Exercice écrit
Limites de fonctions — Exercice 15
D1 — BAC — sujet officiel
On considère la fonction numérique \(u\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \[u(x)=\sqrt{x^2+1}-x\] et on désigne par \((\mathcal C)\) sa courbe représentative.
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Se connecterDéterminer la limite de \(u\) en \(-\infty\).
Montrer que, pour tout \(x\) réel, on a \[u(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x^2+1}+x}.\] En déduire la limite de \(u\) en \(+\infty\).
Montrer que \([u(x)+2x]\) tend vers \(0\) quand \(x\) tend vers \(-\infty\).
Montrer que, pour tout \(x\) réel, on a \(u(x)>0\). En déduire le signe de \([u(x)+2x]\).
Interpréter graphiquement ces résultats.
Montrer que la dérivée de la fonction \(u\) est définie sur \(\mathbb{R}\) par \[u'(x)=\dfrac{-u(x)}{\sqrt{x^2+1}}.\]
Étudier les variations de la fonction \(u\).
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On considère la fonction numérique \(u\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \[u(x)=\sqrt{x^2+1}-x\] et on désigne par \((\mathcal C)\) sa courbe représentative.
Déterminer la limite de \(u\) en \(-\infty\).
Montrer que, pour tout \(x\) réel, on a \[u(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x^2+1}+x}.\] En déduire la limite de \(u\) en \(+\infty\).
Montrer que \([u(x)+2x]\) tend vers \(0\) quand \(x\) tend vers \(-\infty\).
Montrer que, pour tout \(x\) réel, on a \(u(x)>0\). En déduire le signe de \([u(x)+2x]\).
Interpréter graphiquement ces résultats.
Montrer que la dérivée de la fonction \(u\) est définie sur \(\mathbb{R}\) par \[u'(x)=\dfrac{-u(x)}{\sqrt{x^2+1}}.\]
Étudier les variations de la fonction \(u\).
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