Terminale spécialité · Cours en classe

Épreuves indépendantes et loi binomiale

Épreuves indépendantes
et loi binomiale
Cours en classe — Terminale spécialité mathématiques
Faire les 2k\(\pi\)•Année 2026–2027

Cap du chapitre. Modéliser des essais, justifier une loi binomiale, démontrer sa formule, calculer des probabilités et des moments, puis résoudre des problèmes de seuil, d’optimisation et d’intervalles.

Outils mobilisés. Les règles de probabilité et le conditionnement sont rappelés au départ ; les coefficients binomiaux, issus du dénombrement, sont rappelés avant la formule. La dérivation intervient pour l’optimisation. Les seuils peuvent être obtenus par une boucle ; leur résolution par logarithme suppose que celui-ci a déjà été étudié.

Repères de lecture. Chaque résultat indique ses conditions ; les démonstrations suivent les résultats structurants. Les propriétés de sommes utilisées comme outils admis sont annoncées comme telles. Les exemples de référence montrent la rédaction et le contrôle du résultat.

1. Rappels utiles, indépendance et arbres

Objectif. Décrire des expériences successives et calculer par produits de branches et sommes de chemins.

Rappel 1.1 — Événements, conditionnement et probabilités totales

L’univers \(\Omega\) est l’ensemble des issues du modèle ; les univers de ce chapitre sont finis. Un événement est un ensemble d’issues. Les écritures \(A\cap B\), \(A\cup B\) et \(\overline A\) signifient respectivement « \(A\) et \(B\) », « \(A\) ou \(B\) » (au moins l’un des deux) et « non \(A\) ». Deux événements sont incompatibles si \(A\cap B=\varnothing\). \[\mathbb{P}(\Omega)=1,\quad \mathbb{P}(\varnothing)=0,\quad \mathbb{P}(\overline A)=1-\mathbb{P}(A), \qquad \mathbb{P}(A\cup B)=\mathbb{P}(A)+\mathbb{P}(B)-\mathbb{P}(A\cap B).\] Ainsi, on additionne directement les probabilités d’événements incompatibles. Si \(A\subset B\), alors \(\mathbb{P}(A)\le\mathbb{P}(B)\).

Si \(\mathbb{P}(A)>0\), la probabilité conditionnelle de \(B\) sachant \(A\) est \[\mathbb{P}_A(B)=\frac{\mathbb{P}(A\cap B)}{\mathbb{P}(A)}; \qquad \mathbb{P}(A\cap B)=\mathbb{P}(A)\mathbb{P}_A(B).\] Pour une partition \(A_1,\ldots,A_r\) de l’univers en événements de probabilités strictement positives, la formule des probabilités totales donne \[\mathbb{P}(B)=\sum_{i=1}^r\mathbb{P}(A_i)\mathbb{P}_{A_i}(B).\] La partition signifie que les cas sont deux à deux incompatibles et couvrent tout l’univers. On ne calcule pas de conditionnelle sachant un événement de probabilité nulle.

Définition 1.2 — Événements indépendants

Deux événements \(A\) et \(B\) sont indépendants lorsque \[\mathbb{P}(A\cap B)=\mathbb{P}(A)\mathbb{P}(B).\] Cette définition, sans division, reste valable si l’un des événements a une probabilité nulle.

Propriété 1.3 — Deux outils pour reconnaître ou conserver l’indépendance

1. Caractérisation. Si \(\mathbb{P}(A)>0\), \(A\) et \(B\) sont indépendants si et seulement si \(\mathbb{P}_A(B)=\mathbb{P}(B)\). On peut échanger \(A\) et \(B\) lorsque \(\mathbb{P}(B)>0\).

2. Passage aux contraires. Si \(A\) et \(B\) sont indépendants, alors \(A\) et \(\overline B\), \(\overline A\) et \(B\), ainsi que \(\overline A\) et \(\overline B\) le sont aussi.

Démonstration. Pour 1, remplacer \(\mathbb{P}(A\cap B)\) par \(\mathbb{P}(A)\mathbb{P}(B)\) dans la définition conditionnelle donne l’implication directe ; multiplier \(\mathbb{P}_A(B)=\mathbb{P}(B)\) par \(\mathbb{P}(A)\) donne la réciproque. Pour 2, les événements \(A\cap B\) et \(A\cap\overline B\) forment deux morceaux incompatibles de \(A\), donc \[\mathbb{P}(A\cap\overline B) =\mathbb{P}(A)-\mathbb{P}(A\cap B) =\mathbb{P}(A)\bigl(1-\mathbb{P}(B)\bigr) =\mathbb{P}(A)\mathbb{P}(\overline B).\] Échanger \(A\) et \(B\), puis appliquer ce même résultat aux événements déjà obtenus, donne les deux autres indépendances.

Point de vigilance 1.4 — Indépendants et incompatibles : deux idées différentes

Sur un dé équilibré, les événements \(A=\{1\}\) et \(B=\{2\}\) sont incompatibles, mais \(\mathbb{P}(A\cap B)=0\) tandis que \(\mathbb{P}(A)\mathbb{P}(B)=1/36\). Ils ne sont pas indépendants. Plus généralement, deux événements incompatibles de probabilités strictement positives ne peuvent pas être indépendants.

Définition 1.5 — Univers produit et expériences indépendantes

Pour deux expériences d’univers \(\Omega_1\) et \(\Omega_2\), une issue de l’expérience successive est un couple ordonné \((\omega_1,\omega_2)\) du produit cartésien \(\Omega_1\times\Omega_2\). Pour \(r\) expériences, c’est une liste \((\omega_1,\ldots,\omega_r)\) ; chaque position correspond à une expérience.

Le modèle d’expériences indépendantes attribue à chaque liste la probabilité \[\mathbb{P}\bigl(\{(\omega_1,\ldots,\omega_r)\}\bigr) =\mathbb{P}_1(\{\omega_1\})\cdots\mathbb{P}_r(\{\omega_r\}).\] L’indice \(i\) dans \(\mathbb{P}_i\) désigne la loi de la \(i\)-ième expérience, pas un conditionnement. Les expériences indépendantes ne sont pas nécessairement de même loi. L’indépendance est une hypothèse du modèle, à justifier par le dispositif ou à donner explicitement.

Propriété du modèle produit. Ces poids définissent bien une probabilité ; pour des événements portant chacun sur une seule expérience, la probabilité de leur réalisation commune est le produit des probabilités.

Démonstration. Pour deux expériences de poids \(a_1,\ldots,a_s\) et \(b_1,\ldots,b_t\), les produits sont positifs ou nuls et leur somme vaut, par distributivité, \[a_1(b_1+\cdots+b_t)+\cdots+a_s(b_1+\cdots+b_t) =(a_1+\cdots+a_s)(b_1+\cdots+b_t)=1.\] Restreindre les sommes aux issues des événements considérés donne le produit de leurs probabilités. Pour plusieurs expériences, on distribue successivement les sommes. Aucune équiprobabilité n’est nécessaire.

Théorème 1.6 — Règles d’un arbre pondéré

À chaque nœud accessible, les probabilités des branches qui en partent totalisent 1.

La probabilité d’un chemin est le produit des probabilités conditionnelles portées par ses branches.
La probabilité d’un événement est la somme des probabilités des chemins complets distincts qui le réalisent.

Ces règles s’appliquent aussi à des épreuves non indépendantes.

Démonstration. Pour un chemin \(A\), puis \(B\), puis \(C\), si les conditionnements sont définis, \[\mathbb{P}(A\cap B\cap C) =\mathbb{P}(A\cap B)\mathbb{P}_{A\cap B}(C) =\mathbb{P}(A)\mathbb{P}_A(B)\mathbb{P}_{A\cap B}(C).\] La même décomposition s’effectue à chaque étape supplémentaire. Si un préfixe a une probabilité nulle, tout chemin qui le prolonge a une probabilité nulle, sans division par zéro. Enfin, les chemins complets distincts sont incompatibles : on additionne donc leurs probabilités.

Exemple de référence 1.7 — Un capteur et un contrôle indépendant

Un capteur affiche vert, orange ou rouge avec les probabilités \(0{,}5\), \(0{,}3\), \(0{,}2\). Un contrôle indépendant répond « oui » avec probabilité \(0{,}8\). L’issue \((\text{orange},\text{oui})\) a pour probabilité \(0{,}3\times0{,}8=0{,}24\).

On accepte si le capteur n’est pas rouge et si le contrôle répond oui. Les chemins \((\text{vert},\text{oui})\) et \((\text{orange},\text{oui})\) conviennent : \[\mathbb{P}(\text{accepter})=0{,}5\times0{,}8+0{,}3\times0{,}8=0{,}64.\] Les six issues ne sont pas équiprobables : \((\text{vert},\text{oui})\) a pour probabilité \(0{,}4\), tandis que \((\text{rouge},\text{non})\) a pour probabilité \(0{,}04\).

Figure 1. Deux expériences indépendantes, de lois différentes.
Lecture. Après chacun des trois affichages du capteur, les probabilités du second contrôle sont toujours 0,8 et 0,2. On multiplie le long d’un chemin et on additionne les chemins de la décision choisie.

Exemple de référence 1.8 — Avec ou sans remise : deux calculs différents

Un sac contient trois jetons rouges et deux bleus. On tire uniformément deux jetons et on cherche la probabilité d’obtenir exactement un rouge : les chemins favorables sont \(RB\) et \(BR\).

Avec remise, mélange et nouveau tirage indépendant : \[\mathbb{P}(RB\text{ ou }BR)=\frac35\times\frac25+\frac25\times\frac35 =\frac{12}{25}=0{,}48.\] Sans remise : au second tirage, il ne reste que quatre jetons et la composition dépend du premier résultat. Ainsi, \[\mathbb{P}(RB\text{ ou }BR)=\frac35\times\frac24+\frac25\times\frac34 =\frac{12}{20}=0{,}6.\] Par exemple, après un premier rouge, la probabilité d’un nouveau rouge est \(2/4\), et non \(3/5\). La règle de l’arbre reste valable ; ce sont les probabilités des branches qui changent.

2. Bernoulli : définir et reconnaître le modèle

Objectif. Justifier le schéma avant d’utiliser la loi du nombre de succès.

Définition 2.1 — Épreuve de Bernoulli

Une épreuve de Bernoulli est une expérience dont on ne retient que deux résultats complémentaires : un succès \(S\) de probabilité \(p\in[0;1]\) et un échec \(\overline S\) de probabilité \(q=1-p\). Le nombre \(p\) est le paramètre de l’épreuve.

Le succès désigne le critère choisi : il peut s’agir d’un défaut ou d’une panne. Une expérience physique à plusieurs issues peut être ramenée à deux catégories.

Définition 2.2 — Variable de Bernoulli et indicatrice du succès

Une variable aléatoire associe un nombre réel à chaque issue. Sa loi donne les probabilités de ses valeurs. L’indicatrice du succès \(I\) vaut 1 lorsque \(S\) se réalise et 0 sinon : elle suit la loi de Bernoulli de paramètre \(p\). \[\begin{array}{c|cc} i&0&1\\\hline \mathbb{P}(I=i)&1-p&p \end{array}\] Exemple. Sur un dé équilibré, choisir « obtenir un multiple de 3 » comme succès donne \(S=\{3,6\}\), donc \(p=1/3\). L’indicatrice vaut 1 sur ces deux issues, et 0 sur les autres ; elle n’est pas le nombre affiché par le dé.

Définition 2.3 — Schéma de Bernoulli

Un schéma de Bernoulli de paramètres \(n\) et \(p\) est la répétition de \(n\) épreuves de Bernoulli indépendantes, de même paramètre \(p\), avec \(n\ge1\) entier fixé avant l’expérience. Une issue détaillée est une liste ordonnée de \(n\) succès ou échecs.

Définition 2.4 — Loi binomiale : compter les succès

Dans un schéma de Bernoulli de paramètres \(n,p\), la variable \(X\) égale au nombre de succès suit la loi binomiale de paramètres \(n\) et \(p\), notée \[X\sim\mathcal{B}(n;p).\] Elle prend ses valeurs parmi \(0,1,\ldots,n\). Si \(I_i\) est l’indicatrice du succès au \(i\)-ième essai, alors \[X=I_1+\cdots+I_n.\] Chaque succès ajoute 1 au compteur, chaque échec ajoute 0. Il faut distinguer une issue détaillée, l’événement \(\{X=k\}\) et le nombre \(\mathbb{P}(X=k)\).

Figure 2. Des résultats détaillés au nombre de succès.
Lecture. La liste S, E, S, E, E, S donne les indicatrices 1, 0, 1, 0, 0, 1 et donc X = 3. Plusieurs listes différentes peuvent donner le même nombre de succès.

Méthode 2.5 — Les quatre vérifications du modèle binomial

Définir le succès et vérifier que la variable compte ses occurrences.
Donner le nombre fixé d’essais \(n\).
Justifier l’indépendance, par le dispositif ou l’hypothèse donnée.
Justifier que la probabilité \(p\) est la même à chaque essai.

Conclure en nommant la variable et ses paramètres : « Donc \(X\) suit la loi \(\mathcal{B}(n;p)\). » Le seul fait d’avoir deux catégories ne suffit pas.

Exemple de référence 2.6 — Contrôler un lot de composants

Chaque composant est défectueux avec probabilité \(0{,}08\) ; les états des composants sont supposés indépendants. On en inspecte 25 et \(X\) compte les défectueux.

Le succès est « défectueux » ; les 25 inspections sont des épreuves de Bernoulli indépendantes de même paramètre \(0{,}08\). Ainsi, \[X\sim\mathcal{B}(25;0{,}08).\] La variable \(Y=25-X\) compte les composants non défectueux. Le nouveau succès a pour probabilité \(0{,}92\), sans changer l’indépendance : \(Y\sim\mathcal{B}(25;0{,}92)\).

Point de vigilance 2.7 — Trois vérifications qui ne sont pas interchangeables

Même paramètre, mais dépendance. On lance une pièce équilibrée et on recopie trois fois son résultat. Chaque inscription a une probabilité \(1/2\) d’être P, mais le nombre de P vaut seulement 0 ou 3 : ce ne sont pas trois essais indépendants.

Indépendance, mais paramètres différents. Deux capteurs indépendants détectent avec probabilités \(0{,}2\) et \(0{,}8\). Le nombre \(X\) de détections vérifie \[\mathbb{P}(X=0)=0{,}16,\qquad \mathbb{P}(X=1)=0{,}68,\qquad \mathbb{P}(X=2)=0{,}16.\] Ce n’est pas une \(\mathcal{B}(2;p)\) : il faudrait simultanément \(p^2=0{,}16\) et \((1-p)^2=0{,}16\), donc \(p=0{,}4\) et \(p=0{,}6\). Remplacer les paramètres par leur moyenne est incorrect.

Compteur ou durée ? Compter les succès parmi dix essais n’est pas compter le nombre d’essais nécessaires pour atteindre dix succès. Dans le second cas, la durée n’est pas fixée à l’avance.

Remarque 2.8 — Paramètres extrêmes et convention sans essai

Si \(p=0\), \(X=0\) avec probabilité 1 ; si \(p=1\), \(X=n\) avec probabilité 1. Les autres valeurs ont une probabilité nulle.

Par convention, \(\mathcal{B}(0;p)\) décrit un nombre de succès toujours égal à 0, puisqu’aucun essai n’est effectué. Ces cas sont traités directement, sans expression \(0^0\).

3. La formule binomiale et sa démonstration

Objectif. Choisir les positions des succès, calculer un chemin, puis réunir les chemins favorables.

Rappel 3.1 — Combinaisons et coefficients binomiaux

Pour \(n\ge1\), la factorielle \(n!\) vaut \(1\times2\times\cdots\times n\) ; par convention, \(0!=1\).

Pour \(n\in\mathbb{N}\) et un entier \(k\) tel que \(0\le k\le n\), le coefficient binomial \(\binom nk\), lu « \(k\) parmi \(n\) », est le nombre de choix de \(k\) éléments distincts parmi \(n\), sans tenir compte de l’ordre. \[\binom nk=\frac{n!}{k!(n-k)!},\qquad \binom n0=\binom nn=1,\qquad \binom n1=n\quad(n\ge1).\] Par exemple, choisir trois positions parmi huit donne \[\binom83=\frac{8\times7\times6}{3\times2\times1}=56.\] Ce n’est pas \(8^3\) : on ne reprend pas une position et l’ordre de sélection ne crée pas un nouveau choix.

Théorème 3.2 — Probabilité d’obtenir exactement \(k\) succès

Si \(X\sim\mathcal{B}(n;p)\), avec \(n\ge1\) et \(0<p<1\), alors, pour chaque entier \(k\in\{0,\ldots,n\}\), \[\boxed{\displaystyle \mathbb{P}(X=k)=\binom nk p^k(1-p)^{n-k}.}\] Le coefficient compte les positions des succès ; \(p^k\) correspond aux \(k\) succès ; \((1-p)^{n-k}\) impose des échecs à toutes les autres positions.

Démonstration. Fixons les positions des \(k\) succès. Le chemin détaillé est entièrement déterminé : les \(n-k\) autres essais sont des échecs. Par indépendance, sa probabilité est le produit de \(k\) facteurs \(p\) et de \(n-k\) facteurs \(1-p\), soit \(p^k(1-p)^{n-k}\).

Il existe \(\binom nk\) choix des positions. Les chemins correspondants sont distincts et incompatibles : deux listes différentes ne peuvent pas se réaliser simultanément. Leur réunion est exactement l’événement \(\{X=k\}\). On additionne donc \(\binom nk\) probabilités égales, ce qui donne la formule.

Pour \(k=0\), un seul chemin ne contient que des échecs ; pour \(k=n\), un seul chemin ne contient que des succès. Les deux cas sont inclus. Les cas \(p=0\), \(p=1\) et \(n=0\) se lisent directement dans la remarque 2.8.

Figure 3. Six placements de deux succès parmi quatre essais.
Lecture. Chaque ligne est un chemin différent. Le coefficient \(\binom42=6\) compte les chemins ; il ne donne pas à lui seul leur probabilité.

Propriété 3.3 — La somme des probabilités vaut 1

Pour \(n\ge1\) et \(0<p<1\), \[\sum_{k=0}^{n}\binom nk p^k(1-p)^{n-k}=1.\] Le symbole \(\sum\) demande ici d’additionner les termes pour \(k=0,1,\ldots,n\).

Démonstration. Le nombre de succès prend une et une seule des valeurs \(0,\ldots,n\). Les événements \(\{X=0\},\ldots,\{X=n\}\) sont incompatibles deux à deux et leur réunion est l’univers. La somme de leurs probabilités vaut donc 1. Cette preuve n’utilise pas le binôme de Newton.

Exemple de référence 3.4 — Quatre transmissions : un chemin n’est pas un compteur

Quatre messages sont transmis indépendamment ; chaque transmission est validée avec probabilité \(0{,}3\). Le nombre \(X\) de validations suit donc \(\mathcal{B}(4;0{,}3)\).

Valider les deux premiers messages et échouer aux deux derniers correspond au seul chemin SSEE, de probabilité \(0{,}3^2\times0{,}7^2=0{,}0441\). Obtenir deux validations à des positions quelconques donne \[\mathbb{P}(X=2)=\binom42\times0{,}3^2\times0{,}7^2 =6\times0{,}0441=0{,}2646.\] Le tableau complet est :

\(k\)	\(0\)	\(1\)	\(2\)	\(3\)	\(4\)
\(\binom4k\)	\(1\)	\(4\)	\(6\)	\(4\)	\(1\)
\(\mathbb{P}(X=k)\)	\(0{,}2401\)	\(0{,}4116\)	\(0{,}2646\)	\(0{,}0756\)	\(0{,}0081\)

Les cinq probabilités totalisent 1, mais elles ne sont pas égales : cinq valeurs possibles ne signifient pas cinq valeurs équiprobables.

Point de vigilance 3.5 — Ne pas oublier les autres essais

Pour \(n>2\) et \(0<p<1\), l’expression \(\binom n2p^2\) n’impose pas les échecs aux \(n-2\) autres positions : elle ne calcule pas « exactement deux succès ». Écrire un chemin complet permet de retrouver tous les facteurs et de vérifier que les exposants totalisent \(n\).

Par exemple, exactement un succès en deux essais correspond à SE ou ES : la probabilité vaut \(2p(1-p)\), et non \(2p\). Le raisonnement est toujours : choisir les positions, calculer un chemin, additionner les chemins incompatibles.

4. Calculer et représenter des probabilités binomiales

Objectif. Traduire les bornes d’un événement, choisir le bon calcul et distinguer probabilité ponctuelle et cumul.

Définition 4.1 — Probabilité ponctuelle et cumul

Soit \(X\sim\mathcal{B}(n;p)\). Pour un entier \(k\), on note \(u_k=\mathbb{P}(X=k)\). Le cumul, aussi appelé fonction de répartition, est \[F(t)=\mathbb{P}(X\leqslant t),\qquad t\in\mathbb{R}.\] Pour \(k\in\{0,\ldots,n\}\), \(F(k)=u_0+\cdots+u_k\). Puisque \(X\) est entier, pour \(k\leqslant t<k+1\), \(F(t)=F(k)\). Enfin \(F(t)=0\) pour \(t<0\) et \(F(t)=1\) pour \(t\geqslant n\).

Propriété 4.2 — Traduire toutes les bornes

La fonction \(F\) est croissante au sens large. Pour des entiers \(a\leqslant b\) et \(k\), les formules suivantes tiennent compte du caractère entier de \(X\).

Événement demandé	Calcul avec le cumul
Exactement \(k\) : \(X=k\)	\(u_k=F(k)-F(k-1)\)
Au plus \(k\) : \(X\leqslant k\)	\(F(k)\)
Moins de \(k\) : \(X<k\)	\(F(k-1)\)
Au moins \(k\) : \(X\geqslant k\)	\(1-F(k-1)\)
Plus de \(k\) : \(X>k\)	\(1-F(k)\)
Entre \(a\) et \(b\), inclus : \(a\leqslant X\leqslant b\)	\(F(b)-F(a-1)\)
\(a<X\leqslant b\)	\(F(b)-F(a)\)
\(a\leqslant X<b\)	\(F(b-1)-F(a-1)\)

Démonstration. Si \(s\leqslant t\), l’événement \(X\leqslant s\) est inclus dans \(X\leqslant t\) : sa probabilité n’est pas plus grande. Les événements \(X\leqslant k-1\) et \(X=k\) sont disjoints et leur réunion est \(X\leqslant k\), d’où \(u_k=F(k)-F(k-1)\). Le contraire de \(X\geqslant k\) est \(X\leqslant k-1\). Enfin, en retirant de \(X\leqslant b\) toutes les valeurs jusqu’à \(a-1\), on garde exactement \(a,\ldots,b\). Les autres lignes s’en déduisent en tenant compte des entiers inclus.

Figure 4. Quatre événements autour de la borne entière \(3\).
Lecture. Les points retenus changent selon que \(3\) est exclu ou inclus. Ainsi \(X<3\) garde \(0,1,2\), tandis que \(X\geqslant3\) garde aussi la valeur \(3\).

Méthode 4.3 — Une procédure valable avec toute calculatrice

Définir \(X\) et justifier \(X\sim\mathcal{B}(n;p)\).
Traduire la phrase en événement : écrire d’abord les signes \(=\), \(<\), \(\leqslant\), \(\geqslant\).
Écrire la formule ponctuelle ou une différence de cumuls à l’aide de la propriété précédente.
Entrer \(n\), \(p\) et les bornes dans l’outil. Vérifier dans son aide si la fonction calcule une masse, un cumul ou un intervalle à bornes incluses.
Conserver la précision interne, arrondir seulement le résultat final et vérifier qu’il appartient à \([0;1]\).

Un paramètre de \(25\,\%\) s’entre sous la forme \(0{,}25\), et non \(25\). Une touche numérique n’exonère pas de justifier le modèle et l’événement calculé.

Exemple de référence 4.4 — Un même modèle, plusieurs questions

On considère \(X\sim\mathcal{B}(12;\tfrac14)\). Pour obtenir exactement trois succès : \[\mathbb{P}(X=3)=\binom{12}{3}\left(\frac14\right)^3 \left(\frac34\right)^9 =\frac{1\,082\,565}{4\,194\,304}\approx0{,}258104.\] Quelques valeurs du cumul, arrondies à \(10^{-6}\), sont :

\(k\)	0	1	2	3	4	5
\(F(k)\)	0,031676	0,158382	0,390675	0,648779	0,842356	0,945598

On obtient alors, en utilisant les valeurs internes non arrondies : \[\begin{aligned} \mathbb{P}(X<3)&=F(2)\approx0{,}390675,\\ \mathbb{P}(X\geqslant4)&=1-F(3)\approx0{,}351221,\\ \mathbb{P}(2\leqslant X\leqslant5)&=F(5)-F(1)\approx0{,}787216,\\ \mathbb{P}(2<X\leqslant5)&=F(5)-F(2)\approx0{,}554923. \end{aligned}\] Les deux dernières questions ne diffèrent que par l’inclusion de \(2\), mais leurs probabilités ne sont pas les mêmes.

Point de vigilance 4.5 — Bornes réelles et arrondis

Les bornes de l’énoncé ne sont pas toujours entières : \(X<3{,}7\) équivaut à \(X\leqslant3\), tandis que \(2{,}4<X<6{,}1\) équivaut à \(3\leqslant X\leqslant6\). Il faut donc d’abord repérer les valeurs entières autorisées. Une valeur affichée \(0{,}950\) ne prouve pas une égalité exacte avec \(0{,}95\) : près d’un seuil, augmenter la précision ou employer un calcul exact.

Exemple de référence 4.6 — Lire les bâtons et les marches du cumul

Pour \(X\sim\mathcal{B}(5;0{,}3)\), les valeurs suivantes sont exactes :

\(k\)	0	1	2	3	4	5
\(u_k\)	0,16807	0,36015	0,30870	0,13230	0,02835	0,00243
\(F(k)\)	0,16807	0,52822	0,83692	0,96922	0,99757	1

Le bâton en \(2\) a pour hauteur \(0{,}30870\) ; le cumul en \(2\) vaut \(0{,}83692\), somme des trois premières masses. Entre \(2\) et \(3\), aucune nouvelle valeur entière n’est incluse : \(F(2{,}7)=F(2)\). Le saut en \(3\) vaut \(u_3\). La probabilité d’un intervalle est une somme des hauteurs des bâtons concernés, et non une aire sous une courbe lissée entre eux.

Figure 5. La même loi \(\mathcal{B}(5;0{,}3)\), lue de deux façons.
Lecture. À gauche, une hauteur décrit une seule valeur ; à droite, elle cumule les valeurs jusqu’à l’abscisse incluse. La ligne de moyenne \(1{,}5\), étudiée dans la section suivante, n’est pas un axe de symétrie.

5. Espérance, variance et fréquence de succès

Objectif. Démontrer les moments binomiaux à partir des indicatrices de succès et interpréter leur signification.

Rappel 5.1 — Moyenne pondérée et dispersion

Si une variable aléatoire \(Y\) prend les valeurs \(y_1,\ldots,y_r\), de probabilités respectives \(p_1,\ldots,p_r\), son espérance, sa variance et son écart type sont \[m=\operatorname{E}(Y)=\sum_{i=1}^{r}y_i p_i,\qquad \operatorname{V}(Y)=\sum_{i=1}^{r}(y_i-m)^2p_i,\qquad \sigma(Y)=\sqrt{\operatorname{V}(Y)}.\] L’espérance est une moyenne pondérée, pas une réalisation annoncée. La variance mesure une dispersion par des carrés ; l’écart type est exprimé dans la même unité que \(Y\). Une espérance peut ne pas faire partie des valeurs possibles.

Propriété 5.2 — Moments d’une variable de Bernoulli

Si \(I\) vaut \(1\) avec probabilité \(p\) et \(0\) avec probabilité \(q=1-p\), alors \[\operatorname{E}(I)=p,\qquad \operatorname{V}(I)=p(1-p),\qquad \sigma(I)=\sqrt{p(1-p)}.\]

Démonstration. Par définition, \(\operatorname{E}(I)=0q+1p=p\). Les écarts à la moyenne sont \(-p\) et \(1-p=q\), donc \[\operatorname{V}(I)=(-p)^2q+(1-p)^2p=p^2q+q^2p=pq(p+q)=pq.\] La formule de l’écart type est sa définition. Le calcul reste valable pour \(p=0\) ou \(p=1\) : la variable est certaine et sa variance est nulle.

Propriété 5.3 — Les outils pour passer d’un essai à une somme

Pour des variables aléatoires finies \(Y,Y_1,\ldots,Y_n\) définies sur une même expérience, et des réels \(a,b\) :

Linéarité de l’espérance : \[\operatorname{E}(Y_1+\cdots+Y_n)=\operatorname{E}(Y_1)+\cdots+\operatorname{E}(Y_n), \qquad \operatorname{E}(aY+b)=a\operatorname{E}(Y)+b.\] Ces égalités ne demandent pas d’indépendance.
Additivité des variances dans le cas indépendant : si les variables sont indépendantes, notamment lorsqu’elles sont issues séparément d’épreuves indépendantes, \[\operatorname{V}(Y_1+\cdots+Y_n)=\operatorname{V}(Y_1)+\cdots+\operatorname{V}(Y_n).\] Sans cette hypothèse, l’égalité n’est pas une règle utilisable en général.
Pour tous réels \(a,b\), \(\operatorname{V}(aY+b)=a^2\operatorname{V}(Y)\).

Les propriétés 1 et 2 sont admises ici ; elles sont les outils du chapitre sur les sommes de variables aléatoires.

Justification de la propriété 3. Posons \(m=\operatorname{E}(Y)\). Par linéarité, l’espérance de \(aY+b\) est \(am+b\). Son écart à sa moyenne est \(aY+b-(am+b)=a(Y-m)\). Le carré de cet écart est multiplié par \(a^2\) ; sa moyenne pondérée l’est donc aussi.

Théorème 5.4 — Moments d’une loi binomiale

Si \(X\sim\mathcal{B}(n;p)\), avec \(n\geqslant1\) et \(p\in[0;1]\), alors \[\boxed{\operatorname{E}(X)=np,\qquad \operatorname{V}(X)=np(1-p),\qquad \sigma(X)=\sqrt{np(1-p)}.}\]

Démonstration. Pour chaque essai \(i\), on définit l’indicatrice \(I_i\), égale à \(1\) si cet essai est un succès et à \(0\) sinon. Alors \[X=I_1+\cdots+I_n.\] Chaque \(I_i\) a pour espérance \(p\) et pour variance \(p(1-p)\). La linéarité de l’espérance donne, sans avoir besoin de l’indépendance à cette étape, \[\operatorname{E}(X)=\underbrace{p+\cdots+p}_{n\ \text{termes}}=np.\] Les essais étant indépendants, leurs indicatrices le sont dans ce modèle. On peut donc additionner leurs variances : \[\operatorname{V}(X)=\underbrace{p(1-p)+\cdots+p(1-p)}_{n\ \text{termes}}=np(1-p).\] On prend enfin la racine carrée pour obtenir l’écart type.

Exemple de référence 5.5 — Interpréter les résultats, sans prévoir une réalisation

Pour \(X\sim\mathcal{B}(12;\tfrac14)\) : \[\operatorname{E}(X)=3,\qquad \operatorname{V}(X)=12\times\frac14\times\frac34=\frac94, \qquad \sigma(X)=\frac32.\] Le nombre moyen de succès est \(3\) et l’écart type vaut \(1{,}5\) succès. Cela ne signifie ni que chaque expérience donne trois succès, ni que toutes les valeurs sont entre \(3-1{,}5\) et \(3+1{,}5\). Par exemple, zéro succès reste possible puisque \(\mathbb{P}(X=0)=(3/4)^{12}>0\).

Corollaire 5.6 — La fréquence des succès

Pour \(n\geqslant1\), la fréquence \(Z=X/n\) prend les valeurs \(0,1/n,\ldots,1\). Elle vérifie \[\operatorname{E}(Z)=p,\qquad \operatorname{V}(Z)=\frac{p(1-p)}n,\qquad \sigma(Z)=\sqrt{\frac{p(1-p)}n}.\]

Démonstration. Par linéarité, \(\operatorname{E}(X/n)=\operatorname{E}(X)/n=p\). La propriété de changement d’échelle donne \(\operatorname{V}(X/n)=\operatorname{V}(X)/n^2=p(1-p)/n\). La dernière formule est la définition de l’écart type.

Pour \(p\) fixé, multiplier \(n\) par \(4\) divise donc l’écart type de la fréquence par \(2\). Il s’agit de la dispersion du modèle, non d’une garantie sur une réalisation particulière. La lettre \(F\) reste réservée au cumul ; \(Z\) désigne ici la fréquence.

6. Seuils, comparaison et optimisation

Objectif. Identifier ce qui varie, trouver un entier minimal ou maximal et justifier un optimum.

Méthode 6.1 — Quelle est l’inconnue ?

Avant tout calcul, séparer les trois situations :

\(n\) et \(p\) sont fixés : on cherche une borne \(k\) pour le compteur ; la loi ne change pas.
\(p\) est fixé et \(n\) varie : on cherche combien d’essais réaliser ; la loi change avec \(n\).
\(n\) est fixé et \(p\) varie : on compare des modèles ou on optimise une probabilité en fonction de \(p\).

Pour un entier minimal, il faut vérifier qu’il convient et que le précédent ne convient pas, avec une monotonie justifiant qu’aucun entier plus petit ne convient. Une seule valeur satisfaisante ne prouve pas la minimalité.

Propriété 6.2 — Chercher une borne dans une loi fixée

Soient \(X\sim\mathcal{B}(n;p)\) et \(0<\tau<1\). Posons \(F(k)=\mathbb{P}(X\leqslant k)\) et \(T(k)=\mathbb{P}(X\geqslant k)\).

Le plus petit entier \(b\) de \(\{0,\ldots,n\}\) tel que \(F(b)\geqslant\tau\) est caractérisé par \[\boxed{F(b-1)<\tau\leqslant F(b).}\] On l’appelle un quantile de niveau \(\tau\) avec cette convention.
Le plus grand entier \(a\) de \(\{0,\ldots,n\}\) tel que \(T(a)\geqslant\tau\) est caractérisé par \[\boxed{T(a)\geqslant\tau>T(a+1).}\]

Démonstration. \(F\) est croissant et \(F(n)=1\) : un premier indice convenable existe. Tous les précédents échouent exactement lorsque \(F(b-1)<\tau\). De même, \(T\) est décroissant et \(T(0)=1\) ; le dernier indice convenable est suivi d’un indice qui échoue. Aux frontières, on utilise \(F(-1)=0\) et \(T(n+1)=0\).

Exemple de référence 6.3 — Certifier les deux voisins

Soit \(X\sim\mathcal{B}(18;0{,}4)\) et \(\tau=0{,}9\). Le calcul donne : \[F(9)\approx0{,}865286<0{,}9,\qquad F(10)\approx0{,}942353\geqslant0{,}9.\] Le plus petit \(b\) tel que \(\mathbb{P}(X\leqslant b)\geqslant0{,}9\) est donc \(10\). Pour la question différente \(\mathbb{P}(X\geqslant a)\geqslant0{,}9\) : \[T(5)\approx0{,}905831\geqslant0{,}9,\qquad T(6)\approx0{,}791242<0{,}9.\] Le plus grand entier convenable est cette fois \(5\). Le sens de l’événement change donc à la fois le cumul utilisé et le type d’entier recherché.

Figure 6. Le premier franchissement du niveau \(0{,}9\).
Lecture. Pour la loi \(\mathcal{B}(18;0{,}4)\), le cumul en \(9\) est encore trop petit ; celui en \(10\) atteint le niveau.

Propriété 6.4 — Au moins un succès : complémentaire et comparaison

Dans \(n\geqslant1\) essais indépendants de même probabilité de succès \(p\) : \[\boxed{\mathbb{P}(\text{au moins un succès})=1-(1-p)^n.}\] Pour \(0<p<1\), cette probabilité est strictement croissante avec \(n\) et tend vers \(1\). Pour \(n\geqslant1\) fixé, elle est aussi strictement croissante avec \(p\) sur \([0;1]\).

Démonstration. Le contraire de « au moins un succès » est « aucun succès », de probabilité \((1-p)^n\) par indépendance. Posons \(q=1-p\in]0;1[\). La différence entre les probabilités pour \(n+1\) et \(n\) vaut \[(1-q^{n+1})-(1-q^n)=q^n(1-q)=pq^n>0.\] Comme \(q^n\) tend vers zéro, \(1-q^n\) tend vers \(1\). Enfin, pour \(n\geqslant1\), augmenter \(p\) diminue strictement \(q^n\) et augmente donc \(1-q^n\).

Méthode 6.5 — Le plus petit nombre d’essais pour atteindre un niveau

On fixe \(0<p<1\) et \(0<\tau<1\). On cherche le plus petit entier \(n\) tel que \(1-(1-p)^n\geqslant\tau\). Avec \(q=1-p\) : \[\begin{aligned} 1-q^n\geqslant\tau &\iff q^n\leqslant1-\tau\\ &\iff n\ln(q)\leqslant\ln(1-\tau)\\ &\iff n\geqslant\frac{\ln(1-\tau)}{\ln(q)}. \end{aligned}\] Le logarithme est croissant sur \(]0;+\infty[\) et \(\ln(q)<0\) : la division inverse le sens de l’inégalité. La réponse est le plus petit entier supérieur ou égal au quotient, pas son arrondi à l’entier le plus proche. On contrôle ensuite le candidat et son précédent.

Si les logarithmes n’ont pas encore été étudiés, la boucle de la section 8 réalise une recherche successive justifiée. Si \(p=0\), un niveau positif est impossible ; si \(p=1\), un seul essai suffit. Pour \(0<p<1\), le niveau \(1\) n’est jamais atteint avec un nombre fini d’essais.

Exemple de référence 6.6 — L’arrondi et le signe strict font partie du problème

Pour \(p=0{,}18\), on veut une probabilité d’au moins un succès au moins égale à \(0{,}95\). On obtient \[\frac{\ln(0{,}05)}{\ln(0{,}82)}\approx15{,}095581.\] Il faut donc \(16\) essais. Vérification : \[1-0{,}82^{15}\approx0{,}949043<0{,}95,\qquad 1-0{,}82^{16}\approx0{,}958215\geqslant0{,}95.\] Une demande strictement supérieure peut changer la réponse en cas d’égalité exacte. Avec \(p=1/2\) et le niveau \(7/8\), trois essais donnent exactement \(1-(1/2)^3=7/8\) : ils suffisent pour \(\geqslant7/8\), mais il en faut quatre pour \(>7/8\).

Exemple de référence 6.7 — Optimiser une probabilité de succès exact

Une expérience comporte dix essais indépendants de même probabilité de succès \(p\). Pour quelle valeur de \(p\in[0;1]\) la probabilité d’obtenir exactement trois succès est-elle maximale ?

On pose \[f(p)=\mathbb{P}(X=3)=\binom{10}{3}p^3(1-p)^7=120p^3(1-p)^7.\] La formule donne bien \(f(0)=f(1)=0\). Sur \(]0;1[\), on dérive : \[\begin{aligned} f'(p) &=120\bigl(3p^2(1-p)^7-7p^3(1-p)^6\bigr)\\ &=120p^2(1-p)^6\bigl(3(1-p)-7p\bigr)\\ &=120p^2(1-p)^6(3-10p). \end{aligned}\] Les premiers facteurs sont strictement positifs sur \(]0;1[\). Le signe de \(f'\) est donc celui de \(3-10p\) : \(f\) est strictement croissante jusqu’à \(p=0{,}3\), puis strictement décroissante. Son maximum est atteint uniquement en \(p=0{,}3\). \[f(0{,}3)=0{,}266827932, \qquad f(0{,}5)=0{,}1171875.\] Augmenter \(p\) ne rend donc pas nécessairement plus probable un nombre exact de succès : après un certain point, cela favorise aussi les nombres de succès supérieurs.

Méthode à retenir : fixer le domaine de \(p\), exprimer la probabilité comme une fonction, étudier sa dérivée, puis conclure sur l’optimum en tenant compte des extrémités.

7. Chercher un intervalle de probabilité donnée

Objectif. Construire des bornes, vérifier une probabilité faible ou élevée et respecter le caractère strict du seuil demandé.

Définition 7.1 — Intervalle pour le nombre de succès et probabilités des queues

Pour \(X\sim\mathcal{B}(n;p)\) et des entiers \(0\leqslant a\leqslant b\leqslant n\), l’événement \(X\in[a;b]\) signifie \(a\leqslant X\leqslant b\). Les deux queues sont les événements \(X<a\) et \(X>b\). Si \(F(k)=\mathbb{P}(X\leqslant k)\) : \[\mathbb{P}(X<a)=F(a-1),\qquad \mathbb{P}(X>b)=1-F(b),\] \[\boxed{\mathbb{P}(a\leqslant X\leqslant b)=F(b)-F(a-1).}\]

Justification. Les événements \(X<a\), \(a\leqslant X\leqslant b\) et \(X>b\) sont disjoints et couvrent toutes les possibilités. Leurs probabilités ont donc pour somme \(1\). Garantir une probabilité au moins \(1-\alpha\) dans l’intervalle revient à limiter la somme des deux queues à \(\alpha\).

Méthode 7.2 — Construire une forte couverture, puis vérifier le signe demandé

On fixe \(0<\alpha<1\) et on répartit le risque entre les deux queues, avec un budget \(\alpha/2\) pour chacune. Dans \(\{0,\ldots,n\}\), on choisit : \[\begin{cases} a=\text{premier entier tel que }F(a)>\alpha/2,\\ b=\text{premier entier tel que }F(b)\geqslant1-\alpha/2. \end{cases}\] On vérifie les voisins : \[F(a-1)\leqslant\alpha/2<F(a),\qquad F(b-1)<1-\alpha/2\leqslant F(b).\] Les deux premiers indices existent car \(F(n)=1\). De plus, \(1-\alpha/2>\alpha/2\) : l’indice \(b\) vérifie aussi le test définissant \(a\), donc \(a\leqslant b\). Les probabilités des deux queues sont au plus \(\alpha/2\), d’où \[\mathbb{P}(a\leqslant X\leqslant b)\geqslant1-\alpha.\] Si l’énoncé demande \(>1-\alpha\), calculer cette couverture et la comparer réellement au niveau. Si elle est exactement égale à \(1-\alpha\), élargir l’intervalle en incluant une valeur extérieure de probabilité positive. La couverture devient strictement supérieure. Au besoin, l’intervalle \([0;n]\) atteint \(1>1-\alpha\).

La construction répartit des budgets égaux ; les deux probabilités de queue ne sont pas forcément égales. Elle ne promet ni l’unicité ni l’intervalle le plus court.

Exemple de référence 7.3 — Une couverture strictement supérieure à \(90\,\%\)

Pour \(X\sim\mathcal{B}(20;0{,}3)\), prenons \(\alpha=0{,}1\). Chaque budget de queue vaut \(0{,}05\). Les cumuls utiles sont : \[\begin{aligned} F(2)&\approx0{,}035483<0{,}05, &F(3)&\approx0{,}107087>0{,}05,\\ F(8)&\approx0{,}886669<0{,}95, &F(9)&\approx0{,}952038\geqslant0{,}95. \end{aligned}\] La construction donne \([3;9]\). En conservant la précision interne : \[\mathbb{P}(3\leqslant X\leqslant9) =F(9)-F(2)\approx0{,}916555>0{,}9.\] L’intervalle convient donc aussi à une demande strictement supérieure à \(90\,\%\). La queue gauche vaut environ \(0{,}035483\) et la queue droite environ \(0{,}047962\) : aucune n’excède \(0{,}05\), mais elles ne sont pas égales.

Figure 7. Un intervalle et les deux queues qu’il laisse de côté.
Lecture. Pour la loi \(\mathcal{B}(20;0{,}3)\), les entiers de \(3\) à \(9\) portent environ \(91{,}66\,\%\) de la probabilité totale.

Méthode 7.4 — Chercher au contraire un intervalle peu probable

Pour obtenir \(\mathbb{P}(X\in I)<\alpha\), on peut examiner une queue du modèle : chercher un entier \(b\) tel que \(F(b)<\alpha\) donne \(I=[0;b]\). À droite, chercher un entier \(a\) tel que \(1-F(a-1)<\alpha\) donne \(I=[a;n]\). Pour un intervalle quelconque \([a;b]\), le test exact reste \[\boxed{F(b)-F(a-1)<\alpha.}\] Avec la même loi \(\mathcal{B}(20;0{,}3)\) et \(\alpha=0{,}05\), l’intervalle \(I=[0;2]\) convient : \[\mathbb{P}(X\in[0;2])=F(2)\approx0{,}035483<0{,}05.\] La valeur \(3\) ne peut pas être ajoutée si l’on veut conserver cette condition, puisque \(F(3)\approx0{,}107087>0{,}05\).

Si l’intervalle doit contenir au moins une valeur possible de probabilité positive, une solution n’existe pas toujours pour un niveau arbitrairement petit : par exemple, pour une Bernoulli de paramètre \(1/2\), chaque valeur possible a déjà probabilité \(1/2\).

Corollaire 7.5 — Passer à un intervalle de fréquences

Avec \(Z=X/n\) et \(n\geqslant1\) : \[\boxed{\mathbb{P}\left(\frac an\leqslant Z\leqslant\frac bn\right) =\mathbb{P}(a\leqslant X\leqslant b).}\]

Démonstration. Diviser les trois membres de \(a\leqslant X\leqslant b\) par le nombre strictement positif \(n\) préserve les signes : les deux événements sont identiques.

Dans l’exemple précédent, \([3;9]\) devient \([0{,}15;0{,}45]\) pour \(Z=X/20\), avec la même probabilité \(0{,}916555\) environ.

Point de vigilance 7.6 — Ce que l’intervalle permet réellement de dire

Les probabilités sont calculées sous les hypothèses du modèle, avec \(p\) fixé. Une observation extérieure à un intervalle très probable reste possible ; elle ne démontre pas à elle seule que le modèle est faux. L’intervalle porte ici sur le compteur \(X\) ou sur la fréquence \(Z\), pas sur le paramètre \(p\). Ce n’est pas un intervalle de confiance pour \(p\). Enfin, \(F(b)-F(a)\) exclut \(a\) : pour inclure la borne inférieure, il faut bien retrancher \(F(a-1)\).

8. Algorithmes et simulations

Objectif. Calculer une probabilité, chercher un seuil et simuler un échantillon en donnant un sens à chaque variable.

Les programmes suivants utilisent seulement la bibliothèque standard de Python. Ils sont regroupés dans OUTILS/binomiale_classe.py. Le contrat commun est : \(n\) entier positif ou nul, \(p\in[0;1]\) et \(k\) entier. Les calculs directs sont destinés à des paramètres de taille modérée, comme ceux des exemples du cours.

Algorithme 8.1 — Probabilité ponctuelle et cumul

La fonction proba(n,p,k) calcule \(\mathbb{P}(X=k)\) et cumul(n,p,k) calcule \(F(k)=\mathbb{P}(X\leqslant k)\) pour \(X\sim\mathcal{B}(n;p)\).

from math import comb

def proba(n, p, k):
    if k < 0 or k > n:
        return 0
    if n == 0 or p == 0:
        return 1 if k == 0 else 0
    if p == 1:
        return 1 if k == n else 0
    return comb(n, k) * p**k * (1-p)**(n-k)

def cumul(n, p, k):
    if k < 0:
        return 0
    if k >= n:
        return 1
    s = 0
    for j in range(k + 1):
        s += proba(n, p, j)
    return s

comb(n,k) est le coefficient binomial ; ** désigne une puissance. range(k+1) parcourt \(0,\ldots,k\), borne supérieure incluse dans la somme.

Justification. Les cas impossibles et les lois certaines sont traités avant la formule. Dans les autres cas, proba applique la formule binomiale démontrée. Dans la boucle de cumul, après l’indice \(j\), la variable s contient la somme des probabilités de \(0\) à \(j\). À la fin, elle représente donc \(F(k)\). La boucle a un nombre fixé de passages. Les réponses \(F(k)=0\) pour \(k<0\) et \(F(k)=1\) pour \(k\geqslant n\) sont traitées directement.

La justification est exacte en arithmétique exacte. Sur ordinateur, 0.3, les puissances et les sommes sont généralement approchées. Pour de grands \(n\), la formule directe peut aussi rencontrer des nombres trop grands ou trop petits : elle n’est pas un outil numérique universel. On conserve la précision de calcul et on n’arrondit que la réponse finale.

Algorithme 8.2 — Premier cumul atteignant un niveau

Pour \(\tau\in[0;1]\), on cherche le plus petit entier \(k\) de \(0\) à \(n\) tel que \(F(k)\geqslant\tau\).

def premier_seuil(n, p, tau):
    if tau == 0 or n == 0 or p == 0:
        return 0
    if tau == 1 or p == 1:
        return n
    s = 0
    for k in range(n):
        s += proba(n, p, k)
        if s >= tau:
            return k
    return n

Trace de référence. Pour premier_seuil(5,0.3,0.9), les étapes utiles sont :

\(k\)	\(F(k)\)	Comparaison à \(0{,}9\)
0	\(0{,}16807\)	inférieur
1	\(0{,}52822\)	inférieur
2	\(0{,}83692\)	inférieur
3	\(0{,}96922\)	supérieur : retour de \(3\)

Justification. Après l’ajout de la masse d’indice \(k\), s représente \(F(k)\). Les indices sont testés dans l’ordre croissant ; le premier qui convient est donc minimal. Si aucun indice de \(0\) à \(n-1\) ne convient, on renvoie \(n\), car \(F(n)=1\). Les premiers tests règlent les frontières et les lois certaines. Le parcours comporte au plus \(n\) passages.

Pour l’exemple, \(F(2)<0{,}9\leqslant F(3)\) certifie la réponse. Près d’une égalité, une comparaison de nombres arrondis n’est pas une preuve : vérifier les valeurs exactes ou augmenter la précision. Les arguments de minimalité portent sur les cumuls mathématiques, pas sur la dernière décimale affichée.

Exemple de référence 8.3 — Une capacité à prévoir pour des réservations

Un organisateur a accepté \(18\) réservations. Dans le modèle retenu, chaque personne se présente avec probabilité \(0{,}4\), indépendamment des autres. Si \(X\) compte les présents, \(X\sim\mathcal{B}(18;0{,}4)\). Quelle capacité entière minimale \(c\) permet un risque de dépassement au plus égal à \(10\,\%\) ? \[\mathbb{P}(X>c)\leqslant0{,}1 \quad\Longleftrightarrow\quad F(c)\geqslant0{,}9.\] On appelle premier_seuil(18,0.4,0.9) et on obtient \(10\). Le contrôle indépendant utilise \[F(9)\approx0{,}865286<0{,}9, \qquad F(10)\approx0{,}942353\geqslant0{,}9.\] Il faut donc au minimum 10 places. Le risque est alors d’environ \(5{,}765\,\%\) ; avec 9 places, il serait d’environ \(13{,}471\,\%\). Ici le nombre de réservations reste fixé : l’inconnue est la capacité, et non le nombre d’essais.

Algorithme 8.4 — Nombre minimal d’essais pour au moins un succès

On fixe \(p\in[0;1]\) et \(\tau\in[0;1]\). La sortie est le plus petit entier \(n\geqslant0\) pour lequel la probabilité d’au moins un succès atteint \(\tau\), ou None s’il n’existe pas de réponse finie. Sans essai, cette probabilité vaut zéro ; pour \(n\geqslant1\), elle vaut \(1-(1-p)^n\). Pour le calcul flottant, \(p\) ne doit pas être si proche de zéro que \(1-p\) soit arrondi à \(1\).

def seuil_essais(p, tau):
    if tau == 0:
        return 0
    if p == 0:
        return None
    if p == 1:
        return 1
    if tau == 1:
        return None
    n = 0
    aucun_succes = 1
    while aucun_succes > 1 - tau:
        n += 1
        aucun_succes *= 1 - p
    return n

Justification. Dans la boucle, \(0<p<1\) et \(0<\tau<1\). Au départ, \(n=0\) et aucun_succes\(=1=(1-p)^0\). Chaque passage augmente \(n\) et multiplie cette variable par \(1-p\) : elle conserve donc la valeur \((1-p)^n\). La sortie correspond à \((1-p)^n\leqslant1-\tau\). Comme les entiers sont testés dans l’ordre, la première sortie convient et est minimale. Enfin, \((1-p)^n\) tend vers zéro ; le niveau positif \(1-\tau\) est donc atteint en un nombre fini de passages en arithmétique exacte.

Application. L’appel seuil_essais(0.18,0.95) renvoie \(16\), comme la méthode logarithmique du cours : \[1-0{,}82^{15}\approx0{,}949043<0{,}95, \qquad 1-0{,}82^{16}\approx0{,}958215\geqslant0{,}95.\] La boucle fournit une méthode utilisable avant l’étude du logarithme. Les mêmes précautions de précision et de contrôle des voisins s’appliquent.

Exemple de référence 8.5 — La planche de Galton idéale

Une bille rencontre \(n\) rangées et subit à chacune une déviation à gauche ou à droite. Dans le modèle idéal, ces décisions sont indépendantes et la probabilité d’aller à droite vaut \(1/2\). Si \(X\) compte les déviations à droite, \(X\sim\mathcal{B}(n;1/2)\) ; le bac d’arrivée porte l’indice \(X\). Il y a donc \(n+1\) bacs.

Avec quatre décisions, la loi théorique des cinq bacs est \[\left(\frac1{16},\frac4{16},\frac6{16},\frac4{16},\frac1{16}\right).\] La fonction echantillon est construite ci-après. Pour \(n=4\), \(p=0{,}5\) et \(M=1\,000\), en fixant la graine à \(2026\), elle donne les effectifs \[[55,\,246,\,365,\,255,\,79].\] Leur somme vaut \(1\,000\). Les fréquences correspondantes sont \(0{,}055\) ; \(0{,}246\) ; \(0{,}365\) ; \(0{,}255\) ; \(0{,}079\) : elles ne sont ni exactement théoriques ni exactement symétriques. Une fréquence observée n’est pas une probabilité exacte ; une absence d’observation ne prouve pas une impossibilité.

Figure 8. Quatre décisions et cinq bacs dans le modèle de Galton.
Lecture. Le chemin droite, gauche, droite, droite comporte trois succès et aboutit au bac d’indice \(3\). Le nombre de chemins n’est pas le même pour tous les bacs ; la forme réelle d’une planche ne suffit pas, à elle seule, à garantir les hypothèses du modèle.

Algorithme 8.6 — Une expérience, puis un échantillon d’expériences

La fonction simule_binomiale compte les succès de \(n\) tests. Le modèle de simulation suppose des choix uniformes indépendants : random() < p représente alors un succès de probabilité \(p\). Le générateur informatique est pseudo-aléatoire ; il imite ce modèle sans le démontrer.

from random import Random

def simule_binomiale(n, p, generateur):
    succes = 0
    for _ in range(n):
        if generateur.random() < p:
            succes += 1
    return succes

def echantillon(n, p, M, graine=2026):
    generateur = Random(graine)
    effectifs = [0] * (n + 1)
    for _ in range(M):
        k = simule_binomiale(n, p, generateur)
        effectifs[k] += 1
    return effectifs

Dans echantillon, \(M\) est un entier strictement positif : c’est le nombre d’expériences complètes, non le nombre d’épreuves par expérience. La liste a \(n+1\) cases, pour les résultats \(0,1,\ldots,n\). Pour obtenir les fréquences, on divise chaque effectif par \(M\). La graine fixe une simulation reproductible.

Trace du compteur. Avec \(n=4\), \(p=0{,}3\) et les valeurs successives \(0{,}12\) ; \(0{,}77\) ; \(0{,}31\) ; \(0{,}02\), les tests donnent succès, échec, échec, succès. Le compteur prend successivement les valeurs \(1,1,1,2\) : la sortie est \(2\).

Justification. Après \(i\) tests, succes compte les succès de ces \(i\) tests ; le test suivant l’augmente exactement en cas de succès. Une expérience termine après \(n\) tests. À chaque expérience, une seule case de la liste augmente de \(1\) ; après \(M\) expériences, la somme des effectifs vaut donc \(M\). La simulation complète termine après \(nM\) tests.

Remises à zéro. Le compteur succes repart de zéro à chaque expérience ; la liste effectifs est créée une seule fois pour conserver tous les résultats. Pour \(n=0\), chaque expérience donne zéro et la liste finale est \([M]\).

9. Synthèse du chapitre

Objectif. Retrouver le bon modèle, la bonne formule et le contrôle qui justifie la conclusion.

Synthèse 9.1 — Les décisions et les écritures essentielles

Avant toute formule. Définir la variable et le succès ; vérifier le nombre fixé \(n\), l’indépendance et la même probabilité \(p\). Une variable qui compte les succès de ce schéma suit \(\mathcal{B}(n;p)\).

Dans le tableau : \(X\sim\mathcal{B}(n;p)\) avec \(n\geqslant1\), \(p\in[0;1]\) ; les bornes \(a,b\) sont entières avec \(a\leqslant b\). Pour la caractérisation du premier cumul, \(0<\tau<1\).

Question	Écriture ou méthode à retenir
Exactement \(k\) succès	\(\displaystyle\mathbb{P}(X=k)=\binom nk p^k(1-p)^{n-k}\) pour \(0<p<1\) et \(k\in\{0,\ldots,n\}\).
Au moins un succès	\(\displaystyle 1-(1-p)^n\).
Au moins \(a\) succès	\(\displaystyle 1-F(a-1)\), avec \(F(k)=\mathbb{P}(X\leqslant k)\).
Entre \(a\) et \(b\) inclus	\(\displaystyle F(b)-F(a-1)\) pour \(a,b\) entiers.
Premier cumul \(\geqslant\tau\)	Trouver \(b\) puis vérifier \(F(b-1)<\tau\leqslant F(b)\).
Nombre d’essais minimal	Établir la monotonie ; résoudre ou parcourir les entiers ; contrôler le candidat et son précédent.
Optimiser une probabilité	Choisir l’inconnue, fixer son domaine, exprimer la fonction, étudier ses variations et les extrémités.
Intervalle de forte ou faible probabilité	Calculer la couverture réelle \(F(b)-F(a-1)\) et contrôler le signe exact demandé, strict ou large.
Moyenne et dispersion	\(\operatorname{E}(X)=np\), \(\operatorname{V}(X)=np(1-p)\), \(\sigma(X)=\sqrt{np(1-p)}\).
Fréquence \(Z=X/n\)	\(\operatorname{E}(Z)=p\), \(\operatorname{V}(Z)=p(1-p)/n\) ; diviser aussi les bornes d’un intervalle par \(n>0\).

Deux démonstrations structurantes. Pour la formule binomiale : choisir les positions des succès, multiplier sur un chemin, additionner les chemins incompatibles. Pour les moments : écrire \(X=I_1+\cdots+I_n\), utiliser la linéarité de l’espérance et, grâce à l’indépendance, l’additivité des variances.

Contrôles indispensables. Une probabilité est entre \(0\) et \(1\) ; la somme des masses vaut \(1\) ; les cumuls sont croissants ; \(p=0\) et \(p=1\) donnent des lois certaines. Une simulation produit des fréquences, pas une démonstration. Une moyenne ne prédit pas le résultat d’une expérience.

Référence du programme. Terminale générale, spécialité mathématiques, programme publié au BO spécial n° 8 du 25 juillet 2019, applicable à l’année 2026–2027 : succession d’épreuves indépendantes, schéma de Bernoulli, et outils nécessaires aux moments binomiaux.