Fonctions cosinus et sinus — Formulaire

\[\boxed{\cos^2 x+\sin^2 x=1}\]

Bornes : \(-1\leq\sin x\leq1\) et \(-1\leq\cos x\leq1\).

\(\sin^2x=1-\cos^2x\), \(\cos^2x=1-\sin^2x\). Pour les racines, choisir le signe selon le quadrant : \(\sin x=\pm\sqrt{1-\cos^2x}\), \(\cos x=\pm\sqrt{1-\sin^2x}\).

Périodicité : \(\sin(x+2k\pi)=\sin x\) et \(\cos(x+2k\pi)=\cos x\), pour \(k\in\mathbb Z\). La période fondamentale vaut \(2\pi\). Pour \(a\ne0\), les fonctions \(\sin(ax+b)\) et \(\cos(ax+b)\) ont pour période \(T=\frac{2\pi}{|a|}\).

Parité : \(\cos(-x)=\cos x\) (fonction paire) et \(\sin(-x)=-\sin x\) (fonction impaire).

\[\cos(\pi-x)=-\cos x,\qquad \sin(\pi-x)=\sin x\]

\[\cos(\pi+x)=-\cos x,\qquad \sin(\pi+x)=-\sin x\]

\[\cos(\frac\pi2-x)=\sin x,\qquad \sin(\frac\pi2-x)=\cos x\]

\[\cos(x+\frac\pi2)=-\sin x,\qquad \sin(x+\frac\pi2)=\cos x\]

Décalage de \(k\pi\) : \(\cos(x+k\pi)=(-1)^k\cos x\) et \(\sin(x+k\pi)=(-1)^k\sin x\).

\[\begin{aligned}\sin x=1&\iff x=\frac\pi2+2k\pi,\\\sin x=-1&\iff x=-\frac\pi2+2k\pi,\\\cos x=1&\iff x=2k\pi,\\\cos x=-1&\iff x=\pi+2k\pi.\end{aligned}\]

Dans ces familles, \(k\in\mathbb Z\).

Pour \(a,b\in\mathbb R\), les signes sont appariés :

\[\cos(a\pm b)=\cos a\cos b\mp\sin a\sin b\]

\[\sin(a\pm b)=\sin a\cos b\pm\cos a\sin b\]

Angles doubles :

\[\sin(2x)=2\sin x\cos x\]

\[\cos(2x)=\cos^2x-\sin^2x\]

\[\cos(2x)=2\cos^2x-1=1-2\sin^2x\]

\[\cos^2x=\frac{1+\cos(2x)}2,\qquad \sin^2x=\frac{1-\cos(2x)}2\]

Angles triples :

\[\sin(3x)=3\sin x-4\sin^3x,\qquad \cos(3x)=4\cos^3x-3\cos x\]

Demi-angles : \(x\mapsto\frac{x}{2}\) ; choisir le signe des racines.

Pour \(a,b\in\mathbb R\), les formules de produits en sommes :

\[2\cos a\cos b=\cos(a+b)+\cos(a-b)\]

\[2\sin a\sin b=\cos(a-b)-\cos(a+b)\]

\[2\sin a\cos b=\sin(a+b)+\sin(a-b)\]

\[2\cos a\sin b=\sin(a+b)-\sin(a-b)\]

Sommes en produits :

\[\sin a+\sin b=2\sin\frac{a+b}{2}\cos\frac{a-b}{2}\]

\[\sin a-\sin b=2\cos\frac{a+b}{2}\sin\frac{a-b}{2}\]

\[\cos a+\cos b=2\cos\frac{a+b}{2}\cos\frac{a-b}{2}\]

\[\cos a-\cos b=-2\sin\frac{a+b}{2}\sin\frac{a-b}{2}\]

Les limites ci-dessous nécessitent des angles en radians.

\[\lim_{h\to0}\frac{\sin h}{h}=1,\qquad \lim_{h\to0}\frac{\cos h-1}{h}=0\]

\[\lim_{h\to0}\frac{1-\cos h}{h^2}=\frac12\]

Sinus et cosinus sont continus sur \(\mathbb R\). Si \(b\ne0\), \(\lim_{h\to0}\frac{\sin(ah)}{bh}=\frac ab\).

\[\sin x=0\iff x=k\pi,\qquad \cos x=0\iff x=\frac\pi2+k\pi\]

Pour \(k\in\mathbb Z\) :

\[\sin x\geq0\iff x\in[2k\pi,(2k+1)\pi]\]

\[\cos x\geq0\iff x\in[-\frac\pi2+2k\pi,\frac\pi2+2k\pi]\]

Pour \(x,\alpha\in\mathbb R\) et \(k\in\mathbb Z\) :

\[\cos x=\cos\alpha\iff x=\pm\alpha+2k\pi\]

\[\sin x=\sin\alpha\iff x=\alpha+2k\pi\quad\text{ou}\quad x=\pi-\alpha+2k\pi\]

Si \(|c|>1\), il n’y a pas de solution réelle. Pour \(\sin u=c\) ou \(\cos u=c\), résoudre en \(u\), puis revenir à \(x\) et filtrer dans le domaine demandé.

Chaque ligne donne une union d’intervalles, pour \(k\in\mathbb Z\).

Cosinus, avec \(0\leq\alpha\leq\pi\)

\[\cos x\geq\cos\alpha\iff x\in[-\alpha,\alpha]+2k\pi\]

\[\cos x\leq\cos\alpha\iff x\in[\alpha,2\pi-\alpha]+2k\pi\]

Sinus, avec \(-\frac\pi2\leq\beta\leq\frac\pi2\)

\[\sin x\geq\sin\beta\iff x\in[\beta,\pi-\beta]+2k\pi\]

\[\sin x\leq\sin\beta\iff x\in[-\pi-\beta,\beta]+2k\pi\]

Pour les signes stricts, exclure les bornes correspondantes et contrôler \(\pm1\).

Pour \(u\) dérivable, \(a\) et \(b\) constants ; angles en radians :

\[(\sin x)'=\cos x,\qquad (\cos x)'=-\sin x\]

\[(\sin u)'=u'\cos u,\qquad (\cos u)'=-u'\sin u\]

\[(\sin(ax+b))'=a\cos(ax+b),\qquad (\cos(ax+b))'=-a\sin(ax+b)\]

\[(\sin x)''=-\sin x,\qquad (\cos x)''=-\cos x\]

Tangente à \(f\) au point d’abscisse \(x_0\), si \(f\) est dérivable :

\[y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)\]