BAC Antilles-Guyane, 10 septembre 2019 – extrait adapté

Partie B

On considère la suite \(\left(U_n\right)\) définie par \(U_0 = \dfrac{1}{2}\) et, pour tout entier naturel \(n\),

\[U_{n+1} = \dfrac{2U_n}{1 + U_n}.\]

1. Calculer \(U_1\) que l’on écrira sous la forme d’une fraction irréductible.

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2. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel \(n\),

   \[U_n = \dfrac{2^n}{1 + 2^n}.\]

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3. On considère les trois fonctions Python suivantes.

   Une seule d’entre elles ne renvoie pas le terme \(U_n\) de la suite.

   Déterminer laquelle en justifiant votre réponse.

   def algo1(n):
       u = 1/2
       i = 0
       while i < n:
           u = 2*u/(u+1)
           i += 1
       return u

   def algo2(n):
       u = 1/2
       for i in range(n+1):
           u = 2*u/(u+1)
       return u

   def algo3(n):
       p = 2**n
       u = p/(p+1)
       return u

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