Exercice écrit

BAC Polynésie, 8 juin 2012 — extrait

BAC — sujet officiel

Polynésie 8 juin 2012 5 points Récurrence et comportement global

BAC Polynésie, 8 juin 2012 – extrait

Partie A

On considère la fonction Python suivante.

def suite(N):
    u = 0
    for k in range(N):
        u = 3*u - 2*k + 3
    return u

Quelle valeur est renvoyée par cette fonction lorsque l’on exécute suite(3) ?

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Partie B

On considère la suite \((u_n)\) définie par \(u_0=0\) et, pour tout entier naturel \(n\),

\[u_{n+1}=3u_n-2n+3.\]

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Calculer \(u_1\) et \(u_2\).
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1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel \(n\), \(u_n\ge n\).
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Démontrer que la suite \((u_n)\) est croissante.
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Soit la suite \((v_n)\) définie par \[v_n=u_n-n+1.\]
1. Démontrer que la suite \((v_n)\) est géométrique.
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2. En déduire que, pour tout entier naturel \(n\), \[u_n=3^n+n-1.\]
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