Formulaire — Produire et utiliser une expression littérale

\(a\times b=ab\), \(k\times x=kx\), \(1x=x\), \(0x=0\).
\(x\times x=x^2\), \(x\times x\times x=x^3\).
\((-1)x=-x\), \(a(-x)=-(ax)\).
\(x^m=x\times\cdots\times x\) : \(m\) facteurs, \(m\geq1\) entier.
Priorités : parenthèses, puissances, \(\times/\div\), puis \(+/-\) (de gauche à droite à rang égal).

\(\begin{aligned} \text{Triple de }x\text{ puis retrait de }b &: 3x-b\\ \text{Triple de }(x-b) &:3(x-b)\\ \text{Double de la somme} &:2(x+b)\\ \text{Carré augmenté de }b &:x^2+b\\ \text{Carré de la somme} &:(x+b)^2 \end{aligned}\)
\(\text{Ajouter }a\text{ puis multiplier par }k : k(x+a)\).
\(\text{Multiplier par }k\text{ puis ajouter }a : kx+a\).
L'ordre change l'expression : \(k(x+a)\neq kx+a\) en général.

Pour \(n,p\in\mathbb Z\) :
\(\text{pair}:\,2n\) \(\text{impair}:\,2n+1\)
\(\text{trois consécutifs}:\,n,n+1,n+2\)
\(\text{pairs successifs}:\,2n,2n+2\)
\(\text{impairs successifs}:\,2n+1,2n+3\)
\(7n\) : multiple de 7 ; \((7n)(7p)=49np\).
\((2n+1)(2n+3)\) : produit d’impairs successifs.
\(n(n+1)\) : produit de deux entiers consécutifs.
\((2n+2)^2-(2n)^2\) : différence des carrés de deux pairs successifs.
\(n+(n+1)+(n+2)=3(n+1)\).

\(\displaystyle F(x)=ax^2+bx+c\ \Longrightarrow\ F(t)=at^2+bt+c\).
\(\displaystyle x=-2:\quad x^2=(-2)^2=4,\quad -x^2=-4\).
Substituer chaque occurrence ; entourer une valeur négative de parenthèses.

\(\begin{aligned} +(a+b)&=a+b & +(a-b)&=a-b\\ -(a+b)&=-a-b & -(a-b)&=-a+b \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} u-(v+w)&=u-v-w\\ u-(v-w)&=u-v+w \end{aligned}\)
« − » change le signe de tous les termes.

\(\begin{aligned} k(a+b)&=ka+kb\\ k(a-b)&=ka-kb\\ (a+b)k&=ak+bk\\ ka+kb&=k(a+b) \end{aligned}\)
\(\displaystyle -2(x+3)=-2x-6\).
Multiplier chaque terme (signe de \(k\) compris). Sens inverse : facteur commun.

\(\begin{aligned} pa+qa&=(p+q)a\\ pa-qa&=(p-q)a\\ px^2+qx^2&=(p+q)x^2\\ x+x&=2x\quad;\quad x^2+x^2=2x^2 \end{aligned}\)
\(\displaystyle 4x-(7x-5)+2-x=-4x+7\).
Regrouper séparément les \(x\), les \(x^2\) et les constantes.

\(E(x)=F(x)\) pour tout \(x\) : transformer par égalités valides.
\(E(t)\ne F(t)\) pour un seul \(t\) : les expressions ne sont pas identiques.
\(x+x^2\ne 2x^2\) en général ; on ne réunit pas des termes différents.
Quelques essais ne démontrent pas une identité.

Longueur \(L\), largeur \(\ell\), côté \(s\), hauteur \(h\).
\(\begin{aligned} \text{Rectangle:}\; P&=2(L+\ell),&A&=L\ell\\ \text{Carré:}\; P&=4s,& A&=s^2\\ \text{Triangle:}\quad P&=a+b+c,\; A=\frac{bh}{2}\\ \text{Trapèze:}\quad A&=\frac{(B+b)h}{2}\\ \text{Pavé droit:}\quad V&=L\ell h\\ \text{Prisme droit:}\quad V&=Sh \end{aligned}\)
\(S\) : aire de la base ; hauteurs perpendiculaires.

Carré de \(n\times n\) cases : \(N=n^2\) (\(n\geq1\)).
Bordure de ce carré : \(B(n)=4n-4\) (\(n\geq2\)).
Verger du cours (\(n\geq1\)) :
\(P(n)=n^2\) pommiers ; \(C(n)=8n\) conifères.
Cube : six faces de \(n\times n\) carrés \(\Rightarrow N=6n^2\).

Tonneau : \(\displaystyle V=\frac{\pi h}{12}(2D^2+d^2)\).
\(D\) : diamètre au bouge ; \(d\) : diamètre aux extrémités ; \(h\) : hauteur. En dm : \(V\) en litres. Lichen : \(\displaystyle d=7\sqrt{t-12}\) (\(t>12\)).
\(d\) en mm, \(t\) en années. Modèles fournis par l’énoncé, non universels.

\(\displaystyle 1\,\mathrm{dm}^3=1\,\mathrm L,\qquad 1\,\mathrm{m}^3=1000\,\mathrm L\).
\(\displaystyle 1\,\mathrm L=1000\,\mathrm{cm}^3\).
\(P\) : unité de longueur ; \(A\) : unité d'aire ; \(V\) : unité de volume (dont le litre).