Repérer un nombre premier

Un entier \(p\ge 2\) est premier s’il a exactement deux diviseurs positifs : \(1\) et \(p\).

À connaître : \(2,3,5,7,11,13,17,19,23,29\). \(1\) n’est pas premier ; \(2\) est le seul nombre premier pair.

Critères de divisibilité : premier réflexe

Ex. : \(378\) est divisible par \(2,3,9\), mais pas par \(5\).

Méthode : casser jusqu'aux facteurs premiers

1. Essayer les plus petits nombres premiers. 2. Décomposer chaque facteur composé. 3. Écrire les facteurs premiers avec leurs puissances.

Contrôle : les facteurs sont tous premiers et leur produit vaut bien \(252\). \(12=3\times4\) n’est pas terminé.

Simplifier sans changer la valeur

On obtient une fraction égale en divisant les deux termes par un même diviseur non nul \(d\) : \[\frac{a}{b}=\frac{a\div d}{b\div d}\quad (b\ne0;\ d\mid a,\ d\mid b).\] Ex. : \(\dfrac{84}{126}=\dfrac{84\div42}{126\div42}=\boxed{\dfrac23}\).

On peut aussi procéder par étapes : \(\displaystyle\frac{90}{144}=\frac{45}{72}=\frac{15}{24}=\frac58\) (division des deux termes par \(2\), puis \(3\), puis \(3\)).

Rendre irréductible en 4 gestes

1. Décomposer numérateur et dénominateur.

2. Repérer chaque facteur premier commun.

3. Supprimer autant de facteurs communs en haut qu’en bas.

4. Vérifier qu’il ne reste aucun facteur commun.

Exemple original, calcul entièrement visible :

\[\frac{126}{210}=\frac{2\times3^2\times7}{2\times3\times5\times7}=\boxed{\frac35}.\]

En effet, \(126=2\times3^2\times7\) et \(210=2\times3\times5\times7\). Les seuls facteurs restants, \(3\) et \(5\), sont premiers distincts.

SOS erreurs classiques

On ne divise jamais un seul terme. Et on ne « barre » pas un morceau d’une somme : \[\frac{6+3}{6+9}=\frac9{15}=\frac35\ne\frac39.\] Les simplifications portent sur des facteurs communs, pas sur des termes additionnés.

PGCD : le plus grand diviseur commun

\(\mathrm{PGCD}(a;b)\), pour \(a,b\) entiers positifs non nuls, est leur plus grand diviseur commun. Il est \(1\) si les nombres sont premiers entre eux.

Pour le calculer avec des facteurs premiers : garder seulement les facteurs communs, avec leur plus petit exposant.

\[72=2^3\times3^2;\quad120=2^3\times3\times5.\] \[\boxed{\mathrm{PGCD}(72;120)=2^3\times3=24}.\]

Deux raccourcis utiles

Fraction : on divise directement par le PGCD : \[\frac{72}{120}=\frac{72\div24}{120\div24}=\boxed{\frac35}.\] S’ils n’ont aucun facteur premier commun, leur PGCD vaut \(1\) et la fraction est déjà irréductible.

Problème : obtenir le maximum de lots

On dispose de \(72\) cartes et de \(120\) enveloppes. On veut des lots identiques, sans reste, les plus nombreux possible.

Premier geste : le nombre de lots doit diviser \(72\) et \(120\).

Donc \(\mathrm{PGCD}(72;120)=24\) lots.

\[72\div24=3\text{ cartes};\quad120\div24=5\text{ enveloppes}.\]

Autre situation : carreler par des carrés

Un rectangle de \(84\) cm sur \(60\) cm doit être recouvert sans découpe de carrés de côté entier maximal.

Côté maximal : \(\mathrm{PGCD}(84;60)=12\) cm.

On obtient \(84\div12=7\) carrés en longueur et \(60\div12=5\) en largeur, soit \(35\) carrés.

Test flash

TEST FLASH — 30 s. Réponds avant de lire les résultats. 1. \(66\) en facteurs premiers. 2. Réduire \(\dfrac{48}{72}\). 3. \(\mathrm{PGCD}(36;60)\) ? Vérification : \(2\times3\times11\ ;\ \dfrac23\ ;\ 12\).