Troisième · Arithmétique · Objectif 1 · Calcul et écriture scientifique

Formulaire — Puissances d’un nombre relatif

1. Exposant entier positif

\[\boxed{a^n=\underbrace{a\times\cdots\times a}_{n\text{ facteurs}}}\]

\(a\) : nombre relatif ; \(n\) : entier positif.

\[a^1=a\qquad 0^n=0\ (n\geqslant1)\]

\[2^4=2\times2\times2\times2=16\]

\[(-3)^3=(-3)\times(-3)\times(-3)=-27\]

Le nombre \(a\) est la base ; \(n\) est l’exposant.

2. Exposants nul et négatif

\[\boxed{a^0=1}\quad (a\ne0)\]

\[\boxed{a^{-n}=\frac{1}{a^n}}\quad (a\ne0,\ n\geqslant1)\]

\[a^{-1}=\frac{1}{a}\]

\[2^{-3}=\frac{1}{2^3}=\frac18\]

\[(-5)^{-2}=\frac{1}{(-5)^2}=\frac1{25}\]

\(0^0\) et les puissances négatives de \(0\) ne sont pas définies.

3. Signe et parenthèses

Base négative : exposant pair \(\Rightarrow\) résultat positif ; exposant impair \(\Rightarrow\) résultat négatif.

\[(-2)^4=16\qquad (-2)^3=-8\]

\[(-2)^{-2}=\frac14\quad (-2)^{-3}=-\frac18\]

Attention, les parenthèses changent le calcul :

\[(-2)^4=16\quad\text{mais}\quad -2^4=-16\]

4. Produit : même base

\[\boxed{a^m\times a^n=a^{m+n}}\]

\(a\ne0\) ; \(m\) et \(n\) sont des entiers relatifs.

\[3^2\times3^4=3^6\]

\[2^5\times2^{-3}=2^2=4\]

\[a^m\times a^{-m}=a^0=1\]

On additionne les exposants lorsque la base est la même.

5. Quotient : même base

\[\boxed{\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}}\]

\(a\ne0\) ; \(m\) et \(n\) sont des entiers relatifs.

\[\frac{2^3}{2^5}=2^{3-5}=2^{-2}=\frac14\]

\[\frac{5^7}{5^4}=5^3=125\]

\[\frac{a^n}{a^n}=a^0=1\]

On soustrait les exposants : celui du numérateur moins celui du dénominateur.

6. Puissance d'une puissance

\[\boxed{(a^m)^n=a^{m\times n}}\]

Pour tous entiers relatifs \(m,n\), avec \(a\ne0\).

\[(2^3)^2=2^{3\times2}=2^6=64\]

\[(3^{-2})^3=3^{-6}=\frac1{729}\]

On multiplie les exposants.

7. Même exposant : produit, quotient

\[\boxed{a^n\times b^n=(ab)^n}\]

\[\boxed{\frac{a^n}{b^n}=\left(\frac ab\right)^n}\]

Pour le quotient, \(b\ne0\) ; si \(n<0\), les deux bases doivent être non nulles.

\[7^4\times3^4=(7\times3)^4=21^4\]

\[\left(\frac23\right)^2=\frac49\]

8. Puissances de 10

\[10^0=1\quad 10^3=1\,000\quad 10^{-3}=0{,}001\]

\[10^{-n}=\frac1{10^n}\quad(n\geqslant1)\]

\[4{,}7\times10^3=4\,700\]

\[4{,}7\times10^{-3}=0{,}0047\]

Écriture scientifique :

\[\boxed{a\times10^n}\]

\(n\) entier relatif ; sans tenir compte de son signe, \(a\) est entre \(1\) inclus et \(10\) exclu.

\[7\,400=7{,}4\times10^3\]

\[0{,}00072=7{,}2\times10^{-4}\]

9. Préfixes et puissances de 10

giga (G)	\(10^9\)	milli (m)	\(10^{-3}\)
méga (M)	\(10^6\)	micro (μ)	\(10^{-6}\)
kilo (k)	\(10^3\)	nano (n)	\(10^{-9}\)

\[1\,\mathrm{km}=10^3\,\mathrm m\]

\[1\,\mathrm{\mu m}=10^{-6}\,\mathrm m\]

Arithmétique — Puissances d’un nombre relatif — Formulaire