Limites de fonctions — Exercice 27

On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \[f(x)=\text{e}^x\cos x.\] On appelle \(\mathcal C_f\) la représentation graphique de \(f\) dans un repère orthogonal.

1. Montrer que, pour tout réel \(x\), \[-\text{e}^x\leqslant f(x)\leqslant \text{e}^x.\] En déduire que \(\mathcal C_f\) admet une asymptote au voisinage de \(-\infty\). Quelle est cette asymptote ?

2. Déterminer les abscisses des points d’intersection de \(\mathcal C_f\) avec l’axe des abscisses.

3. On étudie \(f\) sur l’intervalle \(\left[-\dfrac{\pi}{2} ; \dfrac{\pi}{2}\right]\).

   Démontrer que, pour tout réel \(x\in\left[-\dfrac{\pi}{2} ; \dfrac{\pi}{2}\right]\), on a : \[\cos x-\sin x=\sqrt2\cos\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right).\]

4. Calculer \(f'(x)\), où \(f'\) désigne la fonction dérivée de \(f\).

   Montrer que \(f\) est croissante sur \(\left[-\dfrac{\pi}{2} ; \dfrac{\pi}{4}\right]\) et décroissante sur \(\left[\dfrac{\pi}{4} ; \dfrac{\pi}{2}\right]\).

   Dresser le tableau de variations de \(f\) sur \(\left[-\dfrac{\pi}{2} ; \dfrac{\pi}{2}\right]\).