Troisième · Arithmétique · Objectif 3 · Décomposition et fractions irréductibles

Formulaire — Facteurs premiers et fractions

1. Diviseur et multiple

Si \(a\), \(b\) sont des entiers positifs (\(a\neq0\)) : \[\boxed{b=a\times k\quad(k\text{ entier})}.\] Alors \(a\) est un diviseur de \(b\), et \(b\) est un multiple de \(a\).

Exemple : \(24=6\times4\) ; 6 est un diviseur de 24 et 24 est un multiple de 6.

2. Critères de divisibilité

2	le chiffre des unités est pair ;
3	la somme des chiffres est divisible par 3 ;
4	les deux derniers chiffres forment un multiple de 4 ;
5	le chiffre des unités est 0 ou 5 ;
9	la somme des chiffres est divisible par 9 ;
10	le chiffre des unités est 0.

Exemple : \(135\) est divisible par 3 et 9 car \(1+3+5=9\).

3. Décomposer en facteurs premiers

Un nombre premier possède exactement deux diviseurs positifs : 1 et lui-même.

Premiers inférieurs à 30 : \(2;3;5;7;11;13;17;19;23;29\). Le nombre 1 n’est pas premier.

\[600=2\times2\times2\times3\times5\times5\] \[\boxed{600=2^3\times3\times5^2}.\]

\(2^3=2\times2\times2\). Une décomposition est terminée lorsque tous les facteurs sont premiers.

4. Agrandir ou simplifier une fraction

On obtient une fraction égale en multipliant ou divisant son numérateur et son dénominateur par un même nombre non nul : \[\boxed{\frac ab=\frac{a\times k}{b\times k}}\quad(k\ne0).\] \[\boxed{\frac ab=\frac{a\div k}{b\div k}}.\]

Pour la deuxième égalité, \(k\) doit diviser \(a\) et \(b\). Dans les deux cas, \(b\neq0\).

5. Fraction irréductible

Une fraction est irréductible lorsque son numérateur et son dénominateur n’ont aucun diviseur commun autre que 1. Condition : \[\boxed{\mathrm{PGCD}(a;b)=1}.\]

Ici, \(a\) et \(b\) sont des entiers positifs et \(b\ne0\).

Pour rendre une fraction irréductible, on divise ses deux termes par leur PGCD : \[g=\mathrm{PGCD}(a;b),\qquad \boxed{\frac ab=\frac{a\div g}{b\div g}}.\]

6. Simplifier avec les facteurs premiers

\[120=2^3\times3\times5,\quad84=2^2\times3\times7.\] \[\frac{120}{84}=\frac{2\times2\times2\times3\times5}{2\times2\times3\times7}\] \[=\frac{2\times5}{7}=\boxed{\frac{10}{7}}.\]

On supprime les facteurs communs au numérateur et au dénominateur.

7. PGCD : définition

PGCD signifie Plus Grand Diviseur Commun. \[\text{Diviseurs de }18:\ 1;2;3;6;9;18.\] \[\text{Diviseurs de }24:\ 1;2;3;4;6;8;12;24.\] Diviseurs communs : \(1;2;3;6\). \[\boxed{\mathrm{PGCD}(18;24)=6}.\]

8. PGCD : facteurs premiers

\[600=2^3\times3\times5^2,\] \[840=2^3\times3\times5\times7.\] On garde chaque facteur premier commun, avec le plus petit exposant : \[\boxed{\mathrm{PGCD}(600;840)=2^3\times3\times5=120}.\]

Un facteur premier présent dans un seul des deux nombres ne figure pas dans le PGCD.

9. Répartir en lots identiques

Sans reste, pour répartir \(a\) objets d’un type et \(b\) d’un autre : \[\boxed{\text{nombre maximal de lots}=\mathrm{PGCD}(a;b)}.\] \[\text{par lot :}\quad\frac a{\mathrm{PGCD}(a;b)}\ \text{et}\ \frac b{\mathrm{PGCD}(a;b)}.\]

Avec 120 et 144 objets : 24 lots de 5 et 6 objets.

10. Pavage avec les plus grands carrés

Pour un rectangle de dimensions entières \(L\) et \(\ell\), dans la même unité : \[\boxed{\text{côté maximal }c=\mathrm{PGCD}(L;\ell)}.\] \[\boxed{\text{nombre de carrés}=\frac Lc\times\frac\ell c}.\]

Pavage complet, sans découpe des carrés.

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