\cos(-x)=\cos^2x-\cos x=f(x),\] ainsi que \(f(x+2\pi)=f(x)\). On peut donc étudier \(f\) sur \([0;\pi]\), compléter par symétrie sur \([-\pi;0]\), puis par translations de \(2\pi\). Attention : \(\pi\) n’est pas une période de cette fonction, car \(f(0)=0\) mais \(f(\pi)=2\). Le fait que \(\cos^2x\) ait pour période \(\pi\) ne suffit pas pour une somme contenant \(\cos x\).

Exemple 5 — Période commune et période réelle.

Pour \(g(x)=\sin(2x)+\cos(3x)\), \(2\pi\) est une période commune, car les arguments augmentent de \(4\pi\) et \(6\pi\). Cette vérification ne prouve pas à elle seule sa minimalité. À l’inverse, \(\sin^2x+\cos^2x=1\) est constante : rechercher une plus petite période par un « plus petit multiple commun » des périodes des deux termes donnerait une conclusion fausse.

Exemple 6 — Calculer sans arrondir.

\[\begin{aligned} \cos\left(\frac\pi{12}\right)&=\cos\left(\frac\pi4-\frac\pi6\right)\\ &=\frac{\sqrt2}{2}\times\frac{\sqrt3}{2}+\frac{\sqrt2}{2}\times\frac12 =\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4},\\ \sin\left(\frac\pi{12}\right)&=\sin\left(\frac\pi4-\frac\pi6\right)\\ &=\frac{\sqrt2}{2}\times\frac{\sqrt3}{2}-\frac{\sqrt2}{2}\times\frac12 =\frac{\sqrt6-\sqrt2}{4}. \end{aligned}\] Les deux valeurs sont positives : l’angle est dans \(]0;\pi/2[\). Leur carré total vaut \([(8+4\sqrt3)+(8-4\sqrt3)]/16=1\).

Exemple 7 — Le signe manque après une racine carrée.

De \(\cos(\pi/4)=\sqrt2/2\) et \(2\cos^2(\pi/8)-1=\cos(\pi/4)\), on déduit \[\cos^2\left(\frac\pi8\right)=\frac{2+\sqrt2}{4}.\] Comme \(0<\pi/8<\pi/2\), le cosinus est positif : \(\cos(\pi/8)=\sqrt{2+\sqrt2}/2\). Pour \(7\pi/8=\pi-\pi/8\), le cosinus est au contraire \(-\sqrt{2+\sqrt2}/2\). L’équation portant sur le carré n’avait pas fixé ce signe.

Exemple 8 — Faire apparaître des zéros sans développer.

Pour \(E(x)=\cos x+\cos(3x)\), la moyenne des deux angles est \((x+3x)/2=2x\) et la moitié de leur différence est \((x-3x)/2=-x\). Donc \[E(x)=2\cos(2x)\cos(-x)=2\cos(2x)\cos x.\] Pour résoudre \(E(x)=0\), chacun des deux facteurs peut s’annuler. Pour résoudre \(E(x)\ge0\), il faudra comparer leurs signes : un produit positif ne signifie pas que chaque facteur est positif.

Exemple 9 — Linéariser un produit pour une primitive.

\[\sin(3x)\cos x=\frac12\bigl(\sin(4x)+\sin(2x)\bigr).\] Une primitive sur \(\mathbb{R}\) est donc \[F(x)=-\frac{\cos(4x)}8-\frac{\cos(2x)}4.\] En effet, la dérivée de \(\cos(4x)\) est \(-4\sin(4x)\) et celle de \(\cos(2x)\) est \(-2\sin(2x)\). Ainsi, \[F'(x)=\frac12\sin(4x)+\frac12\sin(2x)=\sin(3x)\cos x.\] Toutes les primitives s’obtiennent en ajoutant une constante à \(F\). Les coefficients \(1/8\) et \(1/4\) compensent à la fois le facteur \(1/2\) et la dérivation des angles.

Exemple 10 — Une inéquation avec deux fonctions devient élémentaire.

Résoudre \(\sqrt3\cos x+\sin x\ge1\) sur \([0;2\pi[\). Ici \(R=\sqrt{3+1}=2\). On cherche un angle dont le cosinus vaut \(\sqrt3/2\) et le sinus \(1/2\) : on peut choisir \(\alpha=\pi/6\). L’inéquation devient \[2\cos\left(x-\frac\pi6\right)\ge1, \quad\text{soit}\quad \cos\left(x-\frac\pi6\right)\ge\frac12.\] Posons \(u=x-\pi/6\). Comme \(0\leq x<2\pi\), on a \(-\pi/6\leq u<11\pi/6\). Sur cet intervalle, les angles dont le cosinus est au moins égal à \(1/2\) appartiennent à \[\left[-\frac\pi6;\frac\pi3\right] \quad\text{ou à}\quad \left[\frac{5\pi}3;\frac{11\pi}6\right[.\] On ajoute \(\pi/6\) aux bornes pour revenir à \(x\). Ainsi, \[S=\left[0;\frac\pi2\right]\ \cup\ \left[\frac{11\pi}6;2\pi\right[.\] Autre lecture par les tours. Dans tous les réels, les intervalles possibles pour \(x\) sont \([-\pi/6+2k\pi;\pi/2+2k\pi]\), où \(k\) est un entier relatif. Le choix \(k=0\) donne le premier morceau, coupé à zéro ; le choix \(k=1\) donne le second, coupé à \(2\pi\). Une partie d’intervalle peut convenir même si une de ses bornes de départ est hors du domaine.

Exemple 11 — Obtenir une borne sans chercher l'angle de décalage.

L’identité \[(A\cos x+B\sin x)^2+(A\sin x-B\cos x)^2=A^2+B^2\] se démontre en développant : les termes croisés s’annulent et les carrés se regroupent avec \(\sin^2x+\cos^2x=1\). Le deuxième carré étant positif ou nul, on obtient \((A\cos x+B\sin x)^2\leq R^2\), donc \[-R\leq A\cos x+B\sin x\leq R.\] C’est une autre preuve de l’encadrement. Pour résoudre une inéquation ou trouver les angles où le maximum est atteint, le décalage est généralement plus utile.

Exemple 12 — Deux voies pour une même identité.

Montrer, lorsque \(x\) n’est pas un multiple de \(\pi\), que \[\frac{1-\cos x}{\sin x}=\frac{\sin x}{1+\cos x}.\] Comprendre la condition. Le premier quotient exige \(\sin x\ne0\) : il faut exclure tous les multiples de \(\pi\). Le second exige \(\cos x\ne-1\), ce qui exclut les multiples impairs de \(\pi\), déjà retirés. Sur \([-\pi;\pi]\), le domaine commun est donc \(]-\pi;0[\cup]0;\pi[\).

Voie 1, produit en croix autorisé. Les dénominateurs sont non nuls sur le domaine indiqué. L’égalité équivaut à \((1-\cos x)(1+\cos x)=\sin^2x\). Le membre gauche est \(1-\cos^2x=\sin^2x\), donc l’égalité est démontrée.

Voie 2, transformation d’un membre. Multiplier le premier quotient par \((1+\cos x)/(1+\cos x)\) donne \[\frac{(1-\cos x)(1+\cos x)}{\sin x(1+\cos x)} =\frac{\sin^2x}{\sin x(1+\cos x)} =\frac{\sin x}{1+\cos x}.\] La simplification utilise \(\sin x\ne0\), déjà compris dans le domaine. Les deux preuves sont exactes ; le produit en croix est ici plus court, tandis que la transformation montre comment on peut découvrir la seconde écriture.

Exemple 13 — Un sinus négatif.

Résoudre \(\sin x=-1/2\) sur \([-\pi;\pi]\). Le sinus est une ordonnée : on cherche les points du cercle situés sur la droite horizontale d’ordonnée \(-1/2\). Il y en a deux, tous deux dans la moitié inférieure du cercle.

Le point en bas à droite a pour angle \(-\pi/6\). Le point en bas à gauche a pour angle \(-5\pi/6\). Ces deux angles appartiennent au domaine demandé. Ainsi, \[S=\left\{-\frac{5\pi}6;-\frac\pi6\right\}.\] Les accolades servent ici à présenter une liste de solutions isolées. Le second angle n’est pas \(+\pi/6\) : ce dernier aurait un sinus positif.

Si la question était posée dans tous les réels. On pourrait ajouter ou retirer autant de tours que l’on veut à chacun de ces deux angles. Toutes les solutions s’écriraient donc \[x=-\frac\pi6+2k\pi \quad\text{ou}\quad x=-\frac{5\pi}6+2k\pi,\] où \(k\) est un entier relatif. Par exemple, dans la seconde famille, \(k=1\) donne \(7\pi/6\), qui a le même sinus mais n’appartient pas à \([-\pi;\pi]\).

Exemple 14 — Un angle affine, avec le choix des entiers détaillé.

Résoudre \(\sin(2x+\pi/4)=\sqrt3/2\) dans \(]-\pi;\pi]\). Les angles dont le sinus vaut \(\sqrt3/2\) sont \(\pi/3+2k\pi\) et \(2\pi/3+2k\pi\). Ainsi \[\begin{aligned} 2x+\frac\pi4&=\frac\pi3+2k\pi &&\Longrightarrow x=\frac\pi{24}+k\pi,\\ 2x+\frac\pi4&=\frac{2\pi}3+2k\pi &&\Longrightarrow x=\frac{5\pi}{24}+k\pi. \end{aligned}\] Pour la première famille, on impose l’intervalle : \[-\pi<\frac\pi{24}+k\pi\le\pi \iff -\frac{25}{24}<k\le\frac{23}{24}.\] Les entiers possibles sont \(-1\) et \(0\). Pour la seconde, \[-\pi<\frac{5\pi}{24}+k\pi\le\pi \iff -\frac{29}{24}<k\le\frac{19}{24},\] ce qui donne encore les deux entiers \(k=-1\) et \(k=0\). Pour chacun, on remplace \(k\) dans les deux expressions de \(x\). Finalement, \[S=\left\{-\frac{23\pi}{24};-\frac{19\pi}{24};\frac\pi{24};\frac{5\pi}{24}\right\}.\] Tous les passages sont réversibles. Pour contrôler le premier angle, \(2(-23\pi/24)+\pi/4=-5\pi/3\), dont le sinus vaut bien \(\sqrt3/2\). Les quatre solutions couvrent deux tours de l’argument.

Exemple 15 — Le coefficient négatif change le sens du parcours.

Résoudre \(\cos(\pi/3-2x)=1/2\) sur \([0;\pi]\). Les angles dont le cosinus vaut \(1/2\) s’écrivent \(\pi/3+2k\pi\) ou \(-\pi/3+2k\pi\), où \(k\) est un entier relatif.

La première possibilité donne \(-2x=2k\pi\), donc \(x=-k\pi\). Pour \(0\leq x\leq\pi\), les seuls choix sont \(k=0\) et \(k=-1\) : ils donnent \(x=0\) et \(x=\pi\).

La seconde donne \(-2x=-2\pi/3+2k\pi\), donc \(x=\pi/3-k\pi\). La condition \(0\leq x\leq\pi\) s’écrit alors \(-2/3\leq k\leq1/3\) : seul l’entier \(k=0\) convient, d’où \(x=\pi/3\). Ainsi, \[S=\left\{0;\frac\pi3;\pi\right\}.\] La présence de \(0\) et \(\pi\), qui ont des points-images identiques pour l’argument, est normale : ce sont deux valeurs de l’inconnue distinctes et les deux bornes sont incluses.

Exemple 16 — Une branche incluse dans une autre.

Résoudre \(\cos(3x)=\cos x\), d’abord sur \([-\pi;\pi]\), puis dans tous les réels. Les deux possibilités sont \[3x=x+2k\pi\quad\text{ou}\quad3x=-x+2k\pi,\] où \(k\) est un entier relatif. Elles donnent \(x=k\pi\) ou \(x=k\pi/2\). Chaque nombre de la première forme est aussi de la seconde forme : par exemple \(\pi=2\pi/2\) et \(-2\pi=-4\pi/2\). Il suffit donc de garder la seconde.

Sur \([-\pi;\pi]\), on impose \(-\pi\leq k\pi/2\leq\pi\), soit \(-2\leq k\leq2\). Cela donne \[S=\left\{-\pi;-\frac\pi2;0;\frac\pi2;\pi\right\}.\] Dans tous les réels, les solutions sont les nombres \(x=k\pi/2\), où \(k\) est un entier relatif.

Autre résolution, par factorisation. \[\cos(3x)-\cos x=-2\sin(2x)\sin x.\] Le produit est nul lorsque \(\sin(2x)=0\) ou \(\sin x=0\), soit \(x=k\pi/2\) ou \(x=k\pi\). On retrouve les mêmes solutions. La factorisation devient plus intéressante si la consigne devient une inéquation, car elle conserve une information de signe.

Exemple 17 — Passer du sinus au cosinus.

Résoudre \(\sin(2x)=\cos x\) sur \([0;2\pi[\). Comme \(\cos x=\sin(\pi/2-x)\), \[2x=\frac\pi2-x+2k\pi\quad\text{ou}\quad 2x=\pi-\left(\frac\pi2-x\right)+2k\pi.\] On trouve \(x=\pi/6+2k\pi/3\) ou \(x=\pi/2+2k\pi\). La première famille fournit \(\pi/6,5\pi/6,3\pi/2\) ; la seconde \(\pi/2\).

Autre voie complète. Avec la formule établie \(\sin(2x)=2\sin x\cos x\), l’équation devient \(\cos x(2\sin x-1)=0\). On obtient \(\cos x=0\) (angles \(\pi/2,3\pi/2\)) ou \(\sin x=1/2\) (angles \(\pi/6,5\pi/6\)). Ainsi, \[S=\left\{\frac\pi6;\frac\pi2;\frac{5\pi}6;\frac{3\pi}2\right\}.\] Diviser d’emblée par \(\cos x\) aurait supprimé deux solutions.

Exemple 18 — Deux étages de résolution.

Résoudre \(2\cos^2x-3\cos x+1=0\) sur \([0;2\pi[\). Avec \(X=\cos x\), on factorise \[2X^2-3X+1=(2X-1)(X-1).\] Les racines sont \(X=1/2\) et \(X=1\), toutes deux dans \([-1;1]\). Le retour à \(x\) donne \(x=\pi/3\) ou \(5\pi/3\) pour la première, \(x=0\) pour la seconde. Donc \(S=\{0;\pi/3;5\pi/3\}\).

Exemple 19 — Une racine algébrique impossible.

Pour \(\sin^2x-3\sin x+2=0\), le polynôme \((X-1)(X-2)\) a deux racines, mais \(X=2\) est impossible puisque \(-1\leq\sin x\leq1\). Il reste \(\sin x=1\). Sur \([0;2\pi[\), la seule solution est \(\pi/2\) ; dans tous les réels, on obtient \(x=\pi/2+2k\pi\), où \(k\) est un entier relatif. Le nombre \(2\) n’est pas une valeur de l’angle à tester : c’est une valeur impossible du sinus.

Exemple 20 — La condition de signe fait partie de la solution.

Résoudre \(\sqrt{1+\sin x}=\cos x\) sur \([-\pi;\pi]\). La racine existe partout car \(1+\sin x\ge0\), et le membre gauche est positif ou nul. Il faut donc \(\cos x\ge0\), soit \(x\in[-\pi/2;\pi/2]\). Sur cet intervalle, mettre au carré est réversible : \[1+\sin x=\cos^2x=1-\sin^2x \iff \sin x(1+\sin x)=0.\] Donc \(\sin x=0\) ou \(\sin x=-1\). Dans l’intervalle conservé, cela donne \(x=0\) ou \(x=-\pi/2\). Vérification initiale : à \(0\), \(\sqrt1=1\) ; à \(-\pi/2\), \(\sqrt0=0\). Ainsi \(S=\{-\pi/2;0\}\). Sans la condition \(\cos x\ge0\), les valeurs \(\pm\pi\) seraient des candidats issus du carré, mais ne vérifieraient pas \(1=-1\) dans l’équation initiale.

Exemple 21 — Les bornes changent le compte.

\(\cos(5x)=1\) a cinq solutions sur \([0;2\pi[\) : \(0,2\pi/5,4\pi/5,6\pi/5,8\pi/5\). Sur \([0;2\pi]\), on ajoute \(2\pi\), qui est une sixième valeur de \(x\). Le même point sur le cercle n’est pas le même réel.

Exemple 22 — Résoudre sur l'intervalle usuel du lycée.

Résoudre \(\cos x\leq\dfrac12\) sur \([-\pi;\pi]\).

1. Placer les angles d’égalité. Les deux angles du domaine dont le cosinus vaut \(\dfrac12\) sont \(-\dfrac\pi3\) et \(\dfrac\pi3\).

2. Choisir le bon côté. Le point d’angle \(0\) a pour abscisse \(1\) : il ne convient pas. Les points d’angles \(-\pi\) et \(\pi\) ont pour abscisse \(-1\) : ils conviennent. Sur le cercle, on garde donc l’arc situé à gauche de la verticale d’abscisse \(\dfrac12\).

3. Revenir aux nombres de l’intervalle demandé. En parcourant \([-\pi;\pi]\), les nombres retenus vont de \(-\pi\) à \(-\dfrac\pi3\), puis de \(\dfrac\pi3\) à \(\pi\). L’égalité étant autorisée, on conserve les quatre bornes : \[\boxed{S=\left[-\pi;-\frac\pi3\right]\cup \left[\frac\pi3;\pi\right].}\] Le symbole \(\cup\) se lit ici « ou » : un nombre est solution s’il appartient au premier intervalle ou au second. Les nombres \(-\pi\) et \(\pi\) représentent le même point du cercle mais sont deux nombres distincts de l’intervalle demandé ; ils figurent tous deux dans la réponse.

Exemple 23 — La même inéquation sur un autre intervalle.

Résoudre \(\cos x\leq\dfrac12\) sur \([0;2\pi[\). Les angles d’égalité sont cette fois \(\dfrac\pi3\) et \(\dfrac{5\pi}3\). L’arc retenu passe par \(\pi\) : \[S=\left[\frac\pi3;\frac{5\pi}3\right].\] Si l’on cherche toutes les solutions réelles, on répète cet intervalle en ajoutant ou en retirant des tours complets. On peut écrire : les solutions sont tous les nombres qui vérifient \[\frac\pi3+2k\pi\leq x\leq\frac{5\pi}3+2k\pi \quad\text{pour un entier relatif }k.\] Par exemple, \(k=-1\) donne \(\left[-\dfrac{5\pi}3;-\dfrac\pi3\right]\), \(k=0\) donne l’intervalle de départ et \(k=1\) donne \(\left[\dfrac{7\pi}3;\dfrac{11\pi}3\right]\). On ajoute la même quantité aux deux bornes. Cette écriture n’est utile que si l’énoncé demande plusieurs tours ou tous les réels.

Exemple 24 — Un seuil négatif sur \([0;2\pi[\).

Résoudre \(\sin x\geq-\dfrac12\) sur \([0;2\pi[\).

1. Angles d’égalité. Le sinus vaut \(-\dfrac12\) en \(\dfrac{7\pi}6\) et \(\dfrac{11\pi}6\).

2. Arc à conserver. L’arc entre ces deux angles passe par \(\dfrac{3\pi}2\), où le sinus vaut \(-1\) : cette partie est sous le seuil et doit être retirée, sauf ses deux extrémités. Le reste du cercle convient.

3. Écriture dans le domaine demandé. \[\boxed{S=\left[0;\frac{7\pi}6\right]\cup \left[\frac{11\pi}6;2\pi\right[.}\] Zéro est inclus : il appartient au domaine et son sinus vaut \(0\geq-\dfrac12\). Le nombre \(2\pi\) est exclu uniquement parce que l’énoncé l’exclut du domaine, même si son sinus satisfait l’inégalité.

Exemple 25 — Une inégalité stricte sur un intervalle centré.

Résoudre \(\sin x<-\dfrac{\sqrt3}{2}\) sur \(]-\pi;\pi]\). Les deux angles d’égalité du domaine sont \(-\dfrac{2\pi}3\) et \(-\dfrac\pi3\). Entre eux, l’arc passe par \(-\dfrac\pi2\), dont le sinus vaut \(-1\). Il est donc sous le seuil demandé. Les angles d’égalité sont exclus : \[S=\left]-\frac{2\pi}3;-\frac\pi3\right[.\] Les extrémités du domaine, \(-\pi\) et \(\pi\), ne conviennent pas : leur sinus vaut zéro.

Exemple 26 — Retrouver \(\cos x\leq1/2\) sans lire un arc.

Sur \([-\pi;0]\), cosinus est strictement croissant et \(\cos(-\pi/3)=1/2\). Ainsi, sur cette branche, \(\cos x\leq\cos(-\pi/3)\Longleftrightarrow x\leq-\pi/3\) ; on obtient \([-\pi;-\pi/3]\). Sur \([0;\pi]\), cosinus est strictement décroissant et \(\cos(\pi/3)=1/2\). On obtient cette fois \(x\geq\pi/3\), donc \([\pi/3;\pi]\). La réunion est exactement celle du repère 14.

Ce découpage justifie aussi la lecture sur la courbe : les abscisses retenues sont celles pour lesquelles la courbe est sous la droite \(y=1/2\). Les intersections exactes viennent des valeurs remarquables, pas d’une mesure du graphique.

Exemple 27 — Un seuil non remarquable.

Résoudre \(\sin x>0{,}3\) sur \([-\pi;\pi]\). On définit \(\beta\in[0;\pi/2]\) par \(\sin\beta=0{,}3\). Sur la partie négative, \(\sin x\leq0\), donc aucun point ne convient. Sur \([0;\pi/2]\), la croissance donne \(x>\beta\) ; sur \([\pi/2;\pi]\), la décroissance donne \(x<\pi-\beta\). Ainsi \[\boxed{S=]\beta;\pi-\beta[.}\] Cette réponse est exacte : \(\beta\) a été défini par son intervalle et son sinus. La calculatrice, réglée en radians, permet d’obtenir \(\beta\approx0{,}3047\) et \(\pi-\beta\approx2{,}8369\). Ces nombres aident à situer les bornes, mais ne remplacent pas les bornes exactes dans la réponse. Une autre manière d’obtenir ces approximations consiste à encadrer la solution par dichotomie, comme au repère 40.

Exemple 28 — Les crochets viennent de deux contraintes.

\(J=]-\pi/6;7\pi/6]\) et \(I=[0;\pi[\). L’intersection va de \(0\) à \(\pi\). Le point \(0\) est dans \(J\) et \(I\), donc il est inclus ; \(\pi\) est dans \(J\) mais pas dans \(I\), donc il est exclu. Ainsi \(J\cap I=[0;\pi[\). En revanche, \(]0;\pi[\cap[\pi;2\pi]=\varnothing\), tandis que \(]0;\pi]\cap[\pi;2\pi]=\{\pi\}\).

Exemple 29 — Ne pas transformer une réunion en intersection.

\(\cos x=0\) ou \(\sin x=0\) sur \([0;2\pi[\) donne \(\{0;\pi/2;\pi;3\pi/2\}\). Exiger les deux égalités simultanément donnerait aucun point, car \(\cos^2x+\sin^2x=1\) interdit leur nullité simultanée. Une seule conjonction change tout le problème.

Exemple 30 — L'inéquation de la page 87 de Sésamath, entièrement reconstruite.

Résoudre \[\cos\left(4x-\frac\pi3\right)<\frac12, \qquad x\in I=[0;2\pi[.\] 1. Résoudre pour l’angle sur un premier tour. Entre \(0\) et \(2\pi\), le cosinus est strictement inférieur à \(\dfrac12\) entre \(\dfrac\pi3\) et \(\dfrac{5\pi}3\). On commence donc par \[\frac\pi3<4x-\frac\pi3<\frac{5\pi}3.\] 2. Revenir à \(x\). On ajoute \(\dfrac\pi3\) aux trois membres, puis on les divise par le nombre positif \(4\) : \[\frac{2\pi}3<4x<2\pi \quad\Longleftrightarrow\quad \frac\pi6<x<\frac\pi2.\] On obtient un premier intervalle \(\left]\dfrac\pi6;\dfrac\pi2\right[\). Il reste à trouver ses répétitions dans le domaine.

3. Répéter avec la bonne période. Quand on ajoute \(\dfrac\pi2\) à \(x\), l’angle \(4x-\dfrac\pi3\) augmente de \(2\pi\). Son cosinus ne change donc pas. On ajoute successivement \(\dfrac\pi2\), \(\pi\) et \(\dfrac{3\pi}2\) aux deux bornes du premier intervalle.

Pour noter ces répétitions, on peut utiliser un entier relatif \(k\) : \[J_k=\left]\frac\pi6+\frac{k\pi}2;\frac\pi2+\frac{k\pi}2\right[.\] Ici \(J_k\) désigne simplement l’intervalle obtenu en ajoutant \(k\) fois \(\dfrac\pi2\) aux deux bornes. Pour \(k=-1\), on obtient \(]-\pi/3;0[\), entièrement hors du domaine. Pour \(k=4\), l’intervalle commence en \(13\pi/6>2\pi\) ; les suivants sont encore plus à droite. Seuls \(k=0\), \(1\), \(2\) et \(3\) peuvent convenir.

4. Écrire chaque intersection. \[\renewcommand{\arraystretch}{1.5} \begin{array}{c|c|c} k&\text{Intervalle obtenu}&\text{Partie dans }[0;2\pi[\\\hline 0&]\frac\pi6;\frac\pi2[&]\frac\pi6;\frac\pi2[\\ 1&]\frac{2\pi}3;\pi[&]\frac{2\pi}3;\pi[\\ 2&]\frac{7\pi}6;\frac{3\pi}2[&]\frac{7\pi}6;\frac{3\pi}2[\\ 3&]\frac{5\pi}3;2\pi[&]\frac{5\pi}3;2\pi[ \end{array}\] Conclusion. \[\boxed{S=\left]\frac\pi6;\frac\pi2\right[ \cup\left]\frac{2\pi}3;\pi\right[ \cup\left]\frac{7\pi}6;\frac{3\pi}2\right[ \cup\left]\frac{5\pi}3;2\pi\right[.}\] 5. Contrôler. Au milieu du premier intervalle, \(x=\pi/3\) donne l’angle \(\pi\) et un cosinus \(-1<1/2\). À \(x=\pi/6\) et \(x=\pi/2\), le cosinus vaut \(1/2\) : les bornes sont exclues. À \(x=0\), il vaut également \(1/2\) : zéro n’est pas solution. Chaque autre intervalle est obtenu par la période \(\pi/2\), qui conserve le résultat.

Exemple 31 — Deux copies tronquées qu'un filtrage naïf supprimerait.

Résoudre \(\cos(x-\pi/6)\geq1/2\) sur \([0;2\pi[\). Les arcs droits donnent \[-\frac\pi3+2k\pi\leq x-\frac\pi6\leq\frac\pi3+2k\pi \Longleftrightarrow x\in\left[-\frac\pi6+2k\pi;\frac\pi2+2k\pi\right].\] Pour rencontrer l’intérieur du domaine, on impose \(\pi/2+2k\pi>0\) et \(-\pi/6+2k\pi<2\pi\), donc \(-1/4<k<13/12\). Ainsi \(k=0\) ou \(k=1\). Le premier intervalle commence avant zéro, mais donne \([0;\pi/2]\). Le second se termine après \(2\pi\), mais donne \([11\pi/6;2\pi[\). \[S=[0;\pi/2]\cup[11\pi/6;2\pi[.\] Exiger que les deux bornes soient dans \([0;2\pi[\) aurait supprimé les deux morceaux, donc donné à tort l’ensemble vide.

Exemple 32 — Deuxième résolution complète de l'exemple Sésamath.

On reprend \(\cos(4x-\pi/3)<1/2\) sur \([0;2\pi[\). Posons \(u=4x-\pi/3\). Comme le coefficient \(4\) est positif, \[0\leq x<2\pi\Longleftrightarrow-\pi/3\leq u<23\pi/3.\] Le domaine de \(u\) a une longueur \(8\pi\), soit quatre tours. Les arcs où \(\cos u<1/2\) sont \[]\pi/3+2k\pi;5\pi/3+2k\pi[.\] Dans \([-\pi/3;23\pi/3[\), on retient les quatre arcs \[]\pi/3;5\pi/3[, \quad]7\pi/3;11\pi/3[, \quad]13\pi/3;17\pi/3[, \quad]19\pi/3;23\pi/3[.\] L’arc précédent finit en \(-\pi/3\), mais cette extrémité est exclue par l’inégalité stricte : il n’ajoute aucun point. Pour revenir à \(x\), on ajoute \(\pi/3\) puis on divise par \(4\) à chaque borne. Ainsi le premier arc donne \(](2\pi/3)/4;(6\pi/3)/4[=]\pi/6;\pi/2[\). Le deuxième donne \(](8\pi/3)/4;(12\pi/3)/4[=]2\pi/3;\pi[\) ; le troisième \(]7\pi/6;3\pi/2[\) ; le quatrième \(]5\pi/3;2\pi[\). On retrouve exactement la première résolution.

Exemple 33 — Le sinus d'un angle décroissant.

Résoudre \[\sin\left(\frac\pi3-2x\right)\geq\frac12, \qquad x\in[-\pi;\pi].\] Le sinus est au moins \(1/2\) sur les arcs \([\pi/6+2k\pi;5\pi/6+2k\pi]\) : \[\frac\pi6+2k\pi\leq\frac\pi3-2x\leq\frac{5\pi}6+2k\pi.\] Soustrayons \(\pi/3\) : \[-\frac\pi6+2k\pi\leq-2x\leq\frac\pi2+2k\pi.\] Diviser par \(-2\) inverse les deux comparaisons : \[\frac\pi{12}-k\pi\geq x\geq-\frac\pi4-k\pi.\] On remet les bornes dans l’ordre croissant, sans changer de lettre : \[-\frac\pi4-k\pi\leq x\leq\frac\pi{12}-k\pi.\] L’entier \(k\) sert seulement à choisir une répétition. On examine \(k=-1\), \(0\) et \(1\) :

• pour \(k=-1\), l’intervalle \([3\pi/4;13\pi/12]\) donne \([3\pi/4;\pi]\) ;

• pour \(k=0\), on garde \([-\pi/4;\pi/12]\) ;

• pour \(k=1\), l’intervalle \([-5\pi/4;-11\pi/12]\) donne \([-\pi;-11\pi/12]\).

Pour \(k\leq-2\), l’intervalle est entièrement à droite de \(\pi\) ; pour \(k\geq2\), il est entièrement à gauche de \(-\pi\). On écrit les morceaux retenus dans l’ordre croissant : \[\boxed{S=\left[-\pi;-\frac{11\pi}{12}\right] \cup\left[-\frac\pi4;\frac\pi{12}\right] \cup\left[\frac{3\pi}4;\pi\right].}\] À \(x=0\), le sinus vaut \(\sin(\pi/3)=\sqrt3/2\), donc zéro doit être retenu. À \(x=\pi/2\), l’angle vaut \(-2\pi/3\) et le sinus est négatif : cette valeur doit être exclue.

Exemple 34 — Troisième résolution de l'exemple Sésamath.

Sur le premier intervalle \([0;\pi/2[\), l’angle \(4x-\pi/3\) parcourt \([-\pi/3;5\pi/3[\). L’arc de cosinus strictement inférieur à \(1/2\) y est \(]\pi/3;5\pi/3[\). Le retour à \(x\) donne \(]\pi/6;\pi/2[\).

On découpe \([0;2\pi[\) en quatre intervalles de longueur \(\dfrac\pi2\) : \[\left[0;\frac\pi2\right[, \quad\left[\frac\pi2;\pi\right[, \quad\left[\pi;\frac{3\pi}2\right[, \quad\left[\frac{3\pi}2;2\pi\right[.\] Dans chacun, on retrouve le même résultat en décalant les deux bornes de la quantité nécessaire. On écrit les quatre morceaux : \[\begin{aligned} S={}&\left]\frac\pi6;\frac\pi2\right[ \cup\left]\frac{2\pi}3;\pi\right[\\ &\cup\left]\frac{7\pi}6;\frac{3\pi}2\right[ \cup\left]\frac{5\pi}3;2\pi\right[. \end{aligned}\] Les points de raccord \(0,\pi/2,\pi,3\pi/2\) ont tous la même image \(1/2\) ; ils ne satisfont pas l’inégalité stricte. L’écriture développée est celle de l’exemple 30.

Exemple 35 — Une inéquation du second degré et une racine frontière.

Résoudre \(2\sin^2x-\sin x-1>0\) sur \([-\pi;\pi]\). Posons \(X=\sin x\in[-1;1]\). On factorise : \[2X^2-X-1=(2X+1)(X-1).\] Les zéros sont \(-1/2\) et \(1\). Le premier facteur est négatif avant \(-1/2\), positif après ; le second est négatif avant \(1\), positif après. Leur produit est donc strictement positif pour \(X<-1/2\) ou \(X>1\). L’intersection avec \([-1;1]\) élimine la deuxième branche : il reste \(\sin x<-1/2\).

Dans \([-\pi;\pi]\), les angles d’égalité sont \(-5\pi/6\) et \(-\pi/6\). Le point \(-\pi/2\), dont le sinus vaut \(-1\), est entre eux et satisfait l’inégalité. Donc \[\boxed{S=]-5\pi/6;-\pi/6[.}\] Les racines sont exclues parce que l’inégalité est stricte. \(\sin x=-1\) n’est pas exclu : \(2(-1)^2-(-1)-1=2>0\).

Exemple 36 — Une racine double ne fait pas changer le signe.

Résoudre \(2\cos^3x-3\cos^2x+1\geq0\) sur \([0;2\pi[\), situation étudiée dans Sésamath p. 89. Avec \(X=\cos x\), on vérifie \(P(1)=0\) puis on trouve \[P(X)=2X^3-3X^2+1=(X-1)(2X^2-X-1)=(X-1)^2(2X+1).\] On peut vérifier par développement : \((X^2-2X+1)(2X+1)=2X^3-3X^2+1\). Le carré est positif sauf en \(X=1\), où il est nul. Pour \(X\ne1\), le signe est celui de \(2X+1\). Pour \(X=1\), le produit vaut zéro et satisfait \(\geq0\). Ainsi \(P(X)\geq0\Longleftrightarrow X\geq-1/2\) ; le point \(1\) est déjà dans cet ensemble. On revient à \[\cos x\geq-1/2, \qquad S=[0;2\pi/3]\cup[4\pi/3;2\pi[.\] Variation structurante. Si le signe était \(>0\), il faudrait retirer les angles où \(X=1\), en plus des racines \(X=-1/2\). Sur le même domaine, on aurait \(]0;2\pi/3[\cup]4\pi/3;2\pi[\).

Exemple 37 — Une borne algébrique oubliée crée une fausse solution.

Résoudre \(2\cos^3x-\cos^2x-2\cos x+1<0\) sur \([-\pi;\pi]\). Posons \(X=\cos x\). Le regroupement donne une factorisation sans division polynomiale : \[\begin{aligned} 2X^3-X^2-2X+1 &=X^2(2X-1)-(2X-1)\\ &=(2X-1)(X^2-1)\\ &=(2X-1)(X-1)(X+1). \end{aligned}\] Le produit est négatif sur \(]-\infty;-1[\cup]1/2;1[\). Les trois facteurs changent chacun de signe à leur racine simple. Avec \(X\in[-1;1]\), seule la condition \(1/2<X<1\) reste.

La première inégalité impose \(x\in]-\pi/3;\pi/3[\) ; la seconde exclut \(\cos x=1\), donc \(x=0\) sur ce domaine. Finalement \[\boxed{S=]-\pi/3;0[\cup]0;\pi/3[.}\] Contrôler le point retiré. Dans l’expression initiale, \(x=0\) donne \(2-1-2+1=0\). Ce nombre ne satisfait pas l’inégalité stricte \(<0\) : le trou en zéro est indispensable. Une réponse réduite à \(]-\pi/3;\pi/3[\) ajouterait donc une fausse solution.

Exemple 38 — Deux seuils, quatre angles critiques.

Résoudre \((2\cos x-1)(2\sin x-1)\geq0\) sur \([0;2\pi[\). Le premier facteur s’annule en \(\pi/3\) et \(5\pi/3\) ; il est positif autour de \(0\) et négatif entre ces deux angles. Le second s’annule en \(\pi/6\) et \(5\pi/6\) ; il est positif entre eux et négatif ailleurs. On ordonne donc \[0<\pi/6<\pi/3<5\pi/6<5\pi/3<2\pi.\] On place toutes ces valeurs sur la même ligne, puis les signes et les zéros de chaque facteur :

Le nombre \(2\pi\) marque la fin du domaine mais n’y appartient pas. Les signes se lisent entre deux valeurs successives ; les zéros se lisent sous les angles correspondants. On retient les intervalles où le produit est positif puis les quatre zéros, tous autorisés. À zéro, le produit vaut \(1\times(-1)=-1\). Ainsi \[\boxed{S=[\pi/6;\pi/3]\cup[5\pi/6;5\pi/3].}\]

Exemple 39 — Le dénominateur change de signe.

Résoudre \[\frac{2\cos x-1}{\sin x}\geq0\quad\text{sur }[0;2\pi[.\] Le domaine est \(D=]0;\pi[\cup]\pi;2\pi[\), car \(\sin x=0\) en \(0\) et \(\pi\) (et \(2\pi\) est déjà hors de l’intervalle). Les zéros du numérateur sont \(\pi/3\) et \(5\pi/3\).

Sur \(]0;\pi/3[\) : numérateur positif, dénominateur positif, quotient positif. Sur \(]\pi/3;\pi[\) : négatif sur positif, quotient négatif. Sur \(]\pi;5\pi/3[\) : négatif sur négatif, quotient positif. Sur \(]5\pi/3;2\pi[\) : positif sur négatif, quotient négatif. Les zéros du numérateur sont autorisés puisque leur sinus n’est pas nul. D’où \[\boxed{S=]0;\pi/3]\cup]\pi;5\pi/3].}\] À \(x=3\pi/2\), le quotient vaut \((-1)/(-1)=1\) ; ce contrôle confirme la composante de la seconde moitié. Multiplier partout par \(\sin x\) sans distinguer son signe l’aurait perdue.

Exemple 40 — Simplifier n'efface pas les trous.

Résoudre \(\dfrac{\sin^2x}{1+\cos x}\leq1\) sur \([0;2\pi[\). Le domaine exclut \(x=\pi\). Pour les autres valeurs, \[\frac{\sin^2x}{1+\cos x} =\frac{(1-\cos x)(1+\cos x)}{1+\cos x}=1-\cos x.\] L’inégalité équivaut donc à \(\cos x\geq0\) sur ce domaine. On obtient \([0;\pi/2]\cup[3\pi/2;2\pi[\). Ici le point exclu \(\pi\) ne satisferait de toute façon pas la comparaison, mais il fallait le conserver pendant le raisonnement.

Si la question était \(\dfrac{\sin^2x}{1+\cos x}\leq2\), l’expression réduite donnerait tous les réels. Le domaine initial retirerait encore \(\pi\) ; la réponse serait \([0;\pi[\cup]\pi;2\pi[\), et non tout \([0;2\pi[\).

Exemple 41 — Un résultat qui comporte un point isolé.

Résoudre \(\cos(2x)\geq\cos x\) sur \([0;2\pi[\). Voie algébrique. Avec \(X=\cos x\), \[\cos2x-\cos x=2X^2-X-1=(2X+1)(X-1).\] Sur \([-1;1]\), le facteur \(X-1\) est négatif sauf en \(1\). Pour un produit positif ou nul, il faut \(X\leq-1/2\) ou \(X=1\). Donc \[S=[2\pi/3;4\pi/3]\cup\{0\}.\] Voie trigonométrique. La formule de différence donne \[\cos2x-\cos x=-2\sin(3x/2)\sin(x/2).\] Sur \(]0;2\pi[\), \(\sin(x/2)>0\). Le signe demandé équivaut alors à \(\sin(3x/2)\leq0\). L’angle \(3x/2\) parcourt \(]0;3\pi[\) ; le sinus y est négatif ou nul sur \([\pi;2\pi]\), donc \(x\in[2\pi/3;4\pi/3]\). Le point \(x=0\), retiré pour justifier la stricte positivité du facteur, est testé séparément : les deux cosinus valent \(1\), donc il est ajouté. Les deux voies concordent.

Exemple 42 — Une bande horizontale et deux arcs.

Résoudre \(|\sin x|\leq1/2\) sur \([0;2\pi[\). La double contrainte est \(-1/2\leq\sin x\leq1/2\). L’arc central du haut, \(]\pi/6;5\pi/6[\), dépasse le seuil supérieur ; l’arc central du bas, \(]7\pi/6;11\pi/6[\), passe sous le seuil inférieur. Leur complément donne \[S=[0;\pi/6]\cup[5\pi/6;7\pi/6]\cup[11\pi/6;2\pi[.\] Autre voie. Élever au carré est ici équivalent car \(|\sin x|\) et \(1/2\) sont non négatifs : \(\sin^2x\leq1/4\). Avec \(\sin^2x=(1-\cos2x)/2\), cela donne \(\cos2x\geq1/2\). La méthode affine fournit les mêmes trois morceaux après restriction.

Exemple 43 — Une racine carrée cache une valeur absolue.

\(\sqrt{1-\cos^2x}=\sqrt{\sin^2x}=|\sin x|\), et non toujours \(\sin x\). Résoudre \(\sqrt{1-\cos^2x}\leq\cos x\) sur \([-\pi;\pi]\) impose d’abord \(\cos x\geq0\). On peut alors élever les deux membres au carré : \(\sin^2x\leq\cos^2x\Longleftrightarrow1-\cos^2x\leq\cos^2x\Longleftrightarrow\cos^2x\geq1/2\). Avec la condition \(\cos x\geq0\), il reste \(\cos x\geq\sqrt2/2\), donc \(S=[-\pi/4;\pi/4]\). Sans cette condition, on aurait ajouté à tort des angles autour de \(\pi\), où le membre droit est négatif.

Exemple 44 — Deux contraintes élémentaires, une seule zone commune.

Résoudre sur \([0;2\pi[\) le système \[\sin x\geq\frac12\quad\text{et}\quad\cos x\leq\frac12.\] La première condition donne \(A=[\pi/6;5\pi/6]\). La seconde donne \(B=[\pi/3;5\pi/3]\). L’intersection commence à la plus grande borne gauche, \(\pi/3\), et finit à la plus petite borne droite, \(5\pi/6\). Les deux égalités sont autorisées : \[S=A\cap B=[\pi/3;5\pi/6].\] Sur le cercle, on sélectionne les points à la fois au-dessus de \(y=1/2\) et à gauche de \(x=1/2\). La figure contrôle le sens de l’intersection ; les bornes proviennent des valeurs exactes.

Exemple 45 — Une contrainte périodique avec une condition non périodique.

Résoudre \(\sin x\geq1/2\) et \(x^2\leq\pi^2\) dans \(\mathbb{R}\). La seconde condition donne \(-\pi\leq x\leq\pi\). Dans ce domaine, la première donne \([\pi/6;5\pi/6]\). Le système entier n’a plus de solution périodique répétée sur tout \(\mathbb{R}\) : le domaine algébrique a tronqué les copies. Le fait qu’une contrainte soit périodique ne rend pas toute la question périodique.

Exemple 46 — Le logarithme impose un domaine plus fort que l'inégalité finale.

Résoudre \(\ln(2\cos x-1)\leq0\) sur \([0;2\pi[\). D’abord \(2\cos x-1>0\), donc \(\cos x>1/2\). Ensuite \(0=\ln1\) et la croissance du logarithme donnent \(2\cos x-1\leq1\), donc \(\cos x\leq1\). Cette dernière condition est automatique, mais pas la première. Ainsi \[S=[0;\pi/3[\cup]5\pi/3;2\pi[.\] À \(x=0\), le logarithme vaut \(\ln1=0\), autorisé. À \(x=\pi/3\), son argument vaut zéro : le logarithme est indéfini, malgré le signe large de l’inégalité.

Exemple 47 — Une racine face à une constante.

Résoudre \(\sqrt{1+2\sin x}>1\) sur \([-\pi;\pi]\). La racine exige \(\sin x\geq-1/2\). Le membre droit est positif ; élever au carré est équivalent : \(1+2\sin x>1\Longleftrightarrow\sin x>0\). Cette dernière condition implique le domaine, car alors \(1+2\sin x>1>0\). La solution est donc \(]0;\pi[\). On a bien examiné le domaine avant de constater qu’il devient automatiquement satisfait par la contrainte finale.

Exemple 48 — Résolution complète de \(m\cos x\geq1\).

On cherche, selon \(m\in\mathbb{R}\), les solutions dans \([0;2\pi[\).

Si \(|m|<1\). On a \(m\cos x\leq|m|<1\), donc aucune solution. Cela inclut \(m=0\), sans division.

Si \(m=1\). L’inégalité devient \(\cos x\geq1\), donc \(S=\{0\}\).

Si \(m=-1\). Elle devient \(\cos x\leq-1\), donc \(S=\{\pi\}\).

Si \(m>1\). Diviser par \(m>0\) conserve le sens : \(\cos x\geq1/m\). Il existe un unique \(\alpha\in]0;\pi/2[\) tel que \(\cos\alpha=1/m\). Les solutions sont \([0;\alpha]\cup[2\pi-\alpha;2\pi[\).

Si \(m<-1\). Diviser par \(m<0\) inverse le sens : \(\cos x\leq1/m\). Il existe un unique \(\alpha\in]\pi/2;\pi[\) tel que \(\cos\alpha=1/m\). Les solutions sont \([\alpha;2\pi-\alpha]\).

Les cinq cas couvrent tous les paramètres. Pour \(m=2\), on retrouve \(\alpha=\pi/3\) ; pour \(m=-2\), \(\alpha=2\pi/3\). Ce sont des contrôles, non des remplacements de la discussion.

Exemple 49 — Un angle carré donne plusieurs intervalles symétriques.

Résoudre \(\cos(x^2)\geq1/2\) sur \(I=[-\sqrt{2\pi};\sqrt{2\pi}]\). L’angle \(u=x^2\) parcourt \([0;2\pi]\). Sur cet intervalle, \[\cos u\geq\frac12\Longleftrightarrow u\in[0;\pi/3]\cup[5\pi/3;2\pi].\] Pour le premier morceau, \(0\leq x^2\leq\pi/3\) équivaut à \(|x|\leq\sqrt{\pi/3}\), soit un intervalle centré. Pour le second, \(5\pi/3\leq x^2\leq2\pi\) équivaut à \(\sqrt{5\pi/3}\leq|x|\leq\sqrt{2\pi}\), ce qui donne deux morceaux. Ainsi \[\begin{split} S={}&[-\sqrt{2\pi};-\sqrt{5\pi/3}]\ \cup\ [-\sqrt{\pi/3};\sqrt{\pi/3}]\\ &\cup\ [\sqrt{5\pi/3};\sqrt{2\pi}]. \end{split}\] Les racines carrées sont positives ; les solutions négatives proviennent du second antécédent du carré, non d’une « racine carrée négative ».

Exemple 50 — Un logarithme à l'intérieur du sinus.

Résoudre \(\sin(\ln x)\geq0\) sur \([1;{\mathrm{e}}^{4\pi}]\).

1. Déterminer les valeurs de l’angle. Le logarithme est défini sur le domaine, qui ne contient que des nombres positifs. Comme il est croissant, \(u=\ln x\) parcourt \([0;4\pi]\).

2. Résoudre pour \(u\). Sur \([0;4\pi]\), le sinus est positif ou nul pour \[u\in[0;\pi]\cup[2\pi;3\pi]\cup\{4\pi\}.\] Le nombre \(4\pi\) est à ajouter : il appartient au domaine et son sinus vaut zéro.

3. Revenir à \(x\). Puisque \(x={\mathrm{e}}^u\) et que l’exponentielle est strictement croissante, on applique l’exponentielle aux bornes sans changer l’ordre : \[\boxed{S=[1;{\mathrm{e}}^\pi]\cup[{\mathrm{e}}^{2\pi};{\mathrm{e}}^{3\pi}]\cup\{{\mathrm{e}}^{4\pi}\}.}\] L’égalité est autorisée, donc toutes les bornes écrites sont incluses.

Si le domaine était tous les nombres positifs, on prendrait tous les intervalles \([{\mathrm{e}}^{2k\pi};{\mathrm{e}}^{(2k+1)\pi}]\), avec \(k\) entier relatif. Ajouter \(2\pi\) à \(u\) multiplie \(x\) par \({\mathrm{e}}^{2\pi}\) : cela n’ajoute pas une période constante à \(x\). Il ne faut donc pas recopier une périodicité du sinus directement dans la variable initiale.

Exemple 51 — Un signe extérieur, un signe intérieur.

Soit \(f(x)=-3\cos(2x-1)\). On pose \(u(x)=2x-1\), donc \(u'(x)=2\). La dérivée du cosinus composé vaut \(-2\sin(2x-1)\). Le coefficient extérieur \(-3\) multiplie cette dérivée : \[\boxed{f'(x)=6\sin(2x-1).}\] On n’a pas remplacé l’argument par sa dérivée : le sinus conserve \(2x-1\). Les deux signes négatifs se compensent.

Exemple 52 — Produit de deux composées.

Pour \(f(x)=\cos(2x-1)\sin(5x+3)\), notons \(u(x)=\cos(2x-1)\) et \(v(x)=\sin(5x+3)\). Alors \(u'(x)=-2\sin(2x-1)\) et \(v'(x)=5\cos(5x+3)\). La règle du produit donne \[\begin{split} f'(x)={}&-2\sin(2x-1)\sin(5x+3)\\ &+5\cos(2x-1)\cos(5x+3). \end{split}\] Dériver seulement les deux facteurs puis les multiplier donnerait \(u'v'\), qui n’est pas \((uv)'\).

Exemple 53 — Quotient : garder le numérateur entier avant de simplifier.

Soit \(f(x)=\dfrac{\sin x+\cos x}{1+\cos x}\). Le dénominateur s’annule lorsque \(x=\pi+2k\pi\), où \(k\) est un entier relatif : ces valeurs sont interdites. Posons \(u(x)=\sin x+\cos x\) et \(v(x)=1+\cos x\). Alors \(u'(x)=\cos x-\sin x\) et \(v'(x)=-\sin x\). La dérivée s’écrit \[f'(x)=\frac{N(x)}{(1+\cos x)^2},\] où l’on développe séparément le numérateur : \[\begin{aligned} N(x)={}&(\cos x-\sin x)(1+\cos x) +(\sin x+\cos x)\sin x\\ ={}&\cos x+\cos^2x-\sin x-\sin x\cos x\\ &+\sin^2x+\sin x\cos x\\ ={}&1+\cos x-\sin x. \end{aligned}\] Ainsi, \[\boxed{f'(x)=\frac{1+\cos x-\sin x}{(1+\cos x)^2}.}\] Les produits croisés s’annulent et \(\cos^2x+\sin^2x=1\). Le domaine n’a pas changé : un dénominateur carré n’autorise pas ses zéros.

Exemple 54 — Étude complète de \(f(x)=\sin^2x+\cos x\).

Domaine et symétries. La fonction est définie et dérivable sur \(\mathbb{R}\). Comme \(\sin(-x)=-\sin x\) et \(\cos(-x)=\cos x\), on a \(f(-x)=f(x)\) : elle est paire. Les deux fonctions de base sont \(2\pi\)-périodiques, donc \(f(x+2\pi)=f(x)\). L’étude sur \([0;\pi]\) suffit : on complète la courbe sur \([-\pi;0]\) par symétrie par rapport à l’axe des ordonnées, puis on reproduit ce dessin tous les \(2\pi\) sur l’axe des abscisses.

Dérivée et signe. \[f'(x)=2\sin x\cos x-\sin x=\sin x(2\cos x-1).\] Sur \(]0;\pi[\), \(\sin x>0\). Le signe de la dérivée est donc celui de \(2\cos x-1\) ; ce facteur s’annule en \(\pi/3\), est positif avant et négatif après. Aux bornes \(0\) et \(\pi\), la dérivée est nulle par le facteur sinus. Les valeurs sont \[f(0)=1,\qquad f(\pi/3)=\frac34+\frac12=\frac54,\qquad f(\pi)=-1.\]

Conclusion sur une période. Sur \([-\pi;\pi]\), la valeur maximale est \(5/4\), atteinte pour \(x=-\pi/3\) et \(x=\pi/3\). La valeur minimale est \(-1\), atteinte aux bornes \(-\pi\) et \(\pi\). La valeur \(f(0)=1\) n’est donc pas le maximum.

Pour tous les réels. Les mêmes valeurs reviennent tous les \(2\pi\). Le maximum est atteint pour \(x=-\pi/3+2k\pi\) ou \(x=\pi/3+2k\pi\) ; le minimum est atteint pour \(x=\pi+2k\pi\), où \(k\) désigne un entier relatif.

Exemple 55 — Tangente au cosinus en \(\pi/2\).

\(f(a)=\cos(\pi/2)=0\) et \(f'(a)=-\sin(\pi/2)=-1\). Donc \[y=-(x-\pi/2)=\pi/2-x.\] La pente est négative, conformément à la décroissance du cosinus. Pour contrôler le résultat, on vérifie aussi qu’en \(x=\pi/2\) l’équation donne bien \(y=0\), l’ordonnée du point de contact.

Exemple 56 — Toutes les tangentes horizontales d'une composée.

Soit \(g(x)=2\sin(3x-\pi/6)\). Sa dérivée est \(6\cos(3x-\pi/6)\). Les tangentes horizontales correspondent à \[3a-\pi/6=\pi/2+k\pi\Longleftrightarrow a=2\pi/9+k\pi/3.\] Ici \(k\) désigne un entier relatif. Pour \(k=0\), on obtient \(a=2\pi/9\) et \(g(a)=2\) ; pour \(k=1\), on obtient \(a=5\pi/9\) et \(g(a)=-2\). Les valeurs \(2\) et \(-2\) alternent ensuite, car ajouter \(\pi\) à l’angle change le signe du sinus. Les tangentes horizontales sont donc les droites \(y=2\) et \(y=-2\). Des points de tangence différents peuvent appartenir à la même droite horizontale.

Exemple 57 — Rectangle inscrit dans un demi-cercle.

Un demi-cercle de rayon \(R>0\) est centré en \(O\). Un rectangle a sa base sur le diamètre et ses deux sommets supérieurs sur l’arc. Son sommet supérieur droit a pour coordonnées \((R\cos x;R\sin x)\) avec \(x\in[0;\pi/2]\). Par symétrie, la largeur est \(2R\cos x\) et la hauteur \(R\sin x\) ; l’aire vaut \[A(x)=2R^2\sin x\cos x=R^2\sin2x.\] Voie 1, borne immédiate. Comme \(\sin2x\leq1\), \(A(x)\leq R^2\). L’égalité est possible lorsque \(2x=\pi/2\), soit \(x=\pi/4\). L’aire maximale vaut donc \(R^2\).

Voie 2, dérivée. \(A'(x)=2R^2\cos2x\). Sur \([0;\pi/2]\), l’angle \(2x\) parcourt \([0;\pi]\) ; le cosinus est positif avant \(\pi/2\), nul à cet angle et négatif après. Ainsi \(A\) croît jusqu’à \(x=\pi/4\), puis décroît. On retrouve \(A(\pi/4)=R^2\).

Voie 3, inégalité algébrique. Posons \(a=R\cos x\) et \(b=R\sin x\). On a \(a^2+b^2=R^2\) et \(A=2ab\). L’inégalité \((a-b)^2\geq0\) donne \(a^2+b^2\geq2ab\), donc \(A\leq R^2\), avec égalité si \(a=b\). Les deux quantités sont positives : cela donne \(x=\pi/4\).

Les dimensions optimales sont \(\sqrt2R\) et \(R/\sqrt2\). Le rectangle n’est pas un carré : sa largeur est le double de sa hauteur. La condition \(a=b\) concerne la demi-largeur, pas la largeur entière.

Exemple 58 — Retrouver les instants où un niveau dépasse un seuil.

Un modèle de hauteur est \(h(t)=5+2\cos(\pi t/6)\), \(t\in[0;12[\), en heures et mètres. L’amplitude vaut \(2\), la hauteur varie de \(3\) à \(7\), la période vaut \(12\) heures. Cherchons \(h(t)\geq6\) : \[5+2\cos(\pi t/6)\geq6 \Longleftrightarrow\cos(\pi t/6)\geq\frac12.\] L’angle parcourt \([0;2\pi[\), donc il appartient à \([0;\pi/3]\cup[5\pi/3;2\pi[\). Multiplier par \(6/\pi>0\) donne \(t\in[0;2]\cup[10;12[\). La durée totale est \(2+2=4\) heures ; inclure ou exclure les instants isolés d’égalité ne change pas cette durée, mais change l’ensemble des instants.

Exemple 59 — Construire un modèle depuis un maximum daté.

Une grandeur varie entre \(4\) et \(10\) avec une période de \(8\) unités de temps et atteint un maximum à \(t=3\). Le niveau central est \(c=(10+4)/2=7\) ; l’amplitude est \(A=(10-4)/2=3\). On choisit \(T=8\) et \(t_0=3\). Un modèle est \[f(t)=7+3\cos\left(\frac\pi4(t-3)\right).\] À \(t=3\), l’angle vaut zéro et le maximum \(10\) est atteint. Quatre unités plus tard, l’angle vaut \(\pi\) et le minimum \(4\) est atteint. Huit unités plus tard, l’angle vaut \(2\pi\) et l’on retrouve le maximum. Ces trois vérifications contrôlent le niveau, le sens du décalage et la période.

Exemple 60 — Faire apparaître un carré de quotient fondamental.

Pour \(a\in\mathbb{R}\), cherchons \(\lim_{x\to0}(1-\cos ax)/x^2\). Si \(a=0\), l’expression est nulle. Si \(a\ne0\), la duplication donne \[\frac{1-\cos ax}{x^2} =\frac{2\sin^2(ax/2)}{x^2} =\frac{a^2}{2}\left(\frac{\sin(ax/2)}{ax/2}\right)^2 \longrightarrow\frac{a^2}{2}.\] Ainsi \(\lim_{x\to0}(\cos3x-\cos2x)/x^2=-9/2+4/2=-5/2\), après avoir écrit la différence comme \(-(1-\cos3x)+(1-\cos2x)\).

Exemple 61 — Deux oscillations avec des comportements opposés.

Lorsque \(x\to+\infty\), on a \(x>0\) et \(-1/x\leq\sin x/x\leq1/x\), donc \(\sin x/x\to0\) par le théorème des gendarmes. En revanche, \(\sin x\) n’a pas de limite en \(+\infty\). Pour le voir, on choisit les angles \[x_n=\frac\pi2+2n\pi,\qquad y_n=\frac{3\pi}2+2n\pi,\] où \(n\) est un entier naturel. Les deux suites tendent vers \(+\infty\), mais \(\sin x_n=1\) et \(\sin y_n=-1\) pour chaque \(n\). Si le sinus avait une limite, on devrait retrouver cette même limite le long des deux suites, ce qui est impossible.

Lorsque \(x\to0\), \(|x\sin(1/x)|\leq|x|\to0\), bien que \(\sin(1/x)\) n’ait pas de limite. Il est inutile et faux de chercher une limite séparée de chaque facteur pour pouvoir conclure par encadrement.

Exemple 62 — Continuité et dérivabilité ne se confondent pas.

Définissons \(f(0)=0\) et \(f(x)=x\sin(1/x)\) pour \(x\ne0\). L’encadrement précédent prouve la continuité en zéro. Mais le taux \([f(x)-f(0)]/x=\sin(1/x)\) n’a pas de limite : prendre \(x_n=1/(\pi/2+2n\pi)\) et \(y_n=1/(3\pi/2+2n\pi)\) donne \(1\) et \(-1\). Donc \(f\) n’est pas dérivable en zéro. Définissons maintenant \(g(0)=0\) et \(g(x)=x^2\sin(1/x)\) pour \(x\ne0\). Son taux de variation en zéro vaut \(x\sin(1/x)\) et tend vers \(0\) ; \(g\) est donc dérivable en zéro et \(g'(0)=0\). Le facteur supplémentaire \(x\) a changé la conclusion.

Exemple 63 — Prouver \(\sin x\leq x\) par dérivation.

Pour \(x\geq0\), posons \(F(x)=x-\sin x\). Alors \(F'(x)=1-\cos x\geq0\), donc \(F\) est croissante et \(F(x)\geq F(0)=0\). Ainsi \(\sin x\leq x\). Ce raisonnement est une seconde preuve, après établissement des dérivées ; il ne doit pas remplacer le lemme géométrique dans une construction qui utilise ce lemme pour définir ces dérivées.

Exemple 64 — Un encadrement linéaire utile : l'inégalité de Jordan.

Sur \([0;\pi/2]\), on a \[\frac{2x}{\pi}\leq\sin x\leq x.\] La borne supérieure vient de l’exemple précédent. Pour la borne inférieure, posons \(G(x)=\sin x-2x/\pi\). Sa dérivée \(G'(x)=\cos x-2/\pi\) décroît strictement de \(1-2/\pi>0\) à \(-2/\pi<0\). Elle s’annule une fois. La fonction \(G\) croît puis décroît, et \(G(0)=G(\pi/2)=0\) ; elle est donc positive ou nulle entre les bornes.

Autre approche par concavité. Une fonction concave est au-dessus de chacune de ses cordes ; si elle est dérivable, elle est au-dessous de ses tangentes. Pour sinus, \(\sin''x=-\sin x\leq0\) sur \([0;\pi/2]\) : le critère usuel de concavité s’applique. La corde entre \((0,0)\) et \((\pi/2,1)\) a pour équation \(y=2x/\pi\) ; la tangente en zéro est \(y=x\). Cela donne le même encadrement. Cette propriété générale de la concavité est utilisée comme résultat établi du chapitre de dérivation ; la première preuve n’en dépend pas.

Exemple 65 — Obtenir une borne plus précise avec deux dérivées.

Pour \(x\geq0\), montrons \(\sin x\geq x-x^3/6\). Posons \(H(x)=\sin x-x+x^3/6\). Alors \[H'(x)=\cos x-1+x^2/2,\qquad H''(x)=x-\sin x\geq0.\] Donc \(H'\) est croissante ; comme \(H'(0)=0\), elle est positive ou nulle. Puis \(H\) est croissante ; comme \(H(0)=0\), \(H\geq0\). On a ainsi remonté deux fois le raisonnement depuis le signe de \(H''\) jusqu’à l’inégalité visée.

Exemple 66 — L'équation \(\cos x=x\).

Posons \(F(x)=\cos x-x\) sur \([0;1]\). La fonction est continue, \(F(0)=1>0\) et \(F(1)=\cos1-1<0\) puisque \(0<1<\pi/2\). Le théorème des valeurs intermédiaires donne une solution. De plus, \(F'(x)=-\sin x-1<0\) sur \([0;1]\) : la solution \(\alpha\) est unique.

Pour l’encadrer, on conserve un intervalle \([a;b]\) où \(F(a)\geq0\) et \(F(b)\leq0\). On calcule son milieu \(m=(a+b)/2\). Si \(F(m)>0\), la décroissance place la solution à droite : on remplace \(a\) par \(m\). Si \(F(m)<0\), on remplace \(b\) par \(m\). Si \(F(m)=0\) exactement, le milieu est la solution.

Les trois premières étapes, avec les valeurs trigonométriques calculées en radians, sont : \[\begin{array}{c|c|c|c} \text{étape}&m&\text{signe de }F(m)&\text{intervalle conservé}\\\hline 1&0{,}5&+&[0{,}5;1]\\ 2&0{,}75&-&[0{,}5;0{,}75]\\ 3&0{,}625&+&[0{,}625;0{,}75] \end{array}\] À chaque étape, on divise la longueur par deux. À partir de \([0;1]\), la longueur vaut donc \(1/2^n\) après \(n\) étapes.

Exemple 67 — Un angle contenant \(2x\).

Résoudre \(\tan(2x-\pi/4)\geq1\) sur \([0;\pi[\). Posons \(u=2x-\pi/4\). Le domaine de l’angle est \([-\pi/4;7\pi/4[\). Comme \(\tan(\pi/4)=1\), la croissance donne, dans la portion centrale, \(u\in[\pi/4;\pi/2[\). En ajoutant \(\pi\), on obtient aussi \(u\in[5\pi/4;3\pi/2[\). Les autres portions ne rencontrent pas le domaine de \(u\).

On revient à \(x\) dans chacun des deux cas : \[\begin{aligned} \frac\pi4\leq2x-\frac\pi4<\frac\pi2 &\Longleftrightarrow\frac\pi4\leq x<\frac{3\pi}8,\\ \frac{5\pi}4\leq2x-\frac\pi4<\frac{3\pi}2 &\Longleftrightarrow\frac{3\pi}4\leq x<\frac{7\pi}8. \end{aligned}\] Donc \[S=\left[\frac\pi4;\frac{3\pi}8\right[ \cup\left[\frac{3\pi}4;\frac{7\pi}8\right[.\] Aux bornes droites, le cosinus de l’angle est nul : la tangente n’existe pas. Aux bornes gauches, elle vaut \(1\) : ces bornes sont incluses.

Exemple 68 — Résoudre \(\tan(2x)>\tan x\).

Sur \([0;\pi[\), les valeurs \(\pi/4\), \(\pi/2\) et \(3\pi/4\) sont interdites. La différence vaut \[\tan(2x)-\tan x=\frac{\sin x}{\cos(2x)\cos x}.\] Pour \(0<x<\pi\), le numérateur est strictement positif. Le quotient est donc positif exactement lorsque le dénominateur est positif. On étudie les quatre intervalles séparés par les valeurs interdites : \[\begin{array}{c|cccc} x&]0;\pi/4[&]\pi/4;\pi/2[&]\pi/2;3\pi/4[&]3\pi/4;\pi[\\\hline \cos(2x)&+&-&-&+\\ \cos x&+&+&-&-\\\hline \text{produit}&+&-&+&- \end{array}\] À \(x=0\), les deux tangentes sont égales : l’inégalité stricte n’est pas vérifiée. Ainsi \[S=\left]0;\frac\pi4\right[\cup \left]\frac\pi2;\frac{3\pi}4\right[.\] Si la question était posée sur un domaine plus grand, on pourrait reproduire ces intervalles en ajoutant des multiples de \(\pi\), période commune aux deux expressions.

Exemple 69 — Les points exclus par la division peuvent convenir.

Résoudre \[\sin^2x-3\sin x\cos x+2\cos^2x\geq0 \quad\text{sur }[-\pi/2;\pi/2].\] Aux deux bornes, le cosinus est nul et l’expression vaut \(1\) : elles conviennent. À l’intérieur, on divise par \(\cos^2x\) et on pose \(t=\tan x\) : \[t^2-3t+2\geq0 \Longleftrightarrow(t-1)(t-2)\geq0 \Longleftrightarrow t\leq1\ \text{ou}\ t\geq2.\] Soit \(a\) l’unique angle de \(]0;\pi/2[\) dont la tangente vaut \(2\). Cet angle est bien défini par la continuité, la stricte croissance et les limites de la tangente. Comme \(\tan(\pi/4)=1\), le retour à \(x\) donne \(x\leq\pi/4\) ou \(x\geq a\) à l’intérieur du domaine. En réintégrant les bornes déjà vérifiées, \[S=\left[-\frac\pi2;\frac\pi4\right]\cup \left[a;\frac\pi2\right].\] Cette réponse est exacte : la condition \(\tan a=2\), avec \(0<a<\pi/2\), définit \(a\) sans ambiguïté.

Autre approche. On peut factoriser directement en \((\sin x-\cos x)(\sin x-2\cos x)\), puis étudier les deux facteurs. À l’intérieur du domaine, \(\cos x>0\) : leurs signes sont ceux de \(\tan x-1\) et de \(\tan x-2\). On retrouve le même tableau de signes.

Exemple 70 — Une borne exacte qui n'est pas un angle remarquable.

Résoudre \(\cos x\leq0{,}3\) sur \([-\pi;\pi]\). Soit \(a\) l’unique angle de \([0;\pi]\) tel que \(\cos a=0{,}3\). Puisque \(0<0{,}3<1\), cet angle appartient à \(]0;\pi/2[\). Sur \([0;\pi]\), la décroissance donne \(x\geq a\). Par symétrie, sur \([-\pi;0]\), on obtient \(x\leq-a\). Donc \[S=[-\pi;-a]\cup[a;\pi].\] Il est inutile de transformer cette réponse exacte en une réunion d’intervalles dont les bornes auraient été arrondies. Une valeur approchée de \(a\) peut être donnée séparément si la consigne le demande.

Exemple 71 — Retrouver les deux coordonnées d'un angle.

Un angle \(a\) appartient à \([0;\pi/2]\) et vérifie \(\cos a=2\sin a\). Déterminer exactement \(\sin a\) et \(\cos a\). On utilise \(\cos^2a+\sin^2a=1\) : \[4\sin^2a+\sin^2a=1, \qquad\sin^2a=\frac15.\] Sur l’intervalle indiqué, le sinus et le cosinus sont positifs ou nuls. Ainsi \[\sin a=\frac1{\sqrt5},\qquad \cos a=\frac2{\sqrt5}.\] Ces coordonnées déterminent bien un unique point du quart de cercle considéré. On a répondu exactement sans avoir besoin d’une expression particulière pour l’angle lui-même.

Exemple 72 — Affiner une borne sans changer la réponse exacte.

Soit \(a\in[0;\pi]\) tel que \(\cos a=0{,}3\). Comme \(\cos(\pi/3)=1/2>0{,}3\) et \(\cos(\pi/2)=0<0{,}3\), on sait d’abord que \[\frac\pi3<a<\frac\pi2.\] La calculatrice, en mode radians, donne \(a\approx1{,}2661\). Un contrôle des valeurs du cosinus donne \(\cos(1{,}266)>0{,}3000\) et \(\cos(1{,}267)<0{,}3000\) ; on obtient numériquement \(1{,}266<a<1{,}267\).

La comparaison doit être faite avec suffisamment de chiffres pour que l’arrondi ne puisse inverser le signe. Si une justification numérique rigoureuse est demandée, il faut disposer de bornes sur les erreurs de calcul ou utiliser des encadrements démontrés, comme au repère 54. La solution exacte de l’inéquation précédente reste \([-\pi;-a]\cup[a;\pi]\).

Exemple 73 — L'affichage ne donne pas toutes les solutions.

La calculatrice fournit un angle \(b\approx0{,}3047\) dont le sinus vaut \(0{,}3\). Pour résoudre \(\sin x=0{,}3\) sur \([0;2\pi[\), on définit exactement \(b\) par \(0<b<\pi/2\) et \(\sin b=0{,}3\). Les deux solutions sont \[x=b\quad\text{ou}\quad x=\pi-b.\] La seconde est dans \(]\pi/2;\pi[\). Les angles de \([\pi;2\pi[\) ont un sinus négatif ou nul : ils ne conviennent pas. Une seule valeur affichée ne remplace donc pas la lecture complète du cercle.

Exemple 74 — Un quotient devient une somme très simple.

Résoudre \[\frac{1+\sin x}{1-\cos x}\geq1 \quad\text{sur }[-\pi;\pi].\] Sur cet intervalle, \(1-\cos x=0\) seulement en \(x=0\). Ce point est interdit. Pour tout autre angle du domaine, \(1-\cos x>0\), donc \[\frac{1+\sin x}{1-\cos x}\geq1 \Longleftrightarrow1+\sin x\geq1-\cos x \Longleftrightarrow\sin x+\cos x\geq0.\] La formule d’addition donne \(\sin x+\cos x=\sqrt2\cos(x-\pi/4)\). L’angle \(x-\pi/4\) parcourt \([-5\pi/4;3\pi/4]\). Sur cette plage, le cosinus est positif ou nul exactement entre \(-\pi/2\) et \(\pi/2\). Ainsi \[-\frac\pi2\leq x-\frac\pi4\leq\frac\pi2 \Longleftrightarrow-\frac\pi4\leq x\leq\frac{3\pi}4.\] Il faut encore retirer la valeur interdite \(0\) : \[\boxed{S=\left[-\frac\pi4;0\right[\cup \left]0;\frac{3\pi}4\right].}\] Aux deux bornes conservées, la somme \(\sin x+\cos x\) vaut zéro, donc le quotient initial vaut bien \(1\).

Exemple 75 — Un demi-angle utile sans changement de variable général.

Résoudre \(2\sin x+\cos x\geq1\) sur \([-\pi;\pi]\). La duplication permet d’écrire \[2\sin x+\cos x-1 =2\sin\frac x2\left(2\cos\frac x2-\sin\frac x2\right).\] Pour alléger la lecture, posons \(h=x/2\) : l’angle \(h\) appartient à \([-\pi/2;\pi/2]\). Soit \(a\) l’angle de \(]0;\pi/2[\) dont les coordonnées sont \[\cos a=\frac1{\sqrt5},\qquad \sin a=\frac2{\sqrt5}.\] Ces coordonnées sont positives et leurs carrés ont pour somme \(1\) : elles déterminent un unique point du premier quart du cercle. La formule de différence donne \[2\cos h-\sin h=\sqrt5\sin(a-h).\] Pour \(-\pi/2\leq h<a\), on a \(0<a-h<\pi\), donc ce facteur est positif. Il s’annule en \(h=a\), puis devient négatif pour \(a<h\leq\pi/2\). De son côté, \(\sin h\) est négatif pour \(h<0\), nul en \(0\) et positif pour \(h>0\).

Le produit est donc positif ou nul exactement pour \(0\leq h\leq a\). Le retour à \(x\) donne \[\boxed{S=[0;2a].}\] Les bornes \(-\pi\) et \(\pi\) ne sont pas solutions : dans l’expression initiale, le membre gauche vaut \(-1\).

Autre approche. La réduction à une seule fonction donne \(2\sin x+\cos x=\sqrt5\cos(x-a)\). Comme \(1=\sqrt5\cos a\), on résout \(\cos(x-a)\geq\cos a\). Sur le domaine de l’angle \(x-a\), la portion retenue est \([-a;a]\), ce qui redonne \([0;2a]\) pour \(x\).

Exemple 76 — Une équation du troisième degré retrouve un angle simple.

Résoudre \(4\cos^3x-3\cos x=1\) sur \([0;2\pi[\). Le membre gauche est \(\cos(3x)\) : l’équation devient \(\cos(3x)=1\). Comme \(3x\) parcourt \([0;6\pi[\), les angles possibles sont \(0\), \(2\pi\) et \(4\pi\). Le point \(6\pi\) est exclu par le domaine. Après division par \(3\), \[S=\left\{0;\frac{2\pi}3;\frac{4\pi}3\right\}.\] Une résolution en posant \(X=\cos x\) serait également possible, mais elle imposerait d’abord une factorisation du polynôme. Reconnaître l’identité raccourcit le calcul.

Exemple 77 — Factoriser après avoir développé l'angle.

Résoudre \(\sin(3x)=\sin x\) sur \([0;2\pi[\). La formule triple donne \[3\sin x-4\sin^3x=\sin x \Longleftrightarrow2\sin x(1-2\sin^2x)=0.\] Le produit est nul si \(\sin x=0\) ou \(\sin^2x=1/2\). Le premier cas donne \(0\) et \(\pi\). Le second donne \(\sin x=\sqrt2/2\) ou \(\sin x=-\sqrt2/2\), donc quatre angles supplémentaires. Ainsi \[S=\left\{0;\frac\pi4;\frac{3\pi}4;\pi; \frac{5\pi}4;\frac{7\pi}4\right\}.\]

Exemple 78 — Une quatrième puissance, deux démarches.

Première démarche : utiliser deux fois \(\cos^2u=(1+\cos(2u))/2\). \[\begin{aligned} \cos^4x&=\left(\frac{1+\cos(2x)}2\right)^2\\ &=\frac14\left(1+2\cos(2x)+\cos^2(2x)\right)\\ &=\frac14\left(1+2\cos(2x)+\frac{1+\cos(4x)}2\right)\\ &=\frac38+\frac12\cos(2x)+\frac18\cos(4x). \end{aligned}\] Seconde démarche : utiliser \(\cos^3x=(\cos(3x)+3\cos x)/4\), puis multiplier par \(\cos x\). \[\begin{aligned} \cos^4x &=\frac14\cos x\cos(3x)+\frac34\cos^2x\\ &=\frac18\bigl(\cos(4x)+\cos(2x)\bigr) +\frac38\bigl(1+\cos(2x)\bigr). \end{aligned}\] En regroupant, on retrouve exactement la même expression. En \(x=0\), les coefficients ont pour somme \(1\) ; en \(x=\pi/2\), l’expression vaut \(3/8-1/2+1/8=0\). Ces contrôles peuvent détecter une erreur de coefficient.

Exemple 79 — Isoler le cube dans une identité.

La formule \(\cos(3x)=4\cos^3x-3\cos x\) donne \[\cos^3x=\frac14\cos(3x)+\frac34\cos x.\] Le coefficient \(3/4\) se déduit de l’égalité \(4\cos^3x=\cos(3x)+3\cos x\). Un coefficient \(3/8\) à sa place donnerait \(5/8\) en zéro, au lieu de \(1\) : tester un angle simple est un contrôle utile, mais la preuve reste le calcul à partir de l’identité triple.

Exemple 80 — Résoudre une équation algébrique grâce au cosinus.

Résoudre \(4X^3-3X=1/2\) dans \(\mathbb{R}\). La fonction \(P(X)=4X^3-3X\) a pour dérivée \(12X^2-3\), strictement positive pour \(X\geq1\). Comme \(P(1)=1\), aucun \(X\geq1\) ne convient. De plus, \(P(-X)=-P(X)\) : pour \(X\leq-1\), on a \(P(X)\leq-1\), donc aucune solution non plus. Toutes les solutions sont ainsi dans \(]-1;1[\).

Chaque nombre \(X\) de cet intervalle s’écrit de façon unique \(X=\cos a\), avec \(0<a<\pi\). L’identité triple transforme alors l’équation en \(\cos(3a)=1/2\), avec \(0<3a<3\pi\). Les angles possibles sont \(\pi/3\), \(5\pi/3\) et \(7\pi/3\). Par conséquent, les trois solutions sont \[\boxed{\cos\frac\pi9,\quad \cos\frac{5\pi}9,\quad \cos\frac{7\pi}9.}\] Elles sont distinctes, car le cosinus est strictement décroissant sur \([0;\pi]\). Le raisonnement a d’abord délimité toutes les valeurs possibles de \(X\), puis les a toutes examinées : la liste est complète.

Exemple 81 — Cinq cosinus dont quatre s'annulent deux à deux.

Calculer \[C=1+\cos\frac\pi5+\cos\frac{2\pi}5 +\cos\frac{3\pi}5+\cos\frac{4\pi}5.\] Comme \(\cos(\pi-a)=-\cos a\), \[\cos\frac\pi5+\cos\frac{4\pi}5=0, \qquad \cos\frac{2\pi}5+\cos\frac{3\pi}5=0.\] Il reste donc \(C=1\). Le nombre de termes et les angles présents permettent ici une résolution immédiate.

Exemple 82 — Une somme plus générale par télescopage.

Pour un entier naturel \(n\), on pose \[C=\cos a+\cos(a+t)+\cos(a+2t)+\cdots+\cos(a+nt).\] Il y a \(n+1\) termes : le premier correspond à zéro ajout de \(t\), et le dernier à \(n\) ajouts. Supposons que \(t\) ne soit pas un multiple entier de \(2\pi\). Alors \(\sin(t/2)\ne0\). La formule de différence des sinus donne, pour chaque entier \(k\) entre \(0\) et \(n\), \[2\sin\frac t2\cos(a+kt) =\sin\left(a+kt+\frac t2\right) -\sin\left(a+kt-\frac t2\right).\] Pour \(n\geq2\), les trois premiers termes du membre droit montrent comment les termes s’annulent : \[\begin{aligned} &\sin(a+t/2)-\sin(a-t/2),\\ &\sin(a+3t/2)-\sin(a+t/2),\\ &\sin(a+5t/2)-\sin(a+3t/2). \end{aligned}\] Chaque terme positif, sauf le dernier, est opposé au terme négatif de la ligne suivante. Après addition de toutes les lignes, \[2\sin\frac t2\,C =\sin\left(a+nt+\frac t2\right)-\sin\left(a-\frac t2\right).\] On transforme cette dernière différence en produit, puis on divise par \(2\sin(t/2)\) : \[\boxed{C=\frac{\sin\left(\frac{(n+1)t}{2}\right)} {\sin(t/2)}\cos\left(a+\frac{nt}{2}\right).}\] Si \(t\) est un multiple entier de \(2\pi\), chaque cosinus vaut au contraire \(\cos a\). Dans ce cas, le résultat est simplement \((n+1)\cos a\) : on n’utilise pas la formule comportant une division par zéro.

Exemple 83 — La dérivée de l'angle est presque présente.

Chercher une primitive de \(f(x)=x\cos(x^2)\). L’angle est \(u(x)=x^2\) et sa dérivée est \(u'(x)=2x\). La dérivée de \(\sin(x^2)\) vaut donc \(2x\cos(x^2)\), soit deux fois la fonction voulue. Il suffit de diviser par \(2\) : \[F(x)=\frac12\sin(x^2).\] Le contrôle est immédiat : \(F'(x)=\frac12\times2x\cos(x^2)=f(x)\).

Exemple 84 — Une puissance impaire se sépare en deux termes.

Chercher une primitive de \(\sin^3x\). On utilise \(\sin^2x=1-\cos^2x\) : \[\sin^3x=\sin x-\cos^2x\sin x.\] Une primitive du premier terme est \(-\cos x\). Pour le second, la dérivation composée donne \((\cos^3x)'=-3\cos^2x\sin x\). Une primitive de \(-\cos^2x\sin x\) est donc \(\cos^3x/3\). On obtient \[F(x)=-\cos x+\frac{\cos^3x}{3}.\] En dérivant, \(F'(x)=\sin x-\cos^2x\sin x=\sin^3x\).

Autre voie. L’identité \(\sin^3x=(3\sin x-\sin(3x))/4\) donne la primitive \(G(x)=-3\cos x/4+\cos(3x)/12\). La formule \(\cos(3x)=4\cos^3x-3\cos x\) permet de vérifier que \(G(x)=F(x)\).

Exemple 85 — Une puissance paire se transforme en somme.

Le repère 48 donne \[\cos^4x=\frac38+\frac12\cos(2x)+\frac18\cos(4x).\] On cherche une primitive de chaque terme : \[F(x)=\frac{3x}{8}+\frac{\sin(2x)}4+\frac{\sin(4x)}{32}.\] En effet, les dérivées des deux sinus multiplient leurs coefficients par \(2\) et par \(4\). Pour calculer une intégrale, on évalue ensuite cette primitive aux bornes : \[\int_0^{\pi/2}\cos^4x\mathop{}\!\mathrm{d} x =F\left(\frac\pi2\right)-F(0) =\frac{3\pi}{16}.\]

Exemple 86 — Dériver le facteur qui devient plus simple.

Calculer \(I=\displaystyle\int_0^\pi x\sin x\mathop{}\!\mathrm{d} x\). On choisit \(u(x)=x\) et \(v'(x)=\sin x\). Alors \(u'(x)=1\) et on peut prendre \(v(x)=-\cos x\). Ainsi \[\begin{aligned} I&=[-x\cos x]_0^\pi+\int_0^\pi\cos x\mathop{}\!\mathrm{d} x\\ &=\pi+[\sin x]_0^\pi=\pi. \end{aligned}\] La primitive \(-x\cos x+\sin x\) permet également de vérifier le résultat : sa dérivée est \(x\sin x\).

Exemple 87 — Deux intégrations par parties donnent une équation.

Calculer \[I=\int_0^\pi{\mathrm{e}}^x\cos x\mathop{}\!\mathrm{d} x, \qquad J=\int_0^\pi{\mathrm{e}}^x\sin x\mathop{}\!\mathrm{d} x.\] Dans \(I\), on dérive \(\cos x\) et on prend \({\mathrm{e}}^x\) comme primitive de l’exponentielle : \[I=[{\mathrm{e}}^x\cos x]_0^\pi+J=-{\mathrm{e}}^\pi-1+J.\] Dans \(J\), la même organisation donne \[J=[{\mathrm{e}}^x\sin x]_0^\pi-I=-I.\] On remplace \(J\) dans la première égalité : \(I=-{\mathrm{e}}^\pi-1-I\). Donc \[\boxed{I=-\frac{{\mathrm{e}}^\pi+1}{2}.}\] Les deux intégrales sont des nombres ; on a simplement résolu une équation du premier degré en \(I\).

Retrouver une primitive. Le calcul suggère \(F(x)={\mathrm{e}}^x(\cos x+\sin x)/2\). Sa dérivée vaut bien \({\mathrm{e}}^x(\cos x+\sin x-\sin x+\cos x)/2={\mathrm{e}}^x\cos x\). L’évaluation de \(F\) entre \(0\) et \(\pi\) confirme le résultat.

Exemple 88 — Une suite d'intégrales calculée de deux rangs en deux rangs.

Posons \(I_0=\pi/2\) et, pour tout entier \(n\geq1\), \[I_n=\int_0^{\pi/2}\sin^n x\mathop{}\!\mathrm{d} x.\] On a \(I_1=[-\cos x]_0^{\pi/2}=1\). Pour \(n\geq2\), on écrit \(\sin^n x=\sin^{n-1}x\sin x\) et on choisit \[u(x)=\sin^{n-1}x,\qquad v'(x)=\sin x.\] Alors \(u'(x)=(n-1)\sin^{n-2}x\cos x\) et \(v(x)=-\cos x\). Le terme \([-\sin^{n-1}x\cos x]_0^{\pi/2}\) est nul : à droite, le cosinus vaut zéro ; à gauche, \(\sin^{n-1}0=0\), puisque \(n-1\geq1\). Donc \[\begin{aligned} I_n&=(n-1)\int_0^{\pi/2}\sin^{n-2}x\cos^2x\mathop{}\!\mathrm{d} x\\ &=(n-1)\int_0^{\pi/2}\sin^{n-2}x(1-\sin^2x)\mathop{}\!\mathrm{d} x\\ &=(n-1)(I_{n-2}-I_n). \end{aligned}\] On ajoute \((n-1)I_n\) aux deux membres : \(nI_n=(n-1)I_{n-2}\). Ainsi \[\boxed{I_n=\frac{n-1}{n}I_{n-2}\quad\text{pour }n\geq2.}\] Par exemple, \[I_4=\frac34 I_2=\frac34\times\frac12 I_0=\frac{3\pi}{16}, \qquad I_5=\frac45 I_3=\frac45\times\frac23 I_1=\frac8{15}.\] Les rangs pairs se ramènent à \(I_0\) ; les rangs impairs à \(I_1\).

Exemple 89 — Un quotient dont le numérateur est une dérivée connue.

Calculer \[I=\int_0^\pi\frac{\sin x}{2+\cos x}\mathop{}\!\mathrm{d} x.\] Le dénominateur est strictement positif puisque \(2+\cos x\geq1\). Sa dérivée est \(-\sin x\). Une primitive du quotient est donc \(F(x)=-\ln(2+\cos x)\), car \[F'(x)=-\frac{-\sin x}{2+\cos x} =\frac{\sin x}{2+\cos x}.\] L’évaluation aux bornes donne \[I=-\ln1+\ln3=\ln3.\] Le signe positif est cohérent avec celui de la fonction sur \([0;\pi]\).

Exemple 90 — Obtenir une information sans connaître de primitive simple.

Encadrer \[J=\int_0^\pi\frac1{2+\cos x}\mathop{}\!\mathrm{d} x.\] L’encadrement \(-1\leq\cos x\leq1\) donne \(1/3\leq1/(2+\cos x)\leq1\), puis \(\pi/3\leq J\leq\pi\). On peut faire mieux en séparant l’intervalle en deux parties.

Sur \([0;\pi/2]\), on a \(0\leq\cos x\leq1\), donc \(1/3\leq1/(2+\cos x)\leq1/2\). Sur \([\pi/2;\pi]\), on a \(-1\leq\cos x\leq0\), donc \(1/2\leq1/(2+\cos x)\leq1\). En intégrant chaque encadrement, puis en additionnant, \[\frac\pi6+\frac\pi4\leq J\leq\frac\pi4+\frac\pi2, \qquad \boxed{\frac{5\pi}{12}\leq J\leq\frac{3\pi}{4}.}\] C’est un encadrement, pas une valeur exacte. Il est plus précis que le précédent parce qu’il utilise le signe du cosinus sur chaque moitié de l’intervalle.

Exemple 91 — Approcher le sinus avec une précision annoncée.

Pour \(x=0{,}1\), l’encadrement du sinus donne \[0\leq\sin(0{,}1)-\left(0{,}1-\frac{0{,}1^3}{6}\right) \leq\frac{0{,}1^5}{120}<8{,}34\times10^{-8}.\] Le nombre \(0{,}1-0{,}001/6=0{,}099833333\ldots\) approche donc \(\sin(0{,}1)\) avec une erreur inférieure à \(10^{-7}\). On a démontré cette précision pour l’argument considéré : elle ne s’applique pas automatiquement à tout \(x\).

De même, pour tout réel \(x\), \[0\leq\cos x-\left(1-\frac{x^2}{2}\right)\leq\frac{x^4}{24}.\] La parabole \(y=1-x^2/2\) approche le cosinus près de zéro, mais ne décrit pas sa périodicité sur toute la droite.

Exemple 92 — Calculer une limite lorsque les premiers termes s'annulent.

Pour \(x>0\), l’encadrement du sinus donne \[0\leq\frac{\sin x-x+x^3/6}{x^3}\leq\frac{x^2}{120}.\] Par encadrement, \(\displaystyle\lim_{x\to0^+}\frac{\sin x-x}{x^3}=-1/6\). La fonction \(x\mapsto(\sin x-x)/x^3\) est paire sur les réels non nuls : le numérateur et le dénominateur changent tous deux de signe quand on remplace \(x\) par \(-x\). La limite à gauche est donc la même, et \[\boxed{\lim_{x\to0}\frac{\sin x-x}{x^3}=-\frac16.}\] L’approximation \(\sin x\approx x\) seule ne permettait pas de conclure, car ces deux termes se soustraient. Il fallait un encadrement plus précis de leur différence.

Exemple 93 — Deux données déterminent deux coefficients.

On propose un modèle \[y(t)=A\cos(3t)+B\sin(3t),\] où \(A\) et \(B\) sont deux constantes. Déterminer ces constantes si \(y(0)=2\) et \(y'(0)=-3\), puis vérifier la relation \(y''+9y=0\).

Comme \(\cos0=1\) et \(\sin0=0\), la première condition donne \(A=2\). La dérivée est \(y'(t)=-3A\sin(3t)+3B\cos(3t)\). La seconde condition donne donc \(3B=-3\), soit \(B=-1\). Le modèle est \[y(t)=2\cos(3t)-\sin(3t).\] En dérivant une seconde fois, \(y''(t)=-18\cos(3t)+9\sin(3t)=-9y(t)\). La relation demandée est vérifiée pour tout réel \(t\).

L’amplitude vaut \(\sqrt{2^2+(-1)^2}=\sqrt5\) et une période est \(2\pi/3\). Ces informations proviennent de la forme de l’expression, tandis que les conditions en zéro déterminent ses coefficients.

Exemple 94 — Une oscillation amortie n'est pas périodique.

On propose \(z(t)={\mathrm{e}}^{-t}\cos(3t)\) pour \(t\geq0\). Le produit se dérive en \[z'(t)={\mathrm{e}}^{-t}\bigl(-\cos(3t)-3\sin(3t)\bigr).\] Une seconde dérivation donne \[z''(t)={\mathrm{e}}^{-t}\bigl(-8\cos(3t)+6\sin(3t)\bigr).\] On peut alors vérifier directement la relation fournie \(z''+2z'+10z=0\) : les coefficients des cosinus donnent \(-8-2+10=0\), ceux des sinus donnent \(6-6=0\).

Comme \(|\cos(3t)|\leq1\), on a \(|z(t)|\leq{\mathrm{e}}^{-t}\). Les oscillations se trouvent donc entre les courbes \(y=-{\mathrm{e}}^{-t}\) et \(y={\mathrm{e}}^{-t}\) et tendent vers zéro par encadrement. La fonction n’est pas périodique : \(z(0)=1\), tandis que pour tout \(T>0\), \(|z(T)|\leq{\mathrm{e}}^{-T}<1\) ; aucune période positive ne peut ramener la valeur initiale.

Exemple 95 — Moyenne et moyenne du carré.

Soit \(p(x)=2+3\cos(2x)-\sin(3x)\). Les intégrales des deux termes trigonométriques sont nulles sur \([-\pi;\pi]\). Ainsi l’intégrale de \(p\) vaut \(4\pi\), et sa moyenne est \(2\).

Pour la moyenne de son carré, on développe d’abord : \[\begin{aligned} p(x)^2={}&4+9\cos^2(2x)+\sin^2(3x)\\ &+12\cos(2x)-4\sin(3x)-6\cos(2x)\sin(3x). \end{aligned}\] Les intégrales des termes \(12\cos(2x)\) et \(-4\sin(3x)\) sont nulles. Pour le dernier produit, la formule \[2\cos(2x)\sin(3x)=\sin(5x)+\sin x\] montre que son intégrale est nulle également. Les trois termes restants donnent \(8\pi+9\pi+\pi=18\pi\). La moyenne de \(p^2\) est donc \(18\pi/(2\pi)=9\). Elle diffère du carré de la moyenne de \(p\), qui vaut \(2^2=4\).

Exemple 96 — Une puissance élevée sans développement complet.

Calculer la moyenne de \(\sin^6x\) sur \([-\pi;\pi]\). L’identité \(\sin^3x=(3\sin x-\sin(3x))/4\) donne, après élévation au carré, \[\sin^6x=\frac9{16}\sin^2x -\frac38\sin x\sin(3x) +\frac1{16}\sin^2(3x).\] Le produit se transforme en \(2\sin x\sin(3x)=\cos(2x)-\cos(4x)\) : son intégrale est nulle sur l’intervalle. Les deux carrés ont chacun une intégrale égale à \(\pi\). Ainsi \[\int_{-\pi}^{\pi}\sin^6x\mathop{}\!\mathrm{d} x=\frac{10\pi}{16} =\frac{5\pi}{8}.\] La moyenne vaut donc \(\dfrac{5\pi/8}{2\pi}=\dfrac5{16}\). Chaque annulation a été justifiée par une identité et un calcul de primitive.

Exemple 97 — Retrouver trois coefficients grâce à trois intégrales.

Une fonction s’écrit \(q(x)=a+b\cos x+c\sin x\). On sait que, sur \([-\pi;\pi]\), l’intégrale de \(q\) vaut \(4\pi\), celle de \(q(x)\cos x\) vaut \(-3\pi\) et celle de \(q(x)\sin x\) vaut \(\pi\). Retrouver \(a\), \(b\) et \(c\).

L’intégrale de \(q\) vaut \(2\pi a\), donc \(a=2\). On développe ensuite \(q(x)\cos x=a\cos x+b\cos^2x+c\sin x\cos x\). L’intégrale du premier terme est nulle, celle du deuxième vaut \(b\pi\), et celle du dernier est nulle puisque \(2\sin x\cos x=\sin(2x)\). Ainsi \(b\pi=-3\pi\), donc \(b=-3\). De même, en développant \(q(x)\sin x\), seule l’intégrale de \(c\sin^2x\) subsiste : elle vaut \(c\pi\). Donc \(c=1\) et \[q(x)=2-3\cos x+\sin x.\] Trois égalités numériques ont permis de déterminer les trois constantes.