But et usage du dossier

But du dossier.

Devant un problème, savoir repérer les informations utiles, choisir une voie autorisée, expliquer ses calculs et contrôler la conclusion.

Plusieurs voies sont développées pour apprendre à choisir : il n’est pas demandé de toutes les appliquer dans chaque devoir.

Comment l’utiliser.

Le sommaire et les signets conduisent aux problèmes-types. Chaque méthode indique ses conditions et son premier geste ; les essais sont suivis de leurs indices et de corrections expliquées dans ce même document.

Pour travailler, arrête-toi à l’énoncé avant de consulter la suite.

Pour reprendre après une erreur, utilise les passages « Reprise après erreur » puis l’essai associé.

Trois niveaux de lecture.

Le parcours principal développe les attendus du second degré et les prérequis utiles.

Les alternatives au niveau de Première ne sont pas des formules supplémentaires à mémoriser systématiquement.

Les réinvestissements après les statistiques ou la dérivation et les approfondissements officiels facultatifs sont signalés : ils ne sont pas nécessaires pour utiliser le noyau du dossier.

Repère de programme.

Le programme applicable à la rentrée 2026–2027 demande de savoir reconnaître et utiliser les formes développée, factorisée et canonique, de diversifier les factorisations, de résoudre et d’étudier les signes.

La complétion du carré est travaillée dans des cas simples ; le calcul systématique de la forme canonique générale n’est pas un attendu. Les démonstrations expliquent les outils, sans transformer chaque identité intermédiaire en formule à apprendre.

Conventions.

Sauf indication contraire, l’inconnue est réelle et les réponses sont exactes. Une lecture graphique fournit une estimation quand les données exactes ne sont pas garanties.

Dans une écriture de second degré \(ax^2+bx+c\), \(a\ne0\) ; avec un paramètre, cette condition se vérifie avant d’utiliser le discriminant.

Les outils communs, avec leurs raisons

Les outils communs, avec leurs raisons

Cette section est une réserve d’outils à consulter au besoin. Tu peux commencer par la méthode correspondant à ton problème puis suivre son renvoi.

Les résultats sont démontrés ici lorsqu’ils éclairent le second degré ; les règles élémentaires de calcul sur les réels sont rappelées comme acquis antérieurs.

Distinguer expression, fonction, équation et identité

Exemples et non-exemples.

\(-3x^2+2x-7\) a pour coefficients \(a=-3\), \(b=2\), \(c=-7\).

Dans \(5x^2-8\), le terme en \(x\) manque : \(b=0\).

En revanche \(0x^2+4x-1=4x-1\) est affine, pas du second degré.

Une expression telle que \((x+1)^2-x^2\) se réduit en \(x^2+2x+1-x^2=2x+1\) : sa présentation ne suffit donc pas à décider de son degré.

Vocabulaire.

Une identité est une égalité vraie pour toutes les valeurs autorisées, par exemple \((x-2)^2=x^2-4x+4\).

Une équation demande pour quelles valeurs l’égalité est vraie, par exemple \(x^2=4\).

Vérifier cette équation en \(x=2\) prouve que \(2\) convient, pas que cette solution est la seule : \(-2\) convient aussi.

Convention d’écriture.

\(S\) désigne un ensemble de solutions ; \(\varnothing\) l’ensemble vide ; \(\mathbb{R}\) tous les réels.

Dans \([u;v]\), les deux bornes sont incluses ; dans \(]u;v[\), elles sont exclues.

Une borne infinie n’est jamais un réel à inclure : on écrit toujours un crochet ouvert de son côté.

Rappels de calcul au point où une erreur commence

Règles antérieures identifiées : distributivité et identités remarquables.

\[k(u+v)=ku+kv,\qquad (u+v)^2=u^2+2uv+v^2,\qquad (u-v)^2=u^2-2uv+v^2.\] La troisième identité utile est \(u^2-v^2=(u-v)(u+v)\). Ces identités se reconstruisent par distributivité. Par exemple : \[\begin{aligned} (u-v)(u+v)&=u\times u+u\times v-v\times u-v\times v\\ &=u^2+uv-uv-v^2=u^2-v^2. \end{aligned}\] Une somme au carré comporte le double produit : \((u+v)^2\) n’est généralement pas \(u^2+v^2\).

Substitution et signe.

Pour \(f(x)=-2x^2+3x-1\) : \[\begin{aligned} f(-3)&=-2\times(-3)^2+3\times(-3)-1\\ &=-2\times9-9-1=-18-9-1=-28. \end{aligned}\] Les parenthèses précisent ce qui est élevé au carré. \((-3)^2=9\), tandis que \(-3^2=-(3^2)=-9\).

Facteur commun.

On ne « supprime » pas un morceau : on réécrit chaque terme comme un produit contenant le facteur choisi. Ainsi \[6x^2-9x=3x\times2x-3x\times3=3x(2x-3).\] Le contrôle redéveloppe les deux produits : \(3x\times2x=6x^2\) et \(3x\times(-3)=-9x\).

Fractions.

Pour additionner, on crée un dénominateur commun en multipliant numérateur et dénominateur par le même nombre non nul : \[\frac34-\frac16 =\frac{3\times3}{4\times3}-\frac{1\times2}{6\times2} =\frac9{12}-\frac2{12}=\frac7{12}.\] Pour diviser par \(-3/2\), on vérifie d’abord que ce diviseur n’est pas nul. Son inverse est \(-2/3\) car \((-3/2)(-2/3)=1\). Donc \[\frac{5}{-3/2}=5\times\left(-\frac23\right)=-\frac{10}{3}.\] On simplifie des facteurs, pas des termes d’une somme : \(\dfrac{2(x+3)}2=x+3\), mais \(\dfrac{x+3}{x}\) n’est pas \(3\).

Équivalence et opérations sur une équation.

Ajouter le même nombre aux deux membres, ou les multiplier/diviser par un nombre non nul, conserve exactement les solutions. Par exemple \[-4x+6=10 \Longleftrightarrow -4x+6-6=10-6 \Longleftrightarrow -4x=4 \Longleftrightarrow \frac{-4x}{-4}=\frac4{-4} \Longleftrightarrow x=-1.\] Le diviseur est \(-4\), non nul ; aucune condition \(x\ne0\) n’est nécessaire. Si le diviseur dépend de \(x\), il faut traiter séparément ses zéros.

Inégalités.

Ajouter la même quantité conserve le sens. Multiplier ou diviser par un nombre strictement positif conserve le sens ; par un nombre strictement négatif le renverse. Ainsi \[-3x\le6\Longleftrightarrow\frac{-3x}{-3}\ge\frac6{-3}\Longleftrightarrow x\ge-2.\] Si le signe du multiplicateur est inconnu, cette opération ne fournit pas une équivalence unique : on étudie des cas ou on utilise un tableau de signes.

Le mot « ou » autorise les deux facteurs nuls à la fois. Cette propriété ne s’applique pas à une somme : \(3+(-3)=0\) n’impose aucun terme nul.

Pour \(k\ge0\), \(\sqrt{k}\) désigne un seul nombre non négatif ; le signe \(\pm\) intervient dans la résolution d’une équation, pas dans la définition de la racine carrée.

Pour simplifier \(\sqrt{72}\), écrire \(72=36\times2\), puis \(\sqrt{72}=6\sqrt2\) : \(6\sqrt2\ge0\) et \((6\sqrt2)^2=36\times2=72\).

Les trois formes et une identité qui explique le discriminant

Point de vigilance.

Dans le parcours d’entraînement, la forme canonique est donnée ou reconstruite par complétion dans des cas simples. Cette preuve générale ne constitue pas une nouvelle exigence de calcul systématique.

Point de vigilance.

Le signe \(-\) devant \(\sqrt\Delta\) ne désigne pas toujours la plus petite racine : si \(a<0\), le dénominateur négatif inverse l’ordre. Trie les valeurs après calcul.

Ne remplace pas \(\sqrt{a^2}\) par \(a\) quand \(a<0\). La preuve précédente évite cette difficulté en isolant le carré \((2ax+b)^2\).

Somme, produit et racine connue : pourquoi ces raccourcis fonctionnent

Pourquoi identifier les coefficients ?

Si deux écritures de degré au plus deux sont égales pour tout \(x\), leur différence est \(Ax^2+Bx+C=0\) pour tout \(x\).

En \(x=0\) : \(C=0\).

En \(x=1\) : \(A+B=0\).

En \(x=-1\) : \(A-B=0\).

Additionner ces deux dernières égalités donne \(2A=0\), puis \(A=0\) et \(B=0\). Il ne s’agit donc pas d’une règle de devinette.

Point de vigilance.

Une recherche de racines entières qui n’aboutit pas ne prouve pas l’absence de racines réelles. Par exemple \(x^2-2\) a les racines \(\pm\sqrt2\), qui ne sont pas entières. Le discriminant fournit alors une voie générale.

Le signe d’un trinôme et les frontières de la règle

Cette caractérisation concerne tous les réels. Sur un intervalle restreint, elle peut être trop exigeante : \(x^2-1\) est positif sur \([2;3]\) tout en ayant deux racines réelles.

Symétrie, sommet et variations : un même carré, plusieurs usages

Pourquoi les variations changent-elles au sommet ?

Pour \(u<v\), \[\begin{aligned} f(v)-f(u) &=a\bigl[(v-\alpha)^2-(u-\alpha)^2\bigr]\\ &=a\bigl[(v-\alpha)-(u-\alpha)\bigr] \bigl[(v-\alpha)+(u-\alpha)\bigr]\\ &=a(v-u)(v+u-2\alpha). \end{aligned}\] Si \(u<v\le\alpha\), on a \(v-u>0\) et \(u+v-2\alpha<0\).

Si \(\alpha\le u<v\), les deux facteurs sont strictement positifs.

Pour \(a>0\), la fonction est donc strictement décroissante jusqu’à \(\alpha\), puis strictement croissante. Pour \(a<0\), les deux sens sont inversés. Cette preuve n’utilise pas la dérivée.

Factoriser et résoudre

Préparer, factoriser et résoudre : choisir avant de calculer

Une équation qui contient un carré n’impose pas immédiatement le discriminant. Avant de calculer, on cherche ce que l’écriture rend déjà visible : un facteur commun, une différence de carrés, une racine simple à tester ou un carré à isoler. Le discriminant reste la voie générale pour un véritable second degré.

Le but n’est pas d’exécuter toutes les méthodes dans un devoir : une démarche correcte et justifiée suffit, sauf consigne différente.

M01 — Préparer l’expression et choisir une forme utile

Méthode centrale. Les développements et les identités remarquables sont des acquis réemployés.

Je reconnais.

L’expression n’est pas ordonnée, comporte des parenthèses, ou une équation a deux membres non nuls. La question demande des coefficients, des zéros, un signe ou un extremum.

Je vérifie.

Je distingue une expression, une fonction et une équation. Je garde le domaine initial s’il comporte un quotient ou une racine carrée. Après réduction, je vérifie que le coefficient de \(x^2\) est non nul.

Premier geste.

Je lis d’abord la sortie demandée. Pour identifier les coefficients d’une équation, j’écris un membre égal à zéro; pour exploiter un produit déjà visible, je ne développe pas sans raison.

Idée et raison du choix.

Les formes sont des présentations différentes du même objet, comme plusieurs vues d’un même lieu. La forme développée expose les coefficients; la forme factorisée expose les zéros et les signes; la forme canonique expose le sommet et les distances à son abscisse.

Cette image aide à choisir, mais l’égalité des formes doit être prouvée par le calcul.

Ne pas développer ce que la question permet déjà de lire

Supposons les trois écritures suivantes établies : \[f(x)=3x^2+12x-15=3(x-1)(x+5)=3(x+2)^2-27.\] Elles se contrôlent par développement. Par exemple, \(3[(x-1)(x+5)]=3[x^2+5x-x-5]=3x^2+12x-15\). La troisième donne \(3(x^2+4x+4)-27=3x^2+12x-15\).

Le coefficient \(c\) est \(f(0)\); il n’est pas n’importe quelle constante visible dans une écriture. Les propriétés utilisées dans ce tableau sont justifiées dans les fondations et appliquées en détail dans les méthodes suivantes.

Correction — Essai guidé de la méthode 1

Le facteur commun est \(x-1\). Pour la forme développée, \[\begin{align*} (x-1)^2&=x^2-x-x+1=x^2-2x+1,\\ (x+2)(x-1)&=x^2-x+2x-2=x^2+x-2,\\ P(x)&=-3(x^2-2x+1)+2(x^2+x-2)\\ &=-3x^2+6x-3+2x^2+2x-4\\ &=-x^2+8x-7. \end{align*}\] Ainsi \(a=-1\), \(b=8\), \(c=-7\). Si la question avait demandé les racines, le facteur commun aurait permis \[P(x)=(x-1)[-3(x-1)+2(x+2)] =(x-1)(-3x+3+2x+4)=(x-1)(7-x).\] Les zéros sont alors \(1\) et \(7\). Cette autre forme contrôle aussi le coefficient dominant : \(x\times(-x)=-x^2\).

Correction — Tentative de la méthode 1

Les développements sont \[(x+2)^2=x^2+2x+2x+4=x^2+4x+4,\] \[(2x-1)(x+4)=2x^2+8x-x-4=2x^2+7x-4.\] Par conséquent le membre gauche vaut \[3x^2+12x+12-2x^2-7x+4=x^2+5x+16.\] On soustrait \(5x+16\) des deux membres : \[x^2+5x+16-(5x+16)=(5x+16)-(5x+16), \qquad x^2=0.\] Les coefficients sont \(a=1\), \(b=0\), \(c=0\). Un carré est nul seulement lorsque le nombre élevé au carré est nul : \(S=\{0\}\). À \(x=0\), les deux membres initiaux valent \(16\), ce qui contrôle la solution.

Frontière : un carré visible ne suffit pas

L’expression \((x+4)^2-x(x+8)\) vaut \(x^2+8x+16-x^2-8x=16\) pour tout réel \(x\) : elle est constante. Ainsi \((x+4)^2-x(x+8)=12\) n’a aucune solution, tandis que \((x+4)^2-x(x+8)=16\) est vraie pour tout réel. Calculer un discriminant avec \(a=0\) ne serait pas une autre méthode possible.

Reprise après erreur.

Si tu écris \(-(u-3)=-u-3\), la première erreur est la distribution du signe moins.

Soustraire un bloc signifie multiplier chacun de ses termes par \(-1\) : \(-(u-3)=-u+3\).

Exemple plus simple :

\(-(2-5)=-(-3)=3\), et \(-2+5=3\).

Nouvel essai :

développe \(-2(x^2-3x-5)\).

Correction :

\((-2)x^2+(-2)(-3x)+(-2)(-5)=-2x^2+6x+10\).

Reviens maintenant à l’exemple de référence : \(-(x^2-x-2)=-x^2+x+2\), avant de regrouper les termes.

Critère de réussite.

Nomme la sortie visée, conserve les parenthèses lors des substitutions, montre les produits et les signes, puis identifie les coefficients de l’expression réellement réduite. Un test numérique ne remplace pas ces égalités pour tout \(x\).

À reprendre plus tard.

Refais l’essai « quel degré reste-t-il ? » sans consulter les lignes ci-dessus, puis explique pourquoi l’expression constante du paragraphe de frontière n’est pas un second degré. Les corrections sont dans cette méthode; le critère est de reconnaître le degré après réduction, non d’après l’apparence initiale.

M02 — Exploiter un facteur commun ou une identité remarquable

Méthode centrale : factorisations accessibles et produit nul.

Je reconnais.

Un même bloc multiplie plusieurs termes; deux carrés sont soustraits; ou les trois termes évoquent un carré parfait.

Je vérifie.

Pour utiliser le produit nul, il faut un produit égal à zéro. Un facteur contenant l’inconnue peut être nul : je ne le supprime pas par division sans traiter ce cas.

Premier geste.

Je ramène tout dans un même membre en soustrayant le membre droit aux deux membres, puis je cherche ce qui peut être mis en facteur.

Idée et raison du choix.

La factorisation transforme une somme difficile à annuler en un produit. La propriété du produit nul dit alors exactement quels facteurs doivent s’annuler. Elle ne vaut pas pour une somme : \(2+(-2)=0\), bien qu’aucun des deux termes ne soit nul.

Variante : reconnaître les deux carrés comme des blocs

Pour résoudre \[(2x+1)^2-(x-3)^2=0,\] on pose mentalement \(A=2x+1\), \(B=x-3\) et on utilise \(A^2-B^2=(A-B)(A+B)\), rappelée dans les outils de calcul. Il faut garder les parenthèses autour de \(B\) : \[\begin{align*} (2x+1)^2-(x-3)^2 &=[(2x+1)-(x-3)][(2x+1)+(x-3)]\\ &=(2x+1-x+3)(2x+1+x-3)\\ &=(x+4)(3x-2). \end{align*}\] Le produit nul donne \(x+4=0\) ou \(3x-2=0\), donc \(x=-4\) ou \(x=2/3\).

Pour \(x=-4\), les deux carrés initiaux valent \((-7)^2=49\); pour \(x=2/3\), les bases sont \(7/3\) et \(-7/3\), dont les carrés sont égaux. On obtient bien \(S=\{-4;2/3\}\).

Cette identité traite une différence de carrés, pas une somme. Par exemple \(x^2+9=0\) n’a pas de solution réelle puisque \(x^2+9\ge9>0\); \(x^2-9=0\) se factorise au contraire en \((x-3)(x+3)=0\) et donne \(\pm3\).

Cas utiles : terme constant nul ou carré parfait

Si le terme constant est nul, \(x\) est un facteur commun. Par exemple, \[6x^2+15x=3x\times2x+3x\times5=3x(2x+5).\] L’équation \(6x^2+15x=0\) donne \(x=0\) ou \(2x+5=0\), soit \(x=-5/2\). La division immédiate par \(x\) aurait perdu \(0\).

Dans \(9x^2-12x+4\), on reconnaît \((3x)^2-2\times3x\times2+2^2=(3x-2)^2\). L’équation correspondante n’a qu’une solution distincte, \(x=2/3\), car \((3x-2)^2=0\) équivaut à \(3x-2=0\). Deux facteurs identiques ne donnent pas deux valeurs différentes.

Correction — Essai guidé de la méthode 2, voie par factorisation

On soustrait \(4(2x+3)\) des deux membres : \[\begin{align*} (2x+3)(x-5)-4(2x+3)&=0,\\ (2x+3)[(x-5)-4]&=0,\\ (2x+3)(x-9)&=0. \end{align*}\] Ainsi \(2x+3=0\) ou \(x-9=0\). La première équation donne \(2x=-3\), puis \(x=-3/2\) après division par \(2\ne0\); la seconde donne \(x=9\).

Correction — Essai guidé de la méthode 2, voie par cas

Si \(x=-3/2\), les deux membres sont nuls.

Si \(x\ne-3/2\), la division par \(2x+3\ne0\) donne \(x-5=4\). Ajouter \(5\) donne \(x=9\), qui appartient bien à ce second cas.

Donc \(S=\{-3/2;9\}\).

À \(9\), les deux membres initiaux valent \(21\times4=84\); à \(-3/2\), ils valent \(0\). Les deux démarches ont conservé les mêmes solutions.

Correction — Tentative de la méthode 2

Comme \(16=4^2\), on a \(x^2-16=(x-4)(x+4)\). Soustraire \(3(x-4)\) des deux membres, puis mettre le facteur commun en évidence, donne \[(x-4)(x+4)-3(x-4)=0, \qquad (x-4)[(x+4)-3]=0, \qquad (x-4)(x+1)=0.\] Donc \(x=4\) ou \(x=-1\). À \(4\), les deux membres valent \(0\); à \(-1\), ils valent \(1-16=-15\) et \(3(-1-4)=-15\).

La division sans condition aurait supprimé le cas \(x=4\).

Autre résolution à vérifier après son propre essai.

Si \(x=4\), l’égalité est vraie.

Si \(x\ne4\), on peut diviser l’équation \((x-4)(x+4)=3(x-4)\) par \(x-4\) : on obtient \(x+4=3\), puis \(x=-1\).

On réunit le cas nul et le cas non nul.

Correction — Variation de la méthode 2

On ajoute \(3(x+2)\) aux deux membres : \[(x+2)(x-1)+3(x+2)=0, \qquad (x+2)[(x-1)+3]=(x+2)^2=0.\] L’unique possibilité est \(x+2=0\), donc \(S=\{-2\}\). Les deux membres initiaux valent zéro pour cette valeur. Le produit nul fournit deux conditions identiques, pas deux nombres distincts.

Reprise après erreur.

Dans la première équation de référence, une réponse contenant seulement \(3\) peut provenir de la division illégale par \(3x+2\).

Reviens au produit nul : \(t(t-4)=0\) donne \(t=0\) ou \(t=4\); diviser par \(t\) perdrait le premier cas.

Nouvel essai :

résous \(u(u+1)=3u\).

Correction :

soustraire \(3u\) donne \(u(u+1)-3u=0\), puis \(u[(u+1)-3]=u(u-2)=0\). Ainsi \(u=0\) ou \(u=2\). Dans l’équation initiale, les deux membres valent respectivement \(0\) et \(6\).

Reviens à \((3x+2)(x-3)=0\) et conserve de la même façon le cas \(3x+2=0\).

Critère de réussite.

Ta justification doit dire pourquoi un membre vaut zéro, montrer le facteur conservé et les facteurs restants, puis réunir tous les cas. Si tu divises, nomme le diviseur et la condition qui le rend non nul.

À reprendre plus tard.

Reprends l’équation \(x^2-16=3(x-4)\) par l’autre voie que celle utilisée la première fois, puis la variation à facteurs confondus. Les corrections complètes sont ci-dessus. La réussite attendue est la conservation des cas, pas la mémorisation des deux réponses.

M03 — Utiliser une racine connue ou apparente pour factoriser

Méthode centrale. Le choix de tester un petit nombre est une recherche, non une garantie de réussite.

Je reconnais.

Une racine est donnée, suggérée par une question antérieure, ou facilement testable. Les sommes \(a+b+c\) ou \(a-b+c\) semblent s’annuler.

Je vérifie.

Je vérifie réellement \(f(r)=0\). Je ne confonds pas « \(r\) est une racine » avec « \(r\) est l’unique racine ». Pour une équation du second degré, \(a\ne0\).

Premier geste.

Je substitue \(r\) dans toute l’expression, avec des parenthèses si \(r\) est négatif, puis je cherche un facteur \(x-r\).

Idée et raison du choix.

Une racine indique un facteur. Il reste à retrouver l’autre facteur affine, qui contient encore le coefficient dominant \(a\). La factorisation obtenue sert ensuite au produit nul ou au tableau de signes.

Chercher une racine apparente sans chercher indéfiniment

Pour \(f(x)=ax^2+bx+c\), on a \(f(0)=c\), \(f(1)=a+b+c\) et \(f(-1)=a-b+c\). Ces égalités proviennent directement de la substitution. Elles fournissent des tests rapides, pas une obligation de mémoriser un catalogue.

Par exemple, pour \(g(x)=5x^2-9x+4\), \(g(1)=5-9+4=0\). On cherche \((x-1)(5x+d)\). Le développement vaut \(5x^2+(d-5)x-d\); le terme constant impose \(-d=4\), donc \(d=-4\), et \(d-5=-9\) confirme le terme linéaire. Ainsi \(g(x)=(x-1)(5x-4)\) et ses racines sont \(1\) et \(4/5\).

Point de vigilance.

Si les tests \(0\), \(1\) et \(-1\) échouent, tu n’as pas démontré l’absence de racines. Par exemple \(x^2-4\) ne s’annule en aucun de ces trois nombres, mais s’annule en \(-2\) et \(2\). Une forme remarquable, la méthode somme-produit ou le discriminant peut alors prendre le relais.

Astuce démontrée : organiser les essais de racines entières

Conditions et bénéfice.

Supposons que \(a,b,c\) soient des entiers, avec \(a\ne0\) et \(c\ne0\). Si l’on cherche une racine entière, on peut limiter les essais aux diviseurs entiers de \(c\), positifs et négatifs. C’est une condition nécessaire, pas une promesse que chaque diviseur convient, ni que toutes les racines sont entières.

Cette organisation des tests est facultative : elle n’est pas nécessaire pour utiliser les autres voies de résolution du second degré.

Justification.

Si un entier \(r\ne0\) vérifie \(ar^2+br+c=0\), on soustrait \(ar^2+br\) des deux membres, puis on factorise : \[c=-ar^2-br=-r(ar+b).\] Le nombre \(-(ar+b)\) est entier. Ainsi \(c\) est un multiple entier de \(r\) : \(r\) divise \(c\). C’est la définition de la divisibilité.

Lorsque \(c\ne0\), \(0\) n’est pas une racine puisque \(f(0)=c\).

Exemple.

Pour \(f(x)=3x^2-5x-2\), une éventuelle racine entière appartient à \(\{-2;-1;1;2\}\). Les tests donnent \[\begin{align*} f(-2)&=12+10-2=20, & f(-1)&=3+5-2=6,\\ f(1)&=3-5-2=-4, & f(2)&=12-10-2=0. \end{align*}\] La racine \(2\) permet alors la factorisation \[f(x)=(x-2)(3x+1), \qquad (x-2)(3x+1)=3x^2+x-6x-2=3x^2-5x-2.\] Les racines sont \(2\) et \(-1/3\). La seconde n’est pas entière : elle ne figurait donc pas dans la liste des candidats entiers.

Frontières.

Si \(c=0\), on traite directement \(0\) et le facteur \(x\); la liste des diviseurs de \(0\) ne donne pas une recherche finie.

Si aucun diviseur de \(c\) ne convient, on a seulement exclu les racines entières. Par exemple \(x^2-2\) n’a aucune racine entière, mais a les racines réelles \(-\sqrt2\) et \(\sqrt2\).

Si les coefficients ne sont pas entiers, on ne réemploie pas cette règle sans nouvelle justification.

Correction — Astuce des diviseurs

Le terme constant est \(-2\) : les seuls candidats entiers sont \(-2,-1,1,2\). À \(-2,-1,1\), le polynôme vaut respectivement \(8+6-2=12\), \(2+3-2=3\) et \(2-3-2=-3\); à \(2\), il vaut \(8-6-2=0\).

On cherche donc \((x-2)(2x+d)=2x^2+(d-4)x-2d\). Le terme constant donne \(-2d=-2\), donc \(d=1\); le coefficient linéaire \(1-4=-3\) est correct. Ainsi \(2x^2-3x-2=(x-2)(2x+1)\) et les racines sont \(2\) et \(-1/2\).

Le contrôle de la seconde donne \(2\times1/4+3/2-2=1/2+3/2-2=0\).

Cas frontière : la racine donnée vaut zéro

Pour \(h(x)=-4x^2+10x\), on a \(h(0)=0\) et directement \[h(x)=x(-4x+10).\] Le produit nul donne \(x=0\) ou \(-4x+10=0\). Soustraire \(10\) puis diviser par \(-4\ne0\) donne \(x=10/4=5/2\).

Dans une recherche \((x-r)(ax+d)\), le terme constant \(-rd\) ne permet pas de déterminer \(d\) lorsque \(r=0\) : il vaut déjà zéro pour tout \(d\). On lit alors le coefficient de \(x\), ici \(d=10\), ou on factorise directement.

Correction — Essai guidé de la méthode 3

\[P(-2)=3\times(-2)^2+2\times(-2)-8=12-4-8=0.\] On écrit \((x+2)(3x+d)=3x^2+dx+6x+2d =3x^2+(d+6)x+2d\). Le terme constant impose \(2d=-8\), donc \(d=-4\); le coefficient linéaire vaut bien \(-4+6=2\). On obtient \(P(x)=(x+2)(3x-4)\).

Le produit nul donne \(x=-2\) ou \(3x=4\), donc \(S=\{-2;4/3\}\).

À \(4/3\), \(P(4/3)=3\times16/9+8/3-8 =16/3+8/3-24/3=0\).

Par différence, on retrouve, sans chercher \(d\), \[\begin{align*} P(x)-P(-2)&=3(x^2-4)+2(x+2)\\ &=3(x-2)(x+2)+2(x+2)\\ &=(x+2)[3(x-2)+2]\\ &=(x+2)(3x-6+2)=(x+2)(3x-4). \end{align*}\] Le résultat s’applique à \(P(x)\) puisque \(P(-2)=0\).

Correction — Tentative de la méthode 3

Le test \(Q(1)=-2-1+3=0\) réussit. On cherche \((x-1)(-2x+d)=-2x^2+(d+2)x-d\). Le terme constant impose \(-d=3\), donc \(d=-3\); le coefficient de \(x\) est alors \(-3+2=-1\), comme demandé. Ainsi \[Q(x)=(x-1)(-2x-3).\] Le produit nul fournit \(x=1\) ou \(-2x-3=0\).

Dans le second cas, ajouter \(3\) donne \(-2x=3\) et diviser par \(-2\) donne \(x=-3/2\). D’où \(S=\{-3/2;1\}\).

À \(-3/2\), \(Q(-3/2)=-2\times9/4+3/2+3 =-9/2+3/2+6/2=0\).

La voie par différence donne \[Q(x)-Q(1)=-2(x^2-1)-(x-1) =(x-1)[-2(x+1)-1]=(x-1)(-2x-3).\] Elle conserve explicitement le facteur dominant \(-2\).

Correction — Variation de la méthode 3

On teste \(1\) : \(R(1)=1-(1+\sqrt2)+\sqrt2=0\). Le développement \[(x-1)(x-\sqrt2)=x^2-\sqrt2 x-x+\sqrt2 =x^2-(1+\sqrt2)x+\sqrt2\] prouve la factorisation. Le produit nul donne \(x=1\) ou \(x=\sqrt2\). Ces nombres sont distincts puisque \(1^2\ne2\) et ils annulent chacun un facteur. La méthode de la racine apparente n’est donc pas réservée aux coefficients entiers.

Choisir ou comparer.

La racine donnée rend la factorisation immédiate à préparer. L’identification utilise peu de termes si \(r\ne0\); la différence \(f(x)-f(r)\) montre directement pourquoi le facteur existe. La méthode 4 permet aussi de calculer la seconde racine avec la somme ou le produit.

Si aucune racine simple n’apparaît, la méthode 6 garantit une issue pour un véritable second degré; il n’est pas utile de multiplier les essais au hasard.

Reprise après erreur.

Écrire \(2x^2-7x+3=(x-3)(x-1/2)\) oublie le coefficient dominant. Le membre droit commence par \(x^2\), pas \(2x^2\) : c’est la première incohérence.

Rappel simple : \(2x^2-8=2(x^2-4)=2(x-2)(x+2)\).

Nouvel essai :

factorise \(-3x^2+3\).

Correction :

\(-3x^2+3=-3(x^2-1)=-3(x-1)(x+1)\); le développement redonne \(-3x^2+3\).

Reviens à l’exemple : la bonne écriture est \(2(x-3)(x-1/2)\), égale à \((x-3)(2x-1)\).

Critère de réussite.

Le test \(f(r)=0\) doit être visible, ainsi que le facteur \(x-r\), le coefficient dominant et le contrôle du coefficient restant. Une racine apparente est un point de départ; le produit nul donne l’ensemble complet.

À reprendre plus tard.

Reprends l’essai sur \(Q\) en utilisant la voie par différence si tu avais choisi l’identification, puis traite la variation aux coefficients irrationnels. Les corrections montrent les deux mécanismes et permettent de vérifier le facteur dominant.

M04 — Chercher les racines par leur somme et leur produit

Méthode centrale de factorisation. Les recherches par petites paires sont des essais organisés; le résultat trouvé est ensuite démontré.

Je reconnais.

Les coefficients suggèrent de petits nombres, ou une racine est déjà connue. Une somme et un produit paraissent plus simples à manier qu’un discriminant.

Je vérifie.

Pour \(ax^2+bx+c\), \(a\ne0\), la somme recherchée est \(S=-b/a\) et le produit \(P=c/a\). Ces relations concernent des racines réelles qui existent; des signes favorables de \(S,P\) ne suffisent pas à prouver cette existence.

Premier geste.

Je calcule \(S\) et \(P\) avec leurs signes, puis je cherche une paire de nombres dont je vérifie les deux relations.

Idée et raison du choix.

Le développement \((x-r)(x-s)=x^2-(r+s)x+rs\) relie une paire de nombres aux coefficients. Trouver \(r+s=-b/a\) et \(rs=c/a\) permet donc de prouver \(ax^2+bx+c=a(x-r)(x-s)\). Le théorème des fondations voir le repère précise ce lien.

Une racine connue : somme ou produit, au choix

Reprenons le même polynôme que dans la méthode 3 : \(f(x)=2x^2-7x+3\), avec la racine \(r=3\) déjà vérifiée. La proposition voir le repère garantit qu’il reste un facteur affine réel; on peut donc utiliser les relations entre les deux racines, éventuellement confondues.

On a \(r+s=7/2\) et \(rs=3/2\).

Par la somme :

soustraire \(3\) donne \[s=\frac72-3=\frac72-\frac62=\frac12.\]

Par le produit :

\(3s=3/2\). Comme \(3\ne0\), diviser les deux membres par \(3\) donne \[s=\frac{\frac32}{3}=\frac32\times\frac13=\frac36=\frac12.\] On retrouve \(f(x)=2(x-3)(x-1/2)\) et les solutions \(1/2\) et \(3\).

Point de vigilance.

Si la racine connue est \(0\), le produit \(0\times s=0\) ne détermine pas \(s\). On utilise alors la somme \(s=-b/a\) ou la factorisation par \(x\) de la méthode 3. On ne divise jamais par la racine nulle.

Variante opératoire : scinder le terme du milieu

Quand les racines sont des fractions, la recherche directe peut être moins commode. Pour des coefficients entiers, on peut chercher deux nombres \(u,v\) tels que \(u+v=b\) et \(uv=ac\), puis réécrire \(bx=ux+vx\).

Cette préparation ne crée pas un nouveau théorème : elle cherche une factorisation par regroupement, que l’on vérifie ensuite.

Pourquoi viser le produit \(ac\) ?

Si \(u+v=b\) et \(uv=ac\), le développement donne \[\begin{align*} (ax+u)(ax+v) &=a^2x^2+avx+aux+uv\\ &=a^2x^2+a(u+v)x+uv\\ &=a^2x^2+abx+ac=a(ax^2+bx+c). \end{align*}\] Comme \(a\ne0\), diviser cette identité par \(a\) établit une factorisation de \(ax^2+bx+c\). Le regroupement ci-dessous est une manière de l’écrire avec des facteurs simples.

Si aucune paire entière ne convient, cela n’exclut pas l’existence d’une paire réelle : on change de méthode.

Pour \(6x^2-13x+6\), le produit \(ac\) vaut \(36\) et la somme souhaitée vaut \(-13\). La paire \(-9,-4\) convient. On obtient \[\begin{align*} 6x^2-13x+6 &=6x^2-9x-4x+6\\ &=3x(2x-3)-2(2x-3)\\ &=(3x-2)(2x-3). \end{align*}\] Dans la deuxième ligne factorisée, \(3x\times2x=6x^2\), \(3x\times(-3)=-9x\), \((-2)\times2x=-4x\) et \((-2)\times(-3)=6\) : tous les termes sont conservés. L’équation associée a donc pour solutions \(2/3\) et \(3/2\).

Leurs somme et produit contrôlent la recherche : \[\frac23+\frac32=\frac46+\frac96=\frac{13}{6}=-\frac ba, \qquad \frac23\times\frac32=1=\frac ca.\]

Choisir ou comparer.

Chercher directement les racines revient à chercher une paire de somme \(13/6\) et de produit \(1\). La scission utilise à la place des entiers \(-9,-4\) avant de revenir aux facteurs affines. Elle peut être plus lisible dans cet exemple; si les paires ne se repèrent pas, la méthode 6 prend le relais. Une recherche infructueuse n’est pas une preuve d’impossibilité.

Correction — Essai guidé de la méthode 4, recherche des racines

Les nombres \(3/2\) et \(-2/3\) conviennent car \[\frac32-\frac23=\frac96-\frac46=\frac56, \qquad \frac32\times\left(-\frac23\right)=-1.\] Le développement \[6\left(x-\frac32\right)\left(x+\frac23\right) =6\left(x^2+\frac23x-\frac32x-1\right) =6\left(x^2-\frac56x-1\right)=6x^2-5x-6\] prouve la factorisation. Ainsi les solutions sont \(-2/3\) et \(3/2\).

Correction — Essai guidé de la méthode 4, scission du terme linéaire

La paire \(-9,4\) a pour somme \(-5\) et pour produit \(-36\). \[\begin{align*} 6x^2-5x-6&=6x^2-9x+4x-6\\ &=3x(2x-3)+2(2x-3)\\ &=(3x+2)(2x-3). \end{align*}\] Le produit nul donne \(3x+2=0\) ou \(2x-3=0\), donc \(x=-2/3\) ou \(x=3/2\).

Les deux factorisations sont égales puisque \(3x+2=3(x+2/3)\) et \(2x-3=2(x-3/2)\); le produit des constantes est \(6\).

Correction — Tentative de la méthode 4

La somme est \(-5/2\) et le produit \(-3/2\). Le produit étant négatif, les deux nombres doivent avoir des signes opposés. La paire \(-3,1/2\) convient puisque \(-3+1/2=-6/2+1/2=-5/2\) et \((-3)\times(1/2)=-3/2\). \[2(x+3)(x-1/2) =2[x^2-\tfrac12x+3x-\tfrac32] =2[x^2+\tfrac52x-\tfrac32]=2x^2+5x-3.\] Le produit nul donne \(x=-3\) ou \(x=1/2\).

Pour la scission, \(ac=2\times(-3)=-6\) et \(b=5\). Les nombres \(6\) et \(-1\) ont le produit \(-6\) et la somme \(5\) : \[2x^2+5x-3=2x^2+6x-x-3 =2x(x+3)-(x+3)=(2x-1)(x+3).\] Les mêmes solutions en résultent. Dans l’équation initiale, \(2\times9-15-3=0\) et \(2\times\frac14+\frac52-3 =\frac12+\frac52-\frac62=0\).

Correction — Variation de la méthode 4

Pour \(A\), la somme vaut \(4\) et le produit \(4\) : la paire \(2,2\) convient. Le développement \((x-2)^2=x^2-4x+4\) prouve qu’il y a une seule racine distincte, \(2\), appelée double.

Pour \(B\), la somme souhaitée serait \(2\) et le produit \(2\), tous deux positifs. Cela ne prouve pas l’existence de la paire. En effet, \[B(x)=(x-1)^2+1\ge1>0.\] Il n’existe aucune racine réelle, donc aucune paire réelle de somme \(2\) et de produit \(2\). Le développement du carré justifie ici la conclusion qu’une recherche d’entiers seule ne pouvait pas fournir.

Reprise après erreur.

Confondre \(-b/a\) avec \(b/a\) inverse la somme cherchée. Pour \(x^2-7x+12\), les nombres \(3,4\) ont la bonne somme \(7\); \(-3,-4\) produiraient \(x^2+7x+12\), un autre polynôme.

Exemple simple :

\((x+1)(x+2)=x^2+3x+2\) a des racines \(-1,-2\), de somme \(-3\), l’opposé du coefficient \(3\).

Nouvel essai :

factorise \(x^2+7x+10\).

Correction :

\(-2+(-5)=-7\) et \((-2)(-5)=10\), donc \((x+2)(x+5)=x^2+5x+2x+10=x^2+7x+10\).

Reviens à l’exemple \(x^2-x-20\) : \(b=-1\), donc la somme est \(-(-1)=1\), d’où la paire \(-4,5\), et non \(4,-5\).

Critère de réussite.

Calcule correctement les deux relations et vérifie la paire dans les deux. Termine par une identité factorisée ou par le théorème applicable, puis le produit nul. Le signe des racines ne remplace pas la preuve de leur existence.

À reprendre plus tard.

Reprends l’équation \(2x^2+5x-3=0\) en commençant par la scission, puis la variation sur l’existence d’une paire. Les corrections sont locales. Vérifie que tu distingues une recherche de candidats d’une factorisation démontrée.

M05 — Isoler un carré ou le faire apparaître dans un cas simple

Méthode centrale. Le programme demande de reconnaître et d’exploiter la forme canonique; sa recherche effective est travaillée dans des cas simples, sans imposer un calcul général de canonicalisation.

Je reconnais.

L’équation est déjà de la forme \(a(x-h)^2+k=\ell\), le terme en \(x\) manque, ou le début d’un carré remarquable est facile à reconnaître.

Je vérifie.

Le coefficient \(a\) par lequel je divise est non nul. Après isolation du carré, je vérifie le signe du nombre obtenu. Les solutions cherchées sont réelles.

Premier geste.

Si le carré est présent, je soustrais la constante des deux membres. Sinon, je mets d’abord le coefficient de \(x^2\) en facteur dans les termes en \(x\).

Idée et raison du choix.

Un carré de réel est positif ou nul. Une équation \((x-h)^2=q\) demande donc de quels côtés et à quelle distance de \(h\) peut se trouver \(x\).

Si \(q>0\), les deux écarts possibles \(x-h\) sont \(\sqrt q\) et \(-\sqrt q\); si \(q=0\), on est au centre; si \(q<0\), c’est impossible.

Cette interprétation ne remplace pas les équivalences, mais elle explique le rôle des deux signes.

Les points \(0\) et \(4\) sont exactement les deux réels dont la distance à \(2\) est \(2\). Le dessin illustre une résolution déjà justifiée.

Les trois issues à ne pas confondre

• \((x+1)^2=-2\) n’a aucune solution réelle : un carré n’est jamais négatif.

• \((x+1)^2=0\) donne seulement \(x=-1\).

• \((x+1)^2=2\) donne \(x=-1-\sqrt2\) ou \(x=-1+\sqrt2\).

Le cas sans terme linéaire relève de la même méthode. Par exemple \(-5x^2+20=0\) donne, après soustraction de \(20\) puis division par \(-5\), \(x^2=4\), donc \(x=-2\) ou \(x=2\).

Cas simple avec une demi-unité : garder les fractions exactes

Pour \(2x^2+2x-1=0\), on divise d’abord par \(2\ne0\) : \(x^2+x-1/2=0\). Le double produit de \((x+1/2)^2\) est \(2x\times1/2=x\), donc \[x^2+x=\left(x+\frac12\right)^2-\frac14.\] L’équation devient \[\left(x+\frac12\right)^2-\frac14-\frac12=0.\] Pour soustraire les fractions, \(1/2=2/4\) (on multiplie son numérateur et son dénominateur par \(2\)). Ainsi \(-1/4-1/2=-3/4\) et \[\left(x+\frac12\right)^2=\frac34.\] Comme \(3/4>0\), \(x+1/2=\sqrt3/2\) ou \(x+1/2=-\sqrt3/2\). Les solutions exactes sont donc \[\boxed{x=\frac{-1-\sqrt3}{2}\quad\text{ou}\quad x=\frac{-1+\sqrt3}{2}}.\] On a utilisé \(\sqrt{3/4}=\sqrt3/2\), puisque \(2\) est positif. L’identité \(2x^2+2x-1=2(x+1/2)^2-3/2\) contrôle le passage : le membre droit se développe en \(2x^2+2x+1/2-3/2\).

Correction — Essai guidé de la méthode 5

\[\begin{align*} -2x^2-8x+3 &=-2(x^2+4x)+3\\ &=-2[(x+2)^2-4]+3\\ &=-2(x+2)^2+8+3=-2(x+2)^2+11. \end{align*}\] L’équation est donc \(-2(x+2)^2+11=9\). Soustraire \(11\) donne \(-2(x+2)^2=-2\); diviser par \(-2\ne0\) donne \((x+2)^2=1\). Ainsi \(x+2=1\) ou \(x+2=-1\), puis \(x=-1\) ou \(x=-3\).

À \(-1\), le membre initial vaut \(-2+8+3=9\); à \(-3\), il vaut \(-18+24+3=9\). On conclut \(S=\{-3;-1\}\).

Correction — Tentative de la méthode 5

\[4x^2-12x+5=4(x^2-3x)+5.\] Comme \((x-3/2)^2=x^2-3x+9/4\), \[\begin{align*} 4(x^2-3x)+5 &=4\left[\left(x-\frac32\right)^2-\frac94\right]+5\\ &=4\left(x-\frac32\right)^2-9+5\\ &=4\left(x-\frac32\right)^2-4. \end{align*}\] L’équation donne \(4(x-3/2)^2=4\), puis \((x-3/2)^2=1\) après division par \(4\ne0\). Donc \(x-3/2=1\) ou \(x-3/2=-1\) : \(x=3/2+2/2=5/2\) ou \(x=3/2-2/2=1/2\).

À \(1/2\), \(4\times1/4-12\times1/2+5=1-6+5=0\); à \(5/2\), \(4\times25/4-12\times5/2+5=25-30+5=0\).

Correction — Variation de la méthode 5

Ajouter \(3\) aux deux membres puis diviser par \(2\) donne \((x-1)^2=(t+3)/2\).

Si \(t<-3\), le membre droit est négatif : aucune solution.

Si \(t=-3\), il est nul : une solution \(x=1\).

Si \(t>-3\), il est positif : deux solutions distinctes \(1-\sqrt{(t+3)/2}\) et \(1+\sqrt{(t+3)/2}\).

On les contrôle en soustrayant \(1\), puis en les élevant au carré : dans les deux cas, le carré vaut \((t+3)/2\) et l’expression initiale vaut \(t\).

Reprise après erreur.

L’erreur \(3[(x-3)^2-9]+16=3(x-3)^2-9+16\) oublie que le \(3\) multiplie aussi \(-9\).

Rappel simple : \(2(x^2-2x)=2[(x-1)^2-1]=2(x-1)^2-2\).

Nouvel essai :

transforme \(-2x^2+8x+1\).

Correction :

\(-2(x^2-4x)+1=-2[(x-2)^2-4]+1=-2(x-2)^2+8+1 =-2(x-2)^2+9\).

Reviens à \(3[(x-3)^2-9]+16\) : le terme constant est \(3\times(-9)+16=-27+16=-11\).

Autre obstacle : oublier le signe moins de la seconde solution.

De \(y^2=9\), on ne déduit pas seulement \(y=3\), car \((-3)^2=9\) aussi.

Nouvel essai :

\((x+1)^2=4\).

Correction :

\(x+1=2\) ou \(x+1=-2\), donc \(x=1\) ou \(x=-3\).

Reviens à l’exemple \(-3(x-2)^2+11=-1\) : les deux nombres \(0\) et \(4\) doivent être conservés.

Critère de réussite.

Le carré complété doit redonner l’expression initiale lorsqu’on le développe. Après isolation, indique le signe du second membre et explique le nombre de solutions. Ne confonds pas \(\sqrt{y^2}=|y|\) avec \(y\).

À reprendre plus tard.

Refais l’équation \(4x^2-12x+5=0\) par complétion, puis le problème où le niveau est \(t\). Leurs corrections sont locales. Le transfert attendu est de traiter les trois signes possibles d’un carré, et pas seulement un exemple à deux racines.

M06 — Utiliser le discriminant quand aucune structure ne suffit

Méthode générale attendue pour le second degré. La variante du discriminant réduit est un raccourci algébrique facultatif, non une formule supplémentaire exigible.

Je reconnais.

Après préparation, l’équation est \(ax^2+bx+c=0\) avec \(a\ne0\); aucune factorisation simple n’est visible, ou la consigne demande une résolution générale, un nombre de racines ou leur expression exacte.

Je vérifie.

Je relève \(a,b,c\) avec leurs signes. Le discriminant est \(\Delta=b^2-4ac\). Je traite son signe avant de prendre une racine carrée. Le dénominateur \(2a\) est non nul.

Premier geste.

J’écris les valeurs des trois coefficients, puis le calcul de \(\Delta\) avec des parenthèses autour des nombres négatifs.

Idée et raison du choix.

Le discriminant mesure les trois possibilités de l’équation de carré sous-jacente. Le théorème voir le repère est démontré dans les fondations. Il donne une issue pour tout véritable second degré, contrairement à la recherche d’une racine apparente.

Les deux autres signes du discriminant

Pour \(-2x^2+6x-9/2=0\), les coefficients sont \(-2,6,-9/2\) : \[\Delta=6^2-4\times(-2)\times\left(-\frac92\right) =36-36=0.\] L’unique racine est \(x_0=-6/[2\times(-2)]=3/2\). On contrôle par la factorisation \(-2(x-3/2)^2=-2x^2+6x-9/2\).

Pour \(5x^2-4x+2=0\), \(\Delta=(-4)^2-4\times5\times2=16-40=-24<0\). Il n’y a aucune solution réelle. Cela signifie notamment qu’on ne peut pas factoriser ce polynôme en deux facteurs affines réels non constants; une mise en facteur d’une constante demeure bien sûr possible.

Quand le discriminant n’est pas un carré parfait

Dans \(2x^2+3x-4=0\), on a \(\Delta=3^2-4\times2\times(-4)=9+32=41>0\). Les solutions exactes sont \[\frac{-3-\sqrt{41}}4\quad\text{et}\quad\frac{-3+\sqrt{41}}4.\] Une valeur décimale peut ensuite contrôler leur ordre ou répondre à une précision demandée, mais elle ne remplace pas l’écriture exacte.

Pour contrôler les formules sans calcul décimal, la somme vaut \((-3-\sqrt{41}-3+\sqrt{41})/4=-6/4=-3/2\); le produit vaut \([(-3)^2-(\sqrt{41})^2]/16=(9-41)/16=-2\). Ce sont bien \(-b/a\) et \(c/a\).

Même problème que les méthodes 3 et 4 : comparaison complète

Pour \(2x^2-7x+3=0\), le discriminant donne \[\Delta=(-7)^2-4\times2\times3=49-24=25>0,\] \[x_1=\frac{7-5}{4}=\frac12, \qquad x_2=\frac{7+5}{4}=3.\] Les racines sont les mêmes que dans les deux démarches déjà travaillées.

Avec la racine \(3\) donnée, la méthode 3 exploitait une information disponible; avec la paire \(3,1/2\) repérée, la méthode 4 évitait le discriminant.

Sans cette information et sans paire facile à trouver, la méthode 6 fournit une procédure systématique.

À l’inverse, pour \(x(x-7)=0\), développer puis calculer \(\Delta\) effacerait un produit nul immédiatement utilisable.

Préparation utile : éliminer des dénominateurs constants

Pour \[\frac{x^2}{3}-\frac{5x}{6}+\frac12=0,\] on peut multiplier les deux membres par \(6\ne0\) : \[6\times\frac{x^2}{3}-6\times\frac{5x}{6} +6\times\frac12=6\times0, \qquad 2x^2-5x+3=0.\] Le discriminant devient \(25-24=1\). Les racines sont \((5-1)/4=1\) et \((5+1)/4=3/2\). Les transformations sont réversibles et n’imposent pas \(x\ne0\) : le multiplicateur est la constante \(6\), pas l’inconnue.

À \(1\), l’expression de départ vaut \((2-5+3)/6=0\); à \(3/2\), elle vaut \(3/4-5/4+1/2=0\).

Variante facultative : un coefficient linéaire double

Si l’on écrit \(b=2d\), alors \[\Delta=(2d)^2-4ac=4(d^2-ac).\] On peut calculer \(\delta=d^2-ac\) et utiliser son signe, qui est le même que celui de \(\Delta\). Le symbole \(d\) désigne ici un coefficient, pas une dérivée. Pour \(\delta>0\), \(\sqrt\Delta=\sqrt{4\delta}=2\sqrt\delta\), donc \[\frac{-b\pm\sqrt\Delta}{2a} =\frac{-2d\pm2\sqrt\delta}{2a} =\frac{-d\pm\sqrt\delta}{a}.\] La simplification porte sur le facteur constant \(2\), non nul.

Si \(\delta=0\), la racine double est \(-d/a\);

si \(\delta<0\), il n’y a aucune racine réelle.

Le coefficient \(a\) doit toujours être non nul.

Exemple comparé.

Pour \(5x^2-12x+4=0\), on a \(d=-6\) : \(\delta=(-6)^2-5\times4=36-20=16\). Les solutions sont \[\frac{6-4}{5}=\frac25 \quad\text{et}\quad \frac{6+4}{5}=2.\] Avec la formule habituelle, on calcule \(\Delta=(-12)^2-4\times5\times4=144-80=64\), puis \((12-8)/10=2/5\) et \((12+8)/10=2\). Les deux calculs sont complets et équivalents. La variante a réduit les nombres manipulés; elle n’a pas changé la méthode mathématique.

On contrôle par \((5x-2)(x-2)=5x^2-10x-2x+4=5x^2-12x+4\).

Point de vigilance.

Cette variante est facultative : la formule générale suffit. Tout réel \(b\) peut s’écrire \(2d\), mais si \(d=b/2\) complique les nombres, le raccourci n’apporte pas de bénéfice. Ne confonds jamais \(\delta\) et \(\Delta\) dans une même formule.

Correction — Essai guidé de la méthode 6

Avec \(a=3\), \(b=4\), \(c=-4\), on obtient \[\Delta=4^2-4\times3\times(-4)=16+48=64>0.\] Comme \(\sqrt\Delta=8\) et \(2a=6\), \[x_1=\frac{-4-8}{6}=-2, \qquad x_2=\frac{-4+8}{6}=\frac46=\frac23.\] Avec la variante, \(d=2\), \(\delta=2^2-3\times(-4)=4+12=16\), et les racines sont \((-2-4)/3=-2\) et \((-2+4)/3=2/3\).

Dans l’équation initiale, à \(-2\) on a \(12-8-4=0\); à \(2/3\) on a \(3\times4/9+8/3-4=4/3+8/3-12/3=0\).

Les deux procédures donnent \(S=\{-2;2/3\}\).

Correction — Tentative de la méthode 6, discriminant habituel

\[\Delta=(-4)^2-4\times2\times(-3)=16+24=40>0.\] Comme \(40=4\times10\), \(\sqrt{40}=2\sqrt{10}\). Ainsi \[x_1=\frac{4-2\sqrt{10}}4=1-\frac{\sqrt{10}}2, \qquad x_2=\frac{4+2\sqrt{10}}4=1+\frac{\sqrt{10}}2.\] On a divisé chacun des termes du numérateur par \(4\), ou simplifié le facteur \(2\) commun au numérateur et au dénominateur.

Correction — Tentative de la méthode 6, variante facultative

Ici \(d=-2\), donc \(\delta=(-2)^2-2\times(-3)=4+6=10\). Les racines sont \([2-\sqrt{10}]/2\) et \([2+\sqrt{10}]/2\), égales aux deux valeurs précédentes.

Le contrôle exact par la forme canonique est \[2x^2-4x-3=2(x-1)^2-5.\] Pour chacune des valeurs retenues, \((x-1)^2=10/4=5/2\), donc \(2(x-1)^2-5=0\). La somme des racines vaut \(2\) et leur produit \(1-10/4=-3/2\), comme \(-b/a\) et \(c/a\).

Correction — Variation de la méthode 6

Dans les deux équations, \(a=0\) : les formules à dénominateur \(2a\) ne sont pas définies. La première équivaut à \(2x=4\), puis \(x=2\) après division par \(2\ne0\); la seconde se réduit à \(-4=0\), impossible.

Pour le dernier point, un arrondi peut masquer un petit nombre non nul. Par exemple \(x^2-\frac1{10000}=0\) a un discriminant exact \(4/10000=1/2500>0\) et deux racines \(-1/100\) et \(1/100\). Un affichage à trop peu de décimales ne doit pas les fusionner.

On décide du cas avec le calcul exact lorsque les données sont exactes.

Reprise après erreur.

Deux premières erreurs fréquentes sont \((-4)^2=-16\) et \(-b=-4\) lorsque \(b=-4\).

Le carré vaut \((-4)\times(-4)=16\); l’opposé vaut \(-(-4)=4\).

Exemple plus simple :

pour \(x^2-3x+2=0\), \(\Delta=(-3)^2-8=9-8=1\) et les numérateurs sont \(3-1\) et \(3+1\), non \(-3-1\) et \(-3+1\); les racines sont \(1\) et \(2\).

Nouvel essai :

résous \(-x^2-4x+5=0\).

Correction :

\(a=-1\), \(b=-4\), \(c=5\), \(\Delta=(-4)^2-4\times(-1)\times5=16+20=36\). Les deux racines sont \((4-6)/(-2)=1\) et \((4+6)/(-2)=-5\). On contrôle \(-1-4+5=0\) et \(-25+20+5=0\).

Reviens à l’exemple de référence \(-3x^2+5x+2=0\) : \(-b=-5\), \(b^2=25\), \(4ac=-24\), donc \(\Delta=25-(-24)=49\).

Critère de réussite.

Écris \(a,b,c\), le discriminant exact et son signe avant les racines. Les parenthèses doivent permettre de reconstruire les signes. Indique l’ensemble complet, garde les valeurs exactes et ordonne les racines si la suite demande un tableau. La variante doit retrouver les mêmes résultats dans son domaine, sans devenir une obligation supplémentaire.

À reprendre plus tard.

Refais l’équation \(2x^2-4x-3=0\), puis la variation sur les cas non applicables. Reprends aussi le problème commun \(2x^2-7x+3=0\) par une autre voie que celle choisie au départ : méthode 3, la méthode 4 et la méthode 6 en donnent chacune une résolution complète.

Étudier un signe et résoudre une inéquation

Étudier un signe, résoudre une contrainte, conserver tous les cas

Une équation demande où deux expressions sont égales. Une inéquation demande où l’une est plus grande que l’autre. Un tableau de signes répond à une question sur les valeurs de la fonction : il ne décrit pas ses variations.

Les rappels de calcul de la page , le théorème des racines (p. ) et celui du signe (p. ) sont les outils communs de cette section. On travaille dans \(\mathbb{R}\), puis on intersecte avec le domaine demandé : intervalle, nombres positifs ou valeurs autorisées.

M07 — Construire un tableau de signes à partir des facteurs

Méthode du noyau du chapitre : exploiter une forme factorisée.

Je reconnais.

Un produit de facteurs du premier degré est déjà écrit, ou une factorisation courte est visible.

Je vérifie.

Chaque facteur est défini; on distingue un facteur constant, un facteur affine et un carré.

Premier geste.

Chercher les zéros de chaque facteur et les ranger dans l’ordre croissant.

Idée et raison du choix.

Entre deux zéros consécutifs, chaque facteur garde son signe. On multiplie ces signes, sans choisir de valeurs au hasard comme seule justification.

Correction — essai guidé de la méthode 7

L’égalité \(2(x-\tfrac12)=2x-2\times\tfrac12=2x-1\) conserve l’expression. Le facteur \(2\) est strictement positif. Les zéros sont \(-2\) et \(\tfrac12\), dans cet ordre. Avant \(-2\), les deux facteurs affines sont négatifs; entre \(-2\) et \(\tfrac12\), ils sont de signes contraires; après \(\tfrac12\), ils sont positifs. \[\begin{array}{c|ccccccc} x&-\infty&&-2&&\tfrac12&&+\infty\\\hline 2x-1&&- &- &- &0 &+ &\\ x+2&&- &0 &+ &+ &+ &\\\hline (2x-1)(x+2)&&+ &0 &- &0 &+ & \end{array}\] On retient les signes \(+\) et les zéros : \(S=]-\infty;-2]\,\cup\,[\tfrac12;+\infty[\).

Pour \(x=0\), le produit vaut \((-1)\times2=-2\) : \(0\) est bien exclu.

Correction — tentative de la méthode 7

Un carré est positif ou nul. Donc \(-3(x-2)^2\le0\) pour tout réel \(x\), avec égalité exactement quand \(x-2=0\), soit \(x=2\). Si \(x\ne2\), \((x-2)^2>0\) et la multiplication par \(-3\) donne \(Q(x)<0\). Les trois ensembles de solutions sont respectivement \(\varnothing\), \(\mathbb{R}\) et \(\{2\}\).

Écrit \((x-2)(x-2)\), le carré a deux facteurs qui changent simultanément de signe : le produit est positif des deux côtés. Une racine double ne provoque donc pas le changement de signe d’une racine simple.

Reprise après erreur.

Si tu as obtenu le signe \(+\) à l’extérieur dans l’exemple, la première omission est le facteur \(-2\).

Repars de \(-(x-1)\) : pour \(x<1\), \(x-1<0\), donc \(-(x-1)>0\); pour \(x>1\), le signe est négatif.

Nouvel essai :

donne le signe de \(-(x+3)\).

Correction :

zéro en \(-3\), signe \(+\) avant \(-3\), signe \(-\) après \(-3\).

Reviens à \(P\) et multiplie les signes des deux facteurs par celui de \(-2\) dans chaque intervalle.

Critère de réussite.

Les zéros sont ordonnés; chaque signe provient d’un facteur identifié; les zéros sont inclus pour \(\ge\) ou \(\le\), mais exclus pour \(>\) ou \(<\).

Choisir ou comparer.

Lorsque la forme factorisée est donnée, ce tableau est directement utilisable. Développer puis calculer un discriminant n’est pas faux, mais masque une information déjà disponible. La méthode 8 résout le même exemple en partant de la forme développée.

À reprendre plus tard.

Reprends l’essai guidé de la méthode 7 en remplaçant \(\ge0\) par \(<0\), puis explique ton choix de crochets.

Correction :

\(S=]-2;\tfrac12[\), car on retient seulement la zone de signe \(-\) et aucun des deux zéros.

M08 — Étudier le signe avec le discriminant, sans confondre équation et inéquation

Méthode générale du noyau; le discriminant est une voie disponible, pas un réflexe obligatoire.

Je reconnais.

Le trinôme est développé et aucune factorisation simple n’est disponible.

Je vérifie.

On a bien \(ax^2+bx+c\) avec \(a\ne0\); les signes de \(b\) et \(c\) sont conservés.

Premier geste.

Écrire \(a,b,c\), puis \(\Delta=b^2-4ac\), avec des parenthèses autour des coefficients négatifs.

Idée et raison du choix.

Le discriminant indique les zéros réels; le signe de \(a\) indique le signe du trinôme en dehors des racines. Le théorème du signe, démontré page , traite aussi les cas sans racine et avec une racine double.

Correction — essai guidé de la méthode 8

Ici \(a=3\), \(b=-4\), \(c=-4\). Donc \[\Delta=(-4)^2-4\times3\times(-4)=16+48=64.\] Les racines sont \[\frac{-(-4)-8}{6}=\frac{4-8}{6}=-\frac23, \qquad \frac{-(-4)+8}{6}=\frac{12}{6}=2.\] Le coefficient \(3\) est positif : signes \(+,-,+\), dans les intervalles délimités par \(-\tfrac23\) et \(2\), et zéro aux deux bornes. L’inégalité est large, donc \(S=[-\tfrac23;2]\). Le contrôle en \(0\) donne \(-4\le0\); le contrôle en \(3\) donne \(27-12-4=11>0\).

Correction — tentative de la méthode 8

Pour le premier trinôme, \(\Delta=4^2-4\times4\times1=16-16=0\). Sa racine est \(-4/8=-\tfrac12\). Le trinôme est strictement positif partout sauf en cette racine, où il est nul : \(S=]-\infty;-\tfrac12[\,\cup\,]-\tfrac12;+\infty[\). On pouvait aussi reconnaître \((2x+1)^2\).

Pour le second, \(\Delta=(-2)^2-4\times1\times3=4-12=-8<0\) et \(a=1>0\). Il est strictement positif partout; l’inéquation \(\le0\) a donc pour solution \(S=\varnothing\).

La forme \((x-1)^2+2\) fournit une autre justification complète : elle est au moins égale à \(2\).

Reprise après erreur.

Si tu écris « \(\Delta<0\), donc aucune solution » sans citer la question, reviens à \(x^2+1\) : l’équation \(x^2+1=0\) est impossible, mais \(x^2+1>0\) est vraie pour tout réel, puisqu’un carré est positif ou nul.

Nouvel essai :

résoudre \(-x^2-2<0\).

Correction :

\(x^2\ge0\) donne \(-x^2\le0\), puis \(-x^2-2\le-2<0\); tous les réels conviennent.

Reviens à \(K\) et lis le signe demandé, pas seulement le nombre de racines.

Choisir ou comparer.

Sur \(P\), la méthode 7 économise le calcul des racines si les facteurs sont donnés; La méthode 8 les retrouve lorsque l’on ne connaît que les coefficients.

Sur \((2x+1)^2\), le carré visible suffit. Sur \(3x^2-4x-4\), la méthode 8 garantit une démarche même si l’on n’a pas deviné la factorisation.

Critère de réussite.

Nommer la quantité étudiée, écrire le cas de \(\Delta\), utiliser le signe de \(a\), ordonner les racines, puis distinguer les signes stricts des zéros.

À reprendre plus tard.

Reprends l’essai guidé de la méthode 8 avec \(\ge0\).

Correction :

les mêmes racines délimitent les zones positives; \(S=]-\infty;-\tfrac23]\,\cup\,[2;+\infty[\).

M09 — Ramener un seuil ou une comparaison à une différence

Méthode centrale : choisir la forme adaptée à une inéquation ou à une position relative.

Je reconnais.

La question est \(f(x)\le k\), \(f(x)>g(x)\), ou « quelle courbe est au-dessus ? ».

Je vérifie.

On travaille sur le domaine commun; le second membre n’est pas forcément zéro.

Premier geste.

Soustraire le même second membre aux deux côtés et réduire la différence.

Idée et raison du choix.

Le signe de \(f(x)-g(x)\) compare les deux ordonnées pour une même abscisse. Un signe positif signifie que la courbe de \(f\) est au-dessus de celle de \(g\). Un zéro donne une abscisse d’intersection; il faut encore calculer l’ordonnée.

Correction — essai guidé de la méthode 9

Soustraire \(4\) donne \(-x^2+4x-3\ge0\). Or \(-x^2+4x-3=-(x^2-4x+3)=-(x-1)(x-3)\). Multiplier les deux membres de \(-(x-1)(x-3)\ge0\) par \(-1\) inverse le sens : \((x-1)(x-3)\le0\). Le produit est négatif entre \(1\) et \(3\), nul aux bornes; donc \(S=[1;3]\). En \(2\), l’expression initiale vaut \(-4+8+1=5\ge4\).

Correction — tentative de la méthode 9

\[u(x)-v(x)=2x^2-3x+1-(2x^2+x-3) =2x^2-3x+1-2x^2-x+3=-4x+4.\] Les termes en \(x^2\) s’annulent. L’inéquation est donc du premier degré : \(-4x+4>0\). Soustraire \(4\) donne \(-4x>-4\); diviser les deux membres par \(-4\) inverse le sens, d’où \(x<1\). Le discriminant est inadapté parce que le coefficient quadratique de la différence est nul.

Point de vigilance.

Si \(u=v\), la différence est identiquement nulle : \(u\le v\) est vraie partout, mais \(u<v\) ne l’est nulle part. Si \(v=u+1\), alors \(u-v=-1\) : la comparaison est encore décidée sans équation du second degré.

Reprise après erreur.

Une erreur fréquente est \(f-g=x^2-2x-3-x+1\) : le signe de la constante a été oublié.

Rappel :

\(-(x+1)=-x-1\).

Exemple simple :

\(2x+1-(x-3)=2x+1-x+3=x+4\).

Nouvel essai :

résoudre \(x^2+2x>x^2-4\).

Correction :

soustraire \(x^2-4\) donne \(2x+4>0\), donc \(2x>-4\) et \(x>-2\).

Reviens ensuite à la première différence et distribue le signe moins avant de réduire.

Critère de réussite.

La différence correspond exactement à la question; les conditions de domaine sont conservées; une intersection est donnée par un couple de coordonnées, et non par sa seule abscisse.

À reprendre plus tard.

Reprends l’essai guidé de la méthode 9 avec le seuil \(6\).

Correction :

\(-x^2+4x+1\ge6\) équivaut à \(-(x-2)^2-1\ge0\). Le membre gauche est toujours au plus \(-1\) : \(S=\varnothing\). Changer le seuil peut faire disparaître toutes les solutions.

M10 — Combiner des signes : produits, quotients et contraintes simultanées

Réinvestissement au niveau de Première : tableaux de signes et domaines, sans nouvel outil.

Je reconnais.

Plusieurs facteurs, un quotient, une racine carrée à définir, ou deux inégalités simultanées apparaissent.

Je vérifie.

Les dénominateurs doivent être non nuls; un signe inconnu interdit de multiplier une inéquation sans discussion.

Premier geste.

Écrire le domaine, factoriser les éléments utiles, puis réunir tous les zéros et toutes les valeurs interdites dans un seul ordre croissant.

Idée et raison du choix.

Un quotient a le signe du produit de son numérateur et de son dénominateur, mais n’existe pas lorsque ce dernier est nul. Pour « et », on intersecte les ensembles de solutions; pour « ou », on les réunit.

Correction — essai de la variante de la méthode 10

Le domaine impose \(x\ne-2\). Sur ce domaine, \((x+2)^2>0\) : \[\begin{aligned} \frac{x^2-1}{x+2}<0 &\ \Longleftrightarrow\ \frac{x^2-1}{x+2}(x+2)^2<0\times(x+2)^2\\ &\ \Longleftrightarrow\ (x^2-1)(x+2)<0\\ &\ \Longleftrightarrow\ (x-1)(x+1)(x+2)<0. \end{aligned}\] Les zéros sont \(-2<-1<1\). Les signes des trois facteurs sont \((-,-,-)\) avant \(-2\), \((-,-,+)\) entre \(-2\) et \(-1\), \((-,+,+)\) entre \(-1\) et \(1\), et \((+,+,+)\) après \(1\). Le produit est négatif exactement sur \(]-\infty;-2[\cup]-1;1[\) : c’est la réponse à l’inéquation stricte.

Pour \(\le0\), les zéros \(-1\) et \(1\) sont ajoutés, mais jamais \(-2\) : le quotient initial n’y est pas défini. On obtient \(S=]-\infty;-2[\cup[-1;1]\).

Contrôles :

en \(0\), le quotient vaut \(-1/2<0\); en \(-1\), il vaut \(0/1=0\); en \(-2\), son dénominateur est nul, et aucun calcul de quotient n’est autorisé.

Correction — essai guidé de la méthode 10

L’identité \(x^2-4=(x-2)(x+2)\) donne les zéros \(-2<1<2\). Le produit de trois facteurs est négatif avant \(-2\), positif entre \(-2\) et \(1\), négatif entre \(1\) et \(2\), positif après \(2\) : \[\begin{array}{c|ccccccccc} x&-\infty&&-2&&1&&2&&+\infty\\\hline x+2&&- &0 &+ &+ &+ &+ &+ &\\ x-1&&- &- &- &0 &+ &+ &+ &\\ x-2&&- &- &- &- &- &0 &+ &\\\hline (x^2-4)(x-1)&&- &0 &+ &0 &- &0 &+ & \end{array}\] Tous les zéros sont autorisés, puisque c’est un produit de polynômes. On obtient \(S=]-\infty;-2]\cup[1;2]\).

Correction — tentative de la méthode 10

L’expression initiale est définie seulement pour \(x\ne1\). Pour ces valeurs, \[\frac{x^2-1}{x-1}= \frac{(x-1)(x+1)}{x-1} =\left(\frac{x-1}{x-1}\right)(x+1)=x+1.\] On peut simplifier parce que le facteur \(x-1\) est non nul. On résout donc \(x+1\ge0\), soit \(x\ge-1\), et \(x\ne1\). Ainsi \(S=[-1;1[\cup]1;+\infty[\). La fonction initiale n’est pas définie en \(1\); sa forme simplifiée n’efface pas cette restriction.

Correction — variation de la méthode 10

Posons provisoirement \(t=x-2\). La condition \(t^2\ge1\) donne \(t\in]-\infty;-1]\cup[1;+\infty[\), et \(t^2\le4\) donne \(t\in[-2;2]\). L’intersection vaut \([-2;-1]\cup[1;2]\). Ajouter \(2\) aux bornes de chacun des deux intervalles donne \(S=[0;1]\cup[3;4]\). Le « et » a bien produit une intersection; cette intersection peut elle-même être la réunion de deux morceaux disjoints.

Reprise après erreur.

Si tu inclus une valeur interdite parce que le signe est « \(\ge\) », la première erreur concerne le domaine.

Exemple simple :

\(1/(x-2)\ge0\) exige \(x\ne2\) et a pour solutions \(]2;+\infty[\), jamais \([2;+\infty[\).

Nouvel essai :

résoudre \(\dfrac{x-2}{x-2}\ge0\).

Correction :

pour \(x\ne2\), le quotient vaut \(1>0\); son ensemble de solutions est \(\mathbb{R}\setminus\{2\}\).

Reviens à la tentative de la méthode 10 et conserve pareillement le trou en \(1\).

Critère de réussite.

Domaine avant simplification, valeurs interdites distinctes des zéros, signes dans chaque intervalle, et intersection explicite des conditions simultanées.

À reprendre plus tard.

Reprends la tentative de la méthode 10 et la variation de la méthode 10 sans leur correction. Tu dois retrouver le trou en \(1\) dans le premier, et deux intervalles fermés dans le second; explique séparément chaque choix de borne.

M11 — Changer d’inconnue, puis revenir à la question initiale

Stratégie de réinvestissement accessible avec les outils du niveau. Les formes particulières ci-dessous sont des variantes, pas une liste de nouveaux théorèmes à mémoriser.

Je reconnais.

Le même bloc apparaît au carré et au premier degré : \(x^4\) et \(x^2\), \(x\) et \(\sqrt{x}\), ou une expression répétée.

Je vérifie.

Le bloc est défini; les valeurs qu’il peut prendre imposent parfois une restriction à la nouvelle inconnue.

Premier geste.

Nommer le bloc \(X\), écrire sa condition, puis réécrire toute l’équation en \(X\).

Idée et raison du choix.

On résout d’abord un problème intermédiaire plus simple. Ses solutions ne sont pas encore les réponses : chaque valeur retenue de \(X\) conduit à une équation de retour en \(x\). Une valeur de \(X\) peut produire deux, une ou aucune valeur de \(x\).

Correction — essai guidé de la méthode 11

On impose \(X\ge0\). L’équation est \(X^2-X-6=(X-3)(X+2)=0\), car \((X-3)(X+2)=X^2+2X-3X-6=X^2-X-6\).

Les valeurs intermédiaires sont \(3\) et \(-2\). La valeur \(-2\) ne peut pas être un carré réel : elle n’a pas d’antécédent.

Pour \(X=3\), \(x^2=3\) donne \(x=\pm\sqrt3\). Donc \(S=\{-\sqrt3;\sqrt3\}\).

Vérification : pour ces deux nombres, \(x^2=3\) et \(x^4=9\); \(9-3-6=0\).

Correction — tentative de la méthode 11

Avec \(X=x^2\ge0\), on obtient \(X^2-6X=X(X-6)=0\), donc \(X=0\) ou \(X=6\). Le retour donne respectivement \(x=0\) ou \(x=\pm\sqrt6\). Ainsi \(S=\{-\sqrt6;0;\sqrt6\}\).

Diviser par \(x^2\) aurait imposé \(x\ne0\), alors que \(0^4-6\times0^2=0\). La factorisation \(x^2(x^2-6)=0\) fournit une autre résolution complète avec les mêmes cas.

Variantes : le changement de lettre ne dispense pas des conditions

Un radical répété : \(X=\sqrt{x}\).

Résolvons \(x-5\sqrt{x}+6=0\). Il faut \(x\ge0\).

On pose \(X=\sqrt{x}\) : alors \(X\ge0\) et \(x=X^2\). L’équation devient \(X^2-5X+6=(X-2)(X-3)=0\). Les valeurs \(X=2\) et \(X=3\) sont toutes deux admissibles.

Le retour \(\sqrt{x}=2\) donne \(x=4\); \(\sqrt{x}=3\) donne \(x=9\). Donc \(S=\{4;9\}\).

Les contrôles sont \(4-5\times2+6=0\) et \(9-5\times3+6=0\). On ne donne pas \(\pm4\) et \(\pm9\) : ici c’est \(x=X^2\), pas \(x^2=X\).

Une valeur absolue répétée : \(X=|x|\).

La notation \(|x|\) désigne \(x\) si \(x\ge0\), et \(-x\) si \(x<0\). Dans les deux cas, \(|x|\ge0\) et \(|x|^2=x^2\).

Pour \(x^2-3|x|-4=0\), poser \(X=|x|\) donne \(X^2-3X-4=(X-4)(X+1)=0\). On rejette \(X=-1\), incompatible avec \(X\ge0\), et l’on garde \(X=4\). Le retour \(|x|=4\) donne \(x=-4\) ou \(x=4\) : \(S=\{-4;4\}\).

Pour les deux valeurs, \(x^2=16\) et \(|x|=4\), donc \(16-12-4=0\).

Un bloc affine : \(X=2x-1\).

Dans \((2x-1)^2-5(2x-1)+6=0\), on peut éviter un grand développement. Avec \(X=2x-1\), on résout \((X-2)(X-3)=0\), donc \(X=2\) ou \(X=3\).

Pour \(X=2\), \(2x-1=2\); ajouter \(1\) puis diviser par \(2\ne0\) donne \(x=3/2\).

Pour \(X=3\), \(2x-1=3\) donne \(2x=4\), donc \(x=2\).

Chaque réel \(X\) a ici un unique antécédent. La solution est \(S=\{\tfrac32;2\}\).

Le contrôle peut être fait sur le bloc : ses valeurs \(2\) et \(3\) donnent \(4-10+6=0\) et \(9-15+6=0\).

Un bloc quadratique : deux résolutions successives.

Résolvons \((x^2+x)^2-2(x^2+x)-8=0\).

Avec \(X=x^2+x\), l’équation devient \(X^2-2X-8=(X-4)(X+2)=0\). On obtient \(X=4\) ou \(X=-2\). Il faut maintenant étudier les deux équations de retour :

• \(x^2+x=4\) donne \(x^2+x-4=0\), de discriminant \(1+16=17\), d’où \(x=(-1-\sqrt{17})/2\) ou \(x=(-1+\sqrt{17})/2\).

• \(x^2+x=-2\) donne \(x^2+x+2=0\), de discriminant \(1-8=-7\); aucun réel ne convient dans cette branche.

L’ensemble final contient donc seulement les deux valeurs de la première branche. Pour celles-ci, le bloc vaut \(4\) et l’expression initiale vaut \(16-8-8=0\).

Un nombre négatif \(X\) n’était pas à rejeter par principe : un bloc \(x^2+x\) peut être négatif. C’est l’équation de retour qui décide ici de son impossibilité.

Un inverse répété : une valeur intermédiaire impossible.

Résolvons \(\dfrac1{(x-1)^2}-\dfrac1{x-1}=0\).

Le domaine impose \(x\ne1\). Posons \(X=1/(x-1)\) : on a aussi \(X\ne0\), car une fraction de numérateur \(1\) ne peut pas être nulle.

L’équation devient \(X^2-X=X(X-1)=0\). On rejette \(X=0\) et on garde \(X=1\).

Résoudre \(1/(x-1)=1\), en multipliant par le dénominateur non nul, donne \(1=x-1\), donc \(x=2\). Cette valeur appartient au domaine et vérifie \(1-1=0\). La seule solution est \(2\).

Une équation réciproque : \(X=x+1/x\).

Cette variante moins usuelle est une alternative de recherche, non une formule exigible à apprendre. Résolvons \[x^4-5x^3+6x^2-5x+1=0.\] La valeur \(0\) ne convient pas, car le membre gauche vaut alors \(1\). On peut donc diviser par \(x^2\ne0\) et regrouper : \[x^2-5x+6-\frac5x+\frac1{x^2}=0 \ \Longleftrightarrow\ \left(x^2+\frac1{x^2}\right)-5\left(x+\frac1x\right)+6=0.\] Posons \(X=x+1/x\). En développant, \[X^2=\left(x+\frac1x\right)^2 =x^2+2x\frac1x+\frac1{x^2} =x^2+2+\frac1{x^2}.\] Ainsi \(x^2+1/x^2=X^2-2\) et l’équation devient \(X^2-2-5X+6=0\), soit \((X-1)(X-4)=0\).

• Si \(X=1\), le retour \(x+1/x=1\) donne, après multiplication par \(x\ne0\), \(x^2-x+1=0\). Son discriminant vaut \(1-4=-3\) : aucune valeur réelle.

• Si \(X=4\), le retour donne \(x^2-4x+1=0\). Son discriminant vaut \(16-4=12\) et ses racines sont \((4\pm\sqrt{12})/2=2\pm\sqrt3\). Elles sont non nulles : leur produit est \((2-\sqrt3)(2+\sqrt3)=4-3=1\).

Donc \(S=\{2-\sqrt3;2+\sqrt3\}\).

Pour chaque valeur retenue, le retour garantit \(X=4\), donc \(X^2-5X+4=0\); multiplier l’équation divisée par \(x^2\ne0\) restitue l’équation initiale.

Deux valeurs intermédiaires n’ont pas donné quatre solutions réelles : une branche n’avait aucun antécédent.

Correction — variation de la méthode 11

1. Le domaine est \(x\ge0\). Avec \(X=\sqrt{x}\ge0\), on obtient \(X^2+X-6=(X+3)(X-2)=0\). Seul \(X=2\) est non négatif; le retour donne \(x=4\). Contrôle : \(4+2-6=0\).

2. Avec \(X=|x|\ge0\), l’équation est \(X^2+X-2=(X+2)(X-1)=0\). Seul \(X=1\) est possible, d’où \(x=-1\) ou \(x=1\). Pour les deux, \(x^2+|x|-2=1+1-2=0\).

3. Avec \(X=3x+2\), on soustrait \(5X-6\) aux deux membres : \(X^2-5X+6=(X-2)(X-3)=0\). Le retour \(3x+2=2\) donne \(3x=0\), puis \(x=0\); le retour \(3x+2=3\) donne \(3x=1\), puis \(x=1/3\). Le bloc vaut \(2\) ou \(3\), qui satisfont bien \(X^2=5X-6\).

4. Avec \(X=x^2-x\), on obtient \(X^2-2X=X(X-2)=0\). Pour \(X=0\), \(x^2-x=x(x-1)=0\) donne \(0\) et \(1\). Pour \(X=2\), \(x^2-x-2=(x-2)(x+1)=0\) donne \(2\) et \(-1\). Ainsi \(S=\{-1;0;1;2\}\). Chaque retour a été résolu, aucun facteur variable n’a été divisé.

5. Le domaine est \(x\ne-1\). Avec \(X=1/(x+1)\ne0\), on résout \(X^2=1\), donc \(X=1\) ou \(X=-1\). Les retours sont \(1=x+1\), d’où \(x=0\), et \(1=-(x+1)\), d’où \(x=-2\). Les deux valeurs sont autorisées; le carré de leur inverse décalé vaut \(1\).

6. \(0\) n’est pas solution. Diviser par \(x^2\) donne \(x^2+1/x^2-3(x+1/x)+4=0\). Avec \(X=x+1/x\), on obtient \(X^2-2-3X+4=0\), soit \((X-1)(X-2)=0\). Pour \(X=1\), \(x^2-x+1=0\) n’a pas de solution réelle, car \(\Delta=-3\). Pour \(X=2\), \(x^2-2x+1=(x-1)^2=0\) donne seulement \(x=1\). Ainsi \(S=\{1\}\); le contrôle initial donne \(1-3+4-3+1=0\).

Reprise après erreur.

Écrire directement \(S=\{1;4\}\) dans l’exemple bicarré confond \(X\) et \(x\).

Le changement d’inconnue ressemble à une étiquette posée sur un bloc; l’étiquette ne change pas la question de départ.

Exemple simple :

si \(X=x^2\) et \(X=9\), alors \(x=-3\) ou \(x=3\), non \(x=9\).

Nouvel essai :

si \(X=x^2\) et \(X\in\{-1;0;4\}\), que vaut l’ensemble des \(x\) ?

Correction :

\(-1\) ne donne rien, \(0\) donne \(0\), \(4\) donne \(-2\) et \(2\); l’ensemble est \(\{-2;0;2\}\).

Reviens à l’exemple en écrivant une ligne de retour pour chaque valeur intermédiaire.

Critère de réussite.

Le bloc est nommé sans ambiguïté; toutes ses occurrences sont remplacées; les restrictions sont justifiées; chaque équation de retour est résolue et les valeurs finales sont contrôlées dans le domaine initial.

À reprendre plus tard.

Reprends l’essai guidé de la méthode 11, puis une des questions a), d) ou f) de la variation de la méthode 11. La réussite ne se réduit pas aux bons nombres : explique pourquoi une branche négative ou sans antécédent doit être écartée dans le cas choisi.

M12 — Résoudre une équation rationnelle sans perdre les valeurs interdites

Réinvestissement des fractions et des équations du second degré.

Je reconnais.

L’inconnue figure dans au moins un dénominateur.

Je vérifie.

Aucun dénominateur ne doit s’annuler; une simplification ne rend pas l’expression initiale définie aux valeurs interdites.

Premier geste.

Écrire le domaine avant de multiplier ou de simplifier.

Idée et raison du choix.

Sur le domaine autorisé, multiplier une égalité par un dénominateur non nul est réversible, quel que soit son signe. On peut aussi tout ramener à un quotient nul : son numérateur doit être nul, son dénominateur restant non nul.

Correction — essai guidé de la méthode 12

Il faut \(x\ne0\) et \(x\ne-1\). On multiplie la première fraction en haut et en bas par \(x+1\ne0\), et la seconde par \(x\ne0\) : \[\frac1x+\frac1{x+1} =\frac{x+1}{x(x+1)}+\frac{x}{x(x+1)} =\frac{2x+1}{x(x+1)}.\] Le dénominateur est non nul sur le domaine. Multiplier l’égalité par celui-ci donne \(2x+1=x(x+1)=x^2+x\). Soustraire \(2x+1\) donne \(x^2-x-1=0\). Avec \(\Delta=(-1)^2-4\times1\times(-1)=5\), les candidates sont \((1-\sqrt5)/2\) et \((1+\sqrt5)/2\).

Le polynôme \(x^2-x-1\) vaut \(-1\) en \(0\) et \(1\) en \(-1\) : aucune candidate n’est interdite. Les transformations étant réversibles sur le domaine, ces deux nombres sont les solutions.

Ils vérifient \(x^2+x=2x+1\); la division par \(x(x+1)\) restitue l’équation initiale.

Correction — tentative de la méthode 12

Le domaine impose \(x\ne1\). Sur ce domaine, \(\dfrac{x^2-1}{x-1}=\dfrac{(x-1)(x+1)}{x-1}=x+1\). L’équation devient \(x+1=2\), donc \(x=1\). Mais cette candidate est interdite. Ainsi \(S=\varnothing\).

On aurait aussi obtenu, en multipliant par \(x-1\), \(x^2-1=2x-2\), puis \((x-1)^2=0\) : cette écriture ne supprime pas l’interdiction initiale.

Point de vigilance.

Une fraction de numérateur non nul ne peut pas valoir zéro : \(1/(x-2)=0\) n’a aucune solution, pour \(x\ne2\). Inversement, une fraction de numérateur nul et de dénominateur non nul vaut bien zéro. On ne doit pas ajouter une condition \(x\ne0\) si le seul dénominateur est \(x-2\).

Reprise après erreur.

L’égalité \(1/x+1/(x+1)=2/(2x+1)\) est fausse : on n’additionne pas les dénominateurs.

Rappel simple :

\(1/2+1/3=3/6+2/6=5/6\), et non \(2/5\).

Nouvel essai :

réduis \(1/x+2/(x+1)\).

Correction, pour \(x\ne0,-1\) :

\(\dfrac{x+1}{x(x+1)}+\dfrac{2x}{x(x+1)} =\dfrac{x+1+2x}{x(x+1)}=\dfrac{3x+1}{x(x+1)}\).

Reviens à l’essai guidé de la méthode 12 et écris de même le multiplicateur de chaque fraction.

Critère de réussite.

Les exclusions sont écrites avant le calcul, le multiplicateur est autorisé, les numérateurs sont traités comme des blocs, et chaque candidate est confrontée au domaine initial.

À reprendre plus tard.

Résous \(1/(x+1)=x-1\).

Correction :

\(x\ne-1\), puis \(1=(x-1)(x+1)=x^2-1\), donc \(x^2=2\). Les solutions \(\pm\sqrt2\) sont distinctes de \(-1\).

Comme \((x-1)(x+1)=1\) pour elles, la division autorisée par \(x+1\) vérifie l’égalité de départ. Ainsi \(S=\{-\sqrt2;\sqrt2\}\).

M13 — Traiter un radical : contrôler les signes avant ou après le carré

Démarche de réinvestissement au niveau : domaine, équivalences et filtrage.

Je reconnais.

Une racine carrée est égale ou comparée à une expression contenant \(x\).

Je vérifie.

L’expression sous la racine est positive ou nulle. La racine carrée désigne toujours le nombre non négatif.

Premier geste.

Écrire le domaine, puis examiner le signe de l’autre membre avant de décider de mettre au carré.

Idée et raison du choix.

Sur les nombres non négatifs, la fonction carré est strictement croissante : elle conserve l’égalité et l’ordre. Sans cette condition, deux nombres opposés ont le même carré; on peut créer de fausses solutions.

Correction — essai guidé de la méthode 13

Il faut \(x\ge-6\), et une solution impose en outre \(x\ge0\). Sur \([0;+\infty[\), on peut élever les deux membres au carré par équivalence : \(x+6=x^2\), soit \(x^2-x-6=0\). La factorisation \((x-3)(x+2)=0\) donne \(3\) et \(-2\). Seule \(3\) est non négative; \(\sqrt{3+6}=3\). Donc \(S=\{3\}\). L’autre candidate donne \(\sqrt4=2\ne-2\), ce qui explique son rejet.

Correction — tentative de la méthode 13

Le domaine impose \(x\ge-4/3\). Le membre droit doit vérifier \(x+2\ge0\), soit \(x\ge-2\); cette dernière condition est déjà assurée sur le domaine. On peut donc écrire \[3x+4=(x+2)^2=x^2+2x+2x+4=x^2+4x+4.\] Soustraire \(3x+4\) des deux côtés donne \(x^2+x=0\), soit \(x(x+1)=0\). Les candidates sont \(0\) et \(-1\), toutes deux au moins égales à \(-4/3\). Pour \(0\), \(\sqrt4=2=0+2\); pour \(-1\), \(\sqrt1=1=-1+2\). Ainsi \(S=\{-1;0\}\) : on ne rejette pas systématiquement une candidate négative; c’est le signe du membre droit entier qui compte.

Variation : une inéquation avec un radical

Résolvons \(\sqrt{x+2}>x\). Le domaine est \(x\ge-2\).

• Pour \(-2\le x<0\), le membre gauche est non négatif et le membre droit est négatif : l’inégalité est vraie, sans mettre au carré.

• Pour \(x\ge0\), les deux membres sont non négatifs. L’inégalité équivaut à \(x+2>x^2\), puis à \(x^2-x-2<0\). Comme \(x^2-x-2=(x-2)(x+1)\), on obtient \(-1<x<2\). L’intersection avec \([0;+\infty[\) est \([0;2[\).

Réunir les deux cas donne \(S=[-2;2[\). À \(x=-2\), \(0>-2\) est vrai; à \(x=2\), \(2>2\) est faux. Ces contrôles expliquent les deux crochets différents.

Correction — variation de la méthode 13

Il faut \(x\ge-6\). Si \(x<0\), le membre gauche est non négatif et ne peut pas être inférieur ou égal à un nombre strictement négatif. On impose donc \(x\ge0\). Sur ce domaine, la mise au carré conserve l’ordre : \(x+6\le x^2\), soit \((x-3)(x+2)\ge0\). Le tableau de signes donne \(x\le-2\) ou \(x\ge3\). L’intersection avec \([0;+\infty[\) est \([3;+\infty[\). En \(3\), \(\sqrt9=3\) : la borne est bien incluse.

Reprise après erreur.

La première erreur d’une chaîne \(\sqrt{2x+3}=x\Longleftrightarrow2x+3=x^2\) sur tout le domaine est l’équivalence sans contrôle du signe de \(x\).

Rappel :

\(3^2=(-3)^2=9\), mais \(3\ne-3\).

Exemple simple :

\(\sqrt9=3\), jamais \(-3\).

Nouvel essai :

calculer \(\sqrt{(-5)^2}\).

Correction :

le carré vaut \(25\), dont la racine carrée est \(5\); en général \(\sqrt{t^2}=|t|\).

Reviens ensuite à la candidate \(-1\) de l’exemple et compare les deux membres avant de les élever au carré.

Critère de réussite.

Domaine et signes explicites; distinction entre implication et équivalence; examen de toutes les candidates; conclusion dans l’équation ou l’inéquation de départ.

À reprendre plus tard.

Résous \(\sqrt{x+2}=2-x\).

Correction :

\(x\ge-2\) et \(2-x\ge0\), donc \(-2\le x\le2\). Le carré donne \(x+2=(2-x)^2=4-4x+x^2\), soit \(x^2-5x+2=0\). Avec \(\Delta=25-8=17\), les candidates sont \((5-\sqrt{17})/2\) et \((5+\sqrt{17})/2\).

La seconde dépasse \(2\), car \(5+\sqrt{17}>4\). La première appartient à \([0;2]\), puisque \(1<\sqrt{17}<5\).

La condition de signe rend le carré réversible pour cette candidate; ainsi \(S=\{(5-\sqrt{17})/2\}\).

M14 — Discuter un paramètre : degré, discriminant, puis question précise

Approfondissement de raisonnement accessible au niveau : il mobilise les résultats du chapitre, sans transformer chaque discussion particulière en exigence de mémorisation.

Je reconnais.

Un nombre fixé \(m\), \(t\) ou \(k\) intervient dans les coefficients, et la question demande « selon sa valeur » ou « pour quelles valeurs ».

Je vérifie.

Le paramètre est fixé pendant la résolution en \(x\); le coefficient de \(x^2\) peut devenir nul.

Premier geste.

Séparer les valeurs du paramètre qui annulent le coefficient quadratique, avant de calculer un discriminant.

Idée et raison du choix.

Une discussion est une partition de tous les cas possibles. Dans chaque cas, on emploie la règle adaptée au degré et à la question. Le discriminant seul ne dit ni le signe des racines, ni leur appartenance à un intervalle.

Correction — essai guidé de la méthode 14

Si \(m=0\), \(-2x+1=0\) donne \(-2x=-1\), puis \(x=1/2\).

Si \(m\ne0\), \(\Delta=(-2)^2-4m=4(1-m)\). Pour \(m<1\), \(m\ne0\), il y a deux racines \[\frac{2\pm\sqrt{4(1-m)}}{2m} =\frac{1\pm\sqrt{1-m}}m.\] Pour \(m=1\), on obtient \((x-1)^2=0\), donc une racine \(1\).

Pour \(m>1\), il n’y a aucune racine réelle.

Le cas \(m=0\) ne doit pas être inclus dans la formule avec dénominateur \(m\).

Correction — tentative de la méthode 14

Ici \(a=1\) ne s’annule jamais. Le discriminant est \(4-4m=4(1-m)\).

Si \(m<1\), les deux racines sont \([2\pm2\sqrt{1-m}]/2=1\pm\sqrt{1-m}\).

Si \(m=1\), il y a une racine double \(1\).

Si \(m>1\), il n’y a pas de racine réelle.

On pouvait aussi écrire \((x-1)^2=1-m\) : le signe du second membre donne les mêmes trois cas. Cette seconde voie est complète, car un carré ne peut pas être négatif, s’annule seulement en zéro, et possède deux racines opposées lorsque sa valeur est strictement positive.

D’autres questions demandent d’autres contrôles

Une équation peut devenir une identité ou une contradiction.

Pour \(mx^2+mx=0\), si \(m=0\), on obtient \(0=0\) : tous les réels sont solutions. Si \(m\ne0\), diviser par \(m\) donne \(x^2+x=x(x+1)=0\); les solutions sont \(0\) et \(-1\).

Pour \(mx^2+1=0\), si \(m=0\), on obtient \(1=0\) : aucune solution. Si \(m>0\), alors \(mx^2+1\ge1>0\) : aucune solution non plus. Si \(m<0\), on isole \(x^2=-1/m>0\) : les solutions sont \(x=\pm\sqrt{-1/m}\).

Ainsi, annuler \(a\) ne signifie pas automatiquement « une seule solution »; il faut regarder les coefficients restants.

Exiger la positivité pour tout réel.

Déterminons les \(m\) tels que \(Q_m(x)=x^2-2mx+1\ge0\) pour tout réel \(x\). La complétion donne \[Q_m(x)=(x-m)^2+1-m^2,\] car \((x-m)^2=x^2-2mx+m^2\).

Si \(1-m^2\ge0\), la somme de deux termes non négatifs est non négative pour tout \(x\).

Réciproquement, si \(Q_m\) est non négatif partout, on peut choisir \(x=m\) : \(Q_m(m)=1-m^2\ge0\).

On a donc une équivalence, et \(1-m^2\ge0\) donne \(-1\le m\le1\).

Pour une positivité stricte partout, la condition devient \(1-m^2>0\), donc \(-1<m<1\) : aux paramètres \(\pm1\), le minimum vaut zéro.

Le discriminant \(\Delta_m=4(m^2-1)\) et \(a=1>0\) fournissent la même conclusion : \(\Delta_m\le0\) pour \(\ge0\) partout, \(\Delta_m<0\) pour \(>0\) partout.

Point de vigilance.

Vérifier \(Q_m(0)>0\) ne suffit pas à prouver la positivité partout. Par exemple \(Q_2(0)=1>0\), mais \(Q_2(2)=4-8+1=-3<0\). Un contre-exemple réfute l’affirmation universelle; un seul exemple favorable ne la prouve pas.

Résoudre une inéquation suivant un paramètre.

Pour résoudre \(x^2-2x+m\le0\), on ne s’arrête pas au nombre de racines. Écrire \(x^2-2x+m=(x-1)^2+m-1\) donne, après soustraction de \(m-1\), \((x-1)^2\le1-m\).

Si \(m>1\), le membre droit est négatif : aucun carré ne convient.

Si \(m=1\), le carré doit être nul : \(S=\{1\}\).

Si \(m<1\), le nombre \(1-m\) est strictement positif; la condition devient \[-\sqrt{1-m}\le x-1\le\sqrt{1-m}.\] Ajouter \(1\) aux trois membres donne \(S=[1-\sqrt{1-m};1+\sqrt{1-m}]\). Ce sont les deux racines calculées dans la tentative de la méthode 14, mais l’inéquation retient aussi tous les nombres compris entre elles.

Le signe du paramètre peut également imposer un changement de sens. Pour \(m(x-1)(x+2)\ge0\), trois cas sont nécessaires :

• Si \(m=0\), l’inégalité est \(0\ge0\) : \(S=\mathbb{R}\).

• Si \(m>0\), diviser les deux membres par \(m\) conserve le sens : \((x-1)(x+2)\ge0\), donc \(S=]-\infty;-2]\cup[1;+\infty[\).

• Si \(m<0\), diviser par \(m\) inverse le sens : \((x-1)(x+2)\le0\), donc \(S=[-2;1]\).

La même formule contenant \(m\) ne donne donc pas le même ensemble de solutions selon le signe de ce nombre fixé.

Correction — variation de signe de la méthode 14

Si \(m=0\), l’inégalité est \(0<0\), qui est fausse : \(S=\varnothing\).

Si \(m>0\), elle équivaut à \((x-1)(x+2)<0\); les facteurs sont de signes contraires exactement pour \(-2<x<1\), donc \(S=]-2;1[\).

Si \(m<0\), la division inverse le sens : \((x-1)(x+2)>0\). Les facteurs ont le même signe pour \(x<-2\) ou \(x>1\), donc \(S=]-\infty;-2[\cup]1;+\infty[\).

Les zéros \(-2\) et \(1\) sont exclus dans les deux cas non nuls, parce que l’inégalité initiale est stricte.

Déterminer le signe de deux racines sans les calculer.

Pour \(R_t(x)=x^2-2tx+t\), on a \(\Delta_t=(-2t)^2-4t=4t(t-1)\). Il existe deux racines réelles distinctes pour \(t<0\) ou \(t>1\). Quand elles existent, leur somme vaut \(2t\) et leur produit vaut \(t\) (théorème de la page ).

Si \(t<0\), le produit est négatif : les racines sont de signes opposés.

Si \(t>1\), le produit est positif : elles ont le même signe; leur somme étant positive, elles sont toutes deux positives.

Pour \(0<t<1\), il n’y a pas de racines réelles : parler de leur signe n’aurait pas de sens.

Enfin \(t=0\) donne la racine double \(0\) et \(t=1\) donne la racine double \(1\).

Le contrôle d’existence vient donc avant l’utilisation de la somme et du produit.

Point de vigilance.

Une donnée peut être insuffisante pour la question posée. Savoir seulement \(\Delta=1>0\) garantit deux racines distinctes, mais ne renseigne pas leur signe : \(x^2-3x+2=(x-1)(x-2)\) a deux racines positives, tandis que \(x^2+3x+2=(x+1)(x+2)\) a deux racines négatives. Les deux discriminants valent \(9-8=1\). Pour décider du signe, il faut une information supplémentaire, par exemple la somme et le produit.

Placer les racines par rapport à un seuil.

Pour quelles valeurs de \(m\) les deux racines de \(x^2-6x+m\) sont-elles distinctes et supérieures à \(1\) ?

Poser \(x=y+1\) traduit « \(x>1\) » par « \(y>0\) ». \[(y+1)^2-6(y+1)+m =y^2+2y+1-6y-6+m =y^2-4y+(m-5).\] Ce polynôme a deux racines distinctes si \(\Delta=16-4(m-5)=36-4m>0\), soit \(m<9\). Leur somme vaut \(4>0\) et leur produit vaut \(m-5\). Pour que les deux soient strictement positives, il faut et il suffit que \(m-5>0\) : produit positif impose le même signe, puis somme positive impose le signe positif; réciproquement, deux nombres positifs ont un produit positif. En réunissant les conditions, on obtient \(5<m<9\).

À \(m=5\), l’une des racines initiales vaut \(1\) : la condition stricte échoue.

À \(m=9\), la racine double vaut \(3\) : elle est supérieure à \(1\), mais les racines ne sont plus distinctes. Ces deux frontières ne répondent pas à la question posée.

Correction — variation de la méthode 14

Le discriminant vaut \(16-4m\) : deux racines distinctes existent si \(m<4\). Leur somme vaut \(4>0\), leur produit vaut \(m\). Deux racines positives exigent \(m>0\); réciproquement, si \(m>0\), les racines réelles ont le même signe, et la somme \(4>0\) impose que ce signe soit positif. La condition cherchée est donc \(0<m<4\).

Si la racine double est admise, \(m=4\) donne \((x-2)^2\), avec racine positive \(2\); on obtient alors \(0<m\le4\).

\(m=0\) reste exclu, car l’une des racines vaut zéro, qui n’est pas strictement positif.

Reprise après erreur.

Si tu substitues \(m=1\) dans la formule de l’exemple principal, tu divises par zéro. Le premier défaut est l’emploi d’un théorème dont l’hypothèse \(a\ne0\) n’est plus vraie.

Rappel simple :

\(ax=b\) se résout par \(x=b/a\) seulement si \(a\ne0\); si \(a=0\), \(0=b\) est soit toujours vrai (\(b=0\)), soit impossible (\(b\ne0\)).

Nouvel essai :

discuter \(mx=0\).

Correction :

si \(m=0\), tout réel \(x\) convient; si \(m\ne0\), diviser par \(m\) donne seulement \(x=0\).

Reviens à l’exemple, commence par \(m=1\), puis emploie la formule quadratique uniquement dans la branche \(m\ne1\).

Choisir ou comparer.

Un paramètre dans \(c\) conserve souvent le degré; un paramètre dans \(a\) impose un contrôle supplémentaire. Une forme carrée donnée explique bien une positivité universelle; le discriminant organise le nombre de racines; la somme et le produit renseignent leur signe après vérification de leur existence. Pour une condition de position, décaler l’inconnue peut transformer le problème en une question de signe des racines.

Critère de réussite.

La discussion couvre chaque valeur du paramètre une seule fois; les hypothèses de chaque branche sont conservées; « distinctes », « positives », « pour tout \(x\) » et « une seule solution » ne sont pas remplacés par des questions différentes.

À reprendre plus tard.

Reprends l’essai guidé de la méthode 14 puis la variation de la méthode 14. Pour le premier, tu dois retrouver les cas isolés \(m=0\) et \(m=1\); pour le second, les bornes \(0\) et \(4\) ne jouent pas le même rôle. Les corrections précédentes donnent les contrôles et la justification complète.

Lire et transformer les fonctions

Représenter, comparer et utiliser une fonction du second degré

Les méthodes de cette partie relient une expression, un tableau et une courbe. Le dessin aide à chercher et à contrôler ; les calculs établissent les valeurs exactes.

Les repères dessinés sont orthogonaux. Les unités des deux axes sont indiquées par les graduations et ne sont pas nécessairement de même longueur.

M15 — Construire une parabole et transformer son dessin

Méthode du chapitre. Les transformations graphiques sont des réinvestissements accessibles ; aucune connaissance de dérivation n’est nécessaire.

Je reconnais.

On demande un tracé, un sommet, un axe, ou l’association d’une formule à une courbe.

Je vérifie.

La fonction est bien de degré deux : dans \(f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta\), \(a\ne0\). Un repère et une fenêtre doivent être choisis.

Premier geste.

Repérer \(a\), \(\alpha\) et \(\beta\), sans confondre le signe écrit dans \(x-\alpha\) avec celui de \(\alpha\).

Idée et raison du choix.

Le sommet fixe le point le plus haut ou le plus bas. La symétrie permet ensuite de construire deux points avec un seul calcul. Des points isolés ne suffisent pas à justifier la courbe, mais ils en contrôlent le placement.

Contrôle.

Le coefficient de \(x^2\) vaut \(2\) ; \(f(0)=-6\) ; les deux racines sont \(-1\) et \(3\). Une courbe qui passe par \((0;-8)\) au lieu de \((1;-8)\) est décalée : la formule impose le sommet, pas l’allure seule.

Variante : déplacer une courbe déjà construite.

Si \(g(x)=f(x-d)+e\), alors, pour chaque réel \(t\), \(g(t+d)=f(t+d-d)+e=f(t)+e\). Le point \((t;f(t))\) devient \((t+d;f(t)+e)\) : déplacement horizontal de \(d\), puis vertical de \(e\).

Ce raisonnement explique le sens du déplacement ; le signe moins à l’intérieur ne signifie pas « vers la gauche ».

Pour \(g(x)=f(x-2)+3\), on remplace l’argument entier de \(f\) : \[g(x)=2\bigl[(x-2)-1\bigr]^2-8+3=2(x-3)^2-5.\] Le sommet \((1;-8)\) devient \((3;-5)\) ; le point \((0;-6)\) devient \((2;-3)\). Le dessin ci-dessous montre deux de ces déplacements, toujours les mêmes pour tous les points.

Choisir ou comparer.

Construire depuis une forme canonique est direct si elle est disponible.

Depuis une forme factorisée, les deux racines fournissent des points et leur milieu donne l’axe, à condition qu’elles soient distinctes.

Depuis une forme développée simple, la complétion du carré prépare le tracé.

Le transport d’une courbe évite de recalculer chaque point lorsque \(f(x-d)+e\) est reconnu.

Correction — essai guidé de la méthode 15

On lit \(a=-1\), \(\alpha=-2\), \(\beta=4\). Le sommet est \((-2;4)\) ; l’axe est \(x=-2\) ; le maximum vaut \(4\).

Résoudre \(h(x)=0\) donne \(-(x+2)^2+4=0\), puis \((x+2)^2=4\), donc \(x+2=-2\) ou \(x+2=2\). En soustrayant \(2\) dans chaque égalité, on obtient \(x=-4\) ou \(x=0\).

Enfin \(h(-3)=-(-1)^2+4=3\) et \(h(-1)=-(1)^2+4=3\). Les points symétriques obtenus et le sommet déterminent le tracé à contrôler.

Correction — tentative de la méthode 15

Le sommet est \((3;1)\) et l’axe \(x=3\). Comme \(\frac12>0\), toutes les images sont au moins \(1\) : \(k(x)=0\) est impossible.

Les images utiles sont \(k(1)=\frac12(-2)^2+1=2+1=3\) et \(k(5)=\frac12(2)^2+1=3\). On peut ajouter \(k(2)=\frac12(-1)^2+1=\frac32\) et \(k(4)=\frac32\).

Ces points encadrent le sommet et vérifient la symétrie.

Figures des corrections :

à gauche, \(h\) coupe l’axe horizontal en \(-4\) et \(0\) ; à droite, le minimum de \(k\) reste strictement au-dessus de cet axe.

Variation corrigée.

Pour \(\ell(x)=f(x+1)-2\), on écrit \(\ell(x)=2[(x+1)-1]^2-8-2=2x^2-10\). Le déplacement est d’une unité vers la gauche et de deux vers le bas ; le sommet devient \((0;-10)\).

Reprise après erreur.

Si tu places le sommet de \((x+2)^2\) en \(2\), la première erreur est la lecture de \(x-\alpha\).

Rappel : le carré s’annule lorsque son contenu vaut zéro. Pour \((x+1)^2\), \(x+1=0\) donne \(x=-1\).

Nouvel essai : où est le sommet de \((x-4)^2-2\) ?

Correction : \(x-4=0\) donne \(4\), puis l’image vaut \(-2\), donc \((4;-2)\).

Reviens à \(h\) : \(x+2=0\) donne bien \(-2\).

Critère de réussite.

Donner le point sommet, l’équation de l’axe, le signe de \(a\), les calculs de points et une explication de la symétrie. Une jolie allure seule ne valide ni les graduations ni les coordonnées.

À reprendre plus tard.

Refaire l’essai guidé de la méthode 15, puis transporter sa courbe de trois unités vers la droite.

Correction du transport : \(h(x-3)=-[(x-3)+2]^2+4=-(x-1)^2+4\) ; le sommet est \((1;4)\). Les anciennes racines \(-4\) et \(0\) deviennent \(-1\) et \(3\).

M16 — Lire une courbe, puis établir une réponse exacte

Méthode du chapitre et réinvestissement des lectures graphiques de Seconde.

Je reconnais.

La consigne parle d’image, d’antécédent, de seuil, de signe, d’intersection ou de position relative.

Je vérifie.

Identifier l’axe des abscisses, celui des ordonnées, les graduations, le domaine et la précision demandée.

Premier geste.

Traduire la question : image \(f(t)\), équation \(f(x)=q\), inéquation \(f(x)\ge q\) ou comparaison \(f(x)\ge g(x)\).

Idée et raison du choix.

Une image se lit en partant d’une abscisse ; un antécédent se cherche en partant d’une ordonnée. Les intersections se projettent sur l’axe des abscisses. Si une valeur exacte est demandée, la lecture suggère des candidats que l’équation permet ensuite de justifier.

Variante : compter les antécédents sans les calculer.

Le minimum de \(f\) vaut \(-8\). Ainsi \(f(x)=q\) a, sur \(\mathbb{R}\), zéro solution si \(q<-8\), une si \(q=-8\) et deux si \(q>-8\). En effet, l’équation revient à \((x-1)^2=(q+8)/2\) ; le membre de droite est respectivement négatif, nul ou positif.

Sur un domaine restreint, il faut encore compter les solutions qui y appartiennent : pour \(q=-6\), il n’en reste qu’une sur \([1;4]\), à savoir \(2\).

Variante : une droite ou une autre courbe.

Avec \(g(x)=2x-6\), les abscisses des points communs vérifient \(f(x)=g(x)\) : \[\begin{aligned} 2x^2-4x-6=2x-6 &\Longleftrightarrow 2x^2-4x-6-(2x-6)=0\\ &\Longleftrightarrow 2x^2-4x-6-2x+6=0\\ &\Longleftrightarrow 2x^2-6x=0\Longleftrightarrow 2x(x-3)=0. \end{aligned}\] Les abscisses sont donc \(0\) et \(3\). Les ordonnées doivent encore être calculées : \(g(0)=-6\), \(g(3)=0\). Les points communs sont \((0;-6)\) et \((3;0)\).

Le signe de \(f(x)-g(x)=2x(x-3)\) est positif pour \(x<0\) ou \(x>3\), négatif pour \(0<x<3\), nul aux bornes. Donc \(\mathcal C_f\) est au-dessus de la droite à l’extérieur de \([0;3]\) et en dessous à l’intérieur ; aux bornes elles se rencontrent.

Contrôle.

On compare les ordonnées de points de même abscisse. Le signe de \(f\) seul dit si la courbe est au-dessus de l’axe horizontal, pas si elle est au-dessus de \(\mathcal C_g\).

Par exemple, en \(x=1\), \(f(1)=-8<g(1)=-4\).

Choisir ou comparer.

Le dessin rend visibles les solutions possibles et aide à choisir une fenêtre. Le calcul prouve l’exactitude et l’exhaustivité sur le domaine.

Si seule une courbe sans formule est fournie, une lecture approchée est légitime, mais on n’invente pas une valeur exacte à partir d’un pixel.

Point de vigilance.

Une fenêtre peut cacher des intersections. Pour \(p(x)=x^2-9\), on a \(p(x)<0\) si \(-2\le x\le2\) ; l’affichage limité à ces abscisses ne montre aucune racine. Pourtant \((x-3)(x+3)=0\) donne \(-3\) et \(3\). Le calcul des deux zéros démontre le défaut de la fenêtre, pas un défaut de la fonction.

Correction — essai guidé de la méthode 16

La courbe donne \(h(-1)=3\) ; le calcul donne \(-(1)^2+4=3\).

Pour \(h(x)=3\), on soustrait \(4\) : \(-(x+2)^2=-1\) ; multiplier les deux membres par \(-1\) donne \((x+2)^2=1\), donc \(x+2=-1\) ou \(x+2=1\). Les antécédents sont \(-3\) et \(-1\).

Pour \(h(x)\ge0\), on obtient \(-(x+2)^2\ge-4\) ; multiplier par \(-1\) renverse l’inégalité : \((x+2)^2\le4\). Ainsi \(-2\le x+2\le2\), puis \(-4\le x\le0\). On conserve les bornes, car \(h(-4)=h(0)=0\) satisfait l’inégalité large.

Correction — tentative de la méthode 16

\(k(x)=3\) équivaut à \(\frac12(x-3)^2=2\), puis à \((x-3)^2=4\), en multipliant les deux membres par \(2\). Donc \(x-3=-2\) ou \(x-3=2\), soit \(x=1\) ou \(x=5\).

Pour l’inéquation, les mêmes opérations (soustraire \(1\), multiplier par \(2>0\)) donnent \((x-3)^2\le4\), donc \(1\le x\le5\).

Sur \([2;6]\), la solution \(1\) n’est pas admissible : l’équation a pour ensemble de solutions \(\{5\}\). Pour l’inéquation, \([1;5]\cap[2;6]=[2;5]\).

Les lectures du dessin concordent ; le filtrage du domaine intervient après la recherche algébrique et ne peut pas être oublié.

Reprise après erreur.

Si tu écris que « l’image de \(4\) par \(x\mapsto x^2\) est \(2\) », tu as inversé le trajet.

Rappel : une image est le résultat d’une substitution. Ici \(4^2=16\) ; les antécédents de \(4\) sont \(-2\) et \(2\).

Nouvel essai : pour \(u(x)=x^2+1\), quelle est l’image de \(2\) et quels sont les antécédents de \(2\) ?

Correction : \(u(2)=4+1=5\) ; \(x^2+1=2\) donne \(x^2=1\), donc \(x=-1\) ou \(x=1\).

Reviens à l’exemple : \(f(2)=-6\), mais \(-6\) possède les deux antécédents \(0\) et \(2\).

Critère de réussite.

Nommer l’équation ou l’inéquation lue, repérer toutes les intersections pertinentes, préciser exact ou approché, filtrer le domaine, et calculer les ordonnées lorsqu’on demande des points.

À reprendre plus tard.

Reprendre la tentative de la méthode 16 en remplaçant l’inégalité large par \(k(x)<3\).

Correction : sur \(\mathbb{R}\), \(]1;5[\) ; sur \([2;6]\), \([2;5[\). Le \(2\) reste inclus car \(k(2)=\frac32<3\) ; le \(5\) est exclu car \(k(5)=3\).

M17 — Établir les variations et optimiser sur le bon domaine

Méthode du chapitre, sans dérivée. La restriction à des entiers est une application des mêmes variations, pas une nouvelle fonction continue.

Je reconnais.

On cherche un minimum, un maximum, un tableau de variations, ou une comparaison d’images sans calculer toutes les images.

Je vérifie.

Relever le domaine : \(\mathbb{R}\), intervalle fermé, intervalle ouvert ou valeurs entières. Un extremum sur \(\mathbb{R}\) n’est utilisable que si son abscisse est admissible.

Premier geste.

Chercher une écriture \(a(x-\alpha)^2+\beta\) disponible ou simple à obtenir, puis situer \(\alpha\) par rapport au domaine.

Idée et raison du choix.

Le carré mesure l’écart à \(\alpha\) : plus \(x\) s’en éloigne, plus \((x-\alpha)^2\) augmente. Si \(a>0\), les images augmentent avec cet écart ; si \(a<0\), elles diminuent. C’est une représentation du calcul, non une preuve fondée sur l’apparence du dessin.

Choisir ou comparer.

La forme canonique rend directement visibles l’écart au sommet et l’extremum. La différence \(f(v)-f(u)\) démontre l’ordre des images sans calculer chaque image ; elle est particulièrement utile quand une question demande une preuve de croissance. Les deux voies répondent ici au même problème, mais la simple phrase « la parabole monte » ne remplace aucune preuve.

Cas frontière 1 : le sommet n’appartient pas à l’intervalle.

Pour la même fonction sur \([4;6]\), tout l’intervalle est à droite de \(3\). La fonction y est décroissante ; \(f(4)=-2+8=6\) et \(f(6)=-18+8=-10\). Le maximum est donc \(6\) en \(4\), et non \(8\), puisque \(3\) est interdit.

Cas frontière 2 : une borne n’est pas incluse.

Sur \(]3;5[\), la fonction est strictement décroissante et ses valeurs sont strictement comprises entre \(0\) et \(8\). Elle n’a ni maximum ni minimum. En effet, pour un \(x\) de cet intervalle, \((3+x)/2\) y appartient et possède une image plus grande ; \((x+5)/2\) y appartient et possède une image plus petite.

Aucune image ne peut donc être extrémale. Une borne de valeurs n’est pas forcément une valeur atteinte.

Cas frontière 3 : la variable doit être entière.

Pour \(q(n)=-2(n-\frac52)^2+20\), avec \(n\in\{0;1;\ldots;6\}\), le maximum est obtenu quand la distance de \(n\) à \(\frac52\) est minimale. Les deux entiers les plus proches sont \(2\) et \(3\) ; pour chacun, \[q(n)=-2\left(\frac12\right)^2+20=-\frac12+20=\frac{39}{2}.\] Les autres entiers sont plus éloignés, donc donnent une valeur plus petite.

Arrondir systématiquement le sommet vers le haut ou vers le bas n’est pas une preuve ; on compare les candidats admissibles voisins, et les bornes si nécessaire.

Correction — essai guidé de la méthode 17

Si \(u<v\le-1\), alors \(u+1<v+1\le0\), donc \((u+1)^2>(v+1)^2\). Multiplier par \(3>0\), puis retrancher \(12\), conserve le sens : \(g(u)>g(v)\).

Si \(-1\le u<v\), les deux nombres \(u+1\) et \(v+1\) sont positifs ou nuls, donc leurs carrés sont dans le même ordre : \(g(u)<g(v)\).

Pour la seconde voie, \[\begin{aligned} g(v)-g(u)&=3(v+1)^2-12-[3(u+1)^2-12]\\ &=3[(v+1)^2-(u+1)^2]\\ &=3[(v+1)-(u+1)][(v+1)+(u+1)]\\ &=3(v-u)(u+v+2). \end{aligned}\] Pour \(u<v\le-1\), on a \(u+v+2<0\), donc la différence est négative.

Pour \(-1\le u<v\), ce facteur est positif, donc la différence est positive.

Les deux justifications donnent : décroissance de \(-3\) à \(-1\), puis croissance de \(-1\) à \(2\). Les images sont \(g(-3)=3(-2)^2-12=0\), \(g(-1)=-12\), \(g(2)=3\times9-12=15\). Minimum \(-12\) en \(-1\) ; maximum \(15\) en \(2\).

Correction — tentative de la méthode 17

On peut vérifier \(r(x)=-(x-1)^2+4\). Pour \(2\le u<v\le4\), \[\begin{aligned} r(v)-r(u)&=-v^2+2v+3-(-u^2+2u+3)\\ &=-(v^2-u^2)+2(v-u)\\ &=-(v-u)(u+v-2)<0, \end{aligned}\] car \(v-u>0\) et \(u+v-2>0\). La fonction est strictement décroissante.

Sur \([2;4]\), \(r(2)=-4+4+3=3\) est le maximum et \(r(4)=-16+8+3=-5\) est le minimum.

Sur \([2;4[\), le maximum \(3\) existe toujours en \(2\) ; il n’y a pas de minimum. Pour tout \(x<4\) du domaine, \((x+4)/2\) appartient encore au domaine, est plus grand que \(x\) et a une image plus petite. La valeur \(-5\) n’est pas atteinte.

Reprise après erreur.

Si tu annonces automatiquement le maximum au sommet, vérifie sa présence dans le domaine.

Exemple simple : \(s(x)=-(x-1)^2\) sur \([3;4]\) est décroissante ; son maximum est \(s(3)=-4\), pas \(0\).

Nouvel essai : minimum de \((x+2)^2+1\) sur \([0;2]\) ?

Correction : l’axe est \(x=-2\), hors du domaine ; la fonction est croissante sur \([0;2]\), donc le minimum est \((0+2)^2+1=4+1=5\), en \(0\).

Reviens au cas \(f\) sur \([4;6]\) : le sommet \(3\) est exclu, et le maximum est bien \(f(4)=6\).

Critère de réussite.

Préciser le domaine, situer le sommet, justifier le sens de variation, calculer les images nécessaires et distinguer une valeur extrême de l’abscisse où elle est atteinte.

Ne pas confondre variation et signe : \(x^2-4\) est croissante sur \([0;+\infty[\) mais négative pour \(0\le x<2\).

À reprendre plus tard.

Reprendre la tentative de la méthode 17, puis limiter \(x\) aux entiers de \([2;4]\).

Correction : les valeurs sont \(r(2)=3\), \(r(3)=-9+6+3=0\), \(r(4)=-5\) ; le maximum et le minimum restent \(3\) et \(-5\). La justification par décroissance évite d’énumérer une grande liste d’entiers.

M18 — Retrouver une fonction à partir de données

Déterminer tous les trinômes nuls en deux réels distincts fait partie du programme. Les reconstructions par sommet ou par trois images sont des applications des formes et des systèmes élémentaires.

Je reconnais.

On connaît des racines, un sommet, des points, un tableau, ou des images ; on cherche l’expression d’une fonction de degré deux.

Je vérifie.

Distinguer les données exactes de lectures approchées. Vérifier que les données ne se répètent pas et que le coefficient du degré deux obtenu est non nul.

Premier geste.

Choisir une forme qui intègre déjà le maximum de données : factorisée pour deux racines, canonique pour un sommet, développée pour des images ordinaires.

Idée et raison du choix.

Chaque donnée devient une égalité. Choisir la bonne forme réduit le nombre d’inconnues avant de calculer. On résout, puis on vérifie toutes les données, y compris celles qui n’ont pas servi au calcul.

Point de vigilance.

La condition \(r\ne s\) ne se supprime pas. Savoir seulement que \(f(0)=0\) n’impose pas \(f(x)=ax^2\) : par exemple \(x(x-1)\) s’annule en \(0\) sans avoir une racine double en \(0\).

Choisir ou comparer.

Les voies A et B ne demandent qu’une inconnue : le coefficient \(a\). La voie C reste disponible sans racine ni sommet, mais demande plusieurs équations.

Dans l’exemple, on pourrait choisir A dès la lecture des deux racines et du point \((0;-12)\) ; connaître la réponse n’est pas nécessaire pour ce choix. On ne doit pas développer une forme déjà adaptée uniquement par habitude.

Cas d’existence, d’unicité et d’insuffisance.

• Deux racines distinctes seules donnent une famille. Pour les racines \(-2\) et \(4\), les fonctions \((x+2)(x-4)\) et \(3(x+2)(x-4)\) conviennent toutes deux ; elles n’ont pas les mêmes images ailleurs.

• Dans \(a(x-r)(x-s)\), un point supplémentaire d’abscisse \(r\) et d’ordonnée \(0\) ne donne aucune information nouvelle. Si son ordonnée est non nulle, les données se contredisent. Pour déterminer \(a\) par ce point, il faut une abscisse différente de \(r\) et de \(s\).

• Avec un sommet \((\alpha;\beta)\), un point de même abscisse est soit le sommet lui-même (information répétée), soit incompatible. Si le point est d’abscisse \(t\ne\alpha\), on peut diviser par \((t-\alpha)^2>0\) ; le coefficient obtenu doit encore vérifier \(a\ne0\).

• Trois points d’abscisses distinctes ne garantissent pas une fonction de degré exactement deux. Pour \((0;1)\), \((1;3)\) et \((2;5)\), on obtient \(c=1\), \(a+b=2\), \(4a+2b=4\). Soustraire deux fois \(a+b=2\) donne \(2a=0\), donc \(a=0\). Les points sont alignés : l’expression \(2x+1\) les contient, mais aucune fonction de degré deux ne satisfait ces trois données.

• Deux images ordinaires sont en général insuffisantes. Les fonctions \(x^2\) et \(2x^2-x\) valent toutes deux \(0\) en \(0\) et \(1\) en \(1\), tout en étant différentes, par exemple en \(2\) : \(4\) contre \(6\).

Variante : deux images égales pour trouver l’axe.

Pour \(f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta\) et \(u\ne v\), l’égalité \(f(u)=f(v)\) donne \[0=f(u)-f(v)=a(u-v)(u+v-2\alpha).\] Les facteurs \(a\) et \(u-v\) étant non nuls, \(u+v-2\alpha=0\), donc \(\alpha=(u+v)/2\). Le sens inverse vient de la symétrie démontrée en propriété de symétrie.

Par exemple, si \(f(-3)=f(7)\) pour une fonction de degré deux, son axe est \(x=2\). En revanche \(f(5)=f(5)\), toujours vrai, ne donne aucun axe.

Correction — essai guidé de la méthode 18

Première voie : \(p(x)=a(x+1)(x-3)\) ; \(p(1)=-8\) devient \(a\times2\times(-2)=-8\), soit \(-4a=-8\), d’où \(a=2\) après division par \(-4\ne0\). Ainsi \(p(x)=2(x+1)(x-3)\).

Deuxième voie : \(p(x)=a(x-1)^2-8\) ; \(p(-1)=0\) donne \(4a-8=0\), puis \(4a=8\), donc \(a=2\). Ainsi \(p(x)=2(x-1)^2-8\).

Troisième voie : écrire \(p(x)=ax^2+bx+c\). On a \(c=-6\), \(a+b-6=-8\) et \(4a+2b-6=-6\), donc \(a+b=-2\) et \(4a+2b=0\). Deux fois la première égalité donne \(2a+2b=-4\) ; soustraire donne \(2a=4\), donc \(a=2\), puis \(b=-2-2=-4\). On obtient \(p(x)=2x^2-4x-6\).

Contrôle des formes : \(2(x+1)(x-3)=2[x^2-3x+x-3]=2x^2-4x-6\) ; \(2(x-1)^2-8=2x^2-4x+2-8=2x^2-4x-6\). Toutes les données sont ainsi compatibles avec la même fonction.

Correction — tentative de la méthode 18

Les racines distinctes donnent \(q(x)=a(x+2)(x-4)\). Le point impose \(a\times2\times(-4)=-8\), donc \(-8a=-8\) et \(a=1\). Ainsi \(q(x)=(x+2)(x-4)=x^2-4x+2x-8=x^2-2x-8\).

Avec le sommet, on écrit \(q(x)=a(x-1)^2-9\). La valeur en \(0\) donne \(a-9=-8\), puis \(a=1\). Développer \((x-1)^2-9\) donne \(x^2-2x+1-9\), soit le même résultat.

Avec trois images, \(c=-8\), \(a+b-8=-9\) et \(4a+2b-8=-8\), soit \(a+b=-1\), \(4a+2b=0\). Soustraire deux fois la première égalité de la seconde donne \(2a=2\), donc \(a=1\) et \(b=-2\). Les substitutions vérifient \(q(0)=-8\), \(q(1)=1-2-8=-9\), \(q(2)=4-4-8=-8\).

Sans point supplémentaire, toutes les fonctions \(a(x+2)(x-4)\), \(a\ne0\), restent possibles ; une réponse unique ne serait pas justifiée.

Reprise après erreur.

L’erreur « deux racines donnent \((x-r)(x-s)\) » oublie le coefficient principal.

Rappel simple : \(x(x-1)\) et \(2x(x-1)\) ont les mêmes zéros, mais valent \(2\) et \(4\) en \(2\).

Nouvel essai : racines \(0\) et \(2\), image de \(1\) égale à \(3\).

Correction : \(p(x)=a x(x-2)\) ; \(p(1)=-a=3\), donc \(a=-3\), et \(p(x)=-3x(x-2)\).

Reviens à l’exemple de référence : le point \((0;-12)\) fixe précisément le facteur \(-1\).

Critère de réussite.

Expliquer la forme choisie, transformer chaque donnée en égalité, montrer l’élimination ou la division, vérifier \(a\ne0\) et contrôler les données. Si elles ne suffisent pas, exhiber deux fonctions possibles plutôt que deviner un coefficient.

À reprendre plus tard.

Refaire la troisième voie de la tentative de la méthode 18 sans consulter les deux autres, puis contrôler avec les racines \(-2\) et \(4\). La correction complète est celle de la tentative.

Pour varier, remplacer \(q(2)=-8\) par \(q(2)=-10\) : \(a+b=-1\), \(4a+2b=-2\) donnent \(2a=0\), donc \(a=0\) ; il n’existe alors aucune fonction de degré exactement deux.

M19 — Modéliser une contrainte puis résoudre ou optimiser

Méthode du chapitre. Les modèles économiques ou géométriques sont des situations d’application ; les données d’un modèle ne deviennent pas des lois générales sur le monde réel.

Je reconnais.

Une longueur varie, un prix change, une aire ou un bénéfice est à optimiser, une condition « au moins » ou « au plus » doit être respectée.

Je vérifie.

Définir chaque grandeur, son unité, son domaine et les conditions du modèle. Une quantité d’objets entiers n’a pas le même domaine qu’une longueur réelle.

Premier geste.

Choisir une variable et traduire les contraintes avant de développer un polynôme.

Idée et raison du choix.

La stratégie est : données et domaine, expression de la grandeur, forme adaptée, résolution, puis retour au contexte. Chaque étape fournit la donnée de la suivante. Une racine algébrique n’est encore qu’une candidate tant que son admissibilité n’a pas été vérifiée.

Choisir ou comparer.

Dans le problème géométrique, les contraintes créent d’abord une expression d’aire. Dans le modèle de l’atelier, il faut construire puis soustraire les coûts à la recette. Une fois le polynôme obtenu, le carré complété, les variations et les inéquations sont les outils des méthodes précédentes.

La conclusion finale retourne aux dimensions ou au prix : l’abscisse du sommet n’est pas forcément la grandeur demandée.

Correction — essai guidé de la méthode 19

La contrainte donne \(L=20-2x\) ; les dimensions positives imposent \(0<x<10\). L’aire vaut \(A=x(20-2x)=20x-2x^2\). Comme \(x^2-10x=(x-5)^2-25\), on obtient \(A=-2[(x-5)^2-25]=-2(x-5)^2+50\).

Le maximum vaut \(50\ \mathrm{m}^2\) pour \(x=5\) m et \(L=10\) m. Contrôles : \(2\times5+10=20\) et \(5\times10=50\).

Si \(2\le x\le4\), le sommet \(5\) est exclu et l’aire est croissante sur l’intervalle. Le maximum est \(A(4)=4(20-8)=48\ \mathrm{m}^2\), avec \(L=12\) m. Contrôle : \(2\times4+12=20\).

Par l’autre raisonnement, \(z=2x\) donne \(A=z(20-z)/2\le20^2/8=50\), avec égalité seulement pour \(z=10\) ; cette égalité n’est pas accessible lorsque \(x\le4\), puisque \(z\le8\). Il faut alors revenir à la variation sur le domaine imposé, et non annoncer l’égalité impossible.

Correction — tentative de la méthode 19

La recette est \(R(q)=36q\). Le bénéfice vaut \[B(q)=36q-(q^2+8q+80)=-q^2+28q-80=-(q-14)^2+116.\] Le sommet \(q=14\) est un entier de \([0;40]\) ; le maximum prévu est donc \(116\) euros.

Contrôle : \(R(14)=504\) et \(C(14)=196+112+80=388\), d’où \(504-388=116\).

Pour \(B(q)>0\), on étudie \(-q^2+28q-80\). Le discriminant est \(28^2-4(-1)(-80)=784-320=464=16\times29\). Les deux racines, rangées, sont \(14-2\sqrt{29}\) et \(14+2\sqrt{29}\). Comme le coefficient de \(q^2\) est négatif, le bénéfice est strictement positif entre ces racines. Or \(5<\sqrt{29}<\frac{11}{2}\), car \(25<29<121/4\) ; ainsi \(3<14-2\sqrt{29}<4\) et \(24<14+2\sqrt{29}<25\). Les productions entières cherchées sont donc \(q=4,5,\ldots,24\).

On peut contrôler les frontières : \(B(3)=-9+84-80=-5\), \(B(4)=-16+112-80=16\), \(B(24)=-576+672-80=16\) et \(B(25)=-625+700-80=-5\).

Attention à l’encadrement.

Pour la borne inférieure \(>3\) et la borne supérieure \(<25\), on a utilisé \(\sqrt{29}<5{,}5\) ; pour les autres inégalités, \(\sqrt{29}>5\). Ces calculs justifient le filtrage entier sans faire dépendre la preuve d’un arrondi de calculatrice.

Reprise après erreur.

Une valeur qui maximise un polynôme peut être impossible dans le contexte.

Dans un rectangle de côtés \(x\) et \(8-x\), il faut \(0<x<8\), même si \(x(8-x)\) est calculable pour tout réel.

Nouvel essai : pour des côtés \(t\) et \(12-3t\), quel domaine ?

Correction : \(t>0\) et \(12-3t>0\) ; la seconde condition donne \(t<4\) après division par \(-3\) et changement de sens, donc \(0<t<4\).

Reviens au premier rectangle : \(L=30-2x>0\) impose \(x<15\) ; la solution \(7{,}5\) est admissible, mais elle peut cesser de l’être sous \(x\le6\).

Critère de réussite.

Définir la variable et l’unité, construire le domaine, expliquer la formule de la grandeur, choisir une forme utile, traiter les contraintes et contrôler la réponse dans les données initiales. La valeur maximale du modèle n’est pas une garantie d’observation réelle.

À reprendre plus tard.

Refaire la tentative de la méthode 19, puis supposer qu’on ne peut produire que des lots de quatre objets. Les quantités voisines de \(14\) sont \(12\) et \(16\) ; chacune donne \(B=-(2)^2+116=112\) euros. Les autres multiples admissibles sont plus éloignés de \(14\) et donnent moins.

La correction complète de la modélisation reste celle de la tentative ; seul le filtrage final change.

Passerelle après les statistiques : choisir un centre par les carrés des écarts

Le lien simple entre second degré et variance est un réinvestissement. L’étude générale pondérée ci-dessous est un approfondissement officiel facultatif, à reprendre après les statistiques et probabilités. Elle n’est nécessaire à aucun des problèmes précédents. Les définitions utiles sont rappelées ici.

Je reconnais.

On cherche un centre numérique qui rende aussi petite que possible une moyenne de carrés d’écarts à des mesures.

Je vérifie.

La liste est finie et non vide. Les poids, s’il y en a, sont fixes, positifs ou nuls, et leur somme vaut \(1\). La variable à choisir est le centre, pas les mesures.

Premier geste.

Écrire la moyenne des carrés des écarts au centre \(t\), puis soit développer en \(t\), soit calculer la moyenne et la variance des données.

Idée et raison du choix.

Un même centre doit tenir compte de toutes les mesures. En utilisant les carrés des écarts, on obtient une fonction du second degré en ce centre. Son sommet relie une question d’optimisation à deux indicateurs statistiques.

Les poids non négatifs assurent notamment \(V\ge0\) et \(Q(t)\ge0\). Des poids négatifs ne sont pas des fréquences. Des effectifs bruts ne sont pas encore des poids de somme \(1\) : il faut les diviser par leur total.

Si les mesures ont une unité, \(m\) et \(t\) ont cette unité ; \(V\) et \(Q(t)\) ont l’unité au carré.

Après les probabilités, en regroupant d’abord les valeurs égales si nécessaire, on peut aussi lire \(w_i\) comme la probabilité de la valeur \(x_i\) d’une variable aléatoire réelle \(X\) à valeurs en nombre fini. Les mêmes sommes donnent alors \(m=E(X)\), \(V=V(X)\) et \(Q(t)=E\bigl((X-t)^2\bigr)\). L’étude ci-dessous se fait directement sur les sommes finies définies, sans autre outil de probabilités.

Choisir ou comparer.

Le développement est utile si la fonction \(Q\) est déjà fournie comme une somme de carrés. L’identité de variance évite de tout redévelopper si la moyenne et la variance des données sont déjà connues. La sortie de la première voie est une forme canonique ; la sortie de la seconde fournit directement ses deux paramètres. Aucune dérivée n’est nécessaire.

Correction — essai guidé de la passerelle statistique

Le développement donne \[\begin{aligned} Q(t)&=\frac{(1-t)^2+(2-t)^2+(6-t)^2}{3}\\ &=\frac{(t^2-2t+1)+(t^2-4t+4)+(t^2-12t+36)}{3}\\ &=\frac{3t^2-18t+41}{3}=t^2-6t+\frac{41}{3}\\ &=(t-3)^2-9+\frac{41}{3}=(t-3)^2+\frac{14}{3}. \end{aligned}\] Par l’autre voie, \(m=9/3=3\) et les écarts sont \(-2,-1,3\) : \[V=\frac{(-2)^2+(-1)^2+3^2}{3} =\frac{4+1+9}{3}=\frac{14}{3}.\] L’identité donne donc bien \(Q(t)=14/3+(t-3)^2\). Le meilleur centre est \(3\) ; la valeur minimale est \(14/3\). Ce sont deux nombres jouant des rôles différents.

Correction — tentative de la passerelle statistique

Les deux fréquences sont non négatives et leur somme vaut \(1\).

Par développement,

\[\begin{aligned} Q(t)&=\frac14(1-t)^2+\frac34(3-t)^2\\ &=\frac14(t^2-2t+1)+\frac34(t^2-6t+9)\\ &=\frac14t^2-\frac12t+\frac14 +\frac34t^2-\frac92t+\frac{27}{4}\\ &=t^2-5t+7 =\left(t-\frac52\right)^2-\frac{25}{4}+\frac{28}{4} =\left(t-\frac52\right)^2+\frac34. \end{aligned}\]

Par variance,

la moyenne pondérée est \(m=(1/4)\times1+(3/4)\times3=1/4+9/4=5/2\), et non la moyenne non pondérée \((1+3)/2=2\). Les écarts sont \(-3/2\) et \(1/2\) : \[V=\frac14\times\frac94+\frac34\times\frac14 =\frac9{16}+\frac3{16}=\frac{12}{16}=\frac34.\] L’identité redonne \(Q(t)=3/4+(t-5/2)^2\). Sur \(\mathbb{R}\), le minimum vaut \(3/4\), au seul centre \(5/2\).

Pour un centre entier, \(2\) et \(3\) sont les deux entiers les plus proches de \(5/2\), à distance \(1/2\) : ils donnent tous deux \(Q=3/4+1/4=1\). Les autres entiers ont un écart plus grand, donc un carré plus grand.

Contrôle direct : \(Q(2)=1/4+3/4=1\) et \(Q(3)=(1/4)\times4+(3/4)\times0=1\).

Avec les effectifs bruts, on obtiendrait \(R(t)=(1-t)^2+3(3-t)^2=4Q(t)\). Multiplier par \(4>0\) ne change pas les centres minimisants, mais multiplie les valeurs minimales par \(4\) : \(3\) sur \(\mathbb{R}\) et \(4\) sur les entiers. \(R\) est une somme pondérée de carrés, pas leur moyenne ni une variance.

Reprise après erreur.

Confondre le meilleur centre avec la valeur minimale échange \(m\) et \(V\).

Exemple plus simple : pour deux mesures égales à \(5\), \(Q(t)=(t-5)^2\) ; le centre est \(5\), le minimum est \(0\).

Nouvel essai : pour les deux mesures \(2\) et \(4\) de même poids, \(m=(2+4)/2=3\) et \(V=[(2-3)^2+(4-3)^2]/2=1\). Donc \(Q(t)=1+(t-3)^2\), de minimum \(1\) au centre \(3\).

Reviens aux trois mesures \(2,4,6\) : le centre \(4\) n’est pas la variance \(8/3\).

Critère de réussite.

Identifier la variable \(t\), les mesures fixes et leurs poids ; vérifier leur normalisation ; montrer le développement ou l’identité utilisée ; distinguer le centre minimisant de la valeur minimale ; filtrer le centre si le domaine est restreint. Quelques valeurs calculées ne suffisent pas à prouver le minimum sur tous les réels.

À reprendre plus tard.

Reprendre l’essai statistique guidé, puis ajouter \(2\) à chacune des observations.

Les données deviennent \(3,4,8\), de moyenne \(5\). Leurs écarts à cette moyenne restent \(-2,-1,3\), donc la variance reste \(14/3\). La nouvelle fonction vaut \(\widetilde Q(t)=14/3+(t-5)^2\) : le meilleur centre se déplace de \(2\), mais la valeur minimale ne change pas.

Réinvestissements après le chapitre sur la dérivation

Les deux méthodes suivantes utilisent un autre chapitre de Première. Elles ne sont nécessaires ni aux équations, ni aux signes, ni aux variations déjà étudiés. Elles sont proposées pour comparer les démarches et préparer des problèmes transversaux une fois la dérivation étudiée.

M20 — Utiliser un taux de variation ou une dérivée

Réinvestissement du programme de Première, après la dérivation. Les résultats propres au second degré sont démontrés ci-dessous.

Je reconnais.

La consigne demande un taux moyen, un coefficient directeur de sécante, une dérivée ou une étude de variations par le signe de la dérivée.

Je vérifie.

Pour le taux entre \(u\) et \(v\), exiger \(u\ne v\). Pour appliquer les règles de dérivation, identifier la variable et les coefficients constants.

Premier geste.

Écrire la différence d’images avec des parenthèses : \([f(v)-f(u)]/(v-u)\), ou calculer la dérivée si c’est elle qui est demandée.

Idée et raison du choix.

Le taux compare la variation de l’image à celle de la variable. Le nombre dérivé décrit le taux au voisinage d’un point. Dans le second degré, le taux se simplifie exactement : cette simplification explique la dérivée.

Résultat établi dans le chapitre dérivation, rappelé ici.

Sur un intervalle, une fonction dérivable dont la dérivée est positive ou nulle est croissante ; si sa dérivée est négative ou nulle, elle est décroissante. Une dérivée strictement positive ou strictement négative sur l’intérieur donne la variation stricte correspondante. Ce théorème général est utilisé comme résultat identifié de Première ; sa preuve générale n’est pas requise pour cette méthode. Pour les polynômes du second degré, les variations ont déjà été démontrées sans ce théorème en méthode 17.

Choisir ou comparer.

Pour ce même problème, la méthode 17 donne deux démonstrations sans dérivée ; la présente méthode réduit l’étude au signe d’une fonction affine.

Si une forme canonique est fournie, elle peut être plus directe. Si la consigne impose la dérivée, l’étude de son signe doit être effectivement écrite.

Une dérivée nulle en un point n’est pas, à elle seule, un théorème général d’existence d’un maximum : il faut examiner le signe autour ou utiliser la structure particulière du second degré.

Correction — essai guidé de la méthode 20

\(g(-2)=3\times4+6(-2)-9=12-12-9=-9\) et \(g(0)=-9\). Le taux est \([-9-(-9)]/[0-(-2)]=0/2=0\). Par la formule simplifiée, \(3(-2+0)+6=-6+6=0\).

\(g'(x)=6x+6\). Son zéro vérifie \(6x=-6\), donc \(x=-1\). Pour \(x<-1\), \(6x+6<0\) ; pour \(x>-1\), \(6x+6>0\). La fonction décroît sur \([-3;-1]\) puis croît sur \([-1;2]\).

On calcule \(g(-3)=27-18-9=0\), \(g(-1)=3-6-9=-12\) et \(g(2)=12+12-9=15\). Le minimum est \(-12\), atteint en \(-1\), et le maximum sur cet intervalle est \(15\), atteint en \(2\).

Le milieu de \(-2\) et \(0\) est \(-1\) ; \(g'(-1)=-6+6=0\), égal au taux trouvé. La forme \(3(x+1)^2-12\) de la méthode 17 confirme ces résultats sans dérivée.

Correction — tentative de la méthode 20

\(r'(x)=-2x+2\). Pour \(2\le x\le4\), on a \(-2x+2\le-2<0\) ; la fonction est strictement décroissante sur \([2;4]\). \(r(2)=3\) et \(r(4)=-5\) donnent le maximum \(3\) en \(2\) et le minimum \(-5\) en \(4\).

Le taux vaut \((-5-3)/(4-2)=-8/2=-4\). Le milieu est \(3\) ; \(r'(3)=-6+2=-4\), comme attendu. La formule générale du taux donne également \(-(2+4)+2=-6+2=-4\).

Variation corrigée.

Si on échange \(u\) et \(v\), le taux ne change pas : le numérateur et le dénominateur changent tous deux de signe. Pour l’exemple précédent, \((3-(-5))/(2-4)=8/(-2)=-4\).

En revanche, prendre \(u=v\) donne une division par zéro ; on ne remplace pas le taux par la dérivée en effectuant cette division interdite.

Reprise après erreur.

Si tu dérives \(-2x^2\) en \(2x\), tu as perdu le coefficient.

Rappel simple : pour \(3x^2\), la formule \(2ax\) donne \(6x\), pas \(2x\).

Nouvel essai : dériver \(-5x^2+4x-1\).

Correction : \(2(-5)x+4=-10x+4\) ; la constante \(-1\) disparaît car sa variation est nulle.

Reviens à \(-2x^2+12x-10\) : \(f'(x)=-4x+12\).

Critère de réussite.

Montrer la soustraction des images ou le calcul de la dérivée, vérifier le dénominateur du taux, étudier le signe de la dérivée et conserver le domaine de la question. Le signe de \(f'\) concerne la variation de \(f\), pas le signe de \(f\).

À reprendre plus tard.

Refaire la tentative de la méthode 20, puis calculer le taux de \(r\) entre \(0\) et \(2\).

Correction : \(r(0)=r(2)=3\), donc le taux vaut \(0/2=0\) ; \(r'(1)=0\). Cela n’empêche pas \(r\) de varier entre ces deux abscisses : elle monte jusqu’à \(1\) puis redescend.

M21 — Déterminer une tangente et comparer sa position à la parabole

Réinvestissement de Première après la dérivation. Les calculs de tangentes par discriminant sont des alternatives propres aux paraboles, sans devenir une définition générale de la tangence.

Je reconnais.

On demande une tangente en un point, une tangente de pente donnée, ou les tangentes passant par un point imposé.

Je vérifie.

Préciser ce qui est fixé : abscisse du point de contact, pente ou point extérieur. Une tangente en \(t\) passe par \((t;f(t))\), pas par \((t;0)\) en général.

Premier geste.

Pour un point de contact connu, calculer séparément \(f(t)\) et \(f'(t)\) ; puis écrire \(y=f'(t)(x-t)+f(t)\).

Idée et raison du choix.

Le nombre dérivé fournit la pente. L’obligation de passer par le point de contact fixe alors l’ordonnée à l’origine. Si le point de contact est inconnu, on le note \(t\) et on traduit la condition supplémentaire.

Définition et résultat identifié du chapitre dérivation.

La tangente à la courbe d’une fonction dérivable en \(t\) est la droite passant par \((t;f(t))\) de coefficient directeur \(f'(t)\). Son équation est \(y=f'(t)(x-t)+f(t)\) : lorsque \(x=t\), l’ordonnée est \(f(t)\) ; le coefficient de \(x\) est bien \(f'(t)\).

Variante : approcher une image et contrôler exactement l’erreur

Réinvestissement de l’approximation affine après la dérivation. La garantie ci-dessous est propre aux polynômes du second degré ; elle est une conséquence de l’écart déjà démontré, pas un théorème général nouveau.

Je reconnais.

On veut approcher \(f(t+h)\) à partir d’une abscisse \(t\) commode, avec une précision demandée.

Je vérifie.

Le coefficient \(a\) est celui de \(x^2\), et \(h\) est l’écart d’abscisses, pas une image. Si le problème restreint le domaine, \(t\) et \(t+h\) doivent être admissibles.

Premier geste.

Écrire l’abscisse ciblée sous la forme \(t+h\), en déduire \(h\), puis calculer \(f(t)\) et \(f'(t)\).

L’approximation affine consiste à proposer \(A=f(t)+f'(t)h\). En remplaçant \(x\) par \(t+h\) dans l’écart \(f(x)-T_t(x)=a(x-t)^2\), on obtient l’égalité exacte \[\boxed{f(t+h)=f(t)+f'(t)h+ah^2.}\] Ainsi l’erreur signée vaut \(f(t+h)-A=ah^2\) et l’erreur absolue vaut \(|f(t+h)-A|=|a|h^2\). Si une tolérance \(\varepsilon>0\) est demandée, la condition \(|a|h^2\le\varepsilon\) garantit cette précision. Comme \(|a|>0\), on peut aussi la lire \(|h|\le\sqrt{\varepsilon/|a|}\).

Un petit \(|h|\) seul ne donne pas une précision fixée sans tenir compte de \(|a|\).

Choisir ou comparer.

Le calcul direct donne ici facilement la valeur exacte. La tangente apprend autre chose : elle sépare une variation affine simple et l’erreur qui reste. Pour une autre fonction, l’équation de sa tangente ne donnerait pas à elle seule la même formule d’erreur quadratique.

Correction — essai d’approximation affine

\(g(2)=-8+24-10=6\) et \(g'(x)=-4x+12\), donc \(g'(2)=4\).

Pour \(2{,}1\), l’écart est \(h=0{,}1\) : \[A=6+4\times0{,}1=6{,}4, \qquad ah^2=-2\times0{,}01=-0{,}02.\] L’image exacte est \(6{,}4-0{,}02=6{,}38\), et l’erreur absolue \(0{,}02\) dépasse la tolérance \(0{,}01\).

Contrôle direct : \(-2\times2{,}1^2+12\times2{,}1-10=-8{,}82+25{,}2-10=6{,}38\).

Pour \(2{,}05\), \(h=0{,}05\) donne \(A=6+4\times0{,}05=6{,}2\) et \(ah^2=-2\times0{,}0025=-0{,}005\). L’image exacte est \(6{,}195\), et l’erreur absolue \(0{,}005\) respecte la tolérance \(0{,}01\). Le calcul direct confirme \(-2\times4{,}2025+24{,}6-10=-8{,}405+24{,}6-10=6{,}195\).

Dans les deux cas, la tangente fournit une valeur supérieure à l’image, en accord avec \(a<0\).

Variation corrigée : une pente nulle ne rend pas la courbe constante.

Pour la même fonction en \(t=3\), on a \(g(3)=8\) et \(g'(3)=0\). L’approximation de \(g(3{,}05)\) est donc \(8+0\times0{,}05=8\).

Mais l’erreur signée reste \(-2\times0{,}05^2=-0{,}005\) : \(g(3{,}05)=7{,}995\), et non \(8\). La tangente est horizontale ; la fonction ne l’est pas sur un intervalle.

Reprise après erreur.

Oublier \(a\) dans la marge donne une erreur fausse.

Pour \(q(x)=3x^2\) et sa tangente en \(0\), l’approximation en \(0{,}1\) est \(0\), mais \(q(0{,}1)=3\times0{,}01=0{,}03\) : la marge n’est pas \(0{,}01\).

Nouvel essai : pour \(q(x)=-4x^2\), en \(0{,}2\) à partir de \(0\), l’erreur signée est \(-4\times0{,}04=-0{,}16\), et sa valeur absolue \(0{,}16\).

Reviens à \(g\) : la marge est \(2h^2\), non \(h^2\).

Critère de réussite.

Nommer l’abscisse de départ et l’écart \(h\), calculer l’approximation, puis l’erreur absolue avant d’affirmer une précision. Ne pas confondre le sens de l’erreur, sa taille et un nombre de décimales affichées.

À reprendre plus tard.

Reprendre l’essai d’approximation, puis remplacer \(2{,}1\) par \(1{,}9\).

Cette fois \(h=-0{,}1\), \(A=6+4(-0{,}1)=5{,}6\) et \(ah^2=-0{,}02\), donc \(g(1{,}9)=5{,}58\). Le signe de \(h\) a changé, pas la marge \(0{,}02\), car celle-ci dépend de \(h^2\).

Choisir ou comparer.

L’abscisse de contact \(t\) est pratique lorsqu’on dispose de \(f'\) ; la pente \(m\) est pratique quand la famille de droites est donnée. Les deux voies sont ici complètement résolues sur le même problème.

Pour une parabole et une droite non verticale, une racine double de la différence conduit à une tangente. Cette caractérisation ne doit pas être étendue à une fonction quelconque : une droite peut n’avoir qu’un point commun avec une autre courbe sans lui être tangente.

Frontière : zéro, une ou deux tangentes selon le point imposé.

Avec \(P(0;y_0)\) et la même parabole, la voie A donne \(t^2=-3-y_0\). Si \(y_0>-3\), il n’y a pas de solution réelle ; si \(y_0=-3\), il y a une tangente, en \(t=0\) ; si \(y_0<-3\), il y en a deux.

Par exemple, aucun \(t\) ne vérifie \(t^2=-1\), donc aucune tangente ne passe par \((0;-2)\). On ne force pas deux réponses parce que l’équation comporte un carré.

Correction — essai guidé de la méthode 21

On a \(g'(x)=-2x+6\). En \(2\), \(g'(2)=2\) et \(g(2)=-4+12-5=3\) ; la tangente est \(y=2(x-2)+3=2x-1\). La différence vaut \(g(x)-(2x-1)=-x^2+6x-5-2x+1=-x^2+4x-4=-(x-2)^2\le0\). La courbe est en dessous, avec égalité seulement en \(2\).

Pour une pente nulle, \(-2t+6=0\) donne \(t=3\) ; \(g(3)=-9+18-5=4\). La tangente horizontale est \(y=4\).

Pour passer par \((0;-1)\), la voie par contact impose \(t^2-5=-1\), soit \(t^2=4\), donc \(t=-2\) ou \(t=2\). Les pentes sont \(g'(-2)=10\) et \(g'(2)=2\) ; les tangentes sont \(y=10x-1\) et \(y=2x-1\).

Vérification au contact \(-2\) : \(g(-2)=-4-12-5=-21\) et \(10(-2)-1=-21\) ; au contact \(2\), \(2\times2-1=3=g(2)\).

Correction — tentative de la méthode 21

\(q'(x)=4x-4\). En \(0\), la pente est \(-4\) et l’image vaut \(1\) ; la tangente est \(y=-4x+1\). La différence \(q(x)-(-4x+1)=2x^2\) est positive ou nulle, donc la courbe est au-dessus, avec égalité seulement en \(0\).

Pour une tangente horizontale, \(4t-4=0\) donne \(t=1\) ; \(q(1)=2-4+1=-1\), donc la droite est \(y=-1\).

Par l’abscisse de contact, la tangente générale est \[T_t(x)=(4t-4)x+1-2t^2.\] Le point \((0;-1)\) impose \(1-2t^2=-1\), donc \(-2t^2=-2\), puis \(t^2=1\). Les deux contacts sont \(t=1\) et \(t=-1\) ; les pentes sont \(0\) et \(-8\). Les droites cherchées sont \(y=-1\) et \(y=-8x-1\).

Contrôles : en \(1\), \(q(1)=-1\) ; en \(-1\), \(q(-1)=2+4+1=7\) et \(-8(-1)-1=7\).

Par la pente, une droite issue de \((0;-1)\) est \(y=mx-1\). L’équation d’intersection est \(2x^2-(4+m)x+2=0\). On calcule \(\Delta=(4+m)^2-16=m^2+8m=m(m+8)\). La condition \(\Delta=0\) donne \(m=0\) ou \(m=-8\). Pour \(m=0\), la différence vaut \(2x^2-4x+2=2(x-1)^2\) ; pour \(m=-8\), elle vaut \(2x^2+4x+2=2(x+1)^2\).

Chaque droite rencontre la courbe en un seul point, où sa pente est bien celle de la dérivée calculée. Les deux organisations conduisent aux mêmes droites.

Reprise après erreur.

Si tu calcules le discriminant de \(f\) pour trouver une tangente, tu cherches les intersections avec l’axe horizontal, pas avec la droite visée.

Rappel simple : pour \(f(x)=x^2\) et \(y=2x-1\), la différence est \(x^2-2x+1=(x-1)^2\), donc le contact est en \(1\), et non en \(0\).

Nouvel essai : comparer \(x^2\) à la droite \(y=-2x-1\).

Correction : \(x^2-(-2x-1)=x^2+2x+1=(x+1)^2\) ; le contact est en \(-1\) et la pente de la parabole y vaut \(2(-1)=-2\).

Reviens aux tangentes passant par \(P\) : c’est toujours \(f(x)-(mx-4)\) dont on annule le discriminant.

Critère de réussite.

Distinguer point imposé et point de contact, calculer image et pente, écrire une droite qui passe par le bon point, puis vérifier la condition supplémentaire. Pour une position relative, étudier la différence dans le bon ordre ; pour une tangente inconnue, traiter toutes les solutions du paramètre.

À reprendre plus tard.

Reprendre l’essai guidé de la méthode 21 sans son indice.

Puis demander une tangente de pente \(-2\) : \(-2t+6=-2\) donne \(t=4\), \(g(4)=-16+24-5=3\), donc \(y=-2(x-4)+3=-2x+11\). La différence est \(g(x)-(-2x+11)=-x^2+8x-16=-(x-4)^2\) : la position et le contact sont contrôlés.

Réinvestissements et approfondissements

Approcher, réinvestir et approfondir sans changer le noyau

Les méthodes 22 et 23 distinguent calcul approché et résultat garanti. La méthode 23 se lit de préférence après la dérivation.

Les méthodes 24 à 26 correspondent à des approfondissements proposés par le programme, mais non obligatoires. La méthode 27 développe une conséquence algébrique utile de somme–produit, sans nouvelle formule exigible.

Ces prolongements sont indépendants du parcours principal : aucune résolution des sections précédentes ne les suppose.

M22 — Encadrer une solution et contrôler une approximation

Alternative au niveau de Première : travail numérique et algorithmique, sans remplacer une réponse exacte demandée.

Je reconnais.

On demande une valeur approchée, un arrondi, ou un contrôle d’un affichage numérique.

Je vérifie.

L’intervalle et la racine visée doivent être identifiés. Un trinôme peut avoir deux racines : un encadrement local ne les décrit pas toutes.

Premier geste.

Obtenir d’abord le nombre de solutions, puis isoler celle à approcher.

Idée et raison du choix.

Pour un nombre réel \(r\) déjà caractérisé, trouver deux bornes \(L\le r\le U\). Le milieu est à distance au plus \((U-L)/2\) de \(r\). Un affichage décimal sans encadrement ne donne pas cette garantie.

Choisir ou comparer.

Sur ce problème, les deux voies approchent le même nombre et reposent sur l’ordre des carrés positifs.

Le test décimal est commode pour certifier un arrondi déjà proposé ; la dichotomie organise la recherche si l’on ne connaît pas encore les décimales.

Une calculatrice peut proposer \(1{,}414213\ldots\), mais c’est le contrôle des bornes qui justifie une précision annoncée.

Point de vigilance.

Sur \([-2;0]\), la fonction carré est décroissante : les décisions ci-dessus ne se recopient pas.

Pour la racine négative, encadre d’abord \(\sqrt2\), puis change les signes et inverse l’ordre des bornes.

Critère de réussite.

Il faut nommer la racine visée, justifier la croissance sur les nombres testés, conserver l’encadrement après chaque étape et relier la largeur à la précision. Écrire seulement les décimales de la machine n’explique pas la garantie.

Reprise après erreur.

Si la mauvaise moitié a été conservée, repars de \(t=\sqrt9=3\) : le test \(2^2<9\) impose \(2<t\), pas \(t<2\).

Nouvel essai : pour \(\sqrt7\) dans \([2;3]\), le milieu \(2{,}5\) a pour carré \(6{,}25<7\) ; la bonne moitié est donc \([2{,}5;3]\).

Reviens à l’étape \(1{,}375^2<2\) : la nouvelle borne inférieure doit être \(1{,}375\).

À reprendre plus tard.

Refais (b) sans regarder les états intermédiaires, puis encadre la racine négative de \(x^2-5=0\).

Correction de ce transfert : l’encadrement positif donne \(-2{,}2361<-\sqrt5<-2{,}2360\) ; l’ordre a changé avec le signe.

M23 — Accélérer une approximation dans un cas favorable : Héron–Newton

Réinvestissement facultatif après la dérivation ; la méthode de Newton figure parmi les exemples d’algorithme du programme. Ici, seule l’application favorable à \(x^2-d=0\), \(d>0\), est enseignée. Aucun théorème général de convergence n’est supposé.

Je reconnais.

On veut approcher \(\sqrt d\) et dispose d’une approximation positive située au-dessus.

Je vérifie.

Il faut \(d>0\) et \(u\ge\sqrt d>0\).

La division par \(u\) est alors permise.

Premier geste.

Calculer la moyenne de \(u\) et \(d/u\) : \(v=(u+d/u)/2\).

Idée et raison du choix.

Si le rectangle d’aire \(d\) a des côtés \(u\) et \(d/u\), ceux-ci encadrent le côté \(\sqrt d\) du carré de même aire. Leur moyenne produit une nouvelle borne supérieure.

Cette image suggère le choix ; les identités ci-dessous le prouvent.

Choisir ou comparer.

Les méthodes 22 et 23 peuvent approcher \(\sqrt2\). La dichotomie garantit une largeur divisée par deux à chaque étape ; Héron donne ici un encadrement très fin après trois étapes, au prix de fractions plus lourdes.

Le succès de cet exemple ne prouve pas que Newton converge depuis n’importe quel point pour n’importe quelle fonction.

Critère de réussite.

Justifie le choix initial, chaque inversion de fraction, la conservation d’une borne supérieure et la précision obtenue à partir de deux bornes, pas du seul changement de décimales.

Reprise après erreur.

L’erreur « \(2/(3/2)=2\times3/2\) » confond division et multiplication.

Exemple simple : \(1/(1/2)=2\), car \((1/2)\times2=1\).

Nouvel essai : \(4/(5/3)=4\times3/5=12/5\), puisque \(5/3\ne0\).

Reviens ensuite au calcul de \(u_2\) : le terme à additionner est \(4/3\).

À reprendre plus tard.

Refais (a), puis explique pourquoi \(u_0=0\) n’est pas une entrée admissible.

Réponse : \(d/u_0\) serait une division par zéro, la tangente aurait ici une pente nulle et la formule de l’étape n’aurait pas de sens.

M24 — Retrouver deux nombres à partir de leur somme et de leur produit

Approfondissement officiel non obligatoire. À distinguer de l’usage courant somme–produit pour détecter les racines d’un trinôme déjà donné.

Je reconnais.

Deux nombres inconnus ont une somme \(s\) et un produit \(p\) donnés.

Je vérifie.

On cherche des réels ; l’ordre peut être indifférent, mais le contexte peut imposer positivité ou unités.

Premier geste.

Former le trinôme \(X^2-sX+p\).

Idée et raison du choix.

Si les nombres sont \(u\) et \(v\), \((X-u)(X-v)=X^2-(u+v)X+uv\). La somme et le produit deviennent donc des coefficients.