Limites de fonctions — Exercice 06

On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par

\[f(x) = \dfrac{x}{\text{e}^x - x}.\]

On note (\(\mathcal{C}\)) sa courbe représentative dans le plan rapporté au repère orthogonal \(\left(O ; \overrightarrow{\imath}, \overrightarrow{\jmath}\right)\), l’unité graphique est \(2\) cm sur l’axe des abscisses et 5 cm sur l’axe des ordonnées.

Partie A

Soit \(g\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(g(x) = \text{e}^x- x - 1\).

1. Étudier les variations de la fonction \(g\) sur \(\mathbb{R}\). En déduire le signe de \(g\).

2. Justifier que pour tout \(x,\:\left(\text{e}^x - x\right)\) est strictement positif.

Partie B

1. 1. Calculer les limites de la fonction \(f\) en \(+ \infty\) et en \(- \infty\).

   2. Interpréter graphiquement les résultats précédents.

2. 1. Calculer \(f'(x),\: f'\) désignant la fonction dérivée de \(f\).

   2. étudier le sens de variations de \(f\) puis dresser son tableau de variations.

3. 1. Déterminer une équation de la tangente (T) à la courbe (\(\mathcal{C}\)) au point d’abscisse \(0\).

   2. À l’aide de la partie A, étudier la position de la courbe (\(\mathcal{C}\)) par rapport à la droite (T).

4. Tracer la droite (T) les asymptotes et la courbe (\(\mathcal{C}\)).