Exercice 18 — Résolution par radicaux de l'équation de degré 3

Dans cet exercice, on cherche à résoudre une équation \((E)\) : \[x^3+ax^2+bx+c=0,\] avec \(a\), \(b\), \(c\) trois réels.

1. En posant \(X=x+\dfrac{a}{3}\), montrer que résoudre \((E)\) revient à résoudre \[(E'):\ X^3+pX+q=0.\] On donnera l’expression de \(p\) et \(q\) en fonction de \(a\), \(b\), \(c\).

2. On pose \[\Delta=\frac{27q^2+4p^3}{27}.\] On veut montrer que si \(\Delta>0\), alors une solution réelle de \((E')\) est \[x_0=\sqrt[3]{\frac{-q+\sqrt{\Delta}}{2}}+\sqrt[3]{\frac{-q-\sqrt{\Delta}}{2}}.\]

   1. On pose \(X=u+v\). Montrer que si \[\begin{cases} u^3+v^3=-q,\\ u\times v=-\dfrac{p}{3}, \end{cases}\] alors \(X\) est solution de \((E')\).

   2. Posons \(U=u^3\) et \(V=v^3\). Montrer que résoudre le système \[\begin{cases} u^3+v^3=-q,\\ u\times v=-\dfrac{p}{3} \end{cases}\] revient à résoudre \[\begin{cases} U+V=-q,\\ U\times V=-\dfrac{p^3}{27}. \end{cases}\]

   3. En posant \(\Delta=\dfrac{27q^2+4p^3}{27}\) et en supposant \(\Delta>0\), déterminer un couple \((U\,;\,V)\) solution du système (on exprimera \(U\) et \(V\) en fonction de \(p\) et \(q\)).

   4. En déduire que si \(\Delta>0\), alors une solution réelle de \((E')\) est \[x_0=\sqrt[3]{\frac{-q+\sqrt{\Delta}}{2}}+\sqrt[3]{\frac{-q-\sqrt{\Delta}}{2}}.\]