Limites de fonctions — Exercice 11

Partie A

On considère la fonction \(f\) définie et dérivable sur l’intervalle \([0 ; + \infty[\) par

\[f(x) = x\text{e}^{- x}.\]

1. Déterminer la limite de la fonction \(f\) en \(+ \infty\).

On donne en annexe la courbe \(\mathcal{C}_{f}\) représentative de la fonction \(f\) dans un repère du plan. La droite \(\Delta\) d’équation \(y = x\) a aussi été tracée.

Partie B

Soit la suite \(\left(u_{n}\right)\) définie par \(u_{0} = 1\) et, pour tout entier naturel \(n,\: u_{n+1} = f\left(u_{n}\right)\).

1. Placer sur le graphique donné en annexe, en utilisant la courbe \(\mathcal{C}_{f}\) et la droite \(\Delta\), les points \(A_{0},\, A_{1}\) et \(A_{2}\) d’ordonnées nulles et d’abscisses respectives \(u_{0},\, u_{1}\) et \(u_{2}\). Laisser les tracés explicatifs apparents.

2. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel \(n,\: u_{n} > 0\).

3. Montrer que la suite \(\left(u_{n}\right)\) est décroissante.

4. 1. Montrer que la suite \(\left(u_{n}\right)\) est convergente.

   2. On admet que la limite de la suite \(\left(u_{n}\right)\) est solution de l’équation \(x\text{e}^{- x} = x\).

      Résoudre cette équation pour déterminer la valeur de cette limite.

Partie C

On considère la suite \(\left(S_{n}\right)\) définie pour tout entier naturel \(n\) par

\[S_{n} = \displaystyle\sum_{k= 0}^{k=n} u_{k} = u_{0} + u_{1} + \cdots + u_{n}.\]

Compléter l’algorithme donné en annexe afin qu’il calcule \(S_{100}\).

from math import exp

u = ...
S = ...
for k in range(1, ...):
    u = u*exp(-u)
    S = ...
print(...)