Le cours

Comprendre une pente instantanée, puis apprendre à la calculer.

Des définitions précises, des démonstrations complètes, des exemples expliqués et des essais corrigés pour construire les notions et savoir les réutiliser.

Définition et notation 1.1 — Fonction, image et domaine

Une fonction \(f\) associe à chaque nombre \(x\) de son domaine de définition \(D_f\) une unique image notée \(f(x)\). La lettre \(f\) désigne la fonction ; \(f(x)\) désigne un nombre lorsque \(x\) est fixé.

On note \(\mathcal C_f\) sa courbe : un point \(M(x;y)\) appartient à \(\mathcal C_f\) si et seulement si \(x\in D_f\) et \(y=f(x)\).

Exemple 1.2 — Lire une expression avant de calculer

Pour \(f(x)=\dfrac{x+2}{x-3}\), le dénominateur interdit \(x=3\), donc \(D_f=\mathbb R\setminus\{3\}\). En particulier, \[f(-1)=\frac{-1+2}{-1-3}=\frac{1}{-4}=-\frac14.\] Pour \(g(x)=\sqrt{5-2x}\), on exige \(5-2x\geq0\). Soustraire \(5\) donne \(-2x\geq-5\) ; diviser par \(-2<0\) inverse l’inégalité et donne \(x\leq\frac52\). Ainsi \(D_g=]-\infty;\frac52]\).

Convention 1.3 — Les rôles de \(a\), \(x\) et \(h\)

Dans un calcul local, \(a\) est une abscisse fixée. On compare les images de \(a\) et d’une abscisse voisine \(a+h\). Le nombre \(h\) est l’écart signé entre les deux abscisses : \[x=a+h\quad\Longleftrightarrow\quad h=x-a.\] Si \(h>0\), le point voisin est à droite de \(a\) ; si \(h<0\), il est à gauche. On impose \(h\neq0\) lorsqu’on divise par cet écart.

Exemple 1.4 — Remplacer toutes les occurrences

Soit \(f(x)=2x^2-3x+1\). Calculons \(f(1+h)\), sans oublier les parenthèses : \[\begin{aligned} f(1+h)&=2(1+h)^2-3(1+h)+1,\\ (1+h)^2&=(1+h)(1+h)\\ &=1\times1+1\times h+h\times1+h\times h\\ &=1+h+h+h^2=1+2h+h^2. \end{aligned}\] On revient à l’expression entière : \[\begin{aligned} f(1+h)&=2(1+2h+h^2)-3(1+h)+1\\ &=2+4h+2h^2-3-3h+1\\ &=(2-3+1)+(4h-3h)+2h^2\\ &=h+2h^2. \end{aligned}\] Ici \(f(1)=2-3+1=0\). Donc \(f(1+h)-f(1)=h+2h^2\), et non \(f(h)\).

Propriétés — rappel algébrique 1.5 — Identités utiles et facteurs

Pour tous réels \(A\) et \(B\), \[(A+B)^2=A^2+2AB+B^2,\qquad (A-B)(A+B)=A^2-B^2.\] Ces identités viennent de la distributivité. On peut supprimer dans un quotient un facteur commun non nul, pas des termes séparés par une addition.

Démonstration.

Le premier produit vaut \(A^2+AB+BA+B^2=A^2+2AB+B^2\). Le second vaut \(A^2+AB-BA-B^2=A^2-B^2\). Enfin, pour \(c\neq0\), \(\frac{cU}{cV}=\frac UV\) lorsque \(V\neq0\), car on divise le numérateur et le dénominateur par le même nombre \(c\). \(\square\)

Exemple 1.6 — Le facteur qui permettra de simplifier

Pour \(h\neq0\), \[\begin{aligned} \frac{6h+2h^2}{h} &=\frac{h\times6+h\times2h}{h}\\ &=\frac{h(6+2h)}h\\ &=\frac hh(6+2h)=1\times(6+2h)=6+2h. \end{aligned}\] Le \(h\) a été supprimé comme facteur de tout le numérateur. En revanche, \(\frac{6+h}{h}\) vaut \(\frac6h+1\), pas \(7\).

Exemple 1.7 — Dénominateur commun et grande fraction

Pour \(a\neq0\) et \(a+h\neq0\), mettre \(\frac1{a+h}\) et \(\frac1a\) au même dénominateur donne \[\begin{aligned} \frac1{a+h}-\frac1a &=\frac{a}{a(a+h)}-\frac{a+h}{a(a+h)}\\ &=\frac{a-(a+h)}{a(a+h)}\\ &=\frac{a-a-h}{a(a+h)}=\frac{-h}{a(a+h)}. \end{aligned}\] Si l’on divise encore par \(h\neq0\), la grande barre signifie une nouvelle division : \[\frac{\dfrac{-h}{a(a+h)}}{h} =\frac{-h}{a(a+h)}\times\frac1h =-\frac{h}{h}\times\frac1{a(a+h)} =-\frac1{a(a+h)}.\] On inverse le diviseur \(h\), pas la fraction du numérateur.

Propriété — rappel géométrique 1.8 — Coefficient directeur d’une droite

Si \(A(x_A;y_A)\) et \(B(x_B;y_B)\) ont des abscisses distinctes, la pente de \((AB)\) est \[m=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}.\] Une droite non verticale a une équation \(y=mx+p\). Une droite verticale a une équation \(x=c\) et n’a pas de coefficient directeur réel.

Démonstration.

Les deux points vérifient \(y_A=mx_A+p\) et \(y_B=mx_B+p\). En soustrayant, \(y_B-y_A=m(x_B-x_A)\). On divise par \(x_B-x_A\neq0\) pour isoler \(m\). \(\square\)

À toi 1.9 — Petit diagnostic et reprise des bases

Essaie d’abord. Pour \(F(x)=x^2-2x\), calculer \(F(-2)\) ; développer \(F(a+h)-F(a)\) ; simplifier \(\frac{h^2-4h}{h}\) pour \(h\neq0\) ; déterminer la pente entre \(P(-1;4)\) et \(Q(3;-2)\).

Correction expliquée.

\(F(-2)=(-2)^2-2(-2)=4+4=8\). Ensuite, \[\begin{aligned} F(a+h)-F(a)&=(a+h)^2-2(a+h)-(a^2-2a)\\ &=a^2+2ah+h^2-2a-2h-a^2+2a\\ &=2ah+h^2-2h=h(2a+h-2). \end{aligned}\] On a \(\frac{h^2-4h}{h}=\frac{h(h-4)}h=h-4\). Enfin \(m=\frac{-2-4}{3-(-1)}=\frac{-6}{4}=-\frac32\).

Reprise si un signe bloque. Dans \(-(a^2-2a)\), distribuer \(-1\) donne \(-a^2+2a\). Nouvel essai : \(-(3h-2h^2)=-3h+2h^2\). Reprends ensuite la ligne où \(F(a)\) est soustrait.

À expliquer avec tes mots. Pourquoi simplifier \(h\) demande-t-il \(h\neq0\) ? Parce que le quotient \(h/h\) doit être défini avant de valoir \(1\) ; aucune division par zéro n’est autorisée.

À reprendre plus tard, avant de relire. Pour \(G(x)=3x^2+x\), obtenir \(G(a+h)-G(a)\). Correction : \(3(a^2+2ah+h^2)+a+h-(3a^2+a)=6ah+3h^2+h=h(6a+3h+1)\).

Repères de réussite. Je remplace chaque occurrence, je garde les parenthèses de la soustraction et j’identifie le facteur réellement simplifié.

Définition 2.1 — Taux de variation ou taux d’accroissement

Soit \(f\) définie en deux réels distincts \(a\) et \(b\). Le taux de variation de \(f\) entre \(a\) et \(b\) est le réel \[\tau_f(a,b)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.\] Avec \(b=a+h\) et \(h\neq0\), on écrit aussi \[\tau_f(a,a+h)=\frac{f(a+h)-f(a)}h.\] Les deux abscisses doivent appartenir au domaine de \(f\).

Proposition 2.2 — Interprétation géométrique et ordre des points

Le taux \(\tau_f(a,b)\) est le coefficient directeur de la sécante passant par \(A(a;f(a))\) et \(B(b;f(b))\). De plus, \[\tau_f(a,b)=\tau_f(b,a).\]

Démonstration.

La pente de \((AB)\) est \(\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\). Inverser l’ordre des points change les deux différences en leurs opposés : \[\frac{f(a)-f(b)}{a-b} =\frac{-(f(b)-f(a))}{-(b-a)} =\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.\] Le quotient est inchangé, puisque les deux facteurs \(-1\) se simplifient. \(\square\)

Exemple 2.3 — Un même changement moyen, des points différents

Pour \(f(x)=x^2\), entre \(-1\) et \(2\), les images sont \(1\) et \(4\) : \[\tau_f(-1,2)=\frac{4-1}{2-(-1)}=\frac33=1.\] Entre \(2\) et \(3\), on trouve \(\frac{9-4}{3-2}=5\). Le taux n’est pas fixé une fois pour toutes par la fonction ; il dépend en général des abscisses choisies.

En laissant \(a\) et \(b\) quelconques, avec \(a\neq b\), \[\tau_f(a,b)=\frac{b^2-a^2}{b-a} =\frac{(b-a)(b+a)}{b-a}=a+b.\] Ce résultat général retrouve \(-1+2=1\) et \(2+3=5\).

Théorème 2.4 — Taux constant d’une fonction affine

Si \(f(x)=mx+p\), alors, pour tous \(a\neq b\), \(\tau_f(a,b)=m\).

Réciproquement, si une fonction définie sur un intervalle comportant au moins deux points vérifie \(\tau_f(a,b)=m\) pour toutes les abscisses distinctes de cet intervalle, elle est affine sur cet intervalle.

Démonstration.

Pour la première affirmation, \[\frac{f(b)-f(a)}{b-a} =\frac{mb+p-(ma+p)}{b-a} =\frac{mb-ma}{b-a} =\frac{m(b-a)}{b-a}=m.\] Pour la réciproque, fixer une abscisse \(a_0\). Pour \(x\neq a_0\), l’hypothèse donne \[\frac{f(x)-f(a_0)}{x-a_0}=m \quad\Longrightarrow\quad f(x)=mx+f(a_0)-ma_0.\] Cette dernière égalité est aussi vraie en \(x=a_0\). En posant \(p=f(a_0)-ma_0\), on obtient \(f(x)=mx+p\) sur tout l’intervalle. \(\square\)

Exemple 2.5 — Une grandeur et son unité

Un modèle fictif de distance, en mètres, est \(d(t)=3t^2\) pour \(t\geq0\), en secondes. Entre \(t=2\) et \(t=5\), \[v_{\rm moyenne}=\frac{d(5)-d(2)}{5-2} =\frac{75-12}{3}=21\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}.\] Le résultat signifie « \(21\) mètres par seconde en moyenne sur cet intervalle », pas « \(21\) mètres par seconde à chaque instant ».

Piège 2.6 — Taux de variation et pourcentage ne sont pas interchangeables

Un taux d’évolution relatif utilise \(\frac{f(b)-f(a)}{f(a)}\) si \(f(a)\neq0\). Le taux de variation étudié ici utilise \(b-a\) au dénominateur.

Par exemple, une quantité passe de \(40\) à \(50\) entre les instants \(2\) et \(7\). Le taux de variation est \(\frac{50-40}{7-2}=2\) unités de quantité par unité de temps. Le taux d’évolution relatif est \(\frac{10}{40}=\frac14=25\,\%\). Ces deux nombres répondent à deux questions différentes.

À toi 2.7 — Du calcul guidé au taux général

Repérage. Pour \(F(x)=x^2+2x\), quelles sont les deux images utilisées entre \(1\) et \(1+h\) ? Ce sont \(F(1)=3\) et \(F(1+h)\), pas \(F(h)\).

Essai guidé. Développer \(F(1+h)\), soustraire \(3\), puis diviser par \(h\neq0\).

Correction expliquée.

\[F(1+h)=1+2h+h^2+2+2h=3+4h+h^2.\] Ainsi \(\frac{F(1+h)-F(1)}h=\frac{4h+h^2}h=\frac{h(4+h)}h=4+h\).

À tenter avant de lire. Déterminer le taux de \(G(x)=1/x\) entre \(2\) et \(2+h\), avec \(h\neq0\) et \(h\neq-2\).

Correction expliquée.

\[\begin{aligned} \frac{G(2+h)-G(2)}h &=\frac{\frac1{2+h}-\frac12}{h} =\frac{\frac{2-(2+h)}{2(2+h)}}h\\ &=\frac{-h}{2(2+h)}\times\frac1h =-\frac1{2(2+h)}. \end{aligned}\]

À expliquer avec tes mots. Pourquoi les deux restrictions sur \(h\) ? \(h\neq0\) distingue les abscisses ; \(h\neq-2\) garantit que \(2+h\) appartient au domaine de \(G\).

Variation et erreur. Une personne utilise \(F(1+h)-F(h)\) : elle compare \(h\) et \(1+h\), séparés de \(1\), non \(1\) et \(1+h\). Revenir d’abord aux deux abscisses de la consigne. Pour \(H(x)=2x+3\), entre \(4\) et \(4+h\), on obtient \(H(4+h)-H(4)=2h\), puis un taux \(2\).

À reprendre plus tard, avant de relire. Refaire le calcul général pour \(F\) entre \(a\) et \(a+h\). Correction : la différence est \(2ah+h^2+2h=h(2a+h+2)\), donc le taux vaut \(2a+h+2\).

Repères de réussite. Je nomme les deux abscisses, je calcule les deux images et je divise par l’écart correspondant ; j’annonce l’unité lorsqu’il y en a une.

Notation et vocabulaire 3.1 — Une limite finie

L’écriture \(\displaystyle\lim_{h\to0}T(h)=L\), avec \(L\in\mathbb R\), signifie intuitivement que \(T(h)\) peut être rendu aussi proche que l’on veut de \(L\) en prenant \(h\) suffisamment proche de zéro, avec \(h\neq0\) et dans le domaine de \(T\).

\(h\to0^+\) signifie que \(h\) reste positif ; \(h\to0^-\) qu’il reste négatif. Pour une limite des deux côtés, les deux approches doivent conduire au même nombre.

Exemple 3.2 — Un tableau pour conjecturer, un calcul pour conclure

Pour \(T(h)=4+h\), on obtient :

Les valeurs suggèrent la limite \(4\). L’argument valable pour tous les petits \(h\) est \(|T(h)-4|=|h|\) : l’écart à \(4\) est exactement l’écart de \(h\) à zéro.

Propriété — règles admises 3.3 — Opérations sur des limites finies

Si \(U(h)\to\ell\) et \(V(h)\to m\), alors \[U+V\to\ell+m,\qquad U-V\to\ell-m,\qquad UV\to\ell m.\] Pour une constante \(c\), \(cU\to c\ell\). Si \(m\neq0\), alors \(U/V\to\ell/m\) pour les valeurs où ce quotient est défini. Une limite finie, lorsqu’elle existe, est unique.

Ces règles sont admises comme outils de limite dans ce cours ; leur théorie générale n’est pas une démonstration de dérivation. Toute application précisera ses valeurs limites et, pour un quotient, la non-nullité du dénominateur limite.

Exemple 3.4 — Appliquer les règles sans dérivation

Si \(a\) est fixé et \(h\to0\), alors \(a+h\to a\). Les produits successifs donnent \((a+h)^2\to a^2\), \((a+h)^3\to a^3\) et, pour un entier positif fixé \(n\), \((a+h)^n\to a^n\).

Par exemple, \(3h^2-2h+5\to3\times0-2\times0+5=5\). Pour \(\frac{1+h}{3-2h}\), le numérateur tend vers \(1\) et le dénominateur vers \(3\neq0\), donc la limite vaut \(1/3\).

Piège 3.5 — « \(0/0\) » ne donne aucune réponse

Pour \(h\neq0\), les expressions \(h/h\), \(h^2/h\) et \(|h|/h\) ont toutes un numérateur et un dénominateur qui tendent vers zéro. Pourtant : \[\frac hh=1,\qquad \frac{h^2}h=h,\qquad \frac{|h|}h=\begin{cases}1&h>0,\\-1&h<0.\end{cases}\] La première a pour limite \(1\), la deuxième \(0\), la troisième n’a pas de limite commune aux deux côtés. La forme « \(0/0\) » est donc indéterminée : il faut transformer l’expression ou étudier les deux côtés.

Exemple 3.6 — Une expression non définie en zéro peut avoir une limite

Pour \(h\neq0\), \[\frac{(2+h)^2-4}{h} =\frac{4+4h+h^2-4}{h} =\frac{h(4+h)}h=4+h.\] L’expression initiale n’est pas définie en zéro. Sa limite est néanmoins \(4\), parce qu’elle coïncide avec \(4+h\) pour tous les \(h\neq0\) considérés. On simplifie avant de passer à la limite ; on ne calcule jamais \(0/0\).

Vocabulaire 3.7 — Une limite infinie n’est pas un nombre réel

Écrire \(T(h)\to+\infty\) signifie que \(T(h)\) dépasse tout nombre positif fixé lorsque \(h\) s’approche suffisamment de la valeur considérée. On n’obtient pas une valeur réelle appelée « infini ».

Une expression peut aussi n’avoir ni limite finie ni limite infinie commune aux deux côtés.

Exemple 3.8 — Pourquoi \(1/\sqrt h\) devient très grand

On prend \(h>0\). Si l’on veut \(1/\sqrt h>M\) pour un nombre \(M>0\) donné, il suffit de choisir \(0<h<1/M^2\). Alors \(\sqrt h<1/M\), et, les nombres étant positifs, \(1/\sqrt h>M\). Ainsi \(\lim_{h\to0^+}1/\sqrt h=+\infty\). Le quotient ne tend pas vers un nombre réel fini.

À toi 3.9 — Choisir entre simplification et étude des côtés

Essai guidé. Pour \(h\neq0\), simplifier \(\frac{(3+h)^2-9}{h}\) puis calculer sa limite.

Correction expliquée.

\((3+h)^2=9+6h+h^2\), donc le quotient vaut \(\frac{h(6+h)}h=6+h\), qui tend vers \(6\).

À tenter avant de lire. Étudier \(A(h)=\frac{h^2+2h}{h}\) et \(B(h)=\frac{h}{|h|}\) pour \(h\to0\).

Correction expliquée.

\(A(h)=h+2\to2\). Pour \(B\), si \(h>0\), \(B(h)=h/h=1\) ; si \(h<0\), \(B(h)=h/(-h)=-1\). Les limites latérales sont différentes : \(B\) n’a pas de limite en zéro.

À expliquer avec tes mots. Pourquoi un tableau de six valeurs ne suffit-il pas à prouver une limite ? Il ne décrit que six cas. Une conclusion générale doit contrôler l’expression pour toutes les valeurs assez proches, comme la simplification de \(A\).

Reprise. Si tu as écrit « \(0/0=0\) », remplace cet essai par \(h/h\) : il vaut \(1\) pour chaque \(h\neq0\). Recalcule ensuite \(\frac{5h+h^2}{h}=5+h\to5\), puis reviens à \(A\).

À reprendre plus tard, avant de relire. Étudier \(\frac{(1+h)^3-1}{h}\). Correction : le cube se développe en \(1+3h+3h^2+h^3\) ; le quotient vaut \(3+3h+h^2\) et tend vers \(3\).

Repères de réussite. Je distingue valeur et limite, je ne divise pas par zéro, et je vérifie les deux côtés lorsque l’expression change selon le signe.

Définition 4.1 — Dérivabilité en un point intérieur

Soit \(f\) définie sur un intervalle ouvert contenant \(a\). On dit que \(f\) est dérivable en \(a\) lorsque \[\lim_{\substack{h\to0\\h\neq0}}\frac{f(a+h)-f(a)}h\] existe et est un nombre réel fini. Cette limite est le nombre dérivé de \(f\) en \(a\), noté \(f'(a)\).

Le symbole \(f'(a)\) se lit « \(f\) prime de \(a\) ». Il désigne un nombre, pas une fonction.

Proposition 4.2 — Deux écritures de la même définition

Pour une fonction définie au voisinage de \(a\), \[f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}h =\lim_{\substack{x\to a\\x\neq a}}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\] lorsque la limite réelle existe.

Démonstration.

Poser \(x=a+h\) donne exactement \(h=x-a\). Ainsi \(h\neq0\) équivaut à \(x\neq a\) ; \(h\to0\) équivaut à \(x\to a\). Les deux quotients prennent les mêmes valeurs aux abscisses correspondantes. On a changé la manière de désigner le point mobile, pas le calcul. \(\square\)

Méthode 4.3 — Démontrer une dérivabilité à partir de la définition

Fixer \(a\) ; écrire \(f(a)\) et \(f(a+h)\) ; former le taux pour \(h\neq0\) admissible ; le transformer sans changer sa valeur ; calculer sa limite. Conclure par « la limite est réelle, donc \(f\) est dérivable en \(a\) et \(f'(a)=\cdots\) ».

Si la consigne impose cette méthode, citer seulement une formule de dérivation ne répond pas à la demande.

Exemple 4.4 — Un point négatif et une soustraction à surveiller

Soit \(f(x)=2x^2+3x-1\). Démontrons qu’elle est dérivable en \(a=-1\). \[f(-1)=2\times(-1)^2+3\times(-1)-1=2-3-1=-2.\] Pour \(h\neq0\), chaque occurrence de \(x\) est remplacée par \(-1+h\) : \[\begin{aligned} f(-1+h)&=2(-1+h)^2+3(-1+h)-1\\ &=2(1-2h+h^2)-3+3h-1\\ &=2-4h+2h^2-3+3h-1\\ &=-2-h+2h^2. \end{aligned}\] On soustrait l’image \(-2\), ce qui ajoute \(2\) : \[\begin{aligned} \frac{f(-1+h)-f(-1)}h &=\frac{(-2-h+2h^2)-(-2)}h\\ &=\frac{-h+2h^2}h =\frac{h(-1+2h)}h=-1+2h. \end{aligned}\] Lorsque \(h\to0\), \(-1+2h\to-1\). La limite est réelle : \[\boxed{f'(-1)=-1.}\] Contrôle. Pour \(h=0{,}01\), le taux vaut \(-0{,}98\) ; pour \(h=-0{,}01\), il vaut \(-1{,}02\). Ces calculs concordent avec la preuve, sans la remplacer.

Exemple 4.5 — Une fraction dans le taux

Soit \(g(x)=1/x\) et \(a=2\). Il faut \(h\neq0\) et \(2+h\neq0\). On a \[\begin{aligned} \frac{g(2+h)-g(2)}h &=\frac{\dfrac1{2+h}-\dfrac12}{h}\\ &=\frac{\dfrac{2-(2+h)}{2(2+h)}}h\\ &=-\frac1{2(2+h)}. \end{aligned}\] Le dénominateur tend vers \(2\times2=4\), non nul. Donc la limite vaut \(-1/4\) et \(g'(2)=-1/4\).

Lemme 4.6 — Une conséquence indispensable pour les preuves d’opérations

Si \(f\) est dérivable en \(a\), alors \[\lim_{h\to0}f(a+h)=f(a).\] Autrement dit, les images voisines tendent vers l’image du point étudié. Ce résultat est notamment utilisé dans la démonstration de la dérivée d’un produit.

Démonstration.

Pour \(h\neq0\), \[f(a+h)-f(a)=h\times\frac{f(a+h)-f(a)}h.\] Le premier facteur tend vers \(0\) ; le second vers le nombre réel \(f'(a)\). Par la règle de limite d’un produit, leur produit tend vers \(0\times f'(a)=0\). En ajoutant \(f(a)\), on obtient \(f(a+h)\to f(a)\). \(\square\)

À toi 4.7 — Prouver et interpréter un nombre dérivé

Repérage. Pour \(F(x)=x^2+x\), calculer \(F(2)\). Réponse : \(F(2)=4+2=6\) ; ce n’est pas le nombre dérivé.

Essai guidé. Écrire \(F(2+h)=6+\cdots+\cdots\), puis le taux et sa limite.

Correction expliquée.

\(F(2+h)=(2+h)^2+(2+h)=4+4h+h^2+2+h=6+5h+h^2\). Le taux vaut \(\frac{5h+h^2}{h}=5+h\), donc \(F'(2)=5\).

À tenter avant de lire. Pour \(H(x)=3x^2-2x+4\), démontrer que \(H\) est dérivable en \(1\).

Correction expliquée.

\(H(1)=3-2+4=5\). Ensuite \[H(1+h)=3(1+2h+h^2)-2-2h+4=5+4h+3h^2.\] Le taux vaut \(\frac{4h+3h^2}{h}=4+3h\to4\), donc \(H'(1)=4\).

À expliquer avec tes mots. Quelles sont les deux informations de la conclusion ? L’existence d’une limite finie prouve la dérivabilité ; sa valeur donne le nombre dérivé.

Variation. Dire seulement « le numérateur tend vers zéro » est insuffisant : \(h\), \(h^2\) et \(|h|\) tendent tous vers zéro mais leurs quotients par \(h\) ont des comportements différents. Reprendre d’abord \(\frac{2h}{h}=2\), puis le facteur \(h\) dans l’exemple de \(H\).

À reprendre plus tard, avant de relire. Refaire le raisonnement pour \(H\) en \(a=0\). Correction : \(H(0)=4\), \(H(h)-H(0)=3h^2-2h\), donc le taux \(3h-2\) tend vers \(-2\) ; \(H'(0)=-2\).

Repères de réussite. Je distingue \(H(a)\) et \(H'(a)\), j’écris un taux licite et je conclus après sa limite, pas avant.

Définition 5.1 — Tangente en un point où la fonction est dérivable

Si \(f\) est dérivable en \(a\), la tangente \(T_a\) à \(\mathcal C_f\) au point \(A(a;f(a))\) est la droite passant par \(A\) et de coefficient directeur \(f'(a)\).

Théorème 5.2 — Équation de la tangente

Sous les hypothèses de la définition, une équation de \(T_a\) est \[\boxed{y=f'(a)(x-a)+f(a).}\] Dans cette équation, \(a\), \(f(a)\) et \(f'(a)\) sont des nombres fixés ; \(x\) est l’abscisse variable d’un point de la droite.

Démonstration.

Une droite de pente \(f'(a)\) a une équation \(y=f'(a)x+p\). Comme elle passe par \(A(a;f(a))\), ses coordonnées vérifient \[f(a)=f'(a)a+p.\] En soustrayant \(f'(a)a\) aux deux membres, \(p=f(a)-f'(a)a\). Ainsi \[y=f'(a)x+f(a)-f'(a)a=f'(a)(x-a)+f(a).\] La pente et le point fixent un unique \(p\) : la tangente est unique. \(\square\)

Corollaire 5.3 — Reconnaître une tangente horizontale

Pour une fonction dérivable en \(a\), \(T_a\) est horizontale si et seulement si \(f'(a)=0\). Dans ce cas, son équation est \(y=f(a)\).

Démonstration.

Une droite non verticale est horizontale exactement lorsque son coefficient directeur est nul. Celui de \(T_a\) est \(f'(a)\) ; la formule du théorème donne alors \(y=0(x-a)+f(a)=f(a)\). \(\square\)

Piège 5.4 — Pente nulle ne signifie pas image nulle

Pour \(f(x)=x^2+3\) au point \(0\), le taux vaut \(h\) et tend vers \(0\). Donc \(f'(0)=0\), mais \(f(0)=3\). La tangente horizontale est \(y=3\), pas \(y=0\). Un nombre dérivé nul en un point ne signifie pas non plus que la fonction est constante.

Exemple 5.5 — Calculer les deux nombres nécessaires

Pour \(f(x)=x^2+2x\), on a \(f(1)=3\). La définition donne \[\frac{f(1+h)-f(1)}h=4+h\longrightarrow4,\] donc \(f'(1)=4\). L’équation recherchée est \[\begin{aligned} y&=4(x-1)+3\\ &=4x-4+3\\ &=4x-1. \end{aligned}\] Contrôle du point : pour \(x=1\), \(4x-1=3=f(1)\). Contrôle de pente : le coefficient de \(x\) est bien \(4=f'(1)\).

Méthode 5.6 — Lire une pente sur une tangente tracée

Repérer le point de contact, puis choisir deux points distincts de la tangente dont les coordonnées sont lisibles. Calculer \(\Delta y/\Delta x\). Le second point choisi n’a pas à appartenir à la courbe.

Si les coordonnées sont lues approximativement, la pente obtenue est une valeur approchée. Une donnée exacte explicitement fournie peut, elle, permettre un calcul exact.

Exemple 5.7 — Une pente négative sur un repère gradué

La tangente au point \(A(1;2)\) passe aussi par \(B(3;-1)\), coordonnées ici données exactement. Sa pente vaut \[f'(1)=\frac{-1-2}{3-1}=-\frac32.\] Son équation est \(y=-\frac32(x-1)+2=-\frac32x+\frac72\).

Lecture. En partant de \(A\), on avance de \(2\) et on descend de \(3\) sur la droite. C’est la droite, non la courbe, qui permet ce calcul de pente. La courbe illustrée est \(y=\frac14(x-1)^2-\frac32(x-1)+2\) ; son écart avec la droite est \(\frac14(x-1)^2\).

Méthode 5.8 — Construire avec un point et une pente

Placer \(A(a;f(a))\). Si \(f'(a)=p/q\) avec \(q\neq0\), un second point de la tangente est \(B(a+q;f(a)+p)\) : le déplacement horizontal est \(q\), le déplacement vertical \(p\). Tracer \((AB)\).

Démonstration.

La pente de \((AB)\) vaut \(\frac{(f(a)+p)-f(a)}{(a+q)-a}=p/q=f'(a)\). La droite passe par \(A\) : elle satisfait exactement la définition de la tangente. \(\square\)

Piège 5.9 — Une tangente ne « touche » pas forcément la courbe une seule fois

La définition repose sur le point et la pente limite, pas sur un nombre d’intersections. Pour \(f(x)=x^3\) en \(0\), le taux est \(h^3/h=h^2\to0\). La tangente est donc \(y=0\). Pourtant \(x^3<0\) à gauche de \(0\) et \(x^3>0\) à droite : la courbe traverse sa tangente.

On ne doit pas non plus déclarer tangente toute droite passant par un point de la courbe : sa pente doit être le nombre dérivé au point concerné.

À toi 5.10 — Deux données, deux vérifications

Repérage. On donne \(f(2)=5\) et \(f'(2)=-2\). Le point de contact est \((2;5)\), pas \((2;-2)\). Essai guidé. Compléter \(y=\cdots(x-2)+\cdots\), puis réduire.

Correction expliquée.

\(y=-2(x-2)+5=-2x+4+5=-2x+9\). Le point \((3;3)\) appartient à cette droite car une avance de \(1\) fait perdre \(2\) en ordonnée.

À tenter avant de lire. Une tangente en \(a=-1\) a pour équation \(y=3x+4\). Déterminer \(f(-1)\) et \(f'(-1)\).

Correction expliquée.

La pente est \(3\), donc \(f'(-1)=3\). Le point de contact a pour ordonnée \(3(-1)+4=1\), donc \(f(-1)=1\).

À expliquer avec tes mots. Pourquoi le nombre \(4\) n’est-il pas \(f(-1)\) ? C’est l’ordonnée à l’origine de la droite. Pour obtenir l’ordonnée au point de contact, il faut prendre \(x=-1\).

Reprise. Si tu confonds image et dérivée, écris d’abord « point : \((a;f(a))\) ; pente : \(f'(a)\) ». Nouvel essai : avec \(g(0)=7\) et \(g'(0)=2\), la tangente est \(y=2(x-0)+7=2x+7\).

À reprendre plus tard, avant de relire. Avec \(h(3)=-1\) et \(h'(3)=1/2\), écrire la tangente et deux points. Correction : \(y=\frac12(x-3)-1=\frac12x-\frac52\) ; elle passe par \((3;-1)\) et \((5;0)\), de pente \((0+1)/(5-3)=1/2\).

Repères de réussite. Je calcule ou repère séparément l’image et le nombre dérivé, puis je vérifie le point de contact et la pente.

Définition 6.1 — Fonction dérivée et domaine de dérivabilité

Une fonction est dérivable sur un intervalle ouvert \(I\) lorsqu’elle est dérivable en chaque réel de \(I\). Sa fonction dérivée, notée \(f'\), associe à \(x\in I\) le nombre dérivé \(f'(x)\).

Le domaine de dérivabilité est l’ensemble des points où le nombre dérivé existe, selon la convention de dérivée considérée. Il est contenu dans le domaine de définition de \(f\). Les extrémités éventuelles sont étudiées séparément par des dérivées latérales.

Notation 6.2 — Trois objets à ne pas confondre

\(f\) est la fonction de départ ; \(f'\) sa fonction dérivée ; \(f'(a)\) un nombre obtenu en calculant l’image de \(a\) par \(f'\).

Les écritures \((x^2)'=2x\) et \(\frac{\mathrm d}{\mathrm d x}(x^2)=2x\) désignent la dérivée par rapport à \(x\). Si \(y=f(x)\), on rencontre \(\frac{\mathrm d y}{\mathrm d x}=f'(x)\). Dans ce cours, cette notation n’est pas traitée comme une fraction ordinaire que l’on pourrait simplifier librement.

Théorème 6.3 — Fonctions constante, identité et affine

Sur \(\mathbb R\), \[(c)'=0,\qquad (x)'=1,\qquad (mx+p)'=m,\] où \(c\), \(m\) et \(p\) sont des constantes réelles.

Démonstration.

Pour \(f(x)=c\), le taux est \(\frac{c-c}h=0\) pour \(h\neq0\) ; sa limite est \(0\). Pour \(f(x)=x\), le taux est \(\frac{(a+h)-a}h=h/h=1\) ; sa limite est \(1\). Enfin, pour \(f(x)=mx+p\), \[\begin{aligned} \frac{f(a+h)-f(a)}h &=\frac{m(a+h)+p-(ma+p)}h\\ &=\frac{ma+mh+p-ma-p}{h}\\ &=\frac{mh}h=m. \end{aligned}\] La limite vaut \(m\) pour toute abscisse \(a\). \(\square\)

Théorème 6.4 — Dérivée de la fonction carré

La fonction \(f(x)=x^2\) est dérivable sur \(\mathbb R\) et \(f'(x)=2x\).

Démonstration.

Fixons \(a\in\mathbb R\). Pour \(h\neq0\), \[\begin{aligned} (a+h)^2&=(a+h)(a+h)\\ &=a\times a+a\times h+h\times a+h\times h\\ &=a^2+2ah+h^2. \end{aligned}\] D’où \[\frac{(a+h)^2-a^2}h =\frac{2ah+h^2}h =\frac{h(2a+h)}h=2a+h\longrightarrow2a.\] Ainsi \(f'(a)=2a\) pour tout \(a\). En renommant la variable, \(f'(x)=2x\). \(\square\)

Théorème 6.5 — Dérivée de la fonction cube

La fonction \(f(x)=x^3\) est dérivable sur \(\mathbb R\) et \(f'(x)=3x^2\).

Démonstration.

On peut obtenir le cube sans supposer sa formule de développement : \[\begin{aligned} (a+h)^3&=(a+h)(a^2+2ah+h^2)\\ &=a^3+2a^2h+ah^2+a^2h+2ah^2+h^3\\ &=a^3+3a^2h+3ah^2+h^3. \end{aligned}\] Le taux vaut donc \[\begin{aligned} \frac{(a+h)^3-a^3}h &=\frac{3a^2h+3ah^2+h^3}h\\ &=3a^2+3ah+h^2\longrightarrow3a^2. \end{aligned}\] La limite est réelle pour chaque \(a\), ce qui prouve le résultat sur \(\mathbb R\). \(\square\)

Exemple 6.6 — Même formule, différents nombres dérivés

Pour \(f(x)=x^3\), \(f'(x)=3x^2\). Ainsi \[f'(-2)=3(-2)^2=12,\qquad f'(0)=0,\qquad f'(1)=3.\] En revanche, \(f(-2)=(-2)^3=-8\). Le nombre \(-8\) est une ordonnée de la courbe ; \(12\) est une pente de tangente.

Piège 6.7 — Ne pas remplacer la variable trop tôt

Pour obtenir \(f'(3)\) lorsque \(f(x)=x^2\), on détermine d’abord \(f'(x)=2x\), puis \(f'(3)=6\). Remplacer d’abord \(x\) par \(3\) donne le nombre constant \(9\) ; dériver cette constante donne \(0\), mais on a changé l’objet que l’on dérive.

À toi 6.8 — Formule générale et évaluation

Repérage. Dans \(f'(a)\), qu’est-ce qui varie ? Rien lorsque \(a\) est fixé : c’est un nombre.

Essai guidé. Pour \(f(x)=x^3\), compléter \(f'(x)=\cdots\), puis \(f'(-1)=\cdots\).

Correction expliquée.

\(f'(x)=3x^2\), donc \(f'(-1)=3(-1)^2=3\). La tangente en \(-1\) passe par \((-1;-1)\) et vaut \(y=3(x+1)-1=3x+2\).

À tenter avant de lire. Démontrer directement que la fonction \(g(x)=5-2x\) a pour dérivée \(-2\).

Correction expliquée.

\(g(a+h)-g(a)=5-2a-2h-(5-2a)=-2h\). Pour \(h\neq0\), le taux vaut \(-2h/h=-2\), donc sa limite est \(-2\) à chaque abscisse.

À expliquer avec tes mots. Pourquoi ce raisonnement prouve-t-il une formule sur \(\mathbb R\) ? L’abscisse \(a\) a été choisie arbitrairement, et aucune restriction supplémentaire n’a été imposée.

Variation et reprise. L’affirmation « la dérivée de \(x^3\) en \(-1\) vaut \(-3\) » confond \(3x^2\) et \(3x\). Refaire \((-1)^2=(-1)(-1)=1\). Nouvel essai : \(f'(-3)=3\times9=27\).

À reprendre plus tard, avant de relire. Pour \(p(x)=x^2\) et \(a=-3\), calculer \(p(a)\), \(p'(a)\) et la tangente. Correction : \(p(-3)=9\), \(p'(-3)=-6\), donc \(y=-6(x+3)+9=-6x-9\).

Repères de réussite. Je distingue fonction, image et pente ; j’annonce le domaine et j’évalue seulement après avoir obtenu la bonne formule.

Théorème 7.1 — Dérivée de la fonction inverse

La fonction \(f(x)=1/x\), définie sur \(\mathbb R\setminus\{0\}\), est dérivable en tout point de ce domaine et \[\boxed{f'(x)=-\frac1{x^2}\quad(x\neq0).}\]

Démonstration.

Fixons \(a\neq0\). Pour \(h\neq0\) assez proche de zéro, on a aussi \(a+h\neq0\) ; par exemple \(|h|<|a|/2\) l’assure. Le taux est \[\begin{aligned} \frac{f(a+h)-f(a)}h &=\frac{\dfrac1{a+h}-\dfrac1a}{h}\\ &=\frac{\dfrac{a}{a(a+h)}-\dfrac{a+h}{a(a+h)}}{h}\\ &=\frac{a-(a+h)}{a(a+h)}\times\frac1h\\ &=\frac{-h}{a(a+h)h}\\ &=-\frac1{a(a+h)}. \end{aligned}\] Les égalités sont autorisées par \(h\neq0\), \(a\neq0\) et \(a+h\neq0\). Lorsque \(h\to0\), le dénominateur \(a(a+h)\) tend vers \(a^2\neq0\). Donc le quotient tend vers \(-1/a^2\). La preuve vaut pour tout \(a\neq0\). \(\square\)

Exemple 7.2 — Une abscisse négative

Pour \(f(x)=1/x\) au point d’abscisse \(-2\), \[f(-2)=-\frac12,\qquad f'(-2)=-\frac1{(-2)^2}=-\frac14.\] L’équation de la tangente est \[\begin{aligned} y&=-\frac14(x+2)-\frac12\\ &=-\frac x4-\frac12-\frac12=-\frac x4-1. \end{aligned}\] Pour \(x=-2\), on retrouve \(y=1/2-1=-1/2\). Le carré au dénominateur ne fait pas disparaître le signe moins placé devant la fraction.

Lemme 7.3 — Racines carrées de nombres voisins

Si \(a>0\) et \(h\to0\) avec \(a+h\geq0\), alors \(\sqrt{a+h}\to\sqrt a\).

Démonstration.

Le produit des expressions conjuguées donne \[(\sqrt{a+h}-\sqrt a)(\sqrt{a+h}+\sqrt a)=(a+h)-a=h.\] Comme \(\sqrt{a+h}+\sqrt a\geq\sqrt a>0\), on peut diviser et obtenir \[\left|\sqrt{a+h}-\sqrt a\right| =\frac{|h|}{\sqrt{a+h}+\sqrt a} \leq\frac{|h|}{\sqrt a}.\] Pour \(h\) proche de zéro, le dernier nombre devient aussi petit que souhaité. L’écart entre les deux racines fait donc de même. Cette démonstration justifie le passage à la limite utilisé ensuite. \(\square\)

Théorème 7.4 — Dérivée de la fonction racine carrée

La fonction \(f(x)=\sqrt x\) est définie sur \([0;+\infty[\). Elle est dérivable sur \(]0;+\infty[\) et \[\boxed{f'(x)=\frac1{2\sqrt x}\quad(x>0).}\]

Démonstration.

Fixons \(a>0\). On prend \(h\neq0\) assez petit pour avoir \(a+h>0\). Le taux contient une différence de racines. L’objectif est de faire apparaître un facteur \(h\) au numérateur ; on multiplie donc en haut et en bas par l’expression conjuguée, qui est strictement positive : \[\begin{aligned} \frac{\sqrt{a+h}-\sqrt a}{h} &=\frac{(\sqrt{a+h}-\sqrt a)(\sqrt{a+h}+\sqrt a)}{h(\sqrt{a+h}+\sqrt a)}\\ &=\frac{(\sqrt{a+h})^2-(\sqrt a)^2}{h(\sqrt{a+h}+\sqrt a)}\\ &=\frac{(a+h)-a}{h(\sqrt{a+h}+\sqrt a)}\\ &=\frac{h}{h(\sqrt{a+h}+\sqrt a)}\\ &=\frac1{\sqrt{a+h}+\sqrt a}. \end{aligned}\] D’après le lemme, le dénominateur tend vers \(\sqrt a+\sqrt a=2\sqrt a>0\). La limite est donc \(1/(2\sqrt a)\), nombre réel, ce qui prouve la dérivabilité. \(\square\)

Exemple 7.5 — Racine et tangente en un carré parfait

Pour \(f(x)=\sqrt x\) et \(a=9\), \[f(9)=3,\qquad f'(9)=\frac1{2\sqrt9}=\frac16.\] La tangente est \[y=\frac16(x-9)+3=\frac x6-\frac32+3=\frac x6+\frac32.\] Elle passe par \((9;3)\) et, en avançant de \(6\) unités pour monter de \(1\), par \((15;4)\).

Proposition 7.6 — Pas de dérivée finie à droite en zéro

La fonction racine carrée n’a pas de nombre dérivé fini en \(0\), même en ne l’approchant que par la droite. Sa courbe admet en l’origine une demi-tangente verticale.

Démonstration.

Pour \(h>0\), \[\frac{\sqrt{0+h}-\sqrt0}{h} =\frac{\sqrt h}{h} =\frac{\sqrt h}{\sqrt h\,\sqrt h} =\frac1{\sqrt h}\longrightarrow+\infty.\] Le taux n’a donc pas de limite réelle finie. Pour la géométrie, le vecteur d’une sécante depuis l’origine est \((h;\sqrt h)\). En le divisant par \(\sqrt h>0\), on obtient un vecteur de même direction \((\sqrt h;1)\), qui tend vers \((0;1)\) : la direction limite est verticale. \(\square\)

À toi 7.7 — Savoir choisir le bon domaine

Repérage. La fonction \(1/x\) est-elle définie en \(0\) ? Non. La fonction \(\sqrt x\) y est-elle définie ? Oui, mais elle n’y a pas de dérivée finie à droite.

Essai guidé. Pour \(f(x)=1/x\), calculer \(f'(1/2)\).

Correction expliquée.

\(f'(1/2)=-1/(1/2)^2=-1/(1/4)=-4\). On divise par \(1/4\), donc on multiplie par son inverse \(4\).

À tenter avant de lire. À l’aide du taux, prouver que la dérivée de \(\sqrt x\) en \(4\) vaut \(1/4\).

Correction expliquée.

\[\frac{\sqrt{4+h}-2}h =\frac{4+h-4}{h(\sqrt{4+h}+2)} =\frac1{\sqrt{4+h}+2}\longrightarrow\frac14.\] La multiplication par le conjugué est autorisée : \(\sqrt{4+h}+2>0\). Le taux initial demande \(h\neq0\) et \(4+h\geq0\).

À expliquer avec tes mots. Pourquoi la formule \(1/(2\sqrt x)\) ne prouve-t-elle rien en \(x=0\) ? Son domaine de validité est \(x>0\). Le point \(0\) se traite avec la définition, pas avec une formule qui y est indéfinie.

Reprise. L’erreur \(\sqrt{a+h}=\sqrt a+\sqrt h\) est fausse : pour \(a=h=1\), elle donnerait \(\sqrt2=2\), donc \(2=4\) après mise au carré. Refaire plutôt le produit \((\sqrt{5+h}-\sqrt5)(\sqrt{5+h}+\sqrt5)=h\), puis revenir au taux en \(4\).

À reprendre plus tard, avant de relire. Déterminer la tangente à \(1/x\) en \(a=1/2\). Correction : \(f(a)=2\), \(f'(a)=-4\), donc \(y=-4(x-1/2)+2=-4x+4\).

Repères de réussite. Je conserve les valeurs interdites, je sais pourquoi le conjugué est utile et je distingue une limite infinie d’un nombre dérivé.

Notation 8.1 — Compter les termes d’une somme

Pour un entier \(n\geq1\), \[\sum_{k=0}^{n-1}q^k=1+q+q^2+\cdots+q^{n-1}.\] Le symbole \(\sum\) signifie « somme ». L’indice \(k\) parcourt les entiers de \(0\) à \(n-1\), soit \(n\) valeurs. Le premier terme est \(1\) ; on le comprend comme le terme constant, y compris lorsque \(q=0\).

Lemme 8.2 — Somme géométrique finie

Pour tout entier \(n\geq1\) et tout réel \(q\), \[(q-1)(1+q+\cdots+q^{n-1})=q^n-1.\] Si \(q\neq1\), on peut diviser et obtenir \[1+q+\cdots+q^{n-1}=\frac{q^n-1}{q-1}.\] Pour \(q=1\), la somme vaut \(n\).

Démonstration.

Posons \(S=1+q+\cdots+q^{n-1}\). En multipliant chaque terme par \(q\), \[qS=q+q^2+\cdots+q^{n-1}+q^n.\] Dans \(qS-S\), les termes \(q,q^2,\ldots,q^{n-1}\) se compensent. Il reste \(q^n-1\), d’où \((q-1)S=q^n-1\). Pour \(q=1\), on compte directement \(n\) termes égaux à \(1\) ; on ne divise pas par \(q-1=0\). \(\square\)

Exemple 8.3 — Voir les compensations

Pour quatre termes, \[\begin{aligned} (q-1)(1+q+q^2+q^3) &=q+q^2+q^3+q^4-1-q-q^2-q^3\\ &=q^4-1. \end{aligned}\] La formule vaut aussi pour \(q=-1\) : la somme \(1-1+1-1=0\) et \(q^4-1=0\) donnent bien les mêmes deux membres.

Théorème 8.4 — Dérivée d’une puissance d’exposant naturel

Pour tout entier \(n\geq2\), la fonction \(f(x)=x^n\) est dérivable sur \(\mathbb R\) et \[\boxed{f'(x)=nx^{n-1}.}\] Pour \(n=1\), on retrouve la fonction identité, de dérivée \(1\). La fonction constante \(1\), correspondant à l’exposant nul, a pour dérivée \(0\) et se traite séparément.

Démonstration.

Cas d’une abscisse \(a\neq0\).

Fixons \(n\geq2\) et \(a\neq0\). Pour \(h\neq0\), posons \[q=\frac{a+h}{a}=1+\frac ha.\] Alors \(q\neq1\), car \(h/a\neq0\). On a \((a+h)^n=a^nq^n\). Le lemme donne \[\begin{aligned} \frac{(a+h)^n-a^n}{h} &=\frac{a^n(q^n-1)}h\\ &=\frac{a^n(q-1)}h(1+q+\cdots+q^{n-1})\\ &=\frac{a^n\frac ha}{h}(1+q+\cdots+q^{n-1})\\ &=a^{n-1}(1+q+\cdots+q^{n-1}). \end{aligned}\] Dans la dernière simplification, \(a^n/a=a^{n-1}\) et \(h/h=1\), avec \(a\neq0\) et \(h\neq0\).

Lorsque \(h\to0\), \(q=1+h/a\to1\). Chaque puissance \(q^k\) tend vers \(1\) ; la somme a un nombre fini et fixé de termes, donc \[1+q+\cdots+q^{n-1}\longrightarrow \underbrace{1+1+\cdots+1}_{n\text{ termes}}=n.\] Le taux tend vers \(a^{n-1}\times n=na^{n-1}\).

Cas de l’abscisse \(a=0\).

Le quotient \(q=(a+h)/a\) n’est plus autorisé : il faut changer le calcul, pas oublier le point. Directement, \[\frac{f(0+h)-f(0)}h=\frac{h^n}{h}=h^{n-1}.\] Comme \(n\geq2\), l’exposant \(n-1\) est positif : \(h^{n-1}\to0\). On a donc \(f'(0)=0=n\times0^{n-1}\).

Les deux cas couvrent \(\mathbb R\). Le cas \(n=1\) est déjà prouvé par le taux \(h/h=1\) ; pour la fonction constante \(1\), le taux est nul. Aucun calcul de \(0^0\) n’est nécessaire. \(\square\)

Corollaire algébrique 8.5 — La factorisation qui se cache dans la preuve

Pour \(n\geq2\) et tous réels \(A,B\), \[A^n-B^n=(A-B)\bigl(A^{n-1}+A^{n-2}B+\cdots+AB^{n-2}+B^{n-1}\bigr).\] La parenthèse contient \(n\) termes. Pour \(n=2\), elle se lit \(A+B\) ; pour \(n=3\), \(A^2+AB+B^2\). Les termes extrêmes sont écrits sans exposant nul pour éviter toute ambiguïté.

Démonstration.

Si \(B\neq0\), prendre \(q=A/B\) dans \((q-1)S=q^n-1\) et multiplier par \(B^n\) donne la factorisation. Cette identité n’exige pas \(A\neq B\) : elle utilise la forme sans division par \(q-1\). Si \(B=0\), la parenthèse se réduit à \(A^{n-1}\), et le produit \((A-0)A^{n-1}=A^n\) est bien le membre de gauche. \(\square\)

Exemple 8.6 — Le même raisonnement sans introduire le quotient \(q\)

Pour \(f(x)=x^5\), la factorisation précédente donne, pour \(h\neq0\), \[\begin{aligned} \frac{(a+h)^5-a^5}{h} ={}&(a+h)^4+a(a+h)^3\\ &+a^2(a+h)^2+a^3(a+h)+a^4. \end{aligned}\] Chaque terme tend vers \(a^4\). Il y en a cinq, donc le taux tend vers \(5a^4\). Cette version explique également d’où vient le coefficient \(5\).

Théorème 8.7 — Exposants entiers négatifs

Pour un entier \(m\geq1\), la fonction \(f(x)=x^{-m}=1/x^m\) est définie et dérivable sur \(\mathbb R\setminus\{0\}\) et \[\boxed{f'(x)=-\frac{m}{x^{m+1}}=-m x^{-m-1}.}\] Ainsi la formule \((x^n)'=nx^{n-1}\) vaut aussi pour un entier \(n<0\), mais seulement pour \(x\neq0\).

Démonstration.

Fixons \(a\neq0\), et \(h\neq0\) assez petit pour que \(a+h\neq0\). En mettant au même dénominateur, \[\begin{aligned} \frac{(a+h)^{-m}-a^{-m}}h &=\frac{\dfrac1{(a+h)^m}-\dfrac1{a^m}}h\\ &=\frac{a^m-(a+h)^m}{h\,a^m(a+h)^m}\\ &=-\frac{(a+h)^m-a^m}{h}\times\frac1{a^m(a+h)^m}. \end{aligned}\] Le premier quotient tend vers \(ma^{m-1}\), par le théorème des puissances positives, et le second facteur vers \(1/a^{2m}\). La limite est \[-\frac{ma^{m-1}}{a^{2m}} =-m a^{m-1-2m} =-m a^{-m-1}.\] On a utilisé \(m-1-2m=-m-1\). Pour \(n=-m\), cela vaut précisément \(na^{n-1}\). \(\square\)

Exemple 8.8 — Lire le coefficient et le nouvel exposant

\[\boxed{\left(x^7\right)'=7x^6}\] \[\boxed{\left(x^{-3}\right)'=-3x^{-4}}\] La première formule vaut sur \(\mathbb R\), la deuxième sur \(\mathbb R\setminus\{0\}\). Pour la seconde, \(n-1=-3-1=-4\), et non \(-2\). En \(x=-2\), sa valeur est \(-3(-2)^{-4}=-3/16\).

À toi 8.9 — Faire apparaître le nombre de termes

Repérage. Combien de termes contient \(1+q+\cdots+q^6\) ? Sept : les exposants vont de \(0\) à \(6\) inclus.

Essai guidé. Compléter \((A^4-B^4)/(A-B)\) lorsque \(A\neq B\).

Correction expliquée.

La factorisation donne \(A^3+A^2B+AB^2+B^3\). En remplaçant \(A\) par \(a+h\) et \(B\) par \(a\), ces quatre termes tendent chacun vers \(a^3\), donc la dérivée de \(x^4\) vaut \(4x^3\).

À tenter avant de lire. Dériver \(x^9\), \(x^{-2}\) et \(x^{-5}\), avec leurs domaines.

Correction expliquée.

Sur \(\mathbb R\), \((x^9)'=9x^8\). Pour \(x\neq0\), \((x^{-2})'=-2x^{-3}=-2/x^3\) et \((x^{-5})'=-5x^{-6}=-5/x^6\).

À expliquer avec tes mots. Pourquoi la preuve utilisant \(q=(a+h)/a\) nécessite-t-elle un second cas ? Elle divise par \(a\). Le taux direct en \(a=0\) complète la preuve sur \(\mathbb R\) pour les puissances positives.

Variation et reprise. L’expression \(x^{-2}\) ne signifie pas \(-x^2\) : à \(x=2\), elles valent \(1/4\) et \(-4\). Pour retrouver un exposant négatif, commencer par \(2^{-1}=1/2\), puis \(2^{-2}=1/4\). Revenir ensuite au domaine et à la formule de dérivée.

À reprendre plus tard, avant de relire. Prouver le résultat pour \(x^3\) en utilisant \(1+q+q^2\), et traiter \(a=0\). Correction : pour \(a\neq0\), le taux vaut \(a^2(1+q+q^2)\to3a^2\) ; en \(0\), il vaut \(h^2\to0\).

Repères de réussite. Je compte les termes, je calcule \(n-1\) avec son signe et je n’oublie pas le cas où une division de la preuve n’est pas autorisée.

Théorème 9.1 — Dérivée d’une combinaison linéaire

Si \(u\) et \(v\) sont dérivables en \(a\), et si \(\lambda\) et \(\mu\) sont des constantes réelles, alors \(\lambda u+\mu v\) est dérivable en \(a\) et \[(\lambda u+\mu v)'(a)=\lambda u'(a)+\mu v'(a).\] Sur un intervalle où \(u\) et \(v\) sont dérivables, cette formule s’applique en chaque point. Elle comprend les règles \[(u+v)'=u'+v',\qquad(u-v)'=u'-v',\qquad(\lambda u)'=\lambda u'.\]

Démonstration.

Posons \(F(x)=\lambda u(x)+\mu v(x)\). Pour \(h\neq0\) admissible, \[\begin{aligned} F(a+h)-F(a) &=\lambda u(a+h)+\mu v(a+h)-\lambda u(a)-\mu v(a)\\ &=\lambda\bigl(u(a+h)-u(a)\bigr) +\mu\bigl(v(a+h)-v(a)\bigr). \end{aligned}\] En divisant tous les termes par \(h\), \[\frac{F(a+h)-F(a)}h =\lambda\frac{u(a+h)-u(a)}h +\mu\frac{v(a+h)-v(a)}h.\] Les deux quotients tendent respectivement vers les réels \(u'(a)\) et \(v'(a)\). La règle de limite d’une somme donne la limite \(\lambda u'(a)+\mu v'(a)\). C’est le nombre dérivé annoncé. \(\square\)

Corollaire 9.2 — Tout polynôme est dérivable sur \(\mathbb R\)

Pour \(P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0\), avec des coefficients constants, \[P'(x)=na_nx^{n-1}+(n-1)a_{n-1}x^{n-2}+\cdots+a_1.\] Le terme constant disparaît à la dérivation.

Démonstration.

Chaque puissance entière positive est dérivable sur \(\mathbb R\) ; la constante l’est aussi. La règle précédente s’applique successivement à cette somme finie. Pour chaque terme \(a_kx^k\), on obtient \(a_k\times kx^{k-1}\) ; pour \(a_0\), on obtient \(0\). \(\square\)

Corollaire 9.3 — Le degré d’un polynôme non constant diminue d’une unité

Vocabulaire. Le degré d’un polynôme non nul est le plus grand exposant dont le coefficient est non nul. Si \(P\) est de degré \(n\geq1\), alors \(P'\) est de degré \(n-1\).

Démonstration.

Le terme de plus haut degré est \(a_nx^n\), avec \(a_n\neq0\). Sa dérivée est \(na_nx^{n-1}\) et \(na_n\neq0\), puisque \(n\geq1\). Les dérivées des autres termes ont des exposants inférieurs. Le plus grand exposant restant est donc \(n-1\). Pour un polynôme constant, la dérivée est le polynôme nul ; on ne lui attribue pas ici un degré ordinaire. \(\square\)

Exemple 9.4 — Décomposer plutôt que deviner

Soit \(P(x)=\frac32x^4-5x^2+7x-8\). Chaque terme est défini et dérivable sur \(\mathbb R\). On applique la linéarité : \[\begin{aligned} P'(x)&=\frac32\times4x^3-5\times2x+7\times1-0\\ &=\frac{3\times4}{2}x^3-10x+7\\ &=6x^3-10x+7. \end{aligned}\] \[\boxed{\left(\frac32x^4-5x^2+7x-8\right)'=6x^3-10x+7}\] Contrôle par le taux en \(0\). \(P(h)-P(0)=\frac32h^4-5h^2+7h\), donc le taux tend vers \(7\), comme \(P'(0)\). Ce contrôle local ne dispense pas de la justification de la formule sur \(\mathbb R\).

Exemple 9.5 — Un domaine commun à respecter

Soit \(f(x)=x^3-4/x+2\sqrt x\). La fonction est définie pour \(x>0\) : il faut à la fois \(x\neq0\) pour le quotient et \(x\geq0\) pour la racine. Sur ce domaine, \[\begin{aligned} f'(x)&=3x^2-4\left(-\frac1{x^2}\right)+2\frac1{2\sqrt x}\\ &=3x^2+\frac4{x^2}+\frac1{\sqrt x}. \end{aligned}\] \[\boxed{\left(x^3-\frac4x+2\sqrt{x}\right)'=3x^2+\frac4{x^2}+\frac1{\sqrt{x}}}\] Le coefficient négatif \(-4\) multiplie la dérivée négative de \(1/x\), ce qui explique le signe \(+\) du deuxième terme.

Exemple 9.6 — La variable par rapport à laquelle on dérive compte

Soit \(a\) un paramètre réel fixé et \(f(x)=(a+1)x^2-ax+a^2\). On dérive par rapport à \(x\) : les nombres \(a+1\), \(a\) et \(a^2\) sont constants. Ainsi \[f'(x)=2(a+1)x-a.\] Pour \(a=2\), cela donne \(f(x)=3x^2-2x+4\) et \(f'(x)=6x-2\). Dériver \(a^2\) en \(2a\) aurait changé la variable de dérivation.

Piège 9.7 — Une constante ajoutée disparaît ; un coefficient reste

\((5+x^2)'=2x\), mais \((5x^2)'=10x\). Dans le premier cas, \(5\) est un terme constant de dérivée nulle. Dans le second, \(5\) multiplie une fonction et demeure comme coefficient de sa dérivée.

Non-exemple de réciproque. Une somme peut être dérivable alors que ses deux termes ne le sont pas : \(u(x)=|x|\) et \(v(x)=-|x|\) ne sont pas dérivables en \(0\), mais \(u+v=0\) l’est. La règle donne une condition suffisante, pas une condition nécessaire pour chaque terme.

À toi 9.8 — Des termes séparés à la formule finale

Repérage. Dans \(3x^2+4\), quel terme donne \(0\) après dérivation ? La constante \(4\) ; \(3x^2\) donne \(6x\).

Essai guidé. Dériver \(A(x)=2x^3-\frac12x^2+5\).

Correction expliquée.

\(A'(x)=2\times3x^2-\frac12\times2x+0=6x^2-x\), sur \(\mathbb R\).

À tenter avant de lire. Dériver \(B(x)=\frac{x^3-2x+1}{4}\) puis \(C(x)=2/x-3\sqrt x\), en précisant les domaines de dérivabilité.

Correction expliquée.

Diviser par \(4\) revient à multiplier par la constante \(1/4\), donc \(B'(x)=\frac14(3x^2-2)=\frac{3x^2-2}{4}\) sur \(\mathbb R\). Pour \(C\), le domaine est \(]0;+\infty[\) et \[C'(x)=2\left(-\frac1{x^2}\right)-3\frac1{2\sqrt x} =-\frac2{x^2}-\frac3{2\sqrt x}.\]

À expliquer avec tes mots. Pourquoi ne pas utiliser une formule de quotient compliquée pour \(B\) ? Son dénominateur est constant : la linéarité donne directement la dérivée, avec moins d’opérations.

Reprise si un coefficient a disparu. Refaire \((2x^2)'=2\times2x=4x\) ; puis \((\frac12x^3)'=\frac12\times3x^2\). Dans \(A\), appliquer ce même geste au coefficient \(-1/2\).

À reprendre plus tard, avant de relire. Dériver \(D(x)=-\frac23x^3+\frac5x-6\) sur \(\mathbb R\setminus\{0\}\). Correction : \(D'(x)=-\frac23\times3x^2+5(-1/x^2)=-2x^2-5/x^2\).

Repères de réussite. J’identifie les termes et les constantes, j’applique la règle à chacun et je conserve le domaine commun.

Théorème 10.1 — Dérivée d’un produit

Si \(u\) et \(v\) sont dérivables en \(a\), alors \(uv\) est dérivable en \(a\) et \[(uv)'(a)=u'(a)v(a)+u(a)v'(a).\] Sur un intervalle où les deux fonctions sont dérivables, \[\boxed{(uv)'=u'v+uv'.}\]

Démonstration.

On veut transformer le taux en faisant apparaître ceux de \(u\) et de \(v\). Pour cela, on ajoute et on retranche le même produit \(u(a)v(a+h)\) au numérateur : \[\begin{aligned} &u(a+h)v(a+h)-u(a)v(a)\\ &\quad=u(a+h)v(a+h)-u(a)v(a+h)\\ &\qquad\quad+u(a)v(a+h)-u(a)v(a)\\ &\quad=\bigl(u(a+h)-u(a)\bigr)v(a+h) +u(a)\bigl(v(a+h)-v(a)\bigr). \end{aligned}\] On divise par \(h\neq0\) : \[\frac{(uv)(a+h)-(uv)(a)}h =\frac{u(a+h)-u(a)}h\,v(a+h) +u(a)\frac{v(a+h)-v(a)}h.\] Les deux taux tendent vers \(u'(a)\) et \(v'(a)\). De plus, la dérivabilité de \(v\) donne \(v(a+h)\to v(a)\) : en effet, \[v(a+h)-v(a)=h\frac{v(a+h)-v(a)}h\longrightarrow0.\] Les limites de somme et de produit donnent alors \(u'(a)v(a)+u(a)v'(a)\), ce qui est bien une limite finie. \(\square\)

Analogie 10.2 — Pourquoi deux contributions ?

Pour un rectangle de côtés positifs \(u\) et \(v\), faire varier les deux côtés de \(\Delta u\) et \(\Delta v\) change l’aire de \[(u+\Delta u)(v+\Delta v)-uv =v\Delta u+u\Delta v+\Delta u\Delta v.\] On reconnaît une contribution de chaque côté. Cette image aide à retenir les deux termes, mais suppose des longueurs et ne prouve pas à elle seule la règle pour toutes les fonctions ou tous les signes. La preuve générale est celle des taux ci-dessus.

Exemple 10.3 — Deux voies qui doivent donner le même résultat

Soit \(f(x)=(2x-1)(x^2+3)\), définie sur \(\mathbb R\).

Voie conseillée : garder le produit.

Posons \(u(x)=2x-1\), \(v(x)=x^2+3\). Alors \(u'(x)=2\) et \(v'(x)=2x\). Donc \[\begin{aligned} f'(x)&=2(x^2+3)+(2x-1)\,2x\\ &=2x^2+6+4x^2-2x\\ &=6x^2-2x+6. \end{aligned}\] \[\boxed{\left((2x-1)(x^2+3)\right)'=6x^2-2x+6}\]

Autre voie : développer avant de dériver.

\[\begin{aligned} f(x)&=2x\times x^2+2x\times3-1\times x^2-1\times3\\ &=2x^3+6x-x^2-3\\ &=2x^3-x^2+6x-3. \end{aligned}\] Par linéarité, \(f'(x)=6x^2-2x+6\). L’accord est un contrôle complémentaire. Dans un devoir, une seule voie correctement rédigée suffit sauf consigne contraire.

Corollaire 10.4 — Dérivée du carré d’une fonction

Si \(u\) est dérivable, alors \(u^2\) l’est aussi et \[\boxed{(u^2)'=2uu'.}\]

Démonstration.

Écrire \(u^2=u\times u\) et appliquer la règle du produit donne \((u^2)'=u'u+uu'=2uu'\). Les deux termes sont égaux parce que la multiplication des nombres réels est commutative. \(\square\)

Exemple 10.5 — Ne pas perdre la dérivée de l’expression au carré

Soit \(g(x)=(x^2-3x+2)^2\). Avec \(u(x)=x^2-3x+2\), on a \(u'(x)=2x-3\), donc \[\boxed{\left((x^2-3x+2)^2\right)'=2(x^2-3x+2)(2x-3)}\] Cette forme factorisée est déjà une expression exacte de la dérivée. Développer le carré initial puis dériver est possible, mais plus long ici. Le facteur \(2x-3\) est indispensable.

Corollaire 10.6 — Dérivée d’un produit de trois fonctions

Si \(u\), \(v\) et \(w\) sont dérivables, alors \[(uvw)'=u'vw+uv'w+uvw'.\]

Démonstration.

Regrouper les deux premiers facteurs donne \[\begin{aligned} ((uv)w)'&=(uv)'w+(uv)w'\\ &=(u'v+uv')w+uvw'\\ &=u'vw+uv'w+uvw'. \end{aligned}\] Chaque terme dérive un facteur et conserve les deux autres. \(\square\)

Exemple 10.7 — Une application lisible sans développement préalable

Pour \(F(x)=x(x+1)(x-2)\), \[\begin{aligned} F'(x)&=1(x+1)(x-2)+x\times1(x-2)+x(x+1)\times1\\ &=(x^2-x-2)+(x^2-2x)+(x^2+x)\\ &=3x^2-2x-2. \end{aligned}\] \[\boxed{\left(x(x+1)(x-2)\right)'=3x^2-2x-2}\]

Proposition 10.8 — Une puissance d’une fonction dérivable

Si \(u\) est dérivable et \(n\geq1\) est un entier, alors \[\boxed{(u^n)'=nu^{n-1}u'.}\] Pour \(n=1\), il s’agit simplement de \(u'\) ; pour \(n\geq2\), la formule reste valable aux points où \(u\) s’annule.

Démonstration.

Pour \(n\geq2\), l’identité de différence de puissances, valable même lorsque les deux nombres sont égaux, donne \[\frac{u(a+h)^n-u(a)^n}h =\frac{u(a+h)-u(a)}h\,S(h),\] où \[S(h)=u(a+h)^{n-1}+u(a+h)^{n-2}u(a)+\cdots+u(a)^{n-1}.\] Il y a \(n\) termes. La dérivabilité entraîne \(u(a+h)\to u(a)\), donc chacun tend vers \(u(a)^{n-1}\) et \(S(h)\to n u(a)^{n-1}\). Le premier facteur tend vers \(u'(a)\). On obtient la limite \(nu(a)^{n-1}u'(a)\).

On n’a jamais divisé par \(u(a)\) ni par \(u(a+h)-u(a)\) : les cas où ces nombres sont nuls n’ont pas été supprimés. Pour \(n=2\), la somme est simplement \(u(a+h)+u(a)\). \(\square\)

Exemple 10.9 — Une formule suffisante ne règle pas tous les points frontières

Soit \(f(x)=x\sqrt x\), définie sur \([0;+\infty[\). Pour \(x>0\), les deux facteurs sont dérivables, donc \[\begin{aligned} f'(x)&=1\times\sqrt x+x\times\frac1{2\sqrt x}\\ &=\sqrt x+\frac{x}{2\sqrt x}\\ &=\sqrt x+\frac{\sqrt x\,\sqrt x}{2\sqrt x}\\ &=\sqrt x+\frac{\sqrt x}{2}=\frac32\sqrt x. \end{aligned}\] En \(0\), on ne peut pas utiliser la dérivabilité de \(\sqrt x\), qui fait défaut. Pourtant le produit a une dérivée à droite : \[\frac{f(h)-f(0)}h=\frac{h\sqrt h}{h}=\sqrt h\longrightarrow0 \quad(h\to0^+).\] Le produit peut donc être dérivable latéralement même si un facteur ne l’est pas. On a résolu ce point avec la définition, pas en prolongeant aveuglément la formule.

À toi 10.10 — Deux contributions, pas le produit des dérivées

Repérage. Pour \(u=x^2\) et \(v=x+3\), identifier \(u'\) et \(v'\) : ce sont \(2x\) et \(1\). Essai guidé. Dériver \(u v\) en conservant les deux termes.

Correction expliquée.

\((uv)'=2x(x+3)+x^2\times1=2x^2+6x+x^2=3x^2+6x\).

À tenter avant de lire. Dériver \(A(x)=(x-2)(3x+1)\) et \(B(x)=(2x^2+1)^3\).

Correction expliquée.

\(A'(x)=1(3x+1)+(x-2)3=3x+1+3x-6=6x-5\). Pour \(B\), \(u(x)=2x^2+1\) et \(u'(x)=4x\), donc \(B'(x)=3(2x^2+1)^2\times4x=12x(2x^2+1)^2\).

À expliquer avec tes mots. Pourquoi la règle \(u'v'\) ne fonctionne-t-elle pas ? Pour \(u=v=x\), elle donnerait \(1\), alors que le taux de \(x^2\) donne \(2x\). Ce seul contre-exemple réfute la règle prétendue générale.

Reprise. Si un terme manque, utiliser deux emplacements : « dériver le premier, garder le second » puis « garder le premier, dériver le second ». Nouvel essai : \((x(2x+1))'=1(2x+1)+x\times2=4x+1\). Revenir à \(A\) en conservant cette structure.

À reprendre plus tard, avant de relire. Dériver \(C(x)=(x^2-1)^2\). Correction : \(C'(x)=2(x^2-1)\times2x=4x(x^2-1)\). Le développement \(x^4-2x^2+1\) donne \(4x^3-4x\), forme équivalente.

Repères de réussite. Je conserve les facteurs non dérivés, je vérifie leurs domaines et je distingue carré de \(u\) et carré de \(u'\).

Lemme 11.1 — Un dénominateur reste non nul près d’un point convenable

Si \(v\) est dérivable en \(a\) et \(v(a)\neq0\), alors \(v(a+h)\neq0\) pour \(h\) suffisamment proche de zéro.

Démonstration.

La dérivabilité donne \(v(a+h)\to v(a)\). Ainsi, pour \(h\) assez proche de zéro, l’écart \(|v(a+h)-v(a)|\) est inférieur à \(|v(a)|/2\). La valeur \(v(a+h)\) ne peut alors être zéro : son écart à \(v(a)\) serait \(|v(a)|\), ce qui contredirait cette borne. On peut même écrire \(|v(a+h)|>|v(a)|/2\). \(\square\)

Théorème 11.2 — Dérivée de \(1/v\)

Si \(v\) est dérivable en \(a\) et \(v(a)\neq0\), alors \(1/v\) est dérivable en \(a\) et \[\left(\frac1v\right)'(a)=-\frac{v'(a)}{v(a)^2}.\] La formule fonctionnelle est \(\displaystyle\left(\frac1v\right)'=-\frac{v'}{v^2}\) sur tout intervalle où \(v\) est dérivable et ne s’annule pas.

Démonstration.

Pour \(h\neq0\) assez petit, le lemme autorise les quotients : \[\begin{aligned} \frac{\dfrac1{v(a+h)}-\dfrac1{v(a)}}h &=\frac{v(a)-v(a+h)}{h\,v(a+h)v(a)}\\ &=-\frac{v(a+h)-v(a)}h\times\frac1{v(a+h)v(a)}. \end{aligned}\] Le premier quotient tend vers \(v'(a)\) ; \(v(a+h)\) tend vers \(v(a)\), et le produit au dénominateur tend vers \(v(a)^2\neq0\). La limite est donc \(-v'(a)/v(a)^2\). \(\square\)

Exemple 11.3 — Un dénominateur toujours positif

Pour \(f(x)=1/(x^2+4)\), on a \(x^2+4\geq4>0\) sur \(\mathbb R\). Avec \(v(x)=x^2+4\), \(v'(x)=2x\), d’où \[\boxed{\left(\frac1{x^2+4}\right)'=-\frac{2x}{(x^2+4)^2}}\] Le dénominateur est le carré de l’expression entière \(x^2+4\), pas \(x^4+4\).

Théorème 11.4 — Dérivée d’un quotient

Si \(u\) et \(v\) sont dérivables en \(a\), avec \(v(a)\neq0\), alors \[\left(\frac uv\right)'(a)=\frac{u'(a)v(a)-u(a)v'(a)}{v(a)^2}.\] Sur un intervalle où les conditions sont vérifiées, \[\boxed{\left(\frac uv\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}.}\]

Démonstration.

Écrire \(u/v=u\times(1/v)\) permet d’utiliser la règle du produit déjà démontrée, puis celle de l’inverse : \[\begin{aligned} \left(\frac uv\right)' &=u'\frac1v+u\left(-\frac{v'}{v^2}\right)\\ &=\frac{u'}v-\frac{uv'}{v^2}\\ &=\frac{u'v}{v^2}-\frac{uv'}{v^2}\\ &=\frac{u'v-uv'}{v^2}. \end{aligned}\] Le passage au dénominateur \(v^2\) multiplie le numérateur et le dénominateur du premier quotient par \(v\), autorisé puisque \(v\neq0\). \(\square\)

Exemple 11.5 — Déplier le signe moins avant de réduire

Soit \(f(x)=\dfrac{x^2+1}{x-2}\). Son domaine est \(\mathbb R\setminus\{2\}\) ; sur chacun des deux intervalles de ce domaine, le numérateur et le dénominateur sont dérivables. On pose \[u=x^2+1,\quad u'=2x,\qquad v=x-2,\quad v'=1.\] Alors \[\begin{aligned} f'(x)&=\frac{2x(x-2)-(x^2+1)\times1}{(x-2)^2}\\ &=\frac{2x^2-4x-x^2-1}{(x-2)^2}\\ &=\frac{x^2-4x-1}{(x-2)^2}. \end{aligned}\] \[\boxed{\left(\frac{x^2+1}{x-2}\right)'=\frac{x^2-4x-1}{(x-2)^2}}\] Autre voie utile pour contrôler. Puisque \(x^2+1=(x-2)(x+2)+5\), on peut écrire \(f(x)=x+2+5/(x-2)\). Sa dérivée vaut \(1-5/(x-2)^2\), soit \(\frac{(x-2)^2-5}{(x-2)^2}=\frac{x^2-4x-1}{(x-2)^2}\).

Exemple 11.6 — Un quotient avec une racine : réunir les dénominateurs

Soit \(G(x)=\dfrac{\sqrt x}{x+2}\). La racine impose \(x\geq0\) ; sur cet ensemble, \(x+2>0\). Le domaine de définition est donc \([0;+\infty[\). Pour \(x>0\), les facteurs utiles sont dérivables et \[\begin{aligned} G'(x)&=\frac{\dfrac1{2\sqrt x}(x+2)-\sqrt x\times1}{(x+2)^2}\\ &=\frac{\dfrac{x+2}{2\sqrt x}-\dfrac{2\sqrt x\,\sqrt x}{2\sqrt x}}{(x+2)^2}\\ &=\frac{\dfrac{x+2-2x}{2\sqrt x}}{(x+2)^2}\\ &=\frac{2-x}{2\sqrt x}\times\frac1{(x+2)^2}\\ &=\frac{2-x}{2\sqrt x(x+2)^2}. \end{aligned}\] \[\boxed{\left(\frac{\sqrt{x}}{x+2}\right)'=\frac{2-x}{2\sqrt{x}(x+2)^2}}\] L’égalité \(\sqrt x=2x/(2\sqrt x)\) a été obtenue en multipliant en haut et en bas par \(2\sqrt x\neq0\) ; elle est utilisée seulement pour \(x>0\).

Au bord \(0\), il faut revenir au taux : \(G(0)=0\) et, pour \(h>0\), \[\frac{G(h)-G(0)}h=\frac{\sqrt h}{h(h+2)}=\frac1{\sqrt h(h+2)}.\] Si \(0<h<1\), ce taux est supérieur à \(1/(3\sqrt h)\), qui tend vers \(+\infty\). Il n’y a donc pas de dérivée finie à droite en \(0\).

Corollaire 11.7 — Un quotient de deux fonctions affines

Pour \(F(x)=\dfrac{ax+b}{cx+d}\), aux points où \(cx+d\neq0\), \[\boxed{F'(x)=\frac{ad-bc}{(cx+d)^2}.}\] Les lettres \(a,b,c,d\) sont des constantes. Cette formule vaut pour l’expression donnée même lorsque \(ad-bc=0\).

Démonstration.

La règle du quotient donne un numérateur \[a(cx+d)-(ax+b)c=acx+ad-acx-bc=ad-bc.\] Le dénominateur est \((cx+d)^2\). Les termes en \(x\) se compensent, ce qui explique le numérateur constant. \(\square\)

Exemple 11.8 — Appliquer puis contrôler le signe

Pour \(F(x)=(3x-1)/(2x+5)\), le domaine exclut \(-5/2\) et \(ad-bc=3\times5-(-1)\times2=17\). Donc \[\boxed{\left(\frac{3x-1}{2x+5}\right)'=\frac{17}{(2x+5)^2}}\] Le signe de la dérivée obtenu est positif, mais l’étude des variations n’est pas l’objet de ce chapitre.

Corollaire 11.9 — Puissance négative d’une fonction

Si \(u\) est dérivable et ne s’annule pas, pour un entier \(m\geq1\), \[(u^{-m})'=-m\,u^{-m-1}u'.\]

Démonstration.

Écrire \(u^{-m}=1/u^m\). Les règles de la puissance positive puis de l’inverse donnent \[\left(\frac1{u^m}\right)'=-\frac{m u^{m-1}u'}{(u^m)^2} =-m u^{m-1-2m}u'=-m u^{-m-1}u'.\] Toutes les simplifications sont autorisées par \(u\neq0\). \(\square\)

Piège 11.10 — Une simplification ne remplit pas un trou du domaine

La fonction \(H(x)=\frac{x^2-1}{x-1}\) est définie seulement pour \(x\neq1\). Sur ce domaine, \[H(x)=\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}=x+1,\] donc \(H'(x)=1\) pour \(x\neq1\). On ne peut pas annoncer \(H'(1)=1\), puisque \(H(1)\) n’existe pas.

La fonction \(\widetilde H(x)=x+1\) définie sur tout \(\mathbb R\) est une autre fonction, qui prolonge la première. Elle est, elle, dérivable en \(1\).

À toi 11.11 — Numérateur, dénominateur et ordre des termes

Repérage. Dans \(A(x)=\frac{2x+1}{x-3}\), \(u=2x+1\), \(v=x-3\), et la valeur interdite est \(3\). Essai guidé. Écrire le numérateur de \(A'\) avant de le développer.

Correction expliquée.

\[A'(x)=\frac{2(x-3)-(2x+1)}{(x-3)^2} =\frac{2x-6-2x-1}{(x-3)^2} =-\frac7{(x-3)^2}.\] À tenter avant de lire. Dériver \(B(x)=\frac{x}{x^2+1}\) et \(C(x)=\frac1{(x+2)^3}\).

Correction expliquée.

Le domaine de \(B\) est \(\mathbb R\), car \(x^2+1>0\). Ainsi \(B'(x)=\frac{1(x^2+1)-x(2x)}{(x^2+1)^2}=\frac{1-x^2}{(x^2+1)^2}\). Pour \(C\), on exclut \(-2\) et on utilise \((u^{-3})'=-3u^{-4}u'\) avec \(u=x+2\), \(u'=1\) : \(C'(x)=-3/(x+2)^4\).

À expliquer avec tes mots. Pourquoi \((u/v)'\) n’est-il pas \(u'/v'\) ? Avec \(u=x^2\) et \(v=x\) sur \(x\neq0\), \(u/v=x\) a pour dérivée \(1\), tandis que \(u'/v'=2x\), différent en général.

Reprise. Si le \(+1\) de \(2x+1\) n’a pas changé de signe dans \(A'\), isoler \(-(2x+1)=-2x-1\). Nouvel essai : \(3(x-1)-(3x+2)=3x-3-3x-2=-5\). Puis revenir à \(A'\).

À reprendre plus tard, avant de relire. Dériver \(D(x)=\frac{x-4}{x+1}\) sur \(x\neq-1\). Correction : \(D'(x)=\frac{(x+1)-(x-4)}{(x+1)^2}=\frac{x+1-x+4}{(x+1)^2}=5/(x+1)^2\).

Repères de réussite. J’annonce les valeurs interdites, je garde le bon ordre \(u'v-uv'\), je développe le signe moins et je mets tout le dénominateur au carré.

Définition 12.1 — Fonction composée et domaine

Si une fonction \(p\) est définie sur \(D_p\) et une fonction \(q\) sur \(D_q\), la composée de \(p\) suivie de \(q\) est la fonction \[(q\circ p)(x)=q(p(x)),\qquad D_{q\circ p}=\{x\in D_p\mid p(x)\in D_q\}.\] \(p\) est la fonction intérieure, appliquée en premier ; \(q\) est la fonction extérieure, appliquée en second. Dans \(q\circ p\), on lit donc l’ordre des opérations de droite à gauche.

Exemple 12.2 — Les mêmes fonctions, deux résultats différents

Avec \(p(x)=2x+1\) et \(q(t)=t^2\), toutes les entrées réelles sont possibles. On obtient \[\begin{aligned} (q\circ p)(x)&=q(2x+1)=(2x+1)^2,\\ (p\circ q)(x)&=p(x^2)=2x^2+1. \end{aligned}\] Pour \(x=1\), la première expression vaut \(3^2=9\) et la seconde \(2+1=3\). Ainsi \(q\circ p\neq p\circ q\). Le produit \(p(x)q(x)=(2x+1)x^2\) serait encore un autre calcul. La lettre \(t\) dans \(q(t)\) est une variable d’entrée, pas une troisième fonction.

Exemple 12.3 — Une racine impose une condition sur l’entrée intermédiaire

Pour \(p(x)=2x-5\) et \(q(t)=\sqrt t\), on peut toujours calculer \(p(x)\), mais la racine carrée réelle exige \(p(x)\geq0\). On résout \[2x-5\geq0\ \Longleftrightarrow\ 2x\geq5 \ \Longleftrightarrow\ x\geq\frac52.\] Ainsi \(q\circ p\) est définie sur \([\frac52;+\infty[\) et \((q\circ p)(x)=\sqrt{2x-5}\). C’est bien \(p\) puis \(q\). Dans l’autre sens, \(p(q(x))=2\sqrt x-5\), définie sur \([0;+\infty[\). L’ordre change à la fois l’expression et le domaine.

Théorème 12.4 — Dérivée de \(F(x)=u(ax+b)\)

Soient \(a,b\) deux constantes réelles. Soit \(u\) dérivable sur un intervalle ouvert \(J\), et soit \(I\) un intervalle ouvert tel que \(ax+b\in J\) pour tout \(x\in I\). La fonction \(F:x\mapsto u(ax+b)\) est dérivable sur \(I\) et \[\boxed{F'(x)=a\,u'(ax+b).}\] Ici, \(u\) est la fonction extérieure et \(x\mapsto ax+b\) est la fonction intérieure. Les lettres ne fixent pas les rôles : c’est l’écriture de la composition qui les fixe.

Démonstration.

Fixons une abscisse \(\xi\in I\) ; la lettre \(a\) reste réservée au coefficient de la fonction affine.

Premier cas : \(a=0\).

\(F(x)=u(b)\) est constante, donc \(F'(x)=0\). Sous les hypothèses du théorème, \(u'(b)\) existe ; \(a\,u'(ax+b)=0\times u'(b)=0\).

Second cas : \(a\neq0\).

Posons \(t_0=a\xi+b\). Pour \(h\neq0\) suffisamment petit pour rester dans \(I\), \[\begin{aligned} \frac{F(\xi+h)-F(\xi)}h &=\frac{u(a(\xi+h)+b)-u(a\xi+b)}h\\ &=\frac{u(a\xi+ah+b)-u(a\xi+b)}h\\ &=\frac{u(t_0+ah)-u(t_0)}h\\ &=a\,\frac{u(t_0+ah)-u(t_0)}{ah}. \end{aligned}\] La dernière égalité est licite : \(ah\neq0\), et multiplier le quotient par \(a\) compense exactement le facteur \(a\) introduit au dénominateur. Lorsque \(h\to0\), \(ah\to0\). Par définition du nombre dérivé de \(u\) en \(t_0\), \[\frac{u(t_0+ah)-u(t_0)}{ah}\longrightarrow u'(t_0).\] Même si \(a<0\), la limite des deux côtés reste la même : seuls les côtés d’approche sont échangés. Le taux de \(F\) tend donc vers \(a\,u'(a\xi+b)\). Cela prouve la dérivabilité et la formule en tout \(\xi\in I\). \(\square\)

Méthode 12.5 — Domaine, fonction extérieure, remplacement, coefficient

Premier geste : entourer l’argument entier \(ax+b\) et repérer la dernière opération.

Écrire \(u(t)\) et sa dérivée \(u'(t)\) avec son domaine. Vérifier que \(ax+b\) est dans ce domaine. Remplacer toutes les occurrences de \(t\) dans \(u'(t)\) par \(ax+b\), puis multiplier par \(a\). Conserver les parenthèses jusqu’à la fin.

Rappels utiles : \((t^n)'=nt^{n-1}\) pour \(n\geq2\) ; \((1/t)'=-1/t^2\) pour \(t\neq0\) ; \((\sqrt t)'=1/(2\sqrt t)\) pour \(t>0\).

Exemple 12.6 — Une puissance et un coefficient négatif

Soit \(F(x)=(5-2x)^4\). La dernière opération est la puissance \(4\), donc \(u(t)=t^4\) et \(u'(t)=4t^3\) sur \(\mathbb R\). L’argument est \(-2x+5\) : \(a=-2\), \(b=5\). \[\begin{aligned} u'(5-2x)&=4(5-2x)^3,\\ F'(x)&=(-2)\times4(5-2x)^3\\ &=-8(5-2x)^3. \end{aligned}\] \[\boxed{\left((5-2x)^4\right)'=-8(5-2x)^3}\] Il n’est pas nécessaire de développer une puissance quatrième pour la dériver. Contrôle en \(x=0\) par une différence de puissances : pour \(h\neq0\), \[\begin{aligned} \frac{(5-2h)^4-5^4}{h} &=-2\bigl((5-2h)^3+5(5-2h)^2+25(5-2h)+125\bigr)\\ &\longrightarrow-2(125+125+125+125)=-1000. \end{aligned}\] On a utilisé \(A^4-B^4=(A-B)(A^3+A^2B+AB^2+B^3)\), avec \(A-B=-2h\). La formule trouvée donne elle aussi \(-8\times125=-1000\).

Exemple 12.7 — L’inverse d’une expression affine

Soit \(R(x)=1/(3x-2)\). Il faut \(3x-2\neq0\), soit \(x\neq2/3\). On pose \(u(t)=1/t\), donc \(u'(t)=-1/t^2\) pour \(t\neq0\). \[R'(x)=3\left(-\frac1{(3x-2)^2}\right) =-\frac3{(3x-2)^2},\qquad x\neq\frac23.\] \[\boxed{\left(\frac1{3x-2}\right)'=-\frac3{(3x-2)^2}}\] Le signe moins vient de la dérivée de l’inverse ; le \(3\) vient de la dérivée de l’argument. La formule \(-v'/v^2\), avec \(v=3x-2\), donne le même résultat : les deux méthodes sont compatibles.

Exemple 12.8 — Une racine : être définie n’est pas être dérivable

Soit \(S(x)=\sqrt{2x-5}\), définie sur \([\frac52;+\infty[\). La fonction extérieure \(u(t)=\sqrt t\) est dérivable seulement pour \(t>0\). Pour \(x>5/2\), \[\begin{aligned} u'(2x-5)&=\frac1{2\sqrt{2x-5}},\\ S'(x)&=2\times\frac1{2\sqrt{2x-5}} =\frac1{\sqrt{2x-5}}. \end{aligned}\] \[\boxed{\left(\sqrt{2x-5}\right)'=\frac1{\sqrt{2x-5}}}\] Au bord \(\xi=5/2\), \(S(\xi)=0\). Pour \(h>0\), \[\frac{S(\xi+h)-S(\xi)}h =\frac{\sqrt{2h}}h =\frac{\sqrt2\sqrt h}{(\sqrt h)^2} =\frac{\sqrt2}{\sqrt h}\longrightarrow+\infty.\] Il n’existe donc pas de nombre dérivé fini à droite en \(5/2\). Le fait que la formule contienne un dénominateur nul aurait seulement indiqué qu’elle ne s’applique pas ; c’est le taux qui permet ici de conclure.

Exemple 12.9 — Une racine avec coefficient intérieur négatif

Pour \(G(x)=\sqrt{7-3x}\), on exige \(7-3x\geq0\). Soustraire \(7\), puis diviser par \(-3<0\), donne \[-3x\geq-7\ \Longleftrightarrow\ x\leq\frac73.\] Le domaine est \(]-\infty;7/3]\). La formule de dérivation demande \(7-3x>0\), donc \(x<7/3\). Avec \(u(t)=\sqrt t\), \[G'(x)=(-3)\times\frac1{2\sqrt{7-3x}} =-\frac3{2\sqrt{7-3x}}.\] \[\boxed{\left(\sqrt{7-3x}\right)'=-\frac3{2\sqrt{7-3x}}}\] Au bord \(\xi=7/3\), on prend \(h<0\) et on pose \(s=-h>0\) : \[\frac{G(\xi+h)-G(\xi)}h =\frac{\sqrt{-3h}}h =-\frac{\sqrt{3s}}s =-\frac{\sqrt3}{\sqrt s}\longrightarrow-\infty.\] Il n’y a pas de dérivée finie à gauche au bord. Le signe négatif est expliqué par un accroissement horizontal négatif et une image positive.

Exemple 12.10 — Une puissance négative composée

Soit \(H(x)=(2x+1)^{-3}=1/(2x+1)^3\). Son domaine exclut \(-1/2\). Pour \(u(t)=t^{-3}\), la règle des puissances donne \(u'(t)=-3t^{-4}\), pour \(t\neq0\). \[\begin{aligned} H'(x)&=2\times[-3(2x+1)^{-4}]\\ &=-6(2x+1)^{-4}=-\frac6{(2x+1)^4}. \end{aligned}\] \[\boxed{\left((2x+1)^{-3}\right)'=-6(2x+1)^{-4}}\] L’exposant devient \(-3-1=-4\) ; un exposant négatif commande un inverse, pas un changement de signe. Le domaine reste \(\mathbb R\setminus\{-1/2\}\).

Exemple 12.11 — Coefficient extérieur et coefficient intérieur

Pour \(D(x)=-2(1-3x)^4\), le \(-2\) multiplie toute la fonction ; il reste devant la dérivée. Le \(-3\) est, lui, la dérivée de l’argument. \[\begin{aligned} D'(x)&=(-2)\times\bigl[(-3)\times4(1-3x)^3\bigr]\\ &=24(1-3x)^3. \end{aligned}\] \[\boxed{\left(-2(1-3x)^4\right)'=24(1-3x)^3}\] Les trois facteurs numériques ont des origines distinctes : coefficient extérieur, dérivée intérieure, dérivée de la puissance. Oublier l’un d’eux change la réponse.

Exemple 12.12 — Une fonction dont on connaît seulement une dérivée

On sait que \(u\) est dérivable sur \(\mathbb R\) et que \(u'(1)=4\). Pour \(F(x)=u(3x-2)\), calculer \(F'(1)\) ne demande pas de connaître l’expression de \(u\) : \[F'(1)=3u'(3\times1-2)=3u'(1)=3\times4=12.\] En revanche, pour \(K(x)=u(2x+1)\), on aurait \(K'(1)=2u'(3)\) : la seule donnée \(u'(1)=4\) ne suffit pas. Il faut évaluer la dérivée extérieure au bon argument.

Piège 12.13 — Trois confusions à écarter

Oublier \(a\). Pour \(F(x)=(2x)^2=4x^2\), la dérivée est \(8x\). Écrire seulement \(2(2x)=4x\) oublie la dérivée de \(2x\), qui vaut \(2\).

Remplacer l’argument par sa dérivée. On calcule \(u'(ax+b)\), et non \(u'(a)\). La dérivée de l’argument multiplie le résultat ; elle ne remplace pas l’argument.

Généraliser à l’œil. Le cas affine porte sur \(ax+b\). Pour \((x^2+1)^2\), la règle du carré d’une fonction donne \(2(x^2+1)\times2x\). La règle générale expliquant systématiquement ce \(2x\) sera démontrée dans l’approfondissement.

Corollaire 12.14 — Les formes affines les plus fréquentes

Sur les ensembles où les formules sont définies, pour \(n\geq2\) entier, \[\begin{aligned} \bigl((ax+b)^n\bigr)'&=na(ax+b)^{n-1},\\ \left(\frac1{ax+b}\right)'&=-\frac a{(ax+b)^2}, && ax+b\neq0,\\ \left(\frac1{(ax+b)^n}\right)'&=-\frac{na}{(ax+b)^{n+1}}, && ax+b\neq0,\\ \bigl(\sqrt{ax+b}\bigr)'&=\frac a{2\sqrt{ax+b}}, && ax+b>0. \end{aligned}\] Ces quatre formules découlent du théorème en prenant successivement \(u(t)=t^n\), \(1/t\), \(t^{-n}\) et \(\sqrt t\), et en utilisant leurs dérivées usuelles. Si \(a=0\), étudier d’abord la constante obtenue ; une formule comportant une division par zéro ne devient pas licite parce que son numérateur est nul.

À toi 12.15 — Reconnaître, calculer, expliquer et réparer

Repérage. Dans \(\sqrt{4x+9}\), nommer les deux opérations. Réponse : calculer \(4x+9\), puis sa racine. Reprendre la définition de composition si l’ordre a été inversé.

Essai guidé. Pour \(A(x)=(3x-2)^5\), écrire \(u(t)\), \(u'(t)\), \(a\), puis \(A'(x)\).

Correction expliquée.

\(u(t)=t^5\) est dérivable sur \(\mathbb R\), avec \(u'(t)=5t^4\). Comme \(a=3\) et \(3x-2\in\mathbb R\) pour tout réel \(x\), \[A'(x)=3\,u'(3x-2)=3\times5(3x-2)^4=15(3x-2)^4.\] \[\boxed{\left((3x-2)^5\right)'=15(3x-2)^4}\] À tenter avant de lire. Dériver \(B(x)=\sqrt{4x+9}\) et \(C(x)=1/(1-5x)^2\) en précisant les ensembles où les formules s’appliquent.

Correction expliquée.

Pour \(B\), \(4x+9\geq0\) donne \(x\geq-9/4\). La racine est dérivable quand l’argument est strictement positif, donc pour \(x>-9/4\) : \[B'(x)=4\times\frac1{2\sqrt{4x+9}}=\frac2{\sqrt{4x+9}}.\] Pour \(C\), \(1-5x\neq0\) donne \(x\neq1/5\). La fonction extérieure est \(u(t)=t^{-2}\), donc \(u'(t)=-2t^{-3}\) et \[C'(x)=(-5)\times[-2(1-5x)^{-3}]=\frac{10}{(1-5x)^3}.\] \[\boxed{\left(\sqrt{4x+9}\right)'=\frac2{\sqrt{4x+9}}}\] \[\boxed{\left(\frac1{(1-5x)^2}\right)'=\frac{10}{(1-5x)^3}}\]

À expliquer avec tes mots. Pourquoi \(a\) apparaît-il, mais pas un facteur \(b\) ? Réponse possible : l’accroissement de \(ax+b\) entre \(x\) et \(x+h\) est \(ah\). Le terme constant s’annule dans la différence. Il faut mentionner cet accroissement, pas seulement réciter « on multiplie par \(a\) ».

Reprise après erreur. Si tu oublies \(a\), compare \((2x)^2=4x^2\), de dérivée \(8x\), à \(2\times2(2x)=8x\). Nouvel essai : dériver \((3x)^2\). Sa dérivée vaut \(3\times2(3x)=18x\), confirmée par \((9x^2)'=18x\). Reviens ensuite à \(A\).

À reprendre plus tard, avant de relire. Refaire le calcul de \(D(x)=-2(1-3x)^4\). Correction : conserver \(-2\), calculer la dérivée intérieure \(-3\), puis celle de la puissance : \(D'=(-2)(-3)4(1-3x)^3=24(1-3x)^3\).

Repères de réussite. Je sépare intérieur et extérieur ; je donne les domaines ; je remplace l’argument entier ; je justifie les deux coefficients éventuels et je garde le signe.

À toi 12.16 — Un cas limite et une lecture sans expression

À tenter. 1. \(F(x)=\sqrt{0x}\) est-elle dérivable ? 2. Sachant \(u'(-1)=5\), calculer \(G'(2)\) pour \(G(x)=u(3-2x)\).

Correction expliquée.

1. \(0x=0\), donc \(F(x)=\sqrt0=0\) pour tout \(x\) : c’est une fonction constante, de dérivée nulle. La formule \(0/(2\sqrt0)\) est indéfinie. On conclut par l’expression constante, non par cette formule.

2. \(G'(x)=-2u'(3-2x)\), et \(3-2\times2=-1\). Ainsi \(G'(2)=-2u'(-1)=-10\). Le calcul aurait été impossible sans la valeur de \(u'\) au point \(-1\).

À expliquer. L’hypothèse « \(u\) dérivable en \(b\) » est-elle nécessaire quand \(a=0\) ? Non : il suffit que \(u(b)\) existe pour que la composée soit constante. C’est une limite d’emploi du théorème, pas une erreur du théorème.

À reprendre plus tard, avant de relire. Avec \(u'(4)=-3\), calculer \(K'(1)\) pour \(K(x)=u(2x+2)\). Correction : \(K'(1)=2u'(4)=2(-3)=-6\).

Définition et convention 13.1 — Dérivées latérales

Si \(f\) est définie en \(a\) et immédiatement à sa droite, on définit sa dérivée à droite par \[f'_+(a)=\lim_{h\to0^+}\frac{f(a+h)-f(a)}h\] lorsque cette limite est réelle et finie. La dérivée à gauche \(f'_-(a)\) est définie de même avec \(h\to0^-\).

À une extrémité du domaine, on nomme explicitement la dérivée latérale utilisée. Un nombre dérivé des deux côtés suppose que les deux approches sont possibles.

Caractérisation 13.2 — Le critère des deux côtés

Si \(f\) est définie au voisinage de \(a\), elle est dérivable en \(a\) si et seulement si \(f'_-(a)\) et \(f'_+(a)\) existent, sont finis et sont égaux. Leur valeur commune est alors \(f'(a)\).

Démonstration.

Si le taux tend vers un même réel \(L\) quand \(h\to0\) sans restriction de côté, il tend vers \(L\) en ne gardant que \(h>0\), et également en ne gardant que \(h<0\).

Réciproquement, si les deux taux latéraux tendent vers \(L\), ils deviennent chacun aussi proches que souhaité de \(L\) lorsque \(|h|\) est assez petit de leur côté. En prenant \(|h|\) assez petit pour satisfaire les deux conditions à la fois, tous les \(h\neq0\) proches de zéro donnent un taux proche de \(L\). La limite des deux côtés est donc \(L\). \(\square\)

Définition 13.3 — Fonction valeur absolue

La valeur absolue de \(x\) est sa distance à zéro : \[|x|=\begin{cases}x&x\geq0,\\-x&x<0.\end{cases}\] En particulier \(|x|\geq0\), et \(\sqrt{x^2}=|x|\), pas toujours \(x\).

Théorème 13.4 — Dérivée de la valeur absolue

La fonction \(f(x)=|x|\) est dérivable pour \(x\neq0\) et \[f'(x)=\begin{cases}1&x>0,\\-1&x<0.\end{cases}\] Elle n’est pas dérivable en \(0\).

Démonstration.

Pour \(x>0\), la fonction coïncide localement avec l’identité, dont la dérivée est \(1\). Pour \(x<0\), elle coïncide localement avec \(-x\), dont la dérivée est \(-1\).

En \(0\), on utilise la valeur \(f(0)=0\). Pour \(h\neq0\), \[\frac{f(h)-f(0)}h=\frac{|h|}h =\begin{cases}1&h>0,\\-1&h<0.\end{cases}\] Les deux dérivées latérales existent, mais sont différentes. La caractérisation interdit donc la dérivabilité des deux côtés. \(\square\)

Exemple 13.5 — Un point anguleux ailleurs qu’en zéro

Soit \(g(x)=|2x-6|\). Si \(x>3\), \(g(x)=2x-6\) ; si \(x<3\), \(g(x)=-2x+6\). Les dérivées sont donc \(2\) à droite de \(3\) et \(-2\) à gauche.

En \(3\), \(g(3)=0\) et le taux vaut \(|2h|/h=2|h|/h\), donc les dérivées latérales sont \(2\) et \(-2\). La fonction n’est pas dérivable en \(3\).

Méthode 13.6 — Étudier un raccord sans oublier la valeur au point

Pour une fonction définie par des expressions différentes de part et d’autre de \(a\) : calculer \(f(a)\) avec la bonne branche ; écrire le taux à gauche et à droite avec ce même \(f(a)\) ; calculer les limites ; comparer.

Dériver séparément les deux formules ne suffit pas si les valeurs de la fonction ne se raccordent pas.

Exemple 13.7 — Déterminer deux paramètres pour un raccord dérivable

On considère \[f(x)=\begin{cases}x^2&x<1,\\mx+p&x\geq1,\end{cases}\] où \(m,p\) sont réels. On cherche la dérivabilité en \(1\).

La valeur et le raccord des images.

\(f(1)=m+p\). Si \(f\) est dérivable, les images voisines doivent tendre vers \(f(1)\). À gauche, \(x^2\to1\) : on doit donc avoir \(m+p=1\).

Le raccord des pentes, une fois la valeur correcte.

Sous la condition \(m+p=1\), pour \(h<0\), \[\frac{f(1+h)-f(1)}h=\frac{(1+h)^2-1}{h}=2+h\longrightarrow2.\] Pour \(h>0\), \[\frac{f(1+h)-f(1)}h =\frac{m(1+h)+p-(m+p)}h =\frac{mh}h=m.\] Les pentes sont égales exactement pour \(m=2\). La condition de valeur donne alors \(2+p=1\), donc \(p=-1\).

Vérification suffisante. Pour \(m=2\), \(p=-1\), les deux taux tendent bien vers \(2\). La fonction obtenue est dérivable en \(1\) et \(f'(1)=2\).

Piège 13.8 — Même dérivée des branches, mais pas de dérivée au raccord

Soit \(F(x)=x\) pour \(x<0\) et \(F(x)=x+1\) pour \(x\geq0\). Les deux formules affines ont pour dérivée \(1\). Pourtant \(F(0)=1\) et, pour \(h<0\), \[\frac{F(h)-F(0)}h=\frac{h-1}h=1-\frac1h\longrightarrow+\infty.\] À droite, le taux vaut \(1\). Le saut de valeur empêche la dérivabilité. On ne peut pas le détecter en regardant uniquement les dérivées des branches.

Proposition 13.9 — Une valeur absolue n’interdit pas toujours la dérivabilité

Supposons \(u\) dérivable en \(a\) et \(u(a)=0\). Alors la fonction \(|u|\) est dérivable en \(a\) si et seulement si \(u'(a)=0\) ; sa dérivée vaut alors \(0\).

Démonstration.

Comme \(u(a)=0\), le taux de \(|u|\) vaut \(|u(a+h)|/h\). Pour \(h>0\), il est égal à \(\left|u(a+h)/h\right|\) et tend vers \(|u'(a)|\). Pour \(h<0\), il est égal à \(-\left|u(a+h)/h\right|\) et tend vers \(-|u'(a)|\). Ces passages à la limite suivent de \(\bigl||r|-|s|\bigr|\leq|r-s|\) : une valeur absolue ne peut augmenter l’écart. Si \(r,s\) ont le même signe, les deux membres sont égaux ; s’ils sont de signes contraires, \(|r-s|=|r|+|s|\geq\bigl||r|-|s|\bigr|\). Cela justifie l’inégalité utilisée.

Les deux limites sont égales si et seulement si \(|u'(a)|=-|u'(a)|\), soit \(|u'(a)|=0\), donc \(u'(a)=0\). Dans ce cas la limite commune vaut \(0\). \(\square\)

Exemple 13.10 — Deux comportements à distinguer

Pour \(u(x)=x^2\), \(u(0)=u'(0)=0\) ; d’ailleurs \(|u(x)|=x^2\) est dérivable en \(0\). Pour \(v(x)=x^2-1\), \(v(1)=0\) mais \(v'(1)=2\neq0\) : \(|x^2-1|\) n’est pas dérivable en \(1\). Une expression contenant une valeur absolue doit donc être examinée, pas rejetée automatiquement.

À toi 13.11 — Un domaine, deux côtés, une conclusion

Repérage. Pour \(f(x)=|x-2|\), l’expression change en \(x=2\), pas en \(0\). Essai guidé. Calculer ses deux taux latéraux en \(2\).

Correction expliquée.

\(f(2)=0\) et \(f(2+h)=|h|\). Le taux vaut \(-1\) pour \(h<0\) et \(1\) pour \(h>0\) : pas de dérivée en \(2\).

À tenter avant de lire. Étudier en \(0\) la fonction \(g(x)=x^2\) pour \(x<0\) et \(g(x)=kx\) pour \(x\geq0\).

Correction expliquée.

\(g(0)=0\). À gauche, le taux vaut \(h^2/h=h\to0\). À droite, il vaut \(kh/h=k\). La fonction est dérivable en \(0\) exactement pour \(k=0\), avec dérivée \(0\).

À expliquer avec tes mots. Pourquoi \(\sqrt{x^2}\) n’est-elle pas dérivable en \(0\) ? Parce qu’elle vaut \(|x|\), dont les taux latéraux diffèrent. Écrire \(\sqrt{x^2}=x\) aurait perdu les \(x<0\).

Reprise. Refaire \(\sqrt{(-3)^2}=\sqrt9=3=|-3|\). Nouvel essai : \(\sqrt{(x-2)^2}=|x-2|\) ; le point anguleux étudié plus haut est donc le même.

À reprendre plus tard, avant de relire. Étudier en \(0\) la fonction \(H(x)=|x|^3\). Correction : \(H(0)=0\) et \(|h|^3/h=h|h|\to0\). Elle est dérivable en \(0\) avec dérivée \(0\), malgré la présence d’une valeur absolue.

Repères de réussite. J’utilise la valeur réelle au point de raccord, je compare des limites finies et je traite les bords avec le côté autorisé.

Définition 14.1 — Fonction affine tangente

La fonction affine tangente à \(f\) en \(a\) est \[\ell_a(x)=f(a)+f'(a)(x-a).\] Utiliser l’approximation affine consiste à écrire \[\boxed{f(a+h)\approx f(a)+hf'(a)}\] pour un écart \(h\) suffisamment petit. Le signe \(\approx\) indique que l’on remplace la valeur exacte par une estimation.

Théorème — caractérisation 14.2 — La signification exacte du reste

La fonction \(f\) est dérivable en \(a\) avec \(f'(a)=m\) si et seulement si, pour \(h\) admissible proche de zéro, \[f(a+h)=f(a)+mh+h\eta(h),\qquad \eta(h)\longrightarrow0.\] Le terme \(h\eta(h)\) est l’erreur de l’approximation affine. Pour \(h\neq0\), son quotient par \(h\) tend vers zéro. Le coefficient \(m\) est unique.

Démonstration.

De la dérivabilité à l’écriture.

Si \(f'(a)=m\), poser pour \(h\neq0\) \[\eta(h)=\frac{f(a+h)-f(a)}h-m.\] La définition donne \(\eta(h)\to0\). En multipliant par \(h\) puis en ajoutant \(f(a)+mh\), on retrouve l’égalité du théorème. On peut fixer \(\eta(0)=0\) pour que l’égalité soit aussi écrite en \(h=0\).

De l’écriture à la dérivabilité.

Si l’égalité est vraie et \(\eta(h)\to0\), alors, pour \(h\neq0\), \[\frac{f(a+h)-f(a)}h=m+\eta(h)\longrightarrow m.\] La limite est finie : \(f'(a)=m\). Si deux coefficients \(m_1\) et \(m_2\) convenaient, le même taux aurait deux limites finies différentes, ce qui est impossible. Ils sont donc égaux. \(\square\)

Exemple 14.3 — Un reste exact facile à calculer

Pour \(f(x)=x^2\) autour de \(a=3\), \(f(3)=9\) et \(f'(3)=6\). Ainsi \[(3+h)^2\approx9+6h.\] L’identité exacte est \((3+h)^2=9+6h+h^2\). Ici, \(\eta(h)=h\) et l’erreur est exactement \(h^2\). Pour \(h=0{,}02\), \[3{,}02^2\approx9+6\times0{,}02=9{,}12.\] La valeur exacte est \(9{,}1204\), car \(h^2=0{,}0004\). Le contrôle mesure ici l’erreur, pas seulement son apparence.

Exemple 14.4 — Choisir une abscisse de référence simple

Pour estimer \(1{,}02^3\), choisir \(a=1\) et \(h=0{,}02\). Avec \(f(x)=x^3\), \(f(1)=1\) et \(f'(1)=3\), d’où \[1{,}02^3\approx1+3\times0{,}02=1{,}06.\] L’égalité développée fournit le contrôle : \[(1+h)^3=1+3h+3h^2+h^3.\] L’erreur vaut \(3(0{,}02)^2+(0{,}02)^3=0{,}0012+0{,}000008=0{,}001208\). La valeur exacte est donc \(1{,}061208\).

Exemple 14.5 — Approcher une racine et encadrer l’erreur sans théorie supplémentaire

Pour \(f(x)=\sqrt x\) autour de \(4\), \(f(4)=2\) et \(f'(4)=1/4\). Avec \(h=0{,}04\), \[\sqrt{4{,}04}\approx2+\frac{0{,}04}{4}=2{,}01.\] Posons \(s=\sqrt{4+h}\). Par conjugaison, \(s-2=h/(s+2)\). Alors \[\begin{aligned} s-2-\frac h4 &=\frac h{s+2}-\frac h4\\ &=\frac{h(4-(s+2))}{4(s+2)}\\ &=-\frac{h(s-2)}{4(s+2)}\\ &=-\frac{h^2}{4(s+2)^2}. \end{aligned}\] Pour \(h=0{,}04>0\), \(s\geq2\), donc \[\left|\sqrt{4{,}04}-2{,}01\right| \leq\frac{0{,}04^2}{4\times4^2} =\frac{0{,}0016}{64}=0{,}000025.\] Le signe négatif du reste montre également que l’estimation \(2{,}01\) est supérieure à la valeur exacte. Cette conclusion vient de l’identité calculée, sans théorème sur la convexité.

Exemple 14.6 — Une approximation avec un écart négatif

Pour \(f(x)=1/x\) autour de \(1\), \(f(1)=1\) et \(f'(1)=-1\). Pour \(h=-0{,}01\), \[\frac1{0{,}99}\approx1-h=1{,}01.\] L’erreur exacte s’obtient en mettant au même dénominateur : \[\begin{aligned} \frac1{1+h}-(1-h) &=\frac{1-(1-h)(1+h)}{1+h}\\ &=\frac{1-(1-h^2)}{1+h} =\frac{h^2}{1+h}. \end{aligned}\] Pour \(h=-0{,}01\), elle vaut \(0{,}0001/0{,}99=1/9900\). L’estimation est donc légèrement inférieure à la valeur exacte.

Piège 14.7 — « \(h\) est petit » ne garantit pas une précision chiffrée universelle

La dérivabilité assure \(\eta(h)\to0\), mais ne donne pas à elle seule une borne numérique de l’erreur pour un \(h\) fixé. Deux fonctions ayant la même valeur et la même dérivée en \(a\) peuvent avoir des erreurs très différentes à distance donnée.

Par exemple, autour de \(0\), \(f(x)=x+x^2\) et \(g(x)=x+1000x^2\) ont toutes deux pour approximation affine \(x\). À \(h=0{,}01\), leurs erreurs valent \(0{,}0001\) et \(0{,}1\). Pour annoncer une précision, il faut donc un contrôle supplémentaire adapté à la fonction.

À toi 14.8 — Estimer, justifier et contrôler

Repérage. Pour approcher \(\sqrt{9{,}06}\), une référence simple est \(a=9\), avec \(h=0{,}06\). Essai guidé. Calculer \(f(a)\) et \(f'(a)\), puis l’estimation.

Correction expliquée.

\(f(9)=3\) et \(f'(9)=1/6\), donc \(\sqrt{9{,}06}\approx3+0{,}06/6=3{,}01\).

À tenter avant de lire. Estimer \(0{,}98^2\) autour de \(1\), puis calculer l’erreur exacte.

Correction expliquée.

\(h=-0{,}02\), \(f(1)=1\) et \(f'(1)=2\). L’estimation est \(1+2(-0{,}02)=0{,}96\). Comme \((1+h)^2=1+2h+h^2\), l’erreur est \(h^2=0{,}0004\) ; la valeur exacte vaut \(0{,}9604\).

À expliquer avec tes mots. Pourquoi écrit-on \(\approx\) et non \(=\) ? On a omis le reste \(h\eta(h)\), qui n’est pas nécessairement nul pour un \(h\) fixé non nul.

Reprise. Si tu as pris \(h=0{,}98\), repars de l’égalité \(a+h=0{,}98\) avec \(a=1\) : \(h=0{,}98-1=-0{,}02\). Nouvel essai : autour de \(2\), l’abscisse \(1{,}99\) correspond à \(h=-0{,}01\). Son carré est estimé par \(4+4(-0{,}01)=3{,}96\), avec erreur \(0{,}0001\).

À reprendre plus tard, avant de relire. Estimer \(1/1{,}02\) autour de \(1\). Correction : \(h=0{,}02\), donc \(1/(1+h)\approx1-h=0{,}98\). Le reste \(h^2/(1+h)=0{,}0004/1{,}02=1/2550\) est positif.

Repères de réussite. Je choisis une référence commode, j’écris \(h=x-a\) avec son signe et je ne confonds pas estimation et précision démontrée.

Méthode 15.1 — Une tangente de pente imposée

Pour chercher une tangente parallèle à \(y=mx+p\), résoudre \(f'(a)=m\) dans le domaine de dérivabilité. Pour chaque abscisse obtenue, calculer \(f(a)\), puis l’équation complète de \(T_a\).

Deux droites non verticales sont parallèles, éventuellement confondues, si et seulement si elles ont le même coefficient directeur.

Exemple 15.2 — Parallèle à une droite donnée

Soit \(f(x)=x^2+1\). On cherche une tangente parallèle à \(y=6x+5\). On a \(f'(x)=2x\) ; il faut donc \[2a=6\quad\Longleftrightarrow\quad\frac{2a}{2}=\frac62 \quad\Longleftrightarrow\quad a=3.\] Puis \(f(3)=10\) et \(f'(3)=6\), d’où \[T_3:\quad y=6(x-3)+10=6x-8.\] La pente est bien \(6\), mais l’ordonnée à l’origine est \(-8\), pas \(5\). La droite est parallèle à celle donnée, et non confondue avec elle.

Méthode 15.3 — Une tangente passant par un point imposé

Pour chercher les tangentes à \(\mathcal C_f\) passant par \(P(p;q)\), écrire \(T_a\) puis imposer \[q=f'(a)(p-a)+f(a).\] Résoudre cette équation en \(a\), en conservant les conditions de dérivabilité, puis construire chaque tangente.

Démonstration.

Le point \(P(p;q)\) appartient à \(T_a\) exactement lorsque ses coordonnées vérifient l’équation de \(T_a\). On remplace donc \(x\) par \(p\) et \(y\) par \(q\). Cette condition est nécessaire et suffisante ; elle ne demande pas que \(P\) soit lui-même le point de contact. \(\square\)

Exemple 15.4 — Deux tangentes passant par un point extérieur

Pour \(f(x)=x^2+1\), les tangentes s’écrivent \[y=2a(x-a)+a^2+1=2ax+1-a^2.\] Cherchons celles passant par \(P(0;-3)\). La condition est \[-3=1-a^2\quad\Longleftrightarrow\quad a^2=4 \quad\Longleftrightarrow\quad a=-2\ \text{ou}\ a=2.\] Pour \(a=2\), la tangente est \(y=4x-3\), au point \((2;5)\). Pour \(a=-2\), elle est \(y=-4x-3\), au point \((-2;5)\). Toutes deux donnent \(y=-3\) pour \(x=0\) ; leurs pentes sont \(f'(2)=4\) et \(f'(-2)=-4\).

Lecture. Le même point \(P\) est sur deux tangentes, dont les points de contact sont distincts. L’abscisse de \(P\) ne doit donc pas être utilisée automatiquement comme abscisse de contact.

Exemple 15.5 — Une même droite peut être tangente en deux points

Pour \(f(x)=(x^2-1)^2\), on a \(f'(x)=4x(x^2-1)\). Aux abscisses \(-1\) et \(1\), \(f\) et \(f'\) valent tous deux \(0\). Dans les deux cas, la tangente a donc pour équation \(y=0\).

Cette droite rencontre la courbe aux deux points \((-1;0)\) et \((1;0)\) et est tangente en chacun. « Une tangente possède exactement un point commun avec la courbe » est donc une affirmation fausse.

Critère 15.6 — Vérifier qu’une droite est commune à deux courbes

Les tangentes à \(f\) en \(a\) et à \(g\) en \(b\) sont la même droite si et seulement si leurs pentes et leurs ordonnées à l’origine coïncident : \[\begin{cases} f'(a)=g'(b),\\ f(a)-af'(a)=g(b)-bg'(b). \end{cases}\] Les points de contact peuvent avoir des abscisses différentes.

Démonstration.

Développer les deux équations donne \(y=f'(a)x+f(a)-af'(a)\) et \(y=g'(b)x+g(b)-bg'(b)\). Deux fonctions affines sont identiques si et seulement si leur coefficient de \(x\) et leur terme constant sont égaux. Le système exprime exactement ces deux égalités. \(\square\)

Exemple 15.7 — Deux points de contact, une seule droite

Prenons \(f(x)=x^2\) et \(g(x)=(x-2)^2+2\). Leurs dérivées sont \(2x\) et \(2(x-2)\). L’égalité des pentes donne \(2a=2(b-2)\), donc \(b=a+2\).

Pour \(f\), la tangente a pour ordonnée à l’origine \(-a^2\). Pour \(g\), en utilisant \(b=a+2\), \[\begin{aligned} g(b)-bg'(b) &=a^2+2-(a+2)2a\\ &=a^2+2-2a^2-4a\\ &=-a^2-4a+2. \end{aligned}\] Il faut donc \(-a^2=-a^2-4a+2\), soit \(4a=2\), puis \(a=1/2\) et \(b=5/2\). La droite commune est \[\boxed{y=x-\frac14.}\] Elle passe par \((1/2;1/4)\) et \((5/2;9/4)\) ; sa pente \(1\) vaut bien les deux nombres dérivés correspondants.

Exemple 15.8 — Retrouver une fonction à partir d’images et de pentes

On sait que \(f(x)=Ax^2+Bx+C\), que \(f(0)=1\), \(f'(0)=-2\) et \(f'(2)=6\). Comme \(f'(x)=2Ax+B\), on obtient successivement \[C=1,\qquad B=-2,\qquad4A+B=6.\] La dernière équation devient \(4A-2=6\), donc \(4A=8\) et \(A=2\). Ainsi \[f(x)=2x^2-2x+1.\] Vérifier \(f(0)=1\), \(f'(0)=-2\) et \(f'(2)=8-2=6\) ferme la résolution. L’hypothèse « polynôme du second degré » est essentielle pour limiter les inconnues à \(A,B,C\).

À toi 15.9 — Choisir la bonne condition

Repérage. « Parallèle à une droite » impose une pente ; « passe par un point » impose une substitution dans une équation de droite. Ces deux demandes ne sont pas identiques.

Essai guidé. Pour \(f(x)=x^2\), chercher la tangente de pente \(-4\).

Correction expliquée.

\(f'(a)=2a=-4\) donne \(a=-2\). Puis \(f(-2)=4\), donc \(y=-4(x+2)+4=-4x-4\).

À tenter avant de lire. Chercher les tangentes à \(y=x^2\) passant par \(P(0;-1)\).

Correction expliquée.

\(T_a\) a pour équation \(y=2ax-a^2\). Au point \(P\), \(-1=-a^2\), donc \(a=\pm1\). Les deux tangentes sont \(y=2x-1\) et \(y=-2x-1\).

À expliquer avec tes mots. Pourquoi ne pas calculer simplement la tangente en \(0\) ? \(P\) n’est pas sur la parabole : celle-ci passe par \((0;0)\), pas \((0;-1)\). Le point imposé n’est pas le point de contact.

Reprise. Si l’abscisse de contact a été fixée trop tôt, noter \(A(a;f(a))\) avant toute équation. Nouvel essai : pour \(y=x^2\) et \(P(0;-4)\), l’équation est \(-4=-a^2\), donc \(a=\pm2\), et les tangentes sont \(y=\pm4x-4\).

À reprendre plus tard, avant de relire. Pour \(f(x)=x^2+2\), trouver les tangentes passant par \((0;0)\). Correction : \(T_a:y=2ax+2-a^2\), donc \(a^2=2\), \(a=\pm\sqrt2\). Les droites sont \(y=2\sqrt2x\) et \(y=-2\sqrt2x\).

Repères de réussite. Je garde une inconnue pour le contact, je traduis la consigne et je contrôle point et pente pour chaque solution.

Définition de modèle 16.1 — Vitesse algébrique instantanée

Si \(s(t)\) désigne la position d’un mobile sur un axe orienté, en mètres, au temps \(t\) en secondes, sa vitesse algébrique instantanée, lorsqu’elle existe, est \[v(t)=s'(t)\quad\text{en mètres par seconde}.\] Elle provient de la limite des vitesses moyennes de déplacement \(\frac{s(t+h)-s(t)}h\). Son signe indique le sens du mouvement à l’instant considéré ; la valeur de la vitesse au sens usuel est \(|v(t)|\).

Exemple 16.2 — Distinguer position et vitesse

Un modèle fictif est \(s(t)=2t^2-3t+5\) pour \(t\geq0\). Par linéarité, \[v(t)=4t-3.\] À \(t=2\), la position est \(s(2)=8-6+5=7\) mètres et la vitesse algébrique \(v(2)=8-3=5\) mètres par seconde. À \(t=1/2\), \(v(1/2)=2-3=-1\) m/s : le mobile se déplace dans le sens négatif de l’axe à cet instant. Sa vitesse en valeur est \(1\) m/s, non « moins un kilomètre parcouru ».

Retour à la définition. Pour \(t\) fixé et \(h\neq0\) admissible, \[\begin{aligned} s(t+h)-s(t) &=2(t^2+2th+h^2)-3t-3h+5-(2t^2-3t+5)\\ &=4th+2h^2-3h=h(4t+2h-3). \end{aligned}\] Le taux vaut \(4t+2h-3\to4t-3\), ce qui retrouve la formule.

Piège 16.3 — Déplacement et distance parcourue ne sont pas la même chose

Le quotient \((s(t_2)-s(t_1))/(t_2-t_1)\) utilise un déplacement algébrique. Si le mobile fait demi-tour, la différence des positions n’est pas la distance totale parcourue. On ne remplace donc pas automatiquement une grandeur par une autre dans la formule.

Il faut lire ce que représente la fonction du problème : position sur un axe, distance depuis le départ, hauteur, coût, volume, etc.

Exemple 16.4 — Calcul exact et conversion d’unité

Pour un modèle de distance \(d(t)=2t^2+4t\), entre les instants \(1\) et \(3\), \[\frac{d(3)-d(1)}{3-1}=\frac{(18+12)-(2+4)}2=\frac{24}2=12\ \text{m/s}.\] La vitesse instantanée au temps \(t\) est \(d'(t)=4t+4\) ; à \(t=2\), elle vaut aussi \(12\) m/s. Cette égalité dans cet exemple ne dit pas que toute vitesse moyenne égale toute vitesse instantanée.

Pour convertir, \(1\) m/s vaut \(3600\) mètres par heure, soit \(3{,}6\) km/h. Ainsi \(12\) m/s vaut \(43{,}2\) km/h.

Convention de modélisation 16.5 — Coût discret et approximation par la dérivée

Si \(C(q)\) est le coût total pour produire \(q\) objets, le coût du prochain objet est \[C(q+1)-C(q).\] Lorsque l’on dispose d’un modèle dérivable et que l’approximation affine est pertinente sur ce pas, on l’approche par \(C'(q)\).

Le coût du \(q\)-ième objet correspond plutôt à \(C(q)-C(q-1)\). Les deux conventions doivent être distinguées ; la consigne précise laquelle est utilisée.

Exemple 16.6 — Un atelier et un écart mesurable

Un modèle fictif du coût d’une série de réparations est \[C(q)=0{,}02q^2+3q+20\quad\text{euros},\qquad q\geq0.\] Le nombre d’objets est entier en pratique ; le polynôme fournit une extension à une variable réelle pour calculer la dérivée. \[C'(q)=0{,}04q+3.\] À \(q=100\), le coût total est \(C(100)=200+300+20=520\) euros et \(C'(100)=7\) euros par objet.

Le coût exact de l’objet suivant est \[\begin{aligned} C(q+1)-C(q) &=0{,}02(q+1)^2+3(q+1)+20-(0{,}02q^2+3q+20)\\ &=0{,}02q^2+0{,}04q+0{,}02+3q+3+20\\ &\qquad-0{,}02q^2-3q-20\\ &=0{,}04q+3{,}02. \end{aligned}\] Pour \(q=100\), il vaut \(7{,}02\) euros. La dérivée donne une estimation de \(7\) euros, inférieure de \(0{,}02\) euro. Elle n’est pas le coût total, et l’approximation n’est pas ici une égalité.

Bon réflexe 16.7 — Lire la variable avant de lire le nombre

Si \(x\) est exprimé en milliers d’objets et \(C(x)\) en milliers d’euros, alors \(C'(x)\) est exprimé en milliers d’euros par millier d’objets. Les facteurs \(1000\) se compensent dans cette unité, mais l’abscisse \(x=2\) représente bien \(2000\) objets.

Avant d’interpréter \(f'(a)\), préciser : variable, grandeur, unités, abscisse réelle et caractère exact ou approché.

À toi 16.8 — Calculer puis écrire une phrase qui a un sens

Repérage. Si \(s\) est en mètres et \(t\) en secondes, \(s'(t)\) est en m/s, pas en mètres.

Essai guidé. Pour \(s(t)=t^2+2t\), calculer \(s(3)\) et \(s'(3)\).

Correction expliquée.

\(s(3)=9+6=15\) m. La dérivée \(s'(t)=2t+2\) donne \(s'(3)=8\) m/s : à l’instant \(3\) s, la position vaut \(15\) m et la vitesse algébrique vaut \(8\) m/s.

À tenter avant de lire. Pour \(C(q)=0{,}1q^2+2q+10\), comparer \(C'(20)\) au coût du prochain objet.

Correction expliquée.

\(C'(q)=0{,}2q+2\), donc \(C'(20)=6\). Le coût exact est \[C(q+1)-C(q)=0{,}1(2q+1)+2=0{,}2q+2{,}1,\] soit \(6{,}1\) euros en \(q=20\). L’approximation sous-estime ce coût de \(0{,}1\) euro.

À expliquer avec tes mots. Pourquoi le pas \(1\) ne donne-t-il pas automatiquement une égalité avec la dérivée ? La dérivée est une limite lorsque le pas tend vers zéro. Pour un pas fixé, il subsiste en général un reste.

Reprise. Si tu as donné \(C(20)\) à la place du coût supplémentaire, reprendre un modèle affine \(A(q)=3q+5\). Alors \(A(q+1)-A(q)=3\), tandis que \(A(20)=65\) : total et supplément répondent à deux demandes différentes. Revenir ensuite au modèle quadratique.

À reprendre plus tard, avant de relire. Pour \(d(t)=4t^2\), calculer la vitesse instantanée à \(t=2\) et la convertir en km/h. Correction : \(d'(t)=8t\), donc \(16\) m/s, soit \(16\times3{,}6=57{,}6\) km/h.

Repères de réussite. Je nomme la grandeur, je conserve les unités et je distingue valeur, variation moyenne et changement instantané.

Algorithme 17.1 — Une liste de coefficients directeurs

Entrées : une fonction \(f\), une abscisse \(a\) et une liste finie de pas \(h\). Chaque \(h\) doit être non nul ; \(a\) et \(a+h\) doivent appartenir au domaine de \(f\).

Traitement : pour chaque pas, calculer l’image voisine, soustraire \(f(a)\), diviser par \(h\), conserver le couple \((h;\text{taux})\).

Sortie : la liste des pas et des pentes correspondantes. Une liste finie de pas garantit que la boucle comporte un nombre fini d’itérations.

Exemple 17.2 — Dérouler les trois itérations

On prend \(f(x)=x^2\) et \(a=2\). En calcul exact, \[\frac{f(2+h)-f(2)}h=4+h.\] Le tableau explique les états successifs de la boucle. Les pentes décimales sont présentées à la précision d’affichage choisie.

La sortie affichée est :

h = 1 ; taux = 5.000000
h = 0.1 ; taux = 4.100000
h = 0.01 ; taux = 4.010000

La formule \(4+h\to4\) démontre la limite ; l’affichage la rend observable sur ces trois pas. Pour examiner les deux côtés, on peut aussi prendre des pas négatifs admissibles.

Proposition 17.3 — Une différence centrée

Si \(f\) est dérivable en \(a\), alors \[\frac{f(a+h)-f(a-h)}{2h}\longrightarrow f'(a) \quad\text{lorsque }h\to0,\] pour les pas non nuls admissibles. La réciproque est fausse : la convergence de ce quotient ne suffit pas à prouver la dérivabilité.

Démonstration.

Ajouter puis soustraire \(f(a)\) au numérateur donne \[\begin{aligned} \frac{f(a+h)-f(a-h)}{2h} &=\frac12\left(\frac{f(a+h)-f(a)}h+\frac{f(a)-f(a-h)}h\right)\\ &=\frac12\left(\frac{f(a+h)-f(a)}h+\frac{f(a-h)-f(a)}{-h}\right). \end{aligned}\] Les deux quotients tendent vers \(f'(a)\), puisque \(h\) et \(-h\) tendent vers zéro. La limite est donc \(\frac12(f'(a)+f'(a))=f'(a)\).

Pour réfuter la réciproque, prendre \(f(x)=|x|\) en \(0\). Le quotient centré vaut \((|h|-|-h|)/(2h)=0\) pour tout \(h\neq0\). Pourtant les taux de la définition valent \(1\) à droite et \(-1\) à gauche : \(f\) n’est pas dérivable en \(0\). \(\square\)

Exemple 17.4 — Comparer deux approximations exactes

Pour \(f(x)=x^3\), les développements donnent \[(a+h)^3=a^3+3a^2h+3ah^2+h^3,\] \[(a-h)^3=a^3-3a^2h+3ah^2-h^3.\] Leur différence est \(6a^2h+2h^3\). Le quotient centré vaut donc \[\frac{6a^2h+2h^3}{2h}=3a^2+h^2.\] Le taux non centré vaut \(3a^2+3ah+h^2\). À \(a=1\) et \(h=0{,}01\), les deux estimations sont \(3{,}0001\) et \(3{,}0301\), à comparer à la dérivée exacte \(3\). Cette comparaison porte sur cette fonction et ces données ; elle ne remplace pas un contrôle général de tout programme.

Piège 17.5 — Un pas toujours plus petit n’est pas toujours meilleur sur une machine

Avec des nombres décimaux stockés en précision finie, \(a+h\) peut être arrondi à \(a\) lorsque \(h\) est trop petit. Dans l’environnement de calcul utilisé pour cet exemple, 1.0 + 1e-18 == 1.0 donne True. Un taux naïf pour le carré pourrait alors afficher \(0\), au lieu d’une valeur proche de \(2\).

Le test a + h == a du programme signale cette situation. Les annulations entre nombres très proches peuvent dégrader la précision avant même ce cas extrême. Une estimation numérique se confronte à l’algèbre et à plusieurs pas raisonnables ; elle n’établit pas une limite à elle seule.

À toi 17.6 — Prévoir les sorties et en comprendre la portée

Repérage. Pourquoi refuser \(h=0\) ? Le taux contient une division par \(h\), même si \(f(a)\) existe.

Essai guidé. Pour \(f(x)=x^2\) et \(a=3\), prévoir les taux pour \(h=0{,}1\) et \(h=-0{,}1\).

Correction expliquée.

Le taux vaut \(2a+h=6+h\). Les valeurs exactes sont \(6{,}1\) et \(5{,}9\) ; leur limite commune lorsque \(h\to0\) est \(6\).

À tenter avant de lire. Pour \(f(x)=|x|\) en \(0\), comparer le taux avec \(h=0{,}01\), celui avec \(h=-0{,}01\) et le quotient centré.

Correction expliquée.

Les taux valent \(0{,}01/0{,}01=1\) et \(0{,}01/(-0{,}01)=-1\). Le quotient centré est \(0\). Il ne faut pas conclure \(f'(0)=0\) : la définition exige une limite commune des taux non centrés.

À expliquer avec tes mots. Pourquoi trois sorties proches ne sont-elles pas une démonstration ? Elles ne contrôlent que trois valeurs de \(h\), avec les limites éventuelles de l’arithmétique utilisée. Une preuve doit établir le comportement pour tous les pas suffisamment proches.

Reprise. Si seule la dernière valeur de la liste a été conservée, suivre la taille de lignes : elle passe de \(0\) à \(1\), puis \(2\), puis \(3\). Nouvel essai pour la liste [1, 0.5] : deux tours produisent deux couples, pas un seul nombre.

À reprendre plus tard, avant de relire. Pour \(f(x)=x^3\) et \(a=2\), prévoir le quotient centré pour \(h=0{,}1\). Correction : \(3a^2+h^2=12+0{,}01=12{,}01\), tandis que \(f'(2)=12\).

Repères de réussite. Je distingue calcul exact, affichage arrondi, essai numérique et preuve ; je vérifie les deux côtés et les entrées du programme.

À toi 18.1 — Un nouvel essai de synthèse à garder pour une autre séance

Sans relire les corrections précédentes, traiter les quatre demandes suivantes.

1. Dériver \(A(x)=(x+2)/(x-1)\).

2. Écrire la tangente à \(y=x^2\) en \(a=2\).

3. Estimer \(1{,}99^2\) par l’approximation affine en \(2\) et calculer l’erreur.

4. Dire si la fonction \(|x+2|\) est dérivable en \(-2\).

Indices. Pour a), identifier le dénominateur ; pour b), calculer séparément image et pente ; pour c), écrire \(h=1{,}99-2\) ; pour d), comparer les deux côtés du taux.

Correction expliquée.

a) Pour \(x\neq1\), \[A'(x)=\frac{1(x-1)-(x+2)\times1}{(x-1)^2} =\frac{x-1-x-2}{(x-1)^2}=-\frac3{(x-1)^2}.\] b) \(f(2)=4\) et \(f'(2)=4\), donc \(y=4(x-2)+4=4x-4\). c) \(h=-0{,}01\), donc l’estimation est \(4+4(-0{,}01)=3{,}96\) ; l’erreur exacte vaut \(h^2=0{,}0001\) et la valeur exacte \(3{,}9601\). d) Le taux est \(|h|/h\), de limites latérales \(-1\) et \(1\) ; il n’existe pas de nombre dérivé en \(-2\).

Repères de réussite. Une réponse complète comporte la règle ou la définition choisie, ses conditions, les opérations essentielles et une conclusion qui répond à la demande. Un bon résultat ne rend pas vraie une justification incorrecte.

Exemple 19.1 — Une fonction non affine à l’intérieur

Pour \(F(x)=(x^2+1)^3\), poser \(u(x)=x^2+1\) et \(v(t)=t^3\) donne \(F=v\circ u\). Calculer \(F(2)\) revient à faire \[2\ \longmapsto\ u(2)=2^2+1=5 \ \longmapsto\ v(5)=5^3=125.\] Les fonctions \(u\) et \(v\) sont définies sur \(\mathbb R\) ; aucune valeur réelle n’est interdite. Les dérivées connues sont \(u'(x)=2x\) et \(v'(t)=3t^2\). Il reste à savoir comment les assembler : ce n’est ni un produit \(uv\) ni un produit \(u'v'\) évalué à la même entrée.

Théorème 19.2 — Dérivée d’une composée : deux fonctions, deux points

Soit \(u\) dérivable en \(a\), définie sur un intervalle ouvert contenant \(a\). Supposons que \(v\) soit définie sur un intervalle ouvert contenant \(u(a)\), que \(v\) soit dérivable en \(u(a)\) et que la composée soit définie au voisinage de \(a\). Alors \(F=v\circ u\) est dérivable en \(a\) et \[\boxed{F'(a)=u'(a)\,v'(u(a)).}\] Sur un intervalle ouvert \(I\) où ces hypothèses sont satisfaites en chaque point, \[\boxed{(v\circ u)'(x)=u'(x)\,v'(u(x))},\qquad \boxed{(v\circ u)'=u'\times(v'\circ u)}.\] Il n’est pas demandé que \(u'(a)\neq0\), ni que \(u\) soit injective. Les hypothèses sont suffisantes ; elles ne sont pas annoncées nécessaires.

Lemme 19.3 — Écrire un petit accroissement sans diviser par zéro

Si \(v\) est dérivable en \(b\), on peut écrire, pour tout petit réel \(k\) admissible, \[v(b+k)-v(b)=k\bigl(v'(b)+\varepsilon(k)\bigr),\] où \(\varepsilon(0)=0\) et \(\varepsilon(k)\to0\) lorsque \(k\to0\). L’égalité est vraie aussi pour \(k=0\).

Démonstration.

Pour \(k\neq0\), posons \[\varepsilon(k)=\frac{v(b+k)-v(b)}k-v'(b).\] La dérivabilité donne \(\varepsilon(k)\to0\). On ajoute \(v'(b)\) aux deux membres, puis on multiplie par \(k\) : \[\begin{aligned} v'(b)+\varepsilon(k)&=\frac{v(b+k)-v(b)}k,\\ k\bigl(v'(b)+\varepsilon(k)\bigr)&=v(b+k)-v(b). \end{aligned}\] Pour \(k=0\), on définit \(\varepsilon(0)=0\) : les deux membres valent \(0\). La valeur choisie en \(0\) coïncide avec la limite, si bien que remplacer \(k\) par une quantité tendant vers \(0\), même parfois nulle, donne encore \(\varepsilon(k)\to0\). \(\square\)

Démonstration.

1. Nommer les deux accroissements.

Fixons \(a\) et posons \(b=u(a)\). Pour \(h\neq0\) assez petit, l’accroissement de \(u\) est \[k(h)=u(a+h)-u(a).\] Par dérivabilité de \(u\), \[\frac{k(h)}h\longrightarrow u'(a).\] De plus, \(k(h)=h\times[k(h)/h]\to0\), car \(h\to0\) et le second facteur tend vers un nombre réel fini. Ce dernier argument rappelle pourquoi une fonction dérivable a des images voisines tendant vers l’image du point.

2. Appliquer le lemme à la fonction extérieure.

Puisque \(u(a+h)=b+k(h)\), \[\begin{aligned} F(a+h)-F(a) &=v\bigl(b+k(h)\bigr)-v(b)\\ &=k(h)\bigl(v'(b)+\varepsilon(k(h))\bigr). \end{aligned}\] L’égalité vaut même lorsque \(k(h)=0\). On divise uniquement par \(h\neq0\) : \[\frac{F(a+h)-F(a)}h =\frac{k(h)}h\bigl(v'(b)+\varepsilon(k(h))\bigr).\]

3. Prendre les limites des deux facteurs.

Le premier facteur tend vers \(u'(a)\). Comme \(k(h)\to0\) et \(\varepsilon(0)=0\), le second tend vers \(v'(b)+0=v'(b)\). Les règles de limite d’un produit donnent \[\lim_{h\to0}\frac{F(a+h)-F(a)}h=u'(a)v'(b)=u'(a)v'(u(a)).\] Cette limite est réelle et finie : elle prouve la dérivabilité de \(F\) en \(a\) et la formule annoncée. Aucune division par \(u'(a)\) ou par \(k(h)\) n’a été effectuée. \(\square\)

Piège 19.4 — Une preuve raccourcie qui peut diviser par zéro

Écrire le taux de \(F\) comme \[\frac{v(u(a+h))-v(u(a))}{u(a+h)-u(a)} \times\frac{u(a+h)-u(a)}h\] n’est licite que si \(u(a+h)\neq u(a)\). Cette différence peut être nulle pour des \(h\neq0\) ; elle l’est toujours si \(u\) est constante. La preuve avec \(\varepsilon\) ferme ce cas, au lieu de supposer silencieusement une non-nullité absente de l’énoncé.

Méthode 19.5 — Les quatre lignes de préparation

Pour \(F(x)=v(u(x))\), écrire successivement \[u(x),\qquad u'(x),\qquad v(t),\qquad v'(t).\] Vérifier les domaines, puis former \(v'(u(x))\) avant de multiplier par \(u'(x)\). La dernière opération de \(F\) permet souvent de choisir \(v\) ; ce qui entre dans cette opération est \(u(x)\).

Exemple 19.6 — Reprendre le cube d’une expression

Pour \(F(x)=(x^2+1)^3\), l’intérieur est \(u(x)=x^2+1\), donc \(u'(x)=2x\). L’extérieur est \(v(t)=t^3\), donc \(v'(t)=3t^2\). Ces fonctions sont dérivables sur \(\mathbb R\). \[\begin{aligned} v'(u(x))&=3(x^2+1)^2,\\ F'(x)&=2x\times3(x^2+1)^2 =6x(x^2+1)^2. \end{aligned}\] \[\boxed{\left((x^2+1)^3\right)'=6x(x^2+1)^2}\] Contrôle par une autre écriture : \(F=x^6+3x^4+3x^2+1\), donc \(F'=6x^5+12x^3+6x=6x(x^2+1)^2\). Le développement confirme le calcul général ; il n’était pas nécessaire pour commencer.

Exemple 19.7 — Calculer un nombre dérivé sans connaître les fonctions

Les fonctions \(u\) et \(v\) sont dérivables sur \(\mathbb R\). On donne \(u(1)=2\), \(u'(1)=3\), \(v(2)=7\) et \(v'(2)=-4\). Pour \(F=v\circ u\), \[F(1)=v(u(1))=v(2)=7,\] mais \[F'(1)=u'(1)v'(u(1))=3v'(2)=3(-4)=-12.\] L’image \(F(1)\) et le nombre dérivé \(F'(1)\) ont des rôles différents. La valeur \(v'(1)\) ne serait d’aucune utilité pour ce calcul : l’entrée de \(v\) est \(u(1)=2\).

Exemple 19.8 — Une dérivée intérieure nulle n’empêche pas le théorème

Soit \(F(x)=1/(1+x^2)\), avec \(u(x)=1+x^2\) et \(v(t)=1/t\). On a \(u(0)=1\neq0\), donc \(v\) est dérivable au point intermédiaire, alors que \(u'(0)=0\). \[F'(0)=u'(0)v'(u(0))=0\times(-1)=0.\] La définition confirme : \([F(h)-F(0)]/h=-h/(1+h^2)\to0\). C’est bien un nombre dérivé fini, sans aucune division par \(u'(0)\).

À toi 19.9 — Passer de la notation au calcul

Repérage. Pour \(F=(2x^2-1)^4\), quelle est la dernière opération ? Réponse : élever à la puissance \(4\), donc \(v(t)=t^4\) ; l’intérieur est \(u(x)=2x^2-1\).

Essai guidé. Compléter \(u'=\cdots\), \(v'(t)=\cdots\), puis \(F'=u'v'(u)\).

Correction expliquée.

\(u'(x)=4x\) et \(v'(t)=4t^3\). On remplace \(t\) par \(2x^2-1\) : \(v'(u(x))=4(2x^2-1)^3\). Ainsi \(F'(x)=4x\times4(2x^2-1)^3=16x(2x^2-1)^3\) sur \(\mathbb R\). \[\boxed{\left((2x^2-1)^4\right)'=16x(2x^2-1)^3}\] À tenter avant de lire. Avec \(u(2)=-1\), \(u'(2)=4\) et \(v'(-1)=3\), calculer \((v\circ u)'(2)\).

Correction expliquée.

\((v\circ u)'(2)=u'(2)v'(u(2))=4v'(-1)=12\). On ne cherche pas \(v'(2)\).

À expliquer avec tes mots. Pourquoi multiplie-t-on des dérivées calculées en deux points différents ? Réponse possible : la première transformation part de \(x\) ; la seconde part de l’image intermédiaire \(u(x)\). Citer ces deux entrées est le critère essentiel.

Reprise. Si tu écris \(u'(x)v'(x)\), prends \(u(x)=2x\), \(v(t)=t^2\). La composée vaut \(4x^2\), de dérivée \(8x\), tandis que \(u'(x)v'(x)=4x\). Le remplacement correct donne \(2\times2(2x)=8x\). Nouvel essai : avec \(u(x)=3x\) et \(v(t)=t^2\), la dérivée est \(3\times2(3x)=18x\). Revenir ensuite à \(F\).

À reprendre plus tard, avant de relire. Dériver \(K(x)=(x^3+2)^2\). Correction : \(u'=3x^2\), \(v'(t)=2t\), donc \(K'=3x^2\times2(x^3+2)=6x^2(x^3+2)\) sur \(\mathbb R\). \[\boxed{\left((x^3+2)^2\right)'=6x^2(x^3+2)}\]

Repères de réussite. Je nomme les deux fonctions, leurs domaines et les deux lieux d’évaluation ; je calcule tous les facteurs sans supposer une dérivée intérieure non nulle.

Corollaire 20.1 — La dérivée de \((u(x))^n\)

Si \(u\) est dérivable sur un intervalle ouvert \(I\) et si \(n\geq2\) est entier, alors \[\boxed{(u^n)'=n\,u^{n-1}u'.}\] Aucune condition \(u(x)\neq0\) n’est nécessaire. Pour \(n=1\), la dérivée est \(u'\). Pour \(n<0\), la même formule est valable sur les intervalles où \(u\) est dérivable et ne s’annule pas.

La fonction constante \(1\) a pour dérivée \(0\). Si elle est désignée par \(u^0\), cette convention doit être fixée : on ne calcule pas sa dérivée en écrivant \(0\times u^{-1}\) aux zéros de \(u\).

Démonstration.

Pour \(n\geq2\), choisir \(v(t)=t^n\), dérivable sur \(\mathbb R\), donne \(v'(t)=nt^{n-1}\). La règle de composition fournit \[(u^n)'(x)=u'(x)\,n(u(x))^{n-1}=n(u(x))^{n-1}u'(x).\] Pour \(n<0\), \(v\) est dérivable seulement sur \(\mathbb R\setminus\{0\}\) : il faut donc \(u(x)\neq0\). La même substitution donne la formule. Les cas \(n=1\) et constante \(1\) se traitent directement, sans expression ambiguë de la forme \(0^0\) ou \(0/0\). \(\square\)

Méthode 20.2 — Garder l’expression intérieure entière

Repérer la base \(u(x)\) et l’exposant constant \(n\). Écrire \(u'(x)\) séparément. Ensuite : descendre \(n\), diminuer l’exposant de \(1\), multiplier par \(u'(x)\). \[\bigl(\underbrace{u(x)}_{\text{base}}\bigr)^n \quad\longmapsto\quad n\bigl(u(x)\bigr)^{n-1}\times u'(x).\] Ce procédé n’est pas la règle de dérivation d’une puissance dont l’exposant dépend de \(x\).

Exemple 20.3 — Une base du second degré

Pour \(F(x)=(x^2-3x+2)^5\), la base est \(u=x^2-3x+2\) et \(u'=2x-3\). Sur \(\mathbb R\), \[F'(x)=5(x^2-3x+2)^4(2x-3).\] \[\boxed{\left((x^2-3x+2)^5\right)'=5(x^2-3x+2)^4(2x-3)}\] En \(x=1\), la base vaut \(0\) ; la formule donne \(F'(1)=5\times0^4\times(-1)=0\). Il n’y a pas de division par cette base : ses zéros ne sont pas interdits.

Exemple 20.4 — Une puissance négative et un dénominateur toujours positif

Soit \(G(x)=(x^2+1)^{-3}\). Comme \(x^2+1\geq1\), \(G\) est définie et dérivable sur \(\mathbb R\). Avec \(u=x^2+1\) et \(u'=2x\), \[\begin{aligned} G'(x)&=-3(x^2+1)^{-4}\times2x\\ &=-6x(x^2+1)^{-4}=-\frac{6x}{(x^2+1)^4}. \end{aligned}\] \[\boxed{\left((x^2+1)^{-3}\right)'=-\frac{6x}{(x^2+1)^4}}\] La forme fractionnaire rend visibles les valeurs interdites éventuelles ; ici, il n’y en a aucune. Le signe moins provient de l’exposant \(-3\), pas d’une supposition sur le signe de \(x\).

Exemple 20.5 — La base peut elle-même être un quotient

Pour \(H(x)=\left(\frac{x+1}{x-2}\right)^3\), le domaine exclut \(2\). On dérive d’abord la base : \[\begin{aligned} u'(x)&=\frac{1\times(x-2)-(x+1)\times1}{(x-2)^2}\\ &=\frac{x-2-x-1}{(x-2)^2}=-\frac3{(x-2)^2}. \end{aligned}\] Puis \[\begin{aligned} H'(x)&=3\left(\frac{x+1}{x-2}\right)^2\left(-\frac3{(x-2)^2}\right)\\ &=-\frac{9(x+1)^2}{(x-2)^4},\qquad x\neq2. \end{aligned}\] \[\boxed{\left(\left(\frac{x+1}{x-2}\right)^3\right)'=-\frac{9(x+1)^2}{(x-2)^4}}\] On n’a pas dérivé séparément un « cube du numérateur » et un « cube du dénominateur » : la dernière opération choisie est la puissance, puis le quotient intervient seulement pour calculer \(u'\).

Proposition 20.6 — Une autre preuve pour un entier positif

La formule de \(u^n\), \(n\geq2\), peut aussi se démontrer sans supposer le théorème général de composition : on utilise la factorisation d’une différence de puissances.

Démonstration.

Pour tous réels \(A,B\), \[A^n-B^n=(A-B)\sum_{j=0}^{n-1}A^{n-1-j}B^j.\] Cette identité, issue de la somme géométrique par télescopage, reste vraie si \(A=B\). On prend \(A=u(a+h)\), \(B=u(a)\) et on divise seulement par \(h\neq0\) : \[\frac{u(a+h)^n-u(a)^n}{h} =\frac{u(a+h)-u(a)}h \sum_{j=0}^{n-1}u(a+h)^{n-1-j}u(a)^j.\] La dérivabilité de \(u\) donne \(u(a+h)\to u(a)\) et un premier facteur tendant vers \(u'(a)\). Dans la somme finie, chaque terme tend vers \(u(a)^{n-1}\) ; une puissance d’exposant zéro dans cette identité désigne le polynôme constant \(1\). Les \(n\) termes donnent \(nu(a)^{n-1}\). La limite du taux est donc \(nu(a)^{n-1}u'(a)\), y compris si \(u(a)=0\). \(\square\)

À toi 20.7 — Ne pas confondre base, exposant et dérivée

Repérage. Dans \((2x^2-1)^4\), la base est \(2x^2-1\), l’exposant \(4\), et la dérivée de la base \(4x\).

Essai guidé. Dériver \(A(x)=(1-2x^2)^3\). Commencer par \(u'=\cdots\).

Correction expliquée.

\(u(x)=1-2x^2\) donne \(u'(x)=-4x\). Donc \[A'(x)=3(1-2x^2)^2(-4x)=-12x(1-2x^2)^2\] sur \(\mathbb R\). \[\boxed{\left((1-2x^2)^3\right)'=-12x(1-2x^2)^2}\] À tenter avant de lire. Dériver \(B(x)=(x^3-1)^{-2}\) et préciser son domaine.

Correction expliquée.

Le dénominateur interdit \(x^3-1=0\), soit \(x=1\). Pour \(x\neq1\), \(u'=3x^2\) et l’exposant devient \(-3\) : \[B'(x)=-2(x^3-1)^{-3}(3x^2)=-\frac{6x^2}{(x^3-1)^3}.\] \[\boxed{\left((x^3-1)^{-2}\right)'=-\frac{6x^2}{(x^3-1)^3}}\]

À expliquer avec tes mots. Pourquoi \(u\neq0\) est-il exigé pour \(n<0\) mais pas pour \(n\geq2\) ? Réponse : une puissance négative est l’inverse d’une puissance positive ; cette division interdit zéro. Une puissance positive ne contient pas cette division.

Erreur et reprise. L’écriture erronée \((u^3)'=3(u')^2\) dérive aussi la base à l’intérieur de la puissance. Pour \(u(x)=x^2\), elle donnerait \(12x^2\), alors que \((x^6)'=6x^5\). Le bon calcul est \(3(x^2)^2(2x)=6x^5\). Nouvel essai : \([(x^2)^2]'=2x^2(2x)=4x^3\). Reprendre ensuite \(A\).

À reprendre plus tard, avant de relire. Dériver \(C(x)=(2+x^2)^4\). Correction : \(C'=4(2+x^2)^3(2x)=8x(2+x^2)^3\) sur \(\mathbb R\). \[\boxed{\left((2+x^2)^4\right)'=8x(2+x^2)^3}\]

Repères de réussite. Je garde la base entière dans la puissance, j’ajoute sa dérivée comme facteur et je distingue les domaines des exposants positifs et négatifs.

Corollaire 21.1 — Inverse et multiple d’un inverse

Si \(u\) est dérivable sur un intervalle ouvert \(I\) et si \(u(x)\neq0\) sur \(I\), alors \[\boxed{\left(\frac1u\right)'=-\frac{u'}{u^2}},\qquad \boxed{\left(\frac c u\right)'=-\frac{c\,u'}{u^2}}\] pour toute constante réelle \(c\). Même si \(c=0\), l’expression initiale \(c/u\) n’est pas définie aux zéros de \(u\).

Démonstration.

Avec \(v(t)=1/t\), la règle générale donne \[\left(\frac1{u(x)}\right)'=u'(x)\left(-\frac1{(u(x))^2}\right) =-\frac{u'(x)}{(u(x))^2}.\] La non-nullité de \(u(x)\) vérifie le domaine de la fonction extérieure. Multiplier par la constante \(c\) donne la seconde formule par linéarité. C’est la même formule que celle obtenue antérieurement par un taux de variation : la composition l’explique comme cas particulier. \(\square\)

Notation 21.2 — La lettre du dénominateur peut changer

Si le dénominateur est nommé \(V\) ou \(v\) plutôt que \(u\), la règle devient \[\left(\frac1V\right)'=-\frac{V'}{V^2} \qquad\text{ou}\qquad \left(\frac1v\right)'=-\frac{v'}{v^2}.\] Dans ces écritures, \(V\) ou \(v\) est l’expression intérieure. Pour éviter de lui donner simultanément deux rôles, on peut appeler \(r(t)=1/t\) la fonction extérieure : \(1/V=r\circ V\).

Exemple 21.3 — Un inverse sans valeur interdite réelle

Soit \(F(x)=1/(x^2+4)\). On pose \(u(x)=x^2+4\). Comme \(u(x)\geq4\), l’expression est définie et dérivable sur \(\mathbb R\). De \(u'=2x\), on tire \[F'(x)=-\frac{2x}{(x^2+4)^2}.\] \[\boxed{\left(\frac1{x^2+4}\right)'=-\frac{2x}{(x^2+4)^2}}\] On met au carré tout \(x^2+4\), pas seulement \(x\) ou seulement \(4\). En \(0\), le taux \([F(h)-F(0)]/h=-h/[4(h^2+4)]\to0\), en accord avec \(F'(0)=0\).

Exemple 21.4 — Un coefficient et deux valeurs interdites

Pour \(G(x)=3/(x^2-1)\), la factorisation \(x^2-1=(x-1)(x+1)\) interdit \(x=1\) et \(x=-1\). La formule s’applique sur chacun des trois intervalles du domaine. Avec \(u'=2x\), \[G'(x)=-\frac{3\times2x}{(x^2-1)^2} =-\frac{6x}{(x^2-1)^2},\qquad x\neq-1,1.\] \[\boxed{\left(\frac3{x^2-1}\right)'=-\frac{6x}{(x^2-1)^2}}\] L’écriture « sur \(\mathbb R\) » serait fausse, même si le calcul formel du numérateur était correct.

Corollaire 21.5 — Inverse d’une puissance

Pour \(n\geq1\) entier, si \(u\) est dérivable et ne s’annule pas, \[\boxed{\left(\frac1{u^n}\right)'=-\frac{n\,u'}{u^{n+1}}.}\]

Démonstration.

Écrire \(1/u^n=u^{-n}\). La règle des puissances composées, avec exposant \(-n\), donne \[(u^{-n})'=(-n)u^{-n-1}u'=-\frac{nu'}{u^{n+1}}.\] On peut aussi poser \(w=u^n\) et utiliser \((1/w)'=-w'/w^2\). Alors \[-\frac{nu^{n-1}u'}{u^{2n}}=-nu'\,u^{(n-1)-2n} =-nu'\,u^{-n-1}.\] La simplification est autorisée parce que \(u\neq0\). Ces deux voies conduisent exactement à la même expression. \(\square\)

Exemple 21.6 — Une puissance de dénominateur

Pour \(H(x)=1/(x^2+2)^4\), \(u=x^2+2>0\) sur \(\mathbb R\) et \(u'=2x\). Ainsi \[H'(x)=-\frac{4\times2x}{(x^2+2)^5} =-\frac{8x}{(x^2+2)^5}.\] \[\boxed{\left(\frac1{(x^2+2)^4}\right)'=-\frac{8x}{(x^2+2)^5}}\] L’exposant du dénominateur augmente de \(1\) après simplification. Cela ne contredit pas la règle « diminuer l’exposant de \(1\) » : elle a été appliquée à \(-4\), qui devient \(-5\).

Exemple 21.7 — Une simplification utile ne supprime pas les restrictions

Pour \(K(x)=1/(1/x)\), on doit d’abord pouvoir calculer \(1/x\), donc \(x\neq0\). Pour ces \(x\), \(K(x)=x\), d’où \(K'(x)=1\). La formule composée le confirme avec \(u=1/x\) et \(u'=-1/x^2\) : \[K'(x)=-\frac{-1/x^2}{(1/x)^2} =\frac{1/x^2}{1/x^2}=1,\qquad x\neq0.\] La fonction \(x\mapsto x\) sur \(\mathbb R\) prolonge cette expression, mais n’est pas exactement la même fonction que \(K\), dont le domaine initial exclut \(0\).

Piège 21.8 — Inverse multiplicatif et fonction réciproque

Ici, \(1/u\) signifie \(x\mapsto1/u(x)\). Une fonction réciproque, lorsqu’elle existe, « défait » une fonction : c’est un autre objet. Pour \(u(x)=2x+3\), l’inverse multiplicatif est \(1/(2x+3)\) ; la fonction qui défait \(u\) est \(y\mapsto(y-3)/2\). On ne les confond pas sous une notation ambiguë \(u^{-1}\) : préférer \(1/u\) dans ce chapitre.

À toi 21.9 — Faire apparaître tous les facteurs

Repérage et essai guidé. Pour \(A(x)=2/(x^2+3)\), nommer le dénominateur \(u\), puis calculer \(u'\) et \(A'\).

Correction expliquée.

\(u=x^2+3\geq3>0\) et \(u'=2x\). Le coefficient \(2\) reste : \(A'=-2(2x)/(x^2+3)^2=-4x/(x^2+3)^2\), sur \(\mathbb R\). \[\boxed{\left(\frac2{x^2+3}\right)'=-\frac{4x}{(x^2+3)^2}}\] À tenter avant de lire. Dériver \(B(x)=1/(2-x^2)^2\) et déterminer les valeurs interdites.

Correction expliquée.

\(2-x^2=0\) pour \(x=\pm\sqrt2\). Ailleurs, \(u=2-x^2\), \(u'=-2x\) et \(n=2\) : \[B'(x)=-\frac{2(-2x)}{(2-x^2)^3}=\frac{4x}{(2-x^2)^3}.\] \[\boxed{\left(\frac1{(2-x^2)^2}\right)'=\frac{4x}{(2-x^2)^3}}\]

À expliquer avec tes mots. D’où vient le signe positif au numérateur ? Réponse : le signe moins de l’inverse multiplie le signe moins de \(u'=-2x\). Il ne suffit pas de dire que « le carré est positif ».

Reprise. La fausse règle \((1/u)'=1/u'\) échoue déjà pour \(u(x)=x\) : elle donnerait \(1\), au lieu de \(-1/x^2\). Nouvel essai : \((1/(2x))'=-2/(2x)^2=-1/(2x^2)\) pour \(x\neq0\), également obtenu depuis \(1/(2x)=\frac12(1/x)\). Revenir ensuite à \(B\).

À reprendre plus tard, avant de relire. Dériver \(C(x)=1/(1+x^2)^3\). Correction : \(u'=2x\), donc \(C'=-3(2x)/(1+x^2)^4=-6x/(1+x^2)^4\), sur \(\mathbb R\).

Repères de réussite. Je distingue l’inverse de la dérivée, je conserve le domaine et je sais expliquer le nouvel exposant du dénominateur.

Corollaire 22.1 — Dérivée de \(\sqrt u\) quand l’intérieur est positif

Si \(u\) est dérivable sur un intervalle ouvert \(I\) et si \(u(x)>0\) pour tout \(x\in I\), alors \(F(x)=\sqrt{u(x)}\) est dérivable sur \(I\) et \[\boxed{F'(x)=\frac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}}.}\] Le domaine de définition de \(F\) est \(\{x\in D_u\mid u(x)\geq0\}\). La condition stricte \(u>0\) est suffisante pour appliquer la formule ; elle n’est pas une description universelle de tous les points où \(F\) peut être dérivable.

Démonstration.

Prendre \(v(t)=\sqrt t\) sur \(]0;+\infty[\) donne \(v'(t)=1/(2\sqrt t)\). Comme \(u(x)>0\) et \(u\) est dérivable, \[F'(x)=u'(x)\,v'(u(x))=u'(x)\frac1{2\sqrt{u(x)}}.\] La non-nullité du dénominateur est incluse dans l’hypothèse \(u(x)>0\). \(\square\)

Méthode 22.2 — Deux ensembles à distinguer

Résoudre d’abord \(u(x)\geq0\) pour définir la fonction. Chercher ensuite où \(u\) est dérivable et où \(u(x)>0\) pour appliquer la formule. Enfin, examiner séparément les zéros de \(u\) qui appartiennent au domaine, sans conclure trop vite à la non-dérivabilité.

Premier geste : écrire le radicand entier \(u(x)\) ; ne pas commencer par enlever la racine.

Exemple 22.3 — Une racine dérivable sur tous les réels

Pour \(F(x)=\sqrt{x^2+4}\), \(u=x^2+4\geq4>0\) sur \(\mathbb R\) et \(u'=2x\). Ainsi \[F'(x)=\frac{2x}{2\sqrt{x^2+4}}=\frac{x}{\sqrt{x^2+4}}.\] \[\boxed{\left(\sqrt{x^2+4}\right)'=\frac{x}{\sqrt{x^2+4}}}\] En \(0\), on trouve \(F'(0)=0\). Contrôle par le taux : \[\frac{\sqrt{h^2+4}-2}h =\frac{h^2}{h(\sqrt{h^2+4}+2)} =\frac h{\sqrt{h^2+4}+2}\longrightarrow0.\] La multiplication par la quantité conjuguée a permis de simplifier un facteur \(h\neq0\).

Exemple 22.4 — Une racine définie sur un segment

Soit \(G(x)=\sqrt{9-x^2}\). La condition \(9-x^2\geq0\) équivaut à \(x^2\leq9\), donc à \(-3\leq x\leq3\). Pour \(-3<x<3\), \(u=9-x^2>0\) et \(u'=-2x\) : \[G'(x)=\frac{-2x}{2\sqrt{9-x^2}}=-\frac{x}{\sqrt{9-x^2}}.\] \[\boxed{\left(\sqrt{9-x^2}\right)'=-\frac{x}{\sqrt{9-x^2}}}\] Au bord \(3\), on pose \(x=3-s\), \(s>0\) petit. Le taux à gauche est \[\frac{G(3-s)-G(3)}{-s} =-\frac{\sqrt{6s-s^2}}s =-\frac{\sqrt{6-s}}{\sqrt s}\longrightarrow-\infty.\] Au bord \(-3\), le taux à droite vaut \(\sqrt{6-h}/\sqrt h\to+\infty\). Il n’y a donc de dérivée latérale finie à aucun des deux bords. Cette conclusion vient du calcul des taux, pas seulement du dénominateur de \(G'\).

Exemple 22.5 — Premier cas : un angle empêche la dérivabilité

Pour \(H(x)=\sqrt{(x-1)^2}\), l’identité exacte est \[H(x)=|x-1|= \begin{cases}1-x&x\leq1,\\x-1&x\geq1.\end{cases}\] À gauche de \(1\), la dérivée vaut \(-1\) ; à droite, elle vaut \(1\). En \(1\), le taux \([H(1+h)-H(1)]/h=|h|/h\) a deux limites différentes. \(H\) n’est pas dérivable en \(1\). Pour \(x\neq1\), la formule de la racine donne aussi \[H'(x)=\frac{2(x-1)}{2\sqrt{(x-1)^2}}=\frac{x-1}{|x-1|}.\] Remplacer \(\sqrt{(x-1)^2}\) par \(x-1\) sur tous les réels aurait perdu la branche de gauche.

Exemple 22.6 — Deuxième cas : la composée est pourtant dérivable

Pour \(K(x)=\sqrt{x^4}\), on a \(x^4=(x^2)^2\), donc \[K(x)=|x^2|=x^2\] pour tout réel \(x\), car \(x^2\geq0\). Ainsi \(K'(x)=2x\) sur \(\mathbb R\), y compris en \(0\). La formule directe \(4x^3/(2\sqrt{x^4})\) n’est écrite que pour \(x\neq0\). Elle se simplifie alors en \(2x\), mais c’est l’égalité \(K=x^2\), ou le taux \(h^2/h=h\to0\), qui justifie \(K'(0)=0\).

Exemple 22.7 — Troisième cas : une valeur absolue peut être dérivable après une puissance

Pour \(L(x)=\sqrt{x^6}=|x^3|=|x|^3\), on trouve \[L(x)=\begin{cases}-x^3&x<0,\\x^3&x\geq0.\end{cases}\] Pour \(x\neq0\), \(L'(x)=3x|x|\). En \(0\), le taux vaut \(|h|^3/h=h|h|\to0\). Donc \(L\) est dérivable sur \(\mathbb R\) et \(L'(x)=3x|x|\) pour tout \(x\). Le mot « valeur absolue » n’entraîne donc pas automatiquement un échec de dérivabilité en son zéro ; l’expression complète compte.

Caractérisation — approfondissement 22.8 — Reconnaître la dérivabilité en un zéro intérieur

Supposons \(u\) définie et non négative sur un intervalle ouvert contenant \(a\), avec \(u(a)=0\). Alors \(F=\sqrt u\) est dérivable en \(a\) si et seulement si \[\boxed{\lim_{h\to0}\frac{u(a+h)}{h^2}=0.}\] Lorsque c’est le cas, \(F'(a)=0\). Ce critère porte sur un point intérieur, où les approches des deux côtés sont possibles.

Démonstration.

Si \(F\) est dérivable.

Le taux \(T(h)=\sqrt{u(a+h)}/h\) est positif ou nul pour \(h>0\) et négatif ou nul pour \(h<0\). Si sa limite commune est un réel \(\ell\), alors \(\ell\geq0\) par la droite et \(\ell\leq0\) par la gauche, donc \(\ell=0\). Or \[T(h)^2=\frac{u(a+h)}{h^2},\] qui tend donc vers \(0\).

Réciproquement.

Si \(u(a+h)/h^2\to0\), cette quantité est non négative, et \[|T(h)|=\sqrt{\frac{u(a+h)}{h^2}}\longrightarrow0.\] Le dernier passage se justifie directement : rendre le nombre sous la racine inférieur à \(\eta^2\) rend sa racine inférieure à \(\eta\), pour tout \(\eta>0\). Ainsi \(T(h)\to0\), donc \(F\) est dérivable en \(a\) et \(F'(a)=0\). \(\square\)

À toi 22.9 — Appliquer la formule et savoir quand s’arrêter

Repérage. Quelle différence entre \(u\geq0\) et \(u>0\) ? Réponse : la première permet de définir \(\sqrt u\) ; la seconde évite le zéro au dénominateur dans sa formule de dérivée.

Essai guidé. Dériver \(A(x)=\sqrt{2x^2+3}\).

Correction expliquée.

\(u=2x^2+3\geq3>0\), \(u'=4x\), donc \(A'=4x/(2\sqrt{2x^2+3})=2x/\sqrt{2x^2+3}\) sur \(\mathbb R\). \[\boxed{\left(\sqrt{2x^2+3}\right)'=\frac{2x}{\sqrt{2x^2+3}}}\] À tenter avant de lire. Étudier la dérivabilité en \(0\) de \(B(x)=\sqrt{x^2}\) et \(C(x)=\sqrt{x^8}\).

Correction expliquée.

\(B=|x|\), donc \([B(h)-B(0)]/h=|h|/h\) : limites \(1\) et \(-1\), pas de dérivabilité. \(C=|x^4|=x^4\), donc \(C'(0)=0\). Son taux est \(h^4/h=h^3\to0\).

À expliquer avec tes mots. Pourquoi le théorème général ne conclut-il pas directement pour \(C\) en \(0\) ? L’extérieur \(t\mapsto\sqrt t\) n’est pas dérivable en l’image intermédiaire \(0\). Cela interdit cette application du théorème, pas une autre démonstration de la dérivabilité de \(C\).

Reprise après erreur. Pour l’erreur \(\sqrt{x^2}=x\), tester \(x=-2\) donne \(2\neq-2\). Le bon rappel est \(\sqrt{x^2}=|x|\). Nouvel essai : \(\sqrt{(-3)^2}=\sqrt9=3=|-3|\). Revenir ensuite à \(B\).

À reprendre plus tard, avant de relire. Étudier \(D(x)=\sqrt{(x-2)^4}\) en \(2\). Correction : \(D=(x-2)^2\) sur \(\mathbb R\), donc \(D'(2)=0\) ; le taux en \(2\) vaut \(h^2/h=h\to0\).

Repères de réussite. Je distingue domaine et domaine de formule ; aux zéros, je simplifie correctement ou j’étudie le taux. Je ne déduis jamais une non-dérivabilité de la seule inapplicabilité d’une formule.

Corollaire 23.1 — Dérivée de \(1/\sqrt u\)

Si \(u\) est dérivable et strictement positive sur un intervalle ouvert \(I\), alors \(F(x)=1/\sqrt{u(x)}\) est définie et dérivable sur \(I\), et \[\boxed{F'(x)=-\frac{u'(x)}{2u(x)\sqrt{u(x)}}.}\] Le domaine de définition exige déjà \(u>0\) : \(u\geq0\) ne suffit pas, car la racine est au dénominateur.

Démonstration.

On pose \(w=\sqrt u\). L’hypothèse \(u>0\) donne \(w>0\) et \(w'=u'/(2\sqrt u)\). On dérive l’inverse : \[\begin{aligned} F'&=-\frac{w'}{w^2}\\ &=-\frac{\dfrac{u'}{2\sqrt u}}{(\sqrt u)^2}\\ &=-\frac{u'}{2\sqrt u}\times\frac1u\\ &=-\frac{u'}{2u\sqrt u}. \end{aligned}\] La grande fraction est une division par \(u\), qui est non nul. Toutes les simplifications ont été faites sur le domaine initial. \(\square\)

Exemple 23.2 — Un intérieur quadratique

Pour \(F(x)=1/\sqrt{x^2+1}\), l’intérieur \(u=x^2+1\geq1\) est toujours strictement positif et \(u'=2x\). Ainsi \[F'(x)=-\frac{2x}{2(x^2+1)\sqrt{x^2+1}} =-\frac{x}{(x^2+1)\sqrt{x^2+1}},\qquad x\in\mathbb R.\] \[\boxed{\left(\frac1{\sqrt{x^2+1}}\right)'=-\frac{x}{(x^2+1)\sqrt{x^2+1}}}\] Le facteur \(2\) se simplifie ; ni le facteur \(x^2+1\), ni la racine ne disparaissent.

Exemple 23.3 — Un domaine ouvert dès le départ

Soit \(G(x)=1/\sqrt{5-2x}\). Il faut \(5-2x>0\), donc \(x<5/2\). Avec \(u'=-2\), \[G'(x)=-\frac{-2}{2(5-2x)\sqrt{5-2x}} =\frac1{(5-2x)\sqrt{5-2x}}.\] \[\boxed{\left(\frac1{\sqrt{5-2x}}\right)'=\frac1{(5-2x)\sqrt{5-2x}}}\] Le point \(5/2\) n’appartient pas au domaine de \(G\) ; il n’y a pas à lui attribuer un nombre dérivé de cette fonction.

Définition et convention 23.4 — Lire une puissance demi-entière

Pour \(t>0\) et \(m\in\mathbb Z\), on pose \[t^{m+1/2}=t^m\sqrt t.\] En particulier \(t^{1/2}=\sqrt t\), \(t^{3/2}=t\sqrt t\), et \(t^{-1/2}=1/\sqrt t\). On se limite ici à ces puissances : aucun logarithme n’est nécessaire.

Proposition 23.5 — Dériver une puissance demi-entière

Pour \(p=m+1/2\), \(m\in\mathbb Z\), et pour \(u>0\) dérivable, \[\boxed{(u^p)'=p\,u^{p-1}u'.}\] Ce résultat est établi ici pour les exposants demi-entiers définis ci-dessus, pas pour un exposant réel quelconque ou variable.

Démonstration.

Pour \(t>0\), on dérive \(t^m\sqrt t\) avec la règle du produit. Pour tout entier \(m\), \(\frac{\mathrm d}{\mathrm d t}(t^m)=mt^{m-1}\) sur \(t>0\), y compris \(m=0\) où les expressions sont définies. \[\begin{aligned} \frac{\mathrm d}{\mathrm d t}(t^m\sqrt t) &=mt^{m-1}\sqrt t+t^m\frac1{2\sqrt t}\\ &=\frac{2mt^m}{2\sqrt t}+\frac{t^m}{2\sqrt t}\\ &=\frac{(2m+1)t^m}{2\sqrt t} =\left(m+\frac12\right)t^{m-1/2}. \end{aligned}\] Dans la deuxième ligne, on a multiplié le premier terme par \(2\sqrt t/(2\sqrt t)\) et utilisé \((\sqrt t)^2=t\). La règle de composition, en remplaçant \(t\) par \(u(x)\) puis en multipliant par \(u'(x)\), donne la formule annoncée. \(\square\)

Exemple 23.6 — Comparer deux écritures de la même dérivée

Soit \(H(x)=(x^2+1)^{3/2}=(x^2+1)\sqrt{x^2+1}\). L’intérieur est strictement positif sur \(\mathbb R\). La formule donne \[H'(x)=\frac32(x^2+1)^{1/2}(2x)=3x\sqrt{x^2+1}.\] \[\boxed{\left((x^2+1)\sqrt{x^2+1}\right)'=3x\sqrt{x^2+1}}\] On peut contrôler en dérivant le produit : \[\begin{aligned} H'(x)&=2x\sqrt{x^2+1}+(x^2+1)\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\\ &=2x\sqrt{x^2+1}+x\sqrt{x^2+1} =3x\sqrt{x^2+1}. \end{aligned}\] Le quotient \((x^2+1)/\sqrt{x^2+1}\) vaut \(\sqrt{x^2+1}\) parce que \(x^2+1\) est le carré de cette racine positive.

À toi 23.7 — Choisir une écriture utile

Repérage. \(u^{-1/2}\) signifie \(1/\sqrt u\), tandis que \(-\sqrt u\) signifie l’opposé de la racine. Pour \(u=4\), les valeurs sont \(1/2\) et \(-2\) : ce ne sont pas les mêmes fonctions.

Essai guidé. Dériver \(A(x)=1/\sqrt{2x^2+1}\) en indiquant \(u\) et \(u'\).

Correction expliquée.

\(u=2x^2+1>0\), \(u'=4x\). Donc \[A'=-\frac{4x}{2(2x^2+1)\sqrt{2x^2+1}} =-\frac{2x}{(2x^2+1)\sqrt{2x^2+1}}\] sur \(\mathbb R\). \[\boxed{\left(\frac1{\sqrt{2x^2+1}}\right)'=-\frac{2x}{(2x^2+1)\sqrt{2x^2+1}}}\] À tenter avant de lire. Dériver \(B(x)=(3x+2)\sqrt{3x+2}\) pour \(x>-2/3\).

Correction expliquée.

On reconnaît \((3x+2)^{3/2}\) ; l’intérieur a pour dérivée \(3\). Ainsi \(B'=\frac32\sqrt{3x+2}\times3=\frac92\sqrt{3x+2}\) sur cet intervalle. L’énoncé n’a pas demandé d’étudier le bord. \[\boxed{\left((3x+2)\sqrt{3x+2}\right)'=\frac92\sqrt{3x+2}}\]

À expliquer avec tes mots. Pourquoi la condition \(u>0\) suffit-elle à rendre licites toutes les divisions de la preuve ? Elle rend simultanément \(u\) et \(\sqrt u\) non nuls.

Reprise. Si le facteur \(u\) manque dans \(-u'/(2u\sqrt u)\), repartir de la grande fraction \(-[u'/(2\sqrt u)]/u\) : diviser par \(u\) ajoute bien ce facteur au dénominateur. Nouvel essai : la dérivée de \(1/\sqrt x\) pour \(x>0\) vaut \(-1/(2x\sqrt x)\), pas \(-1/(2\sqrt x)\).

À reprendre plus tard, avant de relire. Dériver \(C(x)=(x^2+4)\sqrt{x^2+4}\). Correction : \(C'=\frac32\sqrt{x^2+4}(2x)=3x\sqrt{x^2+4}\) sur \(\mathbb R\). \[\boxed{\left((x^2+4)\sqrt{x^2+4}\right)'=3x\sqrt{x^2+4}}\]

Repères de réussite. Je sais convertir la puissance demi-entière en produit ou quotient de racines, et je distingue une identité d’écriture d’une règle de dérivation.

Corollaire 24.1 — Trois fonctions successives

Si \(u\) est dérivable en \(x\), \(v\) en \(u(x)\) et \(w\) en \(v(u(x))\), avec les domaines permettant la composition au voisinage de \(x\), alors \[\boxed{(w\circ v\circ u)'(x) =u'(x)\,v'(u(x))\,w'(v(u(x))).}\] On dérive chaque transformation une fois, en conservant son entrée réelle. Les parenthèses \(w(v(u(x)))\) fixent l’ordre.

Démonstration.

Posons \(r=v\circ u\). La règle générale donne \(r'(x)=u'(x)v'(u(x))\). Puis \(w\circ v\circ u=w\circ r\), donc \[(w\circ r)'(x)=r'(x)w'(r(x)) =u'(x)v'(u(x))w'(v(u(x))).\] Les hypothèses du premier calcul garantissent la dérivabilité de \(r\) ; celles portant sur \(w\) permettent le second calcul. \(\square\)

Méthode 24.2 — Deux parcours : calculer et dériver

Pour comprendre l’expression : partir de \(x\) et nommer chaque résultat intermédiaire, de l’intérieur vers l’extérieur.

Pour écrire la dérivée : repérer la dernière opération, dériver cette couche en conservant son entrée, puis multiplier par la dérivée de l’entrée. Continuer jusqu’à atteindre une fonction déjà connue. Ne pas compter deux fois la dérivée d’une même couche.

Les deux parcours sont compatibles : l’un décrit la construction de la fonction, l’autre déroule les facteurs de sa dérivée.

Exemple 24.3 — Une puissance d’une expression déjà composée

Pour \(F(x)=\bigl((x^2+1)^3+2\bigr)^4\), on nomme \[u(x)=x^2+1,\qquad v(t)=t^3+2,\qquad w(s)=s^4.\] Ces trois fonctions sont dérivables sur \(\mathbb R\) ; aucune restriction supplémentaire n’est nécessaire. \[\begin{aligned} u'(x)&=2x,\\ v'(u(x))&=3(x^2+1)^2,\\ w'(v(u(x)))&=4\bigl((x^2+1)^3+2\bigr)^3. \end{aligned}\] On multiplie : \[F'(x)=24x(x^2+1)^2\bigl((x^2+1)^3+2\bigr)^3.\] \[\boxed{\left(((x^2+1)^3+2)^4\right)'=24x(x^2+1)^2((x^2+1)^3+2)^3}\] Le \(+2\) de \(v\) disparaît dans \(v'\), mais reste dans l’argument de \(w'\). C’est un bon test pour vérifier que les couches n’ont pas été confondues.

Exemple 24.4 — Un inverse de racine à argument composé

Soit \(G(x)=1/\sqrt{1+(2x-1)^2}\). Son radicand est au moins \(1\), donc le domaine est \(\mathbb R\). Posons \(q(x)=1+(2x-1)^2\). D’abord, \[q'(x)=0+2(2x-1)\times2=4(2x-1).\] Puis, en utilisant \((1/\sqrt q)'=-q'/(2q\sqrt q)\), \[\begin{aligned} G'(x)&=-\frac{4(2x-1)}{2(1+(2x-1)^2)\sqrt{1+(2x-1)^2}}\\ &=-\frac{2(2x-1)}{(1+(2x-1)^2)\sqrt{1+(2x-1)^2}}. \end{aligned}\] \[\boxed{\left(\frac1{\sqrt{1+(2x-1)^2}}\right)'=-\frac{2(2x-1)}{(1+(2x-1)^2)\sqrt{1+(2x-1)^2}}}\] Contrôle au point \(1/2\) par la définition. On a \(G(1/2)=1\) et \(G(1/2+h)=1/\sqrt{1+4h^2}\). Pour \(h\neq0\), \[\begin{aligned} \frac{G(1/2+h)-G(1/2)}h &=\frac{1-\sqrt{1+4h^2}}{h\sqrt{1+4h^2}}\\ &=\frac{1-(1+4h^2)}{h\sqrt{1+4h^2}(1+\sqrt{1+4h^2})}\\ &=\frac{-4h}{\sqrt{1+4h^2}(1+\sqrt{1+4h^2})}\longrightarrow0. \end{aligned}\] On a multiplié en haut et en bas par le conjugué \(1+\sqrt{1+4h^2}>0\), puis simplifié le facteur \(h\neq0\). Le dénominateur tend vers \(2\), non nul. La formule de \(G'\) donne elle aussi \(0\) en \(1/2\). Ce contrôle concerne ce point ; la règle de composition justifie les autres.

Exemple 24.5 — Une racine dans une autre racine

Pour \(H(x)=\sqrt{1+\sqrt{1+x^2}}\), chaque racine reçoit un nombre strictement positif ; \(H\) est définie sur \(\mathbb R\). Posons \(A(x)=1+x^2\), \(B(x)=1+\sqrt{A(x)}\). On calcule \[A'(x)=2x,\qquad B'(x)=\frac{2x}{2\sqrt{1+x^2}}=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}.\] Enfin, \[H'(x)=\frac{B'(x)}{2\sqrt{B(x)}} =\frac{x}{2\sqrt{1+x^2}\sqrt{1+\sqrt{1+x^2}}}.\] \[\boxed{\left(\sqrt{1+\sqrt{1+x^2}}\right)'=\frac{x}{2\sqrt{1+x^2}\sqrt{1+\sqrt{1+x^2}}}}\] Chaque racine a produit son propre facteur \(2\sqrt{\text{son entrée}}\) ; le facteur \(2x\) du début a simplifié un seul de ces deux \(2\).

Exemple 24.6 — Une racine d’une fraction

Soit \(K(x)=\sqrt{\frac{x+1}{x+2}}\). On commence par le domaine : le dénominateur exclut \(-2\), et le quotient est non négatif lorsque \(x<-2\) ou \(x\geq-1\). Ainsi \[D_K=]-\infty;-2[\ \cup\ [-1;+\infty[.\] Le quotient est strictement positif sur \(]-\infty;-2[\cup]-1;+\infty[\). Sur ces intervalles, \[\begin{aligned} u'(x)&=\frac{(x+2)-(x+1)}{(x+2)^2}=\frac1{(x+2)^2},\\ K'(x)&=\frac1{2(x+2)^2\sqrt{\frac{x+1}{x+2}}}. \end{aligned}\] \[\boxed{\left(\sqrt{\frac{x+1}{x+2}}\right)'=\frac1{2(x+2)^2\sqrt{\frac{x+1}{x+2}}}}\] Au point \(-1\), pour \(h>0\), \(K(-1+h)=\sqrt{h/(1+h)}\), donc le taux vaut \(1/[\sqrt h\sqrt{1+h}]\to+\infty\) : pas de dérivée finie à droite. Le point \(-2\), lui, n’appartient pas au domaine.

À toi 24.7 — Nommer les étapes pour ne rien oublier

Repérage. Dans \(\sqrt{1+(x^2+1)^2}\), écrire le trajet de calcul. Réponse : \(x\mapsto x^2+1\mapsto1+(x^2+1)^2\mapsto\sqrt{1+(x^2+1)^2}\).

Essai guidé. Dériver cette fonction en calculant d’abord la dérivée du radicand.

Correction expliquée.

\(Q=1+(x^2+1)^2\geq1\), et \(Q'=2(x^2+1)\times2x=4x(x^2+1)\). Donc \[\bigl(\sqrt Q\bigr)'=\frac{4x(x^2+1)}{2\sqrt{1+(x^2+1)^2}} =\frac{2x(x^2+1)}{\sqrt{1+(x^2+1)^2}}\] sur \(\mathbb R\). \[\boxed{\left(\sqrt{1+(x^2+1)^2}\right)'=\frac{2x(x^2+1)}{\sqrt{1+(x^2+1)^2}}}\] À tenter avant de lire. Dériver \(A(x)=1/(1+(x^2+1)^2)\).

Correction expliquée.

Le même \(Q>0\) et le même \(Q'\) conviennent ; seule la dernière opération a changé : \[A'(x)=-\frac{Q'}{Q^2} =-\frac{4x(x^2+1)}{(1+(x^2+1)^2)^2}.\] \[\boxed{\left(\frac1{1+(x^2+1)^2}\right)'=-\frac{4x(x^2+1)}{(1+(x^2+1)^2)^2}}\]

À expliquer avec tes mots. Pourquoi les deux réponses ont-elles le même facteur \(4x(x^2+1)\) avant simplification ? L’expression intérieure \(Q\) est identique ; sa dérivée doit donc être identique. Seule la fonction extérieure est différente.

Reprise. Un facteur intérieur oublié se repère en listant les couches. Pour \(((2x)^2+1)^3\), on doit retrouver successivement \(3((2x)^2+1)^2\), \(2(2x)\) et \(2\). Le produit vaut \(24x(4x^2+1)^2\). Nouvel essai : \(((3x)^2+1)^2\) a pour dérivée \(2(9x^2+1)\times18x=36x(9x^2+1)\). Revenir au radicand \(Q\).

À reprendre plus tard, avant de relire. Dériver \(B(x)=((x^2+2)^2+1)^3\). Correction : \(B'=3((x^2+2)^2+1)^2\times2(x^2+2)\times2x=12x(x^2+2)((x^2+2)^2+1)^2\). \[\boxed{\left(((x^2+2)^2+1)^3\right)'=12x(x^2+2)((x^2+2)^2+1)^2}\]

Repères de réussite. Je peux expliquer l’origine de chaque facteur et associer chaque dérivée à son entrée, même avec trois couches ou davantage.

Méthode 25.1 — La dernière opération choisit la première règle

Premier geste : décrire comment obtenir la valeur de toute l’expression. La dernière opération est-elle une somme, un produit, un quotient, une puissance ou une racine ?

Dériver une somme terme par terme ; préparer les deux facteurs d’un produit ; préparer numérateur et dénominateur d’un quotient. À l’intérieur de ces blocs, appliquer la règle de composition autant de fois que nécessaire. Toujours conserver les domaines.

Exemple 25.2 — Un produit comportant deux fonctions composées

Soit \(F(x)=(x^2+1)^3\sqrt{2x+3}\). Son domaine est \([-3/2;+\infty[\). Pour \(x>-3/2\), on pose \[A=(x^2+1)^3,\quad A'=6x(x^2+1)^2, \qquad B=\sqrt{2x+3},\quad B'=\frac1{\sqrt{2x+3}}.\] La dernière opération est le produit, donc \[F'=6x(x^2+1)^2\sqrt{2x+3} +\frac{(x^2+1)^3}{\sqrt{2x+3}}.\] Cette somme est déjà correcte. Pour la factoriser, on met le premier terme au dénominateur \(\sqrt{2x+3}\), non nul, puis on extrait \((x^2+1)^2\) : \[\begin{aligned} F'&=\frac{6x(x^2+1)^2(2x+3)+(x^2+1)^3}{\sqrt{2x+3}}\\ &=\frac{(x^2+1)^2\bigl[6x(2x+3)+(x^2+1)\bigr]}{\sqrt{2x+3}}\\ &=\frac{(x^2+1)^2(13x^2+18x+1)}{\sqrt{2x+3}}. \end{aligned}\] \[\boxed{\left((x^2+1)^3\sqrt{2x+3}\right)'=\frac{(x^2+1)^2(13x^2+18x+1)}{\sqrt{2x+3}}}\] Au bord \(a=-3/2\), \(F(a)=0\) et, pour \(h>0\), \[\frac{F(a+h)-F(a)}h =\bigl((a+h)^2+1\bigr)^3\frac{\sqrt2}{\sqrt h}\longrightarrow+\infty,\] car le premier facteur tend vers \((13/4)^3>0\). La fonction n’y possède pas de dérivée finie à droite.

Exemple 25.3 — Un quotient ou un produit par une puissance négative

Pour \(G(x)=(x^2+1)/(x^2+2)^3\), le dénominateur est toujours positif. Une première méthode consiste à écrire \[G(x)=(x^2+1)(x^2+2)^{-3}.\] La règle du produit, puis la composition, donnent \[\begin{aligned} G'(x)&=2x(x^2+2)^{-3}+(x^2+1)\bigl[-3(x^2+2)^{-4}(2x)\bigr]\\ &=\frac{2x(x^2+2)-6x(x^2+1)}{(x^2+2)^4}\\ &=\frac{2x\bigl[(x^2+2)-3(x^2+1)\bigr]}{(x^2+2)^4}\\ &=\frac{2x(-2x^2-1)}{(x^2+2)^4} =-\frac{2x(2x^2+1)}{(x^2+2)^4}. \end{aligned}\] \[\boxed{\left(\frac{x^2+1}{(x^2+2)^3}\right)'=-\frac{2x(2x^2+1)}{(x^2+2)^4}}\] Seconde méthode : avec \(A=x^2+1\), \(B=(x^2+2)^3\), on a \(A'=2x\) et \(B'=6x(x^2+2)^2\). La formule du quotient donne \[G'=\frac{2x(x^2+2)^3-(x^2+1)6x(x^2+2)^2}{(x^2+2)^6}.\] On factorise le numérateur par \((x^2+2)^2\), puis on simplifie ce facteur non nul ; on retrouve la même formule. Les deux méthodes sont recevables : choisir celle dont l’organisation évite le plus d’erreurs, pas celle qui oblige à développer davantage.

Exemple 25.4 — Une somme de trois familles différentes

Pour \(H(x)=(x^2+1)^3+1/(x^2+1)-\sqrt{x^2+4}\), tous les dénominateurs et radicands utiles sont strictement positifs sur \(\mathbb R\). On dérive séparément les trois termes : \[H'(x)=6x(x^2+1)^2-\frac{2x}{(x^2+1)^2}-\frac{x}{\sqrt{x^2+4}}.\] \[\boxed{\left((x^2+1)^3+\frac1{x^2+1}-\sqrt{x^2+4}\right)'=6x(x^2+1)^2-\frac{2x}{(x^2+1)^2}-\frac{x}{\sqrt{x^2+4}}}\] Il n’est pas utile de tout mettre au même dénominateur pour répondre « calculer \(H'\) ». Les parenthèses séparent les expressions sur lesquelles portent les règles.

Proposition 25.5 — Une puissance d’un quotient

Si \(u,v\) sont dérivables, \(v\neq0\) et \(n\geq2\) entier, alors \[\boxed{\left(\left(\frac uv\right)^n\right)' =n\left(\frac uv\right)^{n-1}\frac{u'v-uv'}{v^2}.}\] Pour \(n<0\) entier, il faut aussi \(u\neq0\). On lit cette formule comme une composition dont l’intérieur est le quotient.

Démonstration.

Poser \(q=u/v\). La condition \(v\neq0\) donne \(q'=(u'v-uv')/v^2\). Appliquer \((q^n)'=nq^{n-1}q'\) donne exactement la formule. Pour un exposant négatif, il faut \(q\neq0\) ; avec \(v\neq0\), cela revient à \(u\neq0\). \(\square\)

À toi 25.6 — Le premier choix change le calcul

Repérage. Comparer \(A(x)=(x^2+1)^2\) et \(B(x)=x^2(x^2+1)\). Pour \(A\), la dernière opération est une puissance. Pour \(B\), c’est un produit. Les parenthèses n’ont pas la même fonction.

Essai guidé. Dériver \(P(x)=(x^2+1)^2(x+1)\) en écrivant les deux termes de la règle du produit.

Correction expliquée.

La première dérivée est \(4x(x^2+1)\) ; la seconde vaut \(1\). Ainsi \[\begin{aligned} P'&=4x(x^2+1)(x+1)+(x^2+1)^2\\ &=(x^2+1)\bigl[4x(x+1)+(x^2+1)\bigr]\\ &=(x^2+1)(5x^2+4x+1). \end{aligned}\] \[\boxed{\left((x^2+1)^2(x+1)\right)'=(x^2+1)(5x^2+4x+1)}\] À tenter avant de lire. Dériver \(Q(x)=x/(1+x^2)^2\) par une méthode de ton choix.

Correction expliquée.

Le domaine est \(\mathbb R\). En écrivant \(Q=x(1+x^2)^{-2}\), \[Q'=(1+x^2)^{-2}-4x^2(1+x^2)^{-3} =\frac{1+x^2-4x^2}{(1+x^2)^3} =\frac{1-3x^2}{(1+x^2)^3}.\] \[\boxed{\left(\frac{x}{(1+x^2)^2}\right)'=\frac{1-3x^2}{(1+x^2)^3}}\]

À expliquer avec tes mots. Pourquoi une seule application de la chaîne ne remplace-t-elle pas la règle du produit pour \(P\) ? Les deux facteurs dépendent de \(x\) ; leurs deux contributions doivent apparaître. La chaîne ne calcule ici que la dérivée du premier facteur.

Reprise. Si l’un des deux termes manque, revenir à \(x\times x=x^2\) : le produit donne \(1\times x+x\times1=2x\). Nouvel essai : \([x(x+1)]'=(x+1)+x=2x+1\). Revenir ensuite à \(P\).

À reprendre plus tard, avant de relire. Dériver \(R(x)=x/(x^2+1)\). Correction : \(R'=[(x^2+1)-x(2x)]/(x^2+1)^2=(1-x^2)/(x^2+1)^2\), sur \(\mathbb R\). \[\boxed{\left(\frac{x}{x^2+1}\right)'=\frac{1-x^2}{(x^2+1)^2}}\]

Repères de réussite. Je choisis la règle correspondant à l’expression entière avant de traiter les compositions intérieures ; je reconnais des réponses équivalentes sans imposer un développement inutile.

Synthèse de méthode 26.1 — Je vois, je vérifie, je commence

Je vois une puissance : j’identifie toute sa base et je calcule sa dérivée.

Je vois une racine : je détermine le signe de son radicand pour le domaine, puis je vérifie la condition stricte de la formule.

Je vois un inverse : je repère son dénominateur et ses zéros.

Je vois plusieurs couches : je nomme les valeurs intermédiaires.

Je vois une somme, un produit ou un quotient : je prépare la règle correspondante avant les chaînes intérieures.

Je n’ai que des valeurs : je calcule d’abord l’entrée de la fonction extérieure pour savoir quelle dérivée utiliser.

À toi 26.2 — Reprendre une difficulté précise

Si l’ordre bloque : pour \(u(x)=x+1\) et \(v(t)=t^2\), calculer \(v(u(2))\) et \(u(v(2))\). Correction : \(v(3)=9\), tandis que \(u(4)=5\). Reprendre ensuite la question 8.

Si un facteur manque : dériver \((5x)^2\). Correction : \(2(5x)\times5=50x\), également obtenu depuis \(25x^2\). Reprendre ensuite la question 10.

Si le domaine bloque : comparer \(\sqrt{x+1}\) et \(1/\sqrt{x+1}\). Correction : la première est définie pour \(x\geq-1\) ; la seconde exige \(x>-1\). Reprendre ensuite la question 5.

Justification personnelle. Expliquer le rôle de chaque facteur de \([(x^2+1)^3]'=3(x^2+1)^2\times2x\). Réponse attendue : \(3\) et l’exposant \(2\) viennent de la dérivée du cube ; \(x^2+1\) reste l’entrée ; \(2x\) vient de la dérivée intérieure. Ces trois éléments sont les critères, pas une phrase à réciter.

À reprendre plus tard, avant de relire. Sans relire, dériver \(P(x)=\sqrt{2+(x^2+1)^3}\) et \(Q(x)=1/(x^2+3)^2\).

Correction expliquée.

Pour \(P\), le radicand est au moins \(3\), donc le domaine est \(\mathbb R\). Sa dérivée est \(3(x^2+1)^2(2x)=6x(x^2+1)^2\). Ainsi \[\boxed{\left(\sqrt{2+(x^2+1)^3}\right)'=\frac{3x(x^2+1)^2}{\sqrt{2+(x^2+1)^3}}}\] Pour \(Q\), \(x^2+3>0\) sur \(\mathbb R\) ; avec l’exposant \(-2\), \[Q'=-2(x^2+3)^{-3}(2x)=-\frac{4x}{(x^2+3)^3}.\]

\[\boxed{\left(\frac1{(x^2+3)^2}\right)'=-\frac{4x}{(x^2+3)^3}}\]

Repères de réussite. Je sais commencer sans recopier un modèle, justifier les domaines, nommer chaque couche, contrôler un point et corriger un facteur oublié. Une lecture comprise ne garantit pas encore que je saurai refaire le calcul plus tard : la reprise sert à le vérifier.