Limites de fonctions — Exercice 16

Étude d’une fonction auxiliaire

Soit \(g\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \[g(x)=2\text{e}^x-x-2.\]

1. Déterminer la limite de \(g\) en \(-\infty\) et la limite de \(g\) en \(+\infty\).

2. Étudier le sens de variation de \(g\), puis dresser son tableau de variations.

3. On admet que l’équation \(g(x)=0\) a exactement deux solutions réelles.

   1. Vérifier que \(0\) est l’une de ces solutions.

   2. L’autre solution est appelée \(\alpha\). Montrer que \(-1,6\leqslant \alpha\leqslant -1,5\).

4. Déterminer le signe de \(g(x)\) suivant les valeurs du réel \(x\).

Étude de la fonction principale

Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \[f(x)=\text{e}^{2x}-(x+1)\text{e}^x.\]

1. Déterminer la limite de \(f\) en \(-\infty\) et la limite de \(f\) en \(+\infty\).

   On pourra mettre \(\text{e}^{2x}\) en facteur.

2. Calculer \(f'(x)\) et montrer que \(f'(x)\) et \(g(x)\) ont le même signe.

   Étudier le sens de variation de \(f\).

3. Montrer que \[f(\alpha)=-\dfrac{\alpha^2+2\alpha}{4},\] où \(\alpha\) est défini ci-dessus.

   En déduire un encadrement de \(f(\alpha)\).

4. Établir le tableau de variations de \(f\).