Repérage — Un signe qui change tout

Avec \(A(-2;1;3)\) et \(B(1;-3;3)\), quelle est la première coordonnée de \(\overrightarrow{AB}\) ? Calcule aussi \((-3)^2\) et \(-3^2\).

Correction expliquée. Le déplacement va de \(A\) vers \(B\) : on fait arrivée moins départ. La première coordonnée vaut \(1-(-2)=1+2=3\). Les parenthèses font de \(-3\) la base entière : \((-3)^2=(-3)\times(-3)=9\). Sans parenthèses, \(-3^2=-(3\times3)=-9\). Si ces signes t’ont arrêté, conserve cette ligne comme rappel pendant le premier exemple.

Définition — Un repère de l’espace

Un repère \((O;\vec{i},\vec{j},\vec{k})\) est formé d’un point origine \(O\) et de trois vecteurs non coplanaires. Tout vecteur s’écrit d’une unique manière \(x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}\) : le triplet \((x;y;z)\) est son triplet de coordonnées. Le point \(M(x;y;z)\) est défini par \(\overrightarrow{OM}=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}\).

Le repère est orthonormé lorsque ses trois vecteurs sont deux à deux perpendiculaires et ont tous une longueur égale à une unité. Une base seulement orthogonale peut avoir des vecteurs de longueurs différentes. Les formules de longueur employées dans ce cours supposent un repère orthonormé.

Propriété rappelée — Calcul coordonnée par coordonnée

Dans un même repère, si \(A(x_A;y_A;z_A)\) et \(B(x_B;y_B;z_B)\), alors \[\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A\,;\,y_B-y_A\,;\,z_B-z_A).\] Pour \(\vec{u}=(x;y;z)\), \(\vec{v}=(x';y';z')\) et un réel \(\lambda\) : \[\vec{u}+\vec{v}=(x+x';y+y';z+z'),\qquad \lambda\vec{u}=(\lambda x;\lambda y;\lambda z).\] La relation de Chasles \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\) et l’unicité des coordonnées justifient ces règles : \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}\), puis on regroupe les coefficients de chacun des trois vecteurs de base. Ces règles de calcul, déjà rencontrées avec les vecteurs, ne nécessitent pas que le repère soit orthonormé.

Exemple — Lire un déplacement, puis le contrôler

Pour les points du repérage : \[\begin{aligned} \overrightarrow{AB}&=(1-(-2);-3-1;3-3)=(3;-4;0),\\ \overrightarrow{BA}&=(-2-1;1-(-3);3-3)=(-3;4;0). \end{aligned}\] On contrôle que \(\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}\). La troisième coordonnée nulle signifie que l’altitude ne change pas ; elle ne signifie pas que le déplacement est nul. Le vecteur nul a ses trois coordonnées nulles. Ici \(A\ne B\).

Si \(C=B+2\overrightarrow{AB}\), cette écriture signifie que \(\overrightarrow{BC}=2\overrightarrow{AB}=(6;-8;0)\). Ainsi \(C(1+6;-3-8;3+0)\), soit \(C(7;-11;3)\). On ne multiplie pas les coordonnées du point \(B\) par 2 : c’est le déplacement \(\overrightarrow{AB}\) qui est multiplié.

Définition — Norme et distance

La norme de \(\vec{u}\), notée \(\left\lVert\vec{u}\right\rVert\), est la longueur d’un segment représentant ce vecteur. Elle est positive ou nulle. Si \(\vec{u}=\overrightarrow{AB}\), alors \(\left\lVert\vec{u}\right\rVert=AB\), la distance entre les deux points. On a \(\left\lVert\vec{u}\right\rVert=0\) exactement lorsque \(\vec{u}=\vec{0}\).

Théorème — Pythagore dans un repère orthonormé

Dans un repère orthonormé, si \(\vec{u}=(x;y;z)\), alors \[\boxed{\left\lVert\vec{u}\right\rVert^{2}=x^2+y^2+z^2},\qquad \boxed{\left\lVert\vec{u}\right\rVert=\sqrt{x^2+y^2+z^2}}.\] En particulier, \[AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}.\]

Méthode — Calculer une longueur sans perdre un signe

Quand ? On connaît les coordonnées de deux points et le repère est orthonormé. Premier geste : écrire les trois différences arrivée moins départ, avec parenthèses autour des valeurs négatives. Ensuite : élever chaque différence au carré, additionner, prendre une seule racine à la fin.

Avec \(D(2;-1;4)\) et \(E(-1;3;6)\) : \[\overrightarrow{DE}=(-1-2;3-(-1);6-4)=(-3;4;2),\] \[DE^2=(-3)^2+4^2+2^2=9+16+4=29, \qquad DE=\sqrt{29}.\] On conserve la valeur exacte \(\sqrt{29}\). Si l’unité est le mètre, \(DE\approx5{,}385\) m au millimètre près. Contrôle : \(25<29<36\), donc \(5<DE<6\). Ce contrôle d’ordre de grandeur détecte certaines erreurs ; il ne remplace pas le calcul.

Piège — La formule dépend du repère

Dans un repère orthogonal où \(\left\lVert\vec{i}\right\rVert=2\), \(\left\lVert\vec{j}\right\rVert=\left\lVert\vec{k}\right\rVert=1\), le vecteur \(\vec{i}\) a les coordonnées \((1;0;0)\), mais sa norme est 2, pas 1. Il serait donc faux de calculer \(\sqrt{1^2+0^2+0^2}\) sans vérifier que la base est orthonormée.

Autre confusion : \(DE^2=29\) ne signifie pas \(DE=29\). Le carré de la distance est en m\(^2\) si la distance est en mètres.

À toi — Essai guidé, puis tentative avant consultation

Guidé. Dans un repère orthonormé, \(P(1;2;-1)\) et \(Q(-1;5;5)\). Complète \(\overrightarrow{PQ}=(\ldots;\ldots;\ldots)\) puis \(PQ^2=\ldots\) et \(PQ=\ldots\).

À tenter ensuite sans consulter. Pour \(R(-2;0;1)\) et \(S(1;4;1)\), calcule \(\overrightarrow{RS}\) et \(RS\). Explique pourquoi on peut comparer \(RS^2\) à \(25\) pour savoir si \(RS=5\).

Indice avant correction. Une différence de coordonnées nulle donne une contribution nulle au carré de la longueur. Une longueur est non négative.

Correction expliquée. Pour le premier essai, \[\overrightarrow{PQ}=(-1-1;5-2;5-(-1))=(-2;3;6),\] \[PQ^2=(-2)^2+3^2+6^2=4+9+36=49, \qquad PQ=\sqrt{49}=7.\] Pour le second, \[\overrightarrow{RS}=(1-(-2);4-0;1-1)=(3;4;0), \quad RS^2=3^2+4^2+0^2=9+16=25.\] Comme \(RS\ge0\), \(RS=\sqrt{25}=5\). La réponse \(-5\) est exclue pour une longueur. La fonction carré est strictement croissante sur les nombres non négatifs : comparer leurs carrés conserve leur ordre.

Critères pour te vérifier :

Tu vérifies le repère, écris les trois différences dans le même sens, conserves les parenthèses, puis distingues le carré et la longueur.

Reprise — Si tu as trouvé un carré négatif

Première erreur : écrire \((-2)^2=-4\). Le signe négatif appartient à la base : \((-2)^2=(-2)\times(-2)=4\). Exemple plus simple : le vecteur \((-2;0;0)\) a une longueur 2 et un carré de norme 4 ; il ne peut pas avoir une longueur au carré négative.

Nouvel essai : trouve la norme de \((0;-3;4)\), puis reviens au calcul de \(PQ\) ci-dessus.

Correction expliquée. \(0^2+(-3)^2+4^2=0+9+16=25\), donc la norme vaut 5. Dans \(PQ^2\), la contribution de \(-2\) est de même \(+4\), ce qui rétablit \(4+9+36=49\).

À toi — Une autre représentation, puis une reprise différée

Variation. Un pavé droit a pour dimensions \(2\), \(3\) et \(6\) cm. Retrouve la longueur de sa grande diagonale sans commencer par placer un repère.

Correction expliquée. La diagonale de sa base rectangulaire a pour carré \(2^2+3^2=4+9=13\). La hauteur est perpendiculaire à cette base. Le carré de la grande diagonale vaut donc \(13+6^2=13+36=49\) ; sa longueur est 7 cm. C’est le même raisonnement en deux triangles rectangles que dans le repère.

À reprendre à une prochaine séance, avant relecture. Calcule la distance entre \(A'(0;-2;1)\) et \(B'(4;0;-3)\) ; indique ce qui resterait vrai si les coordonnées étaient données dans un repère non orthonormé.

Indice avant correction. Commence par le vecteur. Distingue la formule des coordonnées et celle de la longueur.

Correction expliquée. \(\overrightarrow{A'B'}=(4-0;0-(-2);-3-1)=(4;2;-4)\). Dans un repère orthonormé, \(A'B'^2=16+4+16=36\), donc \(A'B'=6\). Dans un repère quelconque, le triplet du vecteur reste \((4;2;-4)\), mais cette formule de distance n’est plus justifiée. La condition sur le repère fait donc partie de la réponse.

À retenir — Trois objets à ne plus confondre

\(A\) est un point ; \(\overrightarrow{AB}\) est un vecteur ; \(AB=\left\lVert\overrightarrow{AB}\right\rVert\) est un nombre non négatif. Dans un repère orthonormé : différences de coordonnées, somme des trois carrés, puis racine carrée. Une figure en perspective aide à comprendre ; les hypothèses et les calculs établissent le résultat.

Repérage — Cosinus et sens d’un angle

Que valent \(\cos0\), \(\cos(\pi/2)\) et \(\cos\pi\) ? Que devient un produit de longueurs multiplié par chacun de ces nombres ?

Correction expliquée. Les valeurs sont \(1\), \(0\), \(-1\). Un facteur positif est donc conservé, annulé, puis changé en son opposé. Ces trois cas correspondent à deux vecteurs de même sens, perpendiculaires, puis de sens opposés. Si les radians te gênent, \(\pi/2\) rad correspond à \(90^\circ\) et \(\pi\) rad à \(180^\circ\) ; il s’agit du même angle dans deux unités.

Définition — Le produit scalaire dans l’espace

Pour deux vecteurs non nuls \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\), on choisit des représentants \(\overrightarrow{OA}=\vec{u}\) et \(\overrightarrow{OB}=\vec{v}\) de même origine. Leur angle non orienté \(\theta=\widehat{AOB}\) appartient à \([0;\pi]\). \[\boxed{\vec{u}\cdot\vec{v}=\left\lVert\vec{u}\right\rVert\,\left\lVert\vec{v}\right\rVert\cos\theta.}\] Si au moins un des deux vecteurs est nul, on définit \(\vec{u}\cdot\vec{v}=0\).

Le point \(\cdot\) se lit « produit scalaire ». Les deux vecteurs, transportés à une même origine, se trouvent toujours dans un même plan ; on prolonge donc à l’espace le produit scalaire du plan. Lorsque les vecteurs sont colinéaires, on peut choisir n’importe quel plan contenant leur direction. Transporter parallèlement les représentants ne change ni les longueurs ni l’angle.

Propriété — Premiers cas et symétrie

Pour tous vecteurs \(\vec{u},\vec{v}\) : \[\vec{u}\cdot\vec{v}=\vec{v}\cdot\vec{u},\qquad \vec{u}\cdot\vec{u}=\left\lVert\vec{u}\right\rVert^{2},\qquad \vec{u}\cdot(-\vec{u})=-\left\lVert\vec{u}\right\rVert^{2}.\]

Exemple — Calculer avec deux longueurs et un angle

Si \(\left\lVert\vec{u}\right\rVert=4\), \(\left\lVert\vec{v}\right\rVert=3\) et \(\theta=120^\circ\), alors \[\vec{u}\cdot\vec{v}=4\times3\times\cos120^\circ =12\times\left(-\frac12\right)=-6.\] Le signe négatif est attendu puisque \(120^\circ\) est obtus. Si l’angle devenait \(60^\circ\), la valeur serait \(12\times\frac12=6\), et non la même valeur avec une autre description. Les longueurs seules ne déterminent pas le produit scalaire.

Lemme — Relation d’Al-Kashi dans le plan de deux vecteurs

Pour \(\overrightarrow{OA}=\vec{u}\) et \(\overrightarrow{OB}=\vec{v}\) non nuls, de longueurs \(r\) et \(s\), avec \(\theta=\widehat{AOB}\) : \[AB^2=r^2+s^2-2rs\cos\theta.\] Ce lemme va permettre de calculer le produit scalaire sans connaître l’angle.

Théorème — Une formule de polarisation

Pour tous vecteurs de l’espace, \[\boxed{\vec{u}\cdot\vec{v} =\frac{\left\lVert\vec{u}\right\rVert^{2}+\left\lVert\vec{v}\right\rVert^{2}-\left\lVert\vec{u}-\vec{v}\right\rVert^{2}}{2}.}\] En particulier, pour trois points \(A,B,C\) : \[\boxed{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=\frac{AB^2+AC^2-BC^2}{2}.}\]

Méthode — Trois côtés connus : ne pas chercher l’angle d’abord

Indice : les deux vecteurs ont le même point de départ et les trois côtés du triangle sont connus. Premier geste : identifier le côté opposé à l’angle, celui dont le carré sera soustrait.

Si \(AB=5\), \(AC=4\) et \(BC=\sqrt{13}\) : \[\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} =\frac{5^2+4^2-(\sqrt{13})^2}{2} =\frac{25+16-13}{2}=\frac{28}{2}=14.\] Le produit positif indique un angle aigu en \(A\). Remplacer \(\overrightarrow{AB}\) par \(\overrightarrow{BA}\) changerait le signe du produit : la bilinéarité, démontrée dans l’unité 3, l’expliquera.

Théorème — Somme des produits des coordonnées correspondantes

Dans une base orthonormée, pour \(\vec{u}=(x;y;z)\) et \(\vec{v}=(x';y';z')\) : \[\boxed{\vec{u}\cdot\vec{v}=xx'+yy'+zz'.}\] La formule ne vaut pas dans un repère quelconque. Il s’agit de trois produits puis d’une somme, jamais d’une somme de coordonnées multipliée par une autre.

Méthode — Des coordonnées données : aligner les correspondances

Premier geste : vérifier que la base est orthonormée ; si des points sont donnés, calculer les vecteurs demandés. Pour \(\vec{u}=(2;-1;3)\) et \(\vec{v}=(1;4;-2)\) : \[\vec{u}\cdot\vec{v}=2\times1+(-1)\times4+3\times(-2)=2-4-6=-8.\] Contrôle complémentaire : \(\left\lVert\vec{u}\right\rVert^2=4+1+9=14\), \(\left\lVert\vec{v}\right\rVert^2=1+16+4=21\), et \(\vec{u}-\vec{v}=(1;-5;5)\) a pour carré de norme \(1+25+25=51\). La polarisation donne \((14+21-51)/2=-16/2=-8\), en accord avec le calcul direct.

Caractérisation — Reconnaître deux vecteurs orthogonaux

Deux vecteurs non nuls sont dits orthogonaux lorsque leurs directions forment un angle droit. Par convention, le vecteur nul est orthogonal à tout vecteur. Avec cette définition géométrique et cette convention, on a la caractérisation suivante : \[\vec{u}\perp\vec{v}\quad\Longleftrightarrow\quad\vec{u}\cdot\vec{v}=0.\] Pour deux vecteurs non nuls, cela signifie exactement que leur angle vaut \(90^\circ\). On n’attribue cependant au vecteur nul ni direction ni angle.

À toi — Trois façons de calculer, avec corrections

Guidé. Pour \(\vec{a}=(3;1;-2)\) et \(\vec{b}=(2;-4;1)\) dans une base orthonormée, complète \(\vec{a}\cdot\vec{b}=3\times\ldots+1\times\ldots+(-2)\times\ldots\). Sont-ils orthogonaux ?

Sans consulter. Un triangle vérifie \(KL=3\), \(KM=4\) et \(LM=5\). Calcule \(\overrightarrow{KL}\cdot\overrightarrow{KM}\) sans calculer l’angle. Puis calcule un produit de vecteurs de normes 2 et 5 et d’angle \(60^\circ\).

Indice avant correction. Utilise respectivement les coordonnées, les trois côtés, puis la définition avec le cosinus. Ne mélange pas les trois données d’une méthode avec une autre.

Correction expliquée. \[\vec{a}\cdot\vec{b}=3\times2+1\times(-4)+(-2)\times1=6-4-2=0.\] Les deux vecteurs sont donc orthogonaux. Avec les trois côtés, \[\overrightarrow{KL}\cdot\overrightarrow{KM}=\frac{3^2+4^2-5^2}{2} =\frac{9+16-25}{2}=0.\] Le triangle est rectangle en \(K\), ce qui concorde avec la réciproque de Pythagore. Enfin \(2\times5\times\cos60^\circ=10\times\frac12=5\).

Critères pour te vérifier :

Ta réponse identifie les données disponibles et la condition du repère si nécessaire ; elle montre chaque produit ou chaque carré, puis interprète le signe ou la nullité.

À toi — Justifier une condition et changer de point de vue

À expliquer. Pourquoi ne peut-on pas calculer l’angle entre \(\vec{0}\) et \((1;2;3)\) en écrivant un quotient avec les normes ?

Réponse possible. La norme de \(\vec{0}\) est 0 ; le produit des normes serait nul, donc on ne pourrait pas diviser par lui. Géométriquement, le vecteur nul n’a pas de direction. Il est pourtant orthogonal à \((1;2;3)\) au sens du produit nul. Une réponse complète cite la division interdite et le sens géométrique.

Variation. Quelqu’un écrit : « \(\vec{u}\cdot\vec{v}=0\), donc \(\vec{u}=\vec{0}\) ou \(\vec{v}=\vec{0}\). » Trouve un contre-exemple.

Correction expliquée. \((1;0;0)\cdot(0;1;0)=1\times0+0\times1+0\times0=0\), alors que les deux vecteurs sont non nuls. La règle du produit nul pour deux nombres ne s’applique pas à ce produit de vecteurs. Ici la nullité traduit une orthogonalité.

Reprise — Si tu additionnes les coordonnées avant de multiplier

Erreur : remplacer \(\vec{u}\cdot\vec{v}\) par \((x+y+z)(x'+y'+z')\). Cette expression fait apparaître des produits qui ne correspondent pas aux mêmes axes. Exemple simple : pour \((1;0;0)\) et \((0;1;0)\), elle donne \(1\times1=1\), mais le bon calcul donne 0.

Nouvel essai : calcule \((2;0;1)\cdot(3;4;-1)\).

Correction expliquée. On associe première à première, deuxième à deuxième, troisième à troisième : \(2\times3+0\times4+1\times(-1)=6+0-1=5\). Reviens à \(\vec{a}\cdot\vec{b}\) : les trois produits à écrire sont \(3\times2\), \(1\times(-4)\) et \((-2)\times1\), pas deux sommes globales.

À toi — À reprendre plus tard, avant de relire

Soient \(A(1;0;-1)\), \(B(3;1;2)\) et \(C(0;2;-1)\) dans un repère orthonormé. Détermine si l’angle \(\widehat{BAC}\) est droit ; justifie sans mesurer la figure.

Indice avant correction. Les deux vecteurs doivent partir du sommet \(A\).

Correction expliquée. \(\overrightarrow{AB}=(3-1;1-0;2-(-1))=(2;1;3)\) et \(\overrightarrow{AC}=(0-1;2-0;-1-(-1))=(-1;2;0)\). Donc \[\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=2\times(-1)+1\times2+3\times0=-2+2+0=0.\] Les deux vecteurs sont non nuls et orthogonaux : \(\widehat{BAC}=90^\circ\). Le signe moins de la première coordonnée a une vraie fonction dans la compensation des deux premiers produits.

Corollaire — Calculer à l’aide d’un projeté dans un plan

Soient \(A\ne B\) et \(C\) un point. Dans un plan contenant \(A,B,C\), soit \(H\) le pied de la perpendiculaire issue de \(C\) à la droite \((AB)\). Ce projeté dans le plan est une construction de géométrie plane. Alors \[\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}= \begin{cases} AB\times AH &\text{si }H\text{ est sur la demi-droite }[AB),\\ -AB\times AH &\text{si }H\text{ est de l'autre côté de }A. \end{cases}\] Si \(H=A\), le produit vaut \(0\). Si \(C=A\), il vaut également \(0\).

Méthode — Utiliser une hauteur déjà connue

Quand ? Une figure plane, située éventuellement dans l’espace, fournit déjà une hauteur et une longueur projetée. Premier geste : placer le pied sur la droite entière, puis déterminer de quel côté de \(A\) il se trouve. On évite ainsi de calculer inutilement un angle.

Exemple. Si \(AB=4\) et si le pied \(H\) de \(C\) sur \((AB)\) est à distance \(2\) de \(A\) du côté opposé à \(B\), alors \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=-4\times2=-8\). Le signe négatif est cohérent avec un angle obtus en \(A\), ou plat si \(C\) est sur \((AB)\). Si le pied était du côté de \(B\), à la même distance, le produit serait \(8\).

À essayer. Avec \(AB=5\), \(AH=3\) et \(H\in[AB)\), calcule le produit. Que devient-il si \(H=A\) ?

Indice avant correction. Le signe vient de la position du pied, pas d’une longueur négative.

Correction expliquée. Le produit vaut \(5\times3=15\). Si \(H=A\), la projection est nulle et le produit vaut \(5\times0=0\). Le calcul serait identique si \(H\) dépassait \(B\) sur la demi-droite : la formule utilise la droite, pas seulement le segment.

À toi — Décider à partir des données

Choisis toi-même une méthode, puis calcule chacun des produits. Explique pourquoi les données disponibles rendent ton choix pertinent.

1. \(\vec{u}=(1;0;2)\) et \(\vec{v}=(3;-1;1)\) dans une base orthonormée : \(\vec{u}\cdot\vec{v}\).

2. Deux vecteurs ont pour normes \(4\) et \(6\), et forment un angle de \(120^\circ\) : leur produit.

3. Un triangle vérifie \(AB=7\), \(AC=5\), \(BC=6\) : \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}\).

Indice avant correction. Après un véritable essai, regarde ce qui est connu : coordonnées, angle ou côtés. Il n’est pas utile d’inventer des données manquantes.

Correction expliquée. (1) Les coordonnées donnent \(1\times3+0\times(-1)+2\times1=5\). (2) La définition géométrique donne \(4\times6\times\cos120^\circ=24\times(-1/2)=-12\). (3) La polarisation donne \((7^2+5^2-6^2)/2=(49+25-36)/2=38/2=19\). Dans ce dernier cas, calculer d’abord l’angle serait un détour ; les trois longueurs suffisent.

Critères pour te vérifier :

Le choix est motivé par les données, les hypothèses sont vérifiées et le calcul utilise la formule dans le bon sens.

À retenir — Choisir d’après les données

Angle et deux normes : définition avec le cosinus. Trois côtés : polarisation. Coordonnées dans une base orthonormée : somme de trois produits. Pied d’une hauteur connu : longueur projetée avec son signe. Un produit scalaire nul permet de reconnaître une orthogonalité ; il ne permet pas d’annuler un des deux vecteurs.

Repérage — Retrouver la distributivité

Développe \(2(a-b)\) puis \((a+b)(c-d)\) en écrivant les quatre produits.

Correction expliquée. \(2(a-b)=2a-2b\). Ensuite \((a+b)(c-d)=a\times c+a\times(-d)+b\times c+b\times(-d)=ac-ad+bc-bd\). Le produit scalaire va obéir à une règle analogue. Il faut toutefois distinguer ce qui reste un vecteur et ce qui devient un nombre.

Théorème — Bilinéarité

Pour tous vecteurs \(\vec{u},\vec{v},\vec{w}\) et tous réels \(\lambda,\mu\) : \[\begin{aligned} \vec{u}\cdot(\vec{v}+\vec{w})&=\vec{u}\cdot\vec{v}+\vec{u}\cdot\vec{w},\\ (\vec{u}+\vec{v})\cdot\vec{w}&=\vec{u}\cdot\vec{w}+\vec{v}\cdot\vec{w},\\ (\lambda\vec{u})\cdot(\mu\vec{v})&=\lambda\mu(\vec{u}\cdot\vec{v}). \end{aligned}\] Le mot bilinéarité signifie que l’on peut distribuer une somme et sortir un facteur réel dans chacun des deux emplacements du produit scalaire. En particulier, \(\vec{u}\cdot(-\vec{v})=-\vec{u}\cdot\vec{v}\).

Méthode — Décomposer pour faire apparaître les produits connus

Indices : on connaît des normes, des orthogonalités ou certains produits scalaires, mais pas toutes les coordonnées. Premier geste : exprimer les deux vecteurs à l’aide des mêmes vecteurs simples, souvent avec Chasles.

Soient \(\left\lVert\vec{a}\right\rVert=3\), \(\left\lVert\vec{b}\right\rVert=2\) et \(\vec{a}\cdot\vec{b}=1\). Pour calculer \((2\vec{a}-\vec{b})\cdot(\vec{a}+3\vec{b})\), on distribue les quatre produits : \[\begin{aligned} (2\vec{a}-\vec{b})\cdot(\vec{a}+3\vec{b}) &=(2\vec{a})\cdot\vec{a}+(2\vec{a})\cdot(3\vec{b})\\ &\quad+(-\vec{b})\cdot\vec{a}+(-\vec{b})\cdot(3\vec{b})\\ &=2(\vec{a}\cdot\vec{a})+6(\vec{a}\cdot\vec{b}) -(\vec{b}\cdot\vec{a})-3(\vec{b}\cdot\vec{b})\\ &=2\times9+6\times1-1-3\times4\\ &=18+6-1-12=11. \end{aligned}\] On a remplacé les produits d’un vecteur par lui-même par les carrés des normes. Le nombre 2 multiplie un vecteur dans la première ligne, puis multiplie un nombre après le produit scalaire : l’ordre des opérations doit rester lisible.

Piège — Ce n’est pas la multiplication ordinaire de trois vecteurs

Le produit \(\vec{u}\cdot\vec{v}\) est un réel. On ne définit donc pas ici « \((\vec{u}\cdot\vec{v})\cdot\vec{w}\) » comme un produit scalaire de deux vecteurs : son premier facteur n’est plus un vecteur. Il est en revanche possible de multiplier le nombre \(\vec{u}\cdot\vec{v}\) par \(\vec{w}\), ce qui donne un vecteur, mais c’est une autre opération. Les parenthèses ne sont pas décoratives.

Corollaire — Carrés de normes et autres polarisations

La bilinéarité et la symétrie donnent, pour tous vecteurs : \[\begin{aligned} \left\lVert\vec{u}+\vec{v}\right\rVert^2&=\left\lVert\vec{u}\right\rVert^2+2\vec{u}\cdot\vec{v}+\left\lVert\vec{v}\right\rVert^2,\\ \left\lVert\vec{u}-\vec{v}\right\rVert^2&=\left\lVert\vec{u}\right\rVert^2-2\vec{u}\cdot\vec{v}+\left\lVert\vec{v}\right\rVert^2,\\ \vec{u}\cdot\vec{v}&=\frac{\left\lVert\vec{u}+\vec{v}\right\rVert^2-\left\lVert\vec{u}\right\rVert^2-\left\lVert\vec{v}\right\rVert^2}{2},\\ \vec{u}\cdot\vec{v}&=\frac{\left\lVert\vec{u}+\vec{v}\right\rVert^2-\left\lVert\vec{u}-\vec{v}\right\rVert^2}{4}. \end{aligned}\] Ce sont des identités de carrés de normes. En général, \(\left\lVert\vec{u}+\vec{v}\right\rVert\) n’est pas égal à \(\left\lVert\vec{u}\right\rVert+\left\lVert\vec{v}\right\rVert\).

Corollaire — Pythagore sous forme vectorielle

\[\vec{u}\perp\vec{v}\quad\Longleftrightarrow\quad \left\lVert\vec{u}+\vec{v}\right\rVert^2=\left\lVert\vec{u}\right\rVert^2+\left\lVert\vec{v}\right\rVert^2.\] En effet, dans le développement précédent, l’égalité des carrés équivaut à \(2\vec{u}\cdot\vec{v}=0\), donc au produit nul. Les deux sens sont ainsi justifiés. Cette formulation reste vraie si un vecteur est nul, même si l’on n’a plus un vrai triangle non aplati.

Exemple — Une longueur à partir d’une décomposition

Dans un pavé droit, trois arêtes issues de \(O\) sont représentées par \(\vec{a}\), \(\vec{b}\), \(\vec{c}\), deux à deux orthogonaux, de normes respectives \(2\), \(3\), \(4\). Le déplacement vers le sommet opposé est \(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}\). Son carré de norme vaut \[\begin{aligned} \left\lVert\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}\right\rVert^2 &=\left\lVert\vec{a}+\vec{b}\right\rVert^2+2(\vec{a}+\vec{b})\cdot\vec{c}+\left\lVert\vec{c}\right\rVert^2\\ &=\left\lVert\vec{a}\right\rVert^2+2\vec{a}\cdot\vec{b}+\left\lVert\vec{b}\right\rVert^2 +2\vec{a}\cdot\vec{c}+2\vec{b}\cdot\vec{c}+\left\lVert\vec{c}\right\rVert^2\\ &=\left\lVert\vec{a}\right\rVert^2+\left\lVert\vec{b}\right\rVert^2+\left\lVert\vec{c}\right\rVert^2 +2\vec{a}\cdot\vec{b}+2\vec{a}\cdot\vec{c}+2\vec{b}\cdot\vec{c}\\ &=2^2+3^2+4^2+0+0+0=4+9+16=29. \end{aligned}\] La diagonale vaut \(\sqrt{29}\), pas \(2+3+4=9\). On retrouve le calcul par deux applications de Pythagore. Le trajet suivant trois arêtes est plus long que le segment joignant directement les sommets.

À toi — Produire et justifier un développement

Guidé. Avec \(\left\lVert\vec{u}\right\rVert=2\), \(\left\lVert\vec{v}\right\rVert=3\) et \(\vec{u}\cdot\vec{v}=-1\), calcule \(\left\lVert\vec{u}+\vec{v}\right\rVert^2\), puis \(\left\lVert\vec{u}+\vec{v}\right\rVert\).

Sans consulter. Calcule \((\vec{u}+2\vec{v})\cdot(3\vec{u}-\vec{v})\) avec les mêmes données. Explique pourquoi le terme \((2\vec{v})\cdot(-\vec{v})\) est négatif.

Indice avant correction. Écris les quatre produits avant de remplacer les valeurs. Le signe du produit des coefficients est distinct de celui de \(\vec{u}\cdot\vec{v}\).

Correction expliquée. Le carré de la norme est \(2^2+2\times(-1)+3^2=4-2+9=11\), donc la norme vaut \(\sqrt{11}\). Pour l’autre calcul : \[\begin{aligned} (\vec{u}+2\vec{v})\cdot(3\vec{u}-\vec{v}) &=3\vec{u}\cdot\vec{u}-\vec{u}\cdot\vec{v} +6\vec{v}\cdot\vec{u}-2\vec{v}\cdot\vec{v}\\ &=3\times4-(-1)+6\times(-1)-2\times9\\ &=12+1-6-18=-11. \end{aligned}\] Le dernier terme est \(2\times(-1)\times\left\lVert\vec{v}\right\rVert^2=-2\times9=-18\) : les vecteurs \(2\vec{v}\) et \(-\vec{v}\) sont de sens opposés. Critères de justification : les quatre produits sont présents, la symétrie est utilisée correctement, les normes sont élevées au carré.

Reprise — Un terme croisé oublié

Erreur : écrire \(\left\lVert\vec{u}+\vec{v}\right\rVert^2=\left\lVert\vec{u}\right\rVert^2+\left\lVert\vec{v}\right\rVert^2\) sans vérifier l’orthogonalité. Exemple simple corrigé : si \(\vec{u}=\vec{v}=(1;0;0)\), la somme est \((2;0;0)\) et son carré de norme vaut 4 ; la somme des carrés séparés ne vaut que 2. Les deux produits croisés manquants valent chacun 1.

Nouvel essai : avec \(\vec{a}=(1;0;0)\) et \(\vec{b}=(1;1;0)\), calcule le carré de norme de la somme par deux voies.

Correction expliquée. La somme est \((2;1;0)\) : son carré vaut \(4+1=5\). D’autre part, \(\left\lVert\vec{a}\right\rVert^2=1\), \(\left\lVert\vec{b}\right\rVert^2=2\) et \(\vec{a}\cdot\vec{b}=1\), donc \(1+2\times1+2=5\). Reviens à l’essai précédent : le terme croisé y vaut \(-2\), il ne disparaît pas.

À reprendre plus tard. Pour \(\left\lVert\vec{p}\right\rVert=\left\lVert\vec{q}\right\rVert=2\) et \(\vec{p}\cdot\vec{q}=1\), calcule \(\left\lVert\vec{p}-\vec{q}\right\rVert\) et justifie le signe du terme croisé.

Indice avant correction. Développe \((\vec{p}-\vec{q})\cdot(\vec{p}-\vec{q})\) avant de remplacer les nombres. Correction : \(\left\lVert\vec{p}-\vec{q}\right\rVert^2=4-2\times1+4=6\), donc \(\left\lVert\vec{p}-\vec{q}\right\rVert=\sqrt6\). Le signe moins vient des deux produits \(\vec{p}\cdot(-\vec{q})\) et \((-\vec{q})\cdot\vec{p}\), qui valent chacun \(-1\).

Repérage — Choisir le bon sommet

Pour calculer \(\widehat{ABC}\), faut-il utiliser \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{BC}\), ou \(\overrightarrow{BA}\) et \(\overrightarrow{BC}\) ?

Correction expliquée. Les deux vecteurs doivent partir du sommet \(B\) : on utilise \(\overrightarrow{BA}\) et \(\overrightarrow{BC}\). Remplacer \(\overrightarrow{BA}\) par son opposé \(\overrightarrow{AB}\) change le signe du produit scalaire et peut remplacer l’angle demandé par son supplémentaire.

Méthode — Retrouver l’angle entre deux vecteurs non nuls

Premier geste : choisir deux vecteurs non nuls qui représentent l’angle demandé. On calcule leur produit scalaire et leurs deux normes, puis on écrit \[\boxed{\cos\theta=\frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\left\lVert\vec{u}\right\rVert\left\lVert\vec{v}\right\rVert}.}\] La division est permise car les deux normes sont strictement positives. Le quotient doit être compris entre \(-1\) et \(1\). Une valeur hors de cet intervalle signale une erreur ou un arrondi mal géré. On utilise ensuite un angle remarquable ou la touche \(\cos^{-1}\), également notée \(\arccos\), de la calculatrice. Cette touche cherche un angle à partir de son cosinus : ce n’est pas \(1/\cos\).

Vérifie le mode degrés/radians et n’arrondis qu’à la fin. Si le quotient est strictement entre \(-1\) et \(0\), l’angle est obtus ; s’il est strictement entre \(0\) et \(1\), l’angle est aigu. Les valeurs \(1\), \(0\) et \(-1\) correspondent respectivement aux angles \(0^\circ\), \(90^\circ\) et \(180^\circ\). Les deux cas extrêmes sont ceux de vecteurs colinéaires.

Exemple — Angle de deux diagonales de faces d’un cube

Dans un cube d’arête 1, on utilise le repère orthonormé \((A;\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AE})\). Ainsi \(A(0;0;0)\), \(B(1;0;0)\), \(D(0;1;0)\) et \(E(0;0;1)\). Alors \(C(1;1;0)\) et \(F(1;0;1)\). On cherche \(\widehat{CAF}\), donc les vecteurs \(\overrightarrow{AC}=(1;1;0)\) et \(\overrightarrow{AF}=(1;0;1)\). \[\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AF}=1\times1+1\times0+0\times1=1,\] \[AC=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2,\quad AF=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2, \quad \cos\widehat{CAF}=\frac1{\sqrt2\times\sqrt2}=\frac12.\] Ainsi \(\widehat{CAF}=60^\circ\). Contrôle géométrique : \(CF=\sqrt{(1-1)^2+(0-1)^2+(1-0)^2}=\sqrt2\). Le triangle \(ACF\) est donc équilatéral, ce qui confirme l’angle.

Exemple — Un angle qui n’est pas remarquable

Avec \(\vec{u}=(1;2;2)\) et \(\vec{v}=(2;0;1)\), \[\vec{u}\cdot\vec{v}=1\times2+2\times0+2\times1=4, \quad \left\lVert\vec{u}\right\rVert=\sqrt{1+4+4}=3,\quad \left\lVert\vec{v}\right\rVert=\sqrt{4+0+1}=\sqrt5.\] L’angle exact est \(\arccos\!\left(\dfrac4{3\sqrt5}\right)\). La calculatrice en degrés donne \(\theta\approx53{,}4^\circ\) au dixième près. Le quotient est positif et inférieur à 1 : un angle aigu est cohérent. La valeur approchée s’écrit avec \(\approx\), pas avec \(=\).

À toi — Essais d’angles et justification

Guidé. Pour \(\vec{a}=(1;1;0)\) et \(\vec{b}=(1;0;1)\), calcule produit, normes et cosinus.

Sans consulter. Reprends avec \(\vec{c}=(-1;0;1)\) à la place de \(\vec{b}\). Justifie le changement d’angle.

Indice avant correction. Le produit vaut respectivement \(1\) et \(-1\) ; vérifie-le toi-même avant d’en déduire les angles.

Correction expliquée. Dans les deux cas, les deux normes valent \(\sqrt2\). Le premier produit est \(1\times1+1\times0+0\times1=1\), donc le cosinus vaut \(1/2\) et l’angle \(60^\circ\). Le second produit est \(1\times(-1)+1\times0+0\times1=-1\), donc le cosinus vaut \(-1/2\) et l’angle \(120^\circ\). Le changement porte sur la direction, pas sur la longueur du second vecteur.

Critères pour te vérifier :

Tu identifies les deux vecteurs non nuls, calcules leurs normes séparément et justifies l’angle à partir du quotient, sans le lire sur une perspective.

Variation — Angle de vecteurs ou angle de droites ?

À décider avant la lecture. Si deux vecteurs directeurs forment un angle de \(120^\circ\), quel est le plus petit angle des droites correspondantes ? Changer le sens de l’un des directeurs change-t-il les droites ?

Réponse et explication. L’angle non orienté de deux vecteurs appartient à \([0;180^\circ]\). Lorsque l’on parle du plus petit angle de deux droites, on retient un angle dans \([0;90^\circ]\) : changer le sens d’un vecteur directeur ne doit pas changer cet angle. Avec des directeurs non nuls \(\vec{u},\vec{v}\), son cosinus est donc \(\dfrac{|\vec{u}\cdot\vec{v}|}{\left\lVert\vec{u}\right\rVert\left\lVert\vec{v}\right\rVert}\). Cette formule vient du choix entre un angle et son supplémentaire : leurs cosinus sont opposés. Pour les directions de \(\vec{a}\) et \(\vec{c}\) de l’essai, l’angle des vecteurs est \(120^\circ\), mais le plus petit angle des droites est \(60^\circ\). Il faut lire la question avant d’introduire une valeur absolue.

Reprise — Si le cosinus trouvé est plus grand que 1

Erreur possible : diviser le produit scalaire par la somme des normes au lieu de leur produit, ou oublier une racine. La définition impose bien le produit des normes. Exemple simple : pour \((2;0;0)\) et \((3;0;0)\), le produit scalaire vaut 6 et les normes valent 2 et 3 ; \(6/(2\times3)=1\), donc l’angle vaut 0. Le quotient \(6/(2+3)=6/5\) n’est pas un cosinus possible.

Nouvel essai : avec \((1;0;0)\) et \((1;1;0)\), calcule le cosinus.

Correction expliquée. Le produit vaut 1, les normes sont 1 et \(\sqrt2\) : le quotient est \(1/\sqrt2=\sqrt2/2\), donc l’angle vaut \(45^\circ\). Reviens à ta ligne erronée et rétablis les deux normes avant de presser \(\arccos\).

À reprendre plus tard. Trouve l’angle entre \((0;1;1)\) et \((0;1;-1)\), puis explique pourquoi on ne pourrait pas remplacer le premier vecteur par \((0;0;0)\) dans le quotient.

Indice avant correction. Calcule le produit et les deux normes séparément ; examine le dénominateur avant de diviser.

Correction expliquée. Le produit est \(0+1-1=0\) ; les deux normes valent \(\sqrt2>0\). Le cosinus est 0 et l’angle vaut \(90^\circ\). Avec le vecteur nul, le dénominateur serait 0 et l’angle ne serait pas défini.

À retenir — Le calcul doit conserver la géométrie

Développe tous les produits, transforme \(\vec{u}\cdot\vec{u}\) en carré de norme et n’annule un produit croisé que si l’orthogonalité est établie. Pour un angle, choisis d’abord les bonnes directions et le bon sommet ; calcule ensuite un quotient de produit scalaire par produit de normes, avec des vecteurs non nuls.

Rappel — Les outils nécessaires, disponibles ici

Un vecteur directeur d’une droite est un vecteur non nul qui donne sa direction. Tous les vecteurs directeurs d’une même droite sont colinéaires : l’un est un multiple non nul de l’autre. Un plan possède deux directions non colinéaires \(\vec{u},\vec{v}\) ; tout vecteur de sa direction s’écrit \(\alpha\vec{u}+\beta\vec{v}\), avec \(\alpha,\beta\in\mathbb{R}\). C’est le résultat antérieur de description vectorielle d’un plan.

Dans un repère orthonormé, si \(\vec{u}=(x;y;z)\) et \(\vec{v}=(x';y';z')\), alors \[\vec{u}\cdot\vec{v}=xx'+yy'+zz'.\] Les vecteurs sont orthogonaux si et seulement si ce nombre est nul. Le produit scalaire est bilinéaire : \(\vec{n}\cdot(\alpha\vec{u}+\beta\vec{v})=\alpha(\vec{n}\cdot\vec{u})+\beta(\vec{n}\cdot\vec{v})\). Ces propriétés du produit scalaire sont les outils utilisés dans les preuves de cette unité.

Repérage — Une première distinction

Les vecteurs \(\vec{u}=(1;0;0)\) et \(\vec{v}=(0;1;0)\) sont-ils orthogonaux ? Cela suffit-il à affirmer que deux droites dirigées par ces vecteurs se coupent ?

Correction expliquée. Le produit vaut \(1\times0+0\times1+0\times0=0\) : les directions sont orthogonales. En revanche, aucune information sur la position des droites n’est donnée. Il faut encore chercher une intersection pour conclure à leur perpendicularité. Si cette différence est floue, lis les définitions et le contre-exemple suivants avant de calculer.

Définition — Droites orthogonales ; droites perpendiculaires

Dans un plan, deux droites perpendiculaires se coupent en formant un angle de \(90^\circ\) : c’est le sens géométrique antérieur de ce mot. Deux droites de l’espace sont orthogonales lorsque des parallèles à ces droites passant par un même point forment cet angle droit. La définition compare leurs directions.

Deux droites sont perpendiculaires lorsqu’elles sont sécantes et orthogonales. Ainsi, des droites perpendiculaires sont toujours orthogonales ; la réciproque peut être fausse dans l’espace.

Caractérisation — Reconnaître l’orthogonalité de deux droites

Soient deux droites \(\mathcal{D}\) et \(\mathcal{D}'\), de vecteurs directeurs respectifs \(\vec{u}\ne\vec{0}\) et \(\vec{v}\ne\vec{0}\). Alors \[\mathcal{D}\text{ et }\mathcal{D}'\text{ sont orthogonales} \quad\Longleftrightarrow\quad\vec{u}\cdot\vec{v}=0.\] Résultat démontré ici ; les deux implications sont établies.

Contre-exemple — Orthogonales sans être perpendiculaires

Dans un repère orthonormé, prenons \(A(0;0;0)\), \(B(1;0;0)\), \(C(0;0;1)\) et \(D(0;1;1)\). Les directeurs \(\overrightarrow{AB}=(1;0;0)\) et \(\overrightarrow{CD}=(0;1;0)\) ont un produit nul. Les droites \((AB)\) et \((CD)\) sont donc orthogonales.

Mais tout point de \((AB)\) a une troisième coordonnée nulle, tandis que tout point de \((CD)\) a une troisième coordonnée égale à \(1\). Elles n’ont aucun point commun : elles ne sont pas perpendiculaires. Elles sont ici non coplanaires, ou gauches.

Définition — Une droite orthogonale à un plan

Une droite est orthogonale à un plan lorsqu’elle est orthogonale à toute droite de ce plan. Pour l’établir, on ne peut évidemment pas tester une infinité de droites une à une. Le théorème suivant réduit le travail à deux directions bien choisies.

Théorème — Le critère des deux directions

Une droite est orthogonale à un plan si et seulement si elle est orthogonale à deux droites sécantes de ce plan.

Formulation vectorielle : si \(\vec{n}\ne\vec{0}\) dirige la droite et si \(\vec{u},\vec{v}\) sont deux vecteurs non colinéaires de la direction du plan, alors \[\mathcal{D}\perp\mathcal{P} \quad\Longleftrightarrow\quad \begin{cases}\vec{n}\cdot\vec{u}=0,\\\vec{n}\cdot\vec{v}=0.\end{cases}\] Théorème démontré ici ; preuve complète.

Piège — Pourquoi deux directions différentes ?

Dans le plan \(z=0\), les droites \(y=0\) et \(y=1\) ont la même direction \((1;0;0)\). Une droite de direction \((0;1;0)\) leur est orthogonale à toutes deux, mais elle est parallèle à une direction du plan : elle n’est pas orthogonale au plan.

Deux tests portant sur des vecteurs colinéaires répètent donc la même information. Il faut deux directions non colinéaires, et non simplement deux noms de droites.

Méthode — Prouver une orthogonalité à partir de coordonnées

Quand ? Les points ou les vecteurs sont donnés dans un repère orthonormé.

1. Écris la conclusion visée : deux droites, ou une droite et un plan ?

2. Calcule un directeur non nul de la droite. Pour \((AB)\), soustrais les coordonnées de \(A\) à celles de \(B\).

3. Pour un plan \((CDE)\), choisis \(\overrightarrow{CD}\) et \(\overrightarrow{CE}\), puis vérifie leur non-colinéarité si elle n’est pas assurée par l’énoncé.

4. Calcule le ou les produits scalaires nécessaires, avec les signes visibles.

5. Nomme le critère utilisé et conclus. Si tu veux dire perpendiculaires pour deux droites, vérifie aussi qu’elles se coupent.

Contrôle. Un produit non nul suffit à réfuter l’orthogonalité au plan. Un produit nul isolé ne suffit pas à l’établir.

Exemple — Une preuve complète droite–plan

Dans un repère orthonormé, soient \(A(1;0;0)\), \(B(2;1;0)\), \(C(1;1;1)\) et \(D(3;-2;2)\). Montrons que \((AD)\) est orthogonale au plan \((ABC)\).

On calcule \[\overrightarrow{AB}=(2-1;1-0;0-0)=(1;1;0),\quad \overrightarrow{AC}=(1-1;1-0;1-0)=(0;1;1),\] \[\overrightarrow{AD}=(3-1;-2-0;2-0)=(2;-2;2)\ne\vec{0}.\] Si \(\overrightarrow{AC}=\lambda\overrightarrow{AB}\), la première coordonnée impose \(\lambda=0\), tandis que la deuxième imposerait \(1=0\). C’est impossible. Les points \(A,B,C\) ne sont donc pas alignés et définissent un plan.

Ensuite, \[\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{AB}=2\times1+(-2)\times1+2\times0=2-2+0=0,\] \[\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{AC}=2\times0+(-2)\times1+2\times1=0-2+2=0.\] La droite \((AD)\) est orthogonale aux deux directions non colinéaires \(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\) du plan. Elle est donc orthogonale à \((ABC)\).

Vérification utile. \(\overrightarrow{BC}=(-1;0;1)\) et \(\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{BC}=-2+0+2=0\), conformément au théorème. Ce troisième calcul contrôle la cohérence ; il n’était pas nécessaire à la preuve.

Méthode — Prouver sans choisir de repère

Indice de reconnaissance. La figure contient des rectangles, des triangles isocèles, des hauteurs ou des symétries. Cherche deux droites sécantes du plan cible dont l’orthogonalité à la droite étudiée découle d’un résultat de géométrie plane.

Exemple expliqué. Supposons que les triangles \(SAB\) et \(TAB\) soient isocèles respectivement en \(S\) et \(T\). Soit \(I\) le milieu de \([AB]\), avec \(A\ne B\), et supposons \(S,I,T\) non alignés. Dans un triangle isocèle, la médiane issue du sommet principal est aussi une hauteur : \((SI)\perp(AB)\) et \((TI)\perp(AB)\). Ces droites sont sécantes en \(I\) et appartiennent au plan \((SIT)\). Donc \((AB)\perp(SIT)\).

Le résultat antérieur utilisé est précisément la propriété de la médiane d’un triangle isocèle. Aucune mesure sur le dessin n’est employée. La condition de non-alignement de \(S,I,T\) est indispensable pour définir ce plan.

Essai sans coordonnées. Dans un tétraèdre \(ABCD\), on sait \(CA=CB\) et \(DA=DB\). Soit \(I\) le milieu de \([AB]\). Justifie que \((AB)\) est orthogonale au plan \((CID)\).

Indice avant correction. Repère deux triangles isocèles ; le tétraèdre non aplati garantit que \(C,I,D\) ne sont pas alignés.

Correction expliquée. Dans \(CAB\) isocèle en \(C\), la médiane \(CI\) est une hauteur, donc \((CI)\perp(AB)\). Dans \(DAB\) isocèle en \(D\), on obtient de même \((DI)\perp(AB)\). Si \(C,I,D\) étaient alignés, le plan contenant \((AB)\) et cette droite contiendrait les quatre sommets, ce qui contredirait le fait que le tétraèdre n’est pas aplati. Les droites \((CI)\) et \((DI)\) sont donc deux droites sécantes distinctes du plan \((CID)\) : le critère droite–plan s’applique.

À toi — Essai guidé

Un plan possède les directions \(\vec{u}=(1;0;1)\) et \(\vec{v}=(0;2;1)\). Une droite a pour directeur \(\vec{n}=(2;1;-2)\). Vérifie que les directions du plan sont non colinéaires, calcule les deux produits et conclus.

Indice avant correction. Si \(\vec{v}=\lambda\vec{u}\), regarde d’abord la première coordonnée, puis la deuxième.

Correction expliquée. La première coordonnée donnerait \(0=\lambda\), donc la deuxième \(2=0\), impossible. Puis \(\vec{n}\cdot\vec{u}=2+0-2=0\) et \(\vec{n}\cdot\vec{v}=0+2-2=0\). Le directeur \(\vec{n}\) est non nul. Le critère s’applique : la droite est orthogonale au plan.

À toi — À tenter avant de consulter

Dans un repère orthonormé, \(P(0;1;0)\), \(Q(1;2;0)\), \(R(0;2;1)\). Une droite \(\mathcal{D}\) est dirigée par \(\vec{w}=(1;-1;2)\). Est-elle orthogonale au plan \((PQR)\) ? Rédige une réponse qui ne s’arrête pas au premier produit nul.

Indice avant correction. Deux directions du plan sont \(\overrightarrow{PQ}\) et \(\overrightarrow{PR}\).

Correction expliquée. On trouve \(\overrightarrow{PQ}=(1;1;0)\), \(\overrightarrow{PR}=(0;1;1)\), non colinéaires par le test de la première puis de la deuxième coordonnée. Le premier produit vaut \(1-1+0=0\), mais le second vaut \(0-1+2=1\ne0\). La droite n’est pas orthogonale à \((PR)\), qui est une droite du plan. Elle ne peut donc pas être orthogonale au plan.

Critères pour te vérifier :

directions bien calculées ; non-colinéarité examinée ; deux produits ; conclusion négative justifiée par le produit non nul.

Justification — Explique avec tes mots

Pourquoi l’orthogonalité à deux directions non colinéaires d’un plan entraîne-t-elle l’orthogonalité à toutes ses directions ?

Correction expliquée. Une réponse possible : « Ces deux vecteurs permettent d’écrire toute direction du plan comme une combinaison \(\alpha\vec{u}+\beta\vec{v}\). Par bilinéarité, le produit avec le directeur de la droite devient une somme de deux produits nuls. »

Critères pour te vérifier :

mention de la non-colinéarité ; combinaison des deux directions ; bilinéarité ; passage de deux produits à toutes les directions. Dire seulement « c’est évident sur la figure » ne suffit pas.

Variation — Changer une condition, pas seulement les nombres

L’affirmation « deux droites orthogonales à une même troisième sont parallèles » est vraie dans un même plan. Est-elle encore vraie dans l’espace ?

Correction expliquée. Non. Les trois axes d’un repère orthonormé donnent un contre-exemple : les axes des abscisses et des ordonnées sont tous deux orthogonaux à l’axe des cotes, mais ils ne sont pas parallèles. La condition de coplanarité qui rendait le raisonnement valable a disparu.

Reprise — Si tu conclus trop vite après un seul zéro

Première erreur. « \(\vec{n}\cdot\vec{u}=0\), donc la droite est orthogonale au plan. » Le calcul ne contrôle qu’une direction.

Rappel simple. Pour le plan \(z=0\), on peut choisir \(\vec{i}=(1;0;0)\) et \(\vec{j}=(0;1;0)\). Avec \(\vec{n}=(0;1;0)\), on obtient \(\vec{n}\cdot\vec{i}=0\), mais \(\vec{n}\cdot\vec{j}=1\). La conclusion était fausse.

Nouvel essai. Reprends avec \(\vec{n}=(0;0;3)\).

Correction expliquée. Les deux produits valent \(0\). Les vecteurs \(\vec{i},\vec{j}\) sont non colinéaires et \(\vec{n}\ne\vec{0}\). La conclusion est maintenant justifiée.

Retour. Reprends l’essai à tenter de cette unité : entoure le second produit, celui qui empêche précisément la conclusion erronée.

Reprise différée — À refaire un autre jour sans relire

Dans un repère orthonormé, les droites \(\mathcal{D}\) et \(\mathcal{D}'\) sont respectivement données par les points \(A(0;0;0),B(2;1;0)\) et \(C(0;0;1),D(1;-2;1)\). Sont-elles orthogonales ? Perpendiculaires ?

Indice avant correction. Sépare le test des directions du test d’intersection.

Correction expliquée. Les directeurs sont \((2;1;0)\) et \((1;-2;0)\), non nuls ; leur produit vaut \(2\times1+1\times(-2)+0=0\). Les droites sont orthogonales. La première est entièrement dans \(z=0\), la seconde dans \(z=1\) : elles ne se rencontrent pas et ne sont donc pas perpendiculaires.

À retenir — La conclusion doit correspondre aux vérifications

Deux droites : un produit scalaire nul prouve l’orthogonalité ; ajouter une intersection pour la perpendicularité. Une droite et un plan : contrôler deux directions non colinéaires du plan. Un vecteur nul est orthogonal à tout vecteur, mais il ne dirige aucune droite : il ne permet jamais de contourner ces conditions.

Rappel — Ce qu’il faut pour lire cette unité seule

Trois points non alignés définissent un unique plan. Une autre description est : un point \(A\) et deux directions non colinéaires \(\vec{u},\vec{v}\) définissent l’ensemble des points \(M\) tels que \(\overrightarrow{AM}=s\vec{u}+t\vec{v}\), avec \(s,t\in\mathbb{R}\). Ce sont des résultats antérieurs de géométrie et de calcul vectoriel.

Le repère de cette unité est orthonormé. On y calcule \(\overrightarrow{AM}=(x-x_A;y-y_A;z-z_A)\) et \(\vec{n}\cdot\vec{u}=ax+by+cz\) lorsque \(\vec{n}=(a;b;c)\), \(\vec{u}=(x;y;z)\). Deux vecteurs sont orthogonaux exactement lorsque ce produit est nul. Être orthogonal à deux directions non colinéaires d’un plan suffit à être orthogonal à toutes ses directions, car toute autre direction en est une combinaison linéaire et le produit scalaire est bilinéaire. On utilisera aussi \(\left\lVert\vec{w}\right\rVert^2=\vec{w}\cdot\vec{w}\) et \(\left\lVert\vec{w}\right\rVert=0\) si et seulement si \(\vec{w}=\vec{0}\) : la longueur d’un déplacement n’est nulle que pour le déplacement nul.

Repérage — Tester une égalité avant de chercher une formule

Le point \(B(1;2;0)\) vérifie-t-il \(2x-y+z=0\) ? Et \(C(1;0;2)\) ?

Correction expliquée. Pour \(B\), le membre de gauche vaut \(2\times1-2+0=0\) : oui. Pour \(C\), il vaut \(2\times1-0+2=4\) : non. Une équation représente l’ensemble des points dont les coordonnées rendent l’égalité vraie. Ce test d’appartenance doit rester un réflexe, même après des calculs plus longs.

Définition — Vecteur normal à un plan

Un vecteur normal à un plan est un vecteur non nul orthogonal à toutes les directions de ce plan. Il suffit donc qu’il soit orthogonal à deux directions non colinéaires du plan.

Le mot « normal » signifie ici « perpendiculaire au plan », et non « habituel ». On peut imaginer une tige tenue perpendiculairement à une plaque : sa direction représente une normale. La plaque ne représente cependant qu’un morceau du plan, et la tige n’a pas de longueur imposée. L’analogie aide à visualiser la direction ; le produit scalaire permet de la vérifier.

Propriété — Une direction normale, plusieurs vecteurs possibles

Si \(\vec{n}\) est normal à un plan et si \(\lambda\ne0\), alors \(\lambda\vec{n}\) est également normal à ce plan. Propriété démontrée ici.

Théorème — Équation d’un plan : les deux sens

Dans un repère orthonormé :

1. si le plan \(\mathcal{P}\) passe par \(A(x_A;y_A;z_A)\) et possède le vecteur normal \(\vec{n}=(a;b;c)\ne\vec{0}\), alors \[M(x;y;z)\in\mathcal{P}\quad\Longleftrightarrow\quad a(x-x_A)+b(y-y_A)+c(z-z_A)=0;\]

2. réciproquement, pour tous réels \(a,b,c,d\), avec \((a;b;c)\ne(0;0;0)\), l’ensemble d’équation \[ax+by+cz+d=0\] est un plan, de vecteur normal \((a;b;c)\).

On appelle cette relation une équation cartésienne du plan. Un seul des trois coefficients \(a,b,c\) peut suffire à être non nul. Théorème démontré ici ; existence du plan et équivalence d’appartenance établies.

Piège — Les conditions que l’équation ne remplace pas

• Si \(a=b=c=0\), l’égalité devient \(d=0\). Pour \(d=0\), elle décrit tout l’espace ; pour \(d\ne0\), elle n’a aucun point solution. Ce n’est pas un plan.

• Le vecteur normal se lit dans \((a;b;c)\), pas dans \((a;b;d)\). Le terme constant \(d\) règle la position du plan.

• Lire directement \((a;b;c)\) comme vecteur normal exige un repère orthonormé. Dans un repère quelconque, l’équation reste une description affine, mais cette lecture métrique n’est plus automatique.

Méthode — Un point et une normale donnent l’équation

Premier geste. Pour un point variable \(M(x;y;z)\), écris \(\vec{n}\cdot\overrightarrow{AM}=0\). Conserve d’abord les parenthèses : elles protègent les signes. Développe ensuite, regroupe les constantes, puis teste le point \(A\) dans l’équation obtenue.

Exemple de référence. Le plan passe par \(A(1;2;-1)\) et a pour normale \((2;-1;3)\). Alors \[\begin{aligned} M\in\mathcal{P} &\Longleftrightarrow 2(x-1)+(-1)(y-2)+3(z+1)=0\\ &\Longleftrightarrow 2x-2-y+2+3z+3=0\\ &\Longleftrightarrow 2x-y+3z+3=0. \end{aligned}\] Contrôle de position. Avec les coordonnées de \(A\), on trouve \(2\times1-2+3\times(-1)+3=0\). Le point appartient bien au plan.

Contrôle de direction. Les coefficients de \(x,y,z\) redonnent bien \((2;-1;3)\). Ces deux contrôles portent sur deux aspects différents : position et direction.

Corollaire — Direction d’un plan et normales colinéaires

Si \(\vec{n}\) est une normale de \(\mathcal{P}\), un vecteur \(\vec{w}\) est parallèle au plan si et seulement si \(\vec{n}\cdot\vec{w}=0\). Cela signifie que, pour un point \(A\) du plan, le point \(A+\vec{w}\) reste dans le plan. Cette formulation inclut le vecteur nul ; seul un vecteur non nul dirige une droite. En outre, deux vecteurs normaux non nuls au même plan sont colinéaires. Corollaire du théorème d’équation du plan, démontré ici.

À toi — Essai guidé : ne pas deviner la constante

Détermine l’équation du plan passant par \(A(2;-1;3)\) et normal à \(\vec{n}=(1;2;-1)\).

Indice avant correction. Commence par \(1(x-2)+2(y+1)-1(z-3)=0\).

Correction expliquée. Après distribution, on obtient \(x-2+2y+2-z+3=0\), soit \(x+2y-z+3=0\). Avec \(A\), le membre de gauche vaut \(2-2-3+3=0\). La normale \((1;2;-1)\) est non nulle : le théorème est applicable.

À toi — À tenter avant de consulter

On considère \(\mathcal{P}:2x-3y+z-5=0\). Donne une normale, vérifie si \(A(2;0;1)\) appartient au plan, puis décide si \(\mathcal{Q}:4x-6y+2z-10=0\) représente le même plan.

Indice avant correction. Pour la dernière question, cherche une transformation équivalente de toute l’équation, constante comprise.

Correction expliquée. Une normale est \((2;-3;1)\ne\vec{0}\). Pour \(A\), on calcule \(2\times2-3\times0+1-5=4+1-5=0\) : \(A\in\mathcal{P}\). L’équation de \(\mathcal{Q}\) est exactement celle de \(\mathcal{P}\) multipliée par \(2\ne0\). Leurs ensembles de solutions sont égaux, donc les plans sont identiques.

Critères pour te vérifier :

trois coefficients corrects pour la normale ; substitution des trois coordonnées ; multiplicateur non nul appliqué aussi au terme constant.

Approfondissement du programme — Construire une normale à partir de trois points

Facultatif. La recherche d’un vecteur orthogonal à deux vecteurs non colinéaires est un approfondissement possible du programme applicable. Elle n’introduit ni produit vectoriel ni déterminant d’ordre trois.

Soient \(A(1;0;1)\), \(B(2;1;1)\) et \(C(1;1;2)\). Les directions \(\overrightarrow{AB}=(1;1;0)\) et \(\overrightarrow{AC}=(0;1;1)\) ne sont pas colinéaires : si la seconde était \(\lambda\) fois la première, la première coordonnée imposerait \(\lambda=0\), incompatible avec la deuxième.

Cherchons \(\vec{n}=(a;b;c)\ne\vec{0}\) tel que \[\begin{cases}a+b=0,\\b+c=0.\end{cases}\] On choisit \(b=-1\), puis \(a=1\) et \(c=1\). Ce choix donne une solution non nulle, \(\vec{n}=(1;-1;1)\). Il n’est pas nécessaire de déterminer toutes les normales. Le plan \((ABC)\) a donc pour équation \[(x-1)-y+(z-1)=0,\quad\text{soit}\quad x-y+z-2=0.\] Contrôle. Les substitutions de \(A,B,C\) donnent respectivement \(1+1-2=0\), \(2-1+1-2=0\), \(1-1+2-2=0\). La normale choisie a un produit nul avec les deux directions.

Limite de la méthode. On ne fixe pas arbitrairement une coordonnée si les équations imposent qu’elle soit nulle. Il faut d’abord examiner les relations ; le vecteur final doit rester non nul.

À tenter. Trouve une normale puis une équation du plan passant par \(O(0;0;0)\), \(B(1;1;0)\) et \(C(1;0;1)\).

Indice avant correction. Pour une normale \((a;b;c)\), écris ses produits avec \(\overrightarrow{OB}\) et \(\overrightarrow{OC}\). Choisis ensuite une solution non nulle.

Correction expliquée. Les directions \((1;1;0)\) et \((1;0;1)\) sont non colinéaires : un multiple du premier ne peut avoir de troisième coordonnée égale à \(1\). Les deux produits imposent \(a+b=0\) et \(a+c=0\). En choisissant \(a=-1\), on obtient \(b=c=1\), donc une normale \((-1;1;1)\). Le plan passant par \(O\) a pour équation \(-x+y+z=0\). Les substitutions de \(O\), \(B\), \(C\) donnent chacune zéro ; la normale est non nulle et orthogonale aux deux directions.

Critères pour te vérifier :

Deux directions non colinéaires ; deux produits nuls ; solution non nulle ; équation testée sur les trois points.

Justification — Pourquoi le point d’appui est-il indispensable ?

Deux plans possédant le même vecteur normal sont-ils nécessairement égaux ? Explique à quoi sert la donnée d’un point.

Correction expliquée. Non : \(z=0\) et \(z=2\) admettent tous deux \((0;0;1)\) comme normale, mais n’ont aucun point commun. La normale fixe une direction ; un point fixe la position parmi les plans de cette direction. Dans l’équation, c’est la constante qui change.

Critères pour te vérifier :

distinguer direction et position ; donner un contre-exemple vérifié ; expliquer le rôle du point ou de la constante.

Variation — Quand une équation n’est pas un plan

Compare les ensembles \(0x+0y+0z=0\), \(0x+0y+0z=4\) et \(z=4\).

Correction expliquée. Le premier contient tous les points de l’espace ; le deuxième est vide, car \(0=4\) est impossible ; le troisième est un plan de normale \((0;0;1)\). L’absence de \(x\) et de \(y\) n’empêche pas d’avoir un plan : c’est l’annulation simultanée des trois coefficients qui pose problème.

Reprise — Réparer une erreur de signe dans la constante

Première erreur. Pour \(A(1;0;3)\) et \(\vec{n}=(2;0;1)\), on écrit \(2x+z+5=0\). Le point annoncé donne \(2+3+5=10\ne0\) : l’équation ne convient pas.

Rappel et exemple plus simple. Une droite horizontale en dimension deux peut être décrite par \(y-y_A=0\) : on soustrait la coordonnée du point. De même, ici il faut écrire \(2(x-1)+(z-3)=0\), puis \(2x-2+z-3=0\), donc \(2x+z-5=0\).

Nouvel essai. Pour \(B(0;1;-2)\) et \(\vec{n}=(1;-1;2)\), trouve le plan.

Correction expliquée. On écrit \(x-(y-1)+2(z+2)=0\). Les produits distribués donnent \(x-y+1+2z+4=0\), soit \(x-y+2z+5=0\). Au point \(B\), \(0-1-4+5=0\).

Retour. Dans l’essai guidé, retrouve la constante en repartant des parenthèses, sans la deviner.

Reprise différée — À refaire sans modèle

Le plan passe par \(A(-1;2;0)\) et possède la normale \((3;1;-2)\). Trouve une équation, puis teste \(B(0;1;1)\).

Indice avant correction. Écris les trois différences de coordonnées avant de développer.

Correction expliquée. L’équation est \(3(x+1)+(y-2)-2z=0\), donc \(3x+3+y-2-2z=0\), soit \(3x+y-2z+1=0\). Le point \(A\) donne \(-3+2+1=0\). Pour \(B\), on obtient \(0+1-2+1=0\) : il appartient au plan.

À retenir — L’équation est une orthogonalité écrite en coordonnées

\(M\in\mathcal{P}\) signifie \(\vec{n}\cdot\overrightarrow{AM}=0\). Dans un repère orthonormé, l’équation \(ax+by+cz+d=0\) donne la normale \((a;b;c)\ne\vec{0}\). Pour contrôler une équation : vérifie la direction normale et un point du plan. Multiplier tous les coefficients par un même nombre non nul ne change pas le plan.

Rappel — Les descriptions utiles, réunies ici

Un vecteur directeur \(\vec{u}\) d’une droite est non nul. Si la droite passe par \(A\), ses points \(M\) sont exactement ceux pour lesquels \(\overrightarrow{AM}=t\vec{u}\), avec \(t\in\mathbb{R}\). Le nombre \(t\) indique combien de fois on effectue le déplacement \(\vec{u}\) depuis \(A\) ; il peut être négatif ou supérieur à \(1\).

Dans un repère orthonormé, \(ax+by+cz+d=0\), avec \((a;b;c)\ne(0;0;0)\), est un plan de normale \(\vec{n}=(a;b;c)\). Un vecteur \(\vec{w}\) est une direction de ce plan si et seulement si \(\vec{n}\cdot\vec{w}=0\). Deux normales non nulles au même plan sont colinéaires. Ces résultats sont établis dans l’unité sur les équations de plans ; leurs énoncés nécessaires sont rappelés ici pour lire la présente unité indépendamment.

Repérage — Un paramètre, trois coordonnées liées

On donne \(x=1+2t\), \(y=-t\), \(z=3+t\). Quelles coordonnées obtient-on pour \(t=2\) ? Le point \((5;-1;5)\) est-il obtenu pour cette valeur ?

Correction expliquée. On remplace partout \(t\) par \(2\) : \(x=1+4=5\), \(y=-2\), \(z=3+2=5\). Le point est \((5;-2;5)\), pas \((5;-1;5)\). Les trois lignes utilisent le même paramètre. Si tu as changé sa valeur d’une ligne à l’autre, reprends ce geste avant la méthode d’intersection.

Propriété — Représenter une droite par un paramètre

La droite \(\mathcal{D}\) passant par \(A(x_A;y_A;z_A)\), de directeur \(\vec{u}=(u_1;u_2;u_3)\ne\vec{0}\), possède la représentation paramétrique \[\mathcal{D}:\quad \begin{cases} x=x_A+t u_1,\\ y=y_A+t u_2,\\ z=z_A+t u_3, \end{cases}\qquad t\in\mathbb{R}.\] Propriété démontrée ici à partir de la description vectorielle d’une droite.

Remarques de lecture. Une composante nulle n’est pas un problème : si \(u_3=0\), on écrit simplement \(z=z_A\). On ne divise pas par cette composante. Restreindre \(t\) à \([0;1]\) ne décrit que le segment de \(A\) à \(A+\vec{u}\), pas toute la droite.

Méthode — Partir de deux points ou lire une représentation

Deux points distincts. Calcule \(\overrightarrow{AB}\), puis prends \(A\) comme point d’appui. Par exemple, avec \(A(1;-2;0)\), \(B(3;-1;-1)\), on a \[\overrightarrow{AB}=(3-1;-1-(-2);-1-0)=(2;1;-1),\] d’où \[\mathcal{D}:\quad x=1+2t,\quad y=-2+t,\quad z=-t,\qquad t\in\mathbb{R}.\] Pour \(t=0\), on retrouve \(A\) ; pour \(t=1\), on retrouve \(B\). Ces deux essais contrôlent la transcription, mais c’est la propriété précédente qui prouve que toute la droite est décrite.

Une représentation déjà donnée. Les termes sans paramètre donnent un point ; les coefficients du paramètre donnent un directeur. Ainsi \(x=4-3s\), \(y=1\), \(z=2+5s\) décrit une droite passant par \((4;1;2)\), de directeur \((-3;0;5)\).

Piège. Des représentations différentes peuvent décrire la même droite : on peut changer de point d’appui et multiplier le directeur par un nombre non nul. On compare des ensembles de points, pas seulement l’apparence des formules.

Théorème — Les trois cas d’intersection d’une droite et d’un plan

Soient la droite \(\mathcal{D}\) passant par \(A\), de directeur \(\vec{u}\ne\vec{0}\), et le plan \(\mathcal{P}:ax+by+cz+d=0\), avec \((a;b;c)\ne(0;0;0)\). Posons \[\alpha=au_1+bu_2+cu_3=\vec{n}\cdot\vec{u},\qquad \beta=ax_A+by_A+cz_A+d.\] Les points d’intersection correspondent aux paramètres vérifiant \(\alpha t+\beta=0\).

• Si \(\alpha\ne0\), il existe un unique point d’intersection : la droite et le plan sont sécants.

• Si \(\alpha=0\) et \(\beta=0\), toute la droite appartient au plan.

• Si \(\alpha=0\) et \(\beta\ne0\), il n’y a aucun point d’intersection : la droite est strictement parallèle au plan.

Théorème démontré ici ; les trois cas sont exhaustifs.

Convention — Le mot « parallèle » peut inclure la droite contenue

On dit ici qu’une droite est parallèle à un plan lorsque sa direction est une direction du plan ; cela inclut une droite contenue dans le plan. L’expression strictement parallèle exclut cette inclusion. Le théorème montre donc que \[\mathcal{D}\text{ parallèle à }\mathcal{P}\quad\Longleftrightarrow\quad\vec{u}\cdot\vec{n}=0.\] Une rédaction précise indique toujours si la droite est contenue ou si elle ne rencontre pas le plan.

Méthode — Calculer une intersection droite–plan

Premier geste. Remplace \(x,y,z\) dans l’équation du plan par leurs expressions avec le même paramètre.

1. Distribue, puis réduis l’équation en \(t\).

2. Vérifie si le coefficient de \(t\) est nul avant toute division.

3. S’il existe une valeur unique de \(t\), remplace-la dans les trois coordonnées de la droite.

4. Contrôle le point dans l’équation du plan. Il appartient déjà à la droite par construction, mais une vérification des trois coordonnées détecte une erreur de substitution.

Pourquoi cette méthode ? La représentation garantit l’appartenance à la droite ; l’équation restante impose l’appartenance au plan. Il faut satisfaire les deux, pas choisir l’une des conditions.

Exemple — Une intersection avec un paramètre fractionnaire

Reprenons \(\mathcal{D}:x=1+2t,\ y=-2+t,\ z=-t\) et le plan \(\mathcal{P}:x+2y-z-3=0\). Après substitution, \[\begin{aligned} (1+2t)+2(-2+t)-(-t)-3&=0\\ 1+2t-4+2t+t-3&=0\\ 5t-6&=0. \end{aligned}\] On ajoute \(6\) aux deux membres : \(5t-6+6=0+6\), donc \(5t=6\). Comme \(5\ne0\), on divise les deux membres par \(5\) : \[\frac{5t}{5}=\frac65,\qquad\frac55\,t=\frac65,\qquad 1t=\frac65,\qquad t=\frac65.\] Pour additionner un entier à une fraction de dénominateur \(5\), on écrit cet entier sur \(1\) puis on multiplie en haut et en bas par \(5\) : \[1=\frac11=\frac{1\times5}{1\times5}=\frac55,\quad -2=\frac{-2}{1}=\frac{(-2)\times5}{1\times5}=-\frac{10}{5},\quad -3=\frac{-3}{1}=\frac{(-3)\times5}{1\times5}=-\frac{15}{5}.\]

Le point d’intersection est \[\begin{aligned} x&=1+2\times\frac65=\frac55+\frac{12}{5}=\frac{17}{5},\\ y&=-2+\frac65=-\frac{10}{5}+\frac65=-\frac45,\\ z&=-\frac65. \end{aligned}\] Ainsi \(H(17/5;-4/5;-6/5)\). Le contrôle dans le plan donne \[\frac{17}{5}+2\left(-\frac45\right)-\left(-\frac65\right)-3 =\frac{17}{5}-\frac85+\frac65-\frac{15}{5}=0.\] Le fait que \(t>1\) n’est pas une anomalie : \(H\) appartient à la droite, mais pas au segment allant du point de paramètre \(0\) à celui de paramètre \(1\).

Piège — Directeur de droite et normale de plan : ne pas inverser les critères

Pour une droite de directeur \(\vec{u}\ne\vec{0}\) et un plan de normale \(\vec{n}\ne\vec{0}\) :

La deuxième ligne découle de la définition de normale et du fait que toutes les normales d’un même plan sont colinéaires. Une normale est perpendiculaire au plan, donc être parallèle à sa direction rend une droite orthogonale au plan. Au contraire, une direction orthogonale à la normale se trouve dans la direction du plan.

Propriété — Reconnaître des plans parallèles ou confondus

Dans un repère orthonormé, deux plans sont parallèles, éventuellement confondus, si et seulement si leurs vecteurs normaux sont colinéaires. Propriété démontrée ici ; appui sur les résultats de direction rappelés en début d’unité.

Pour distinguer les deux cas. Après le test des normales, vérifie un point de l’un des plans dans l’autre, ou compare tous les coefficients avec le même multiplicateur. Des normales colinéaires seules ne prouvent pas que les plans sont confondus.

Exemple — La constante fait la différence

Les plans \(\mathcal{P}:x-2y+z-1=0\) et \(\mathcal{Q}:-2x+4y-2z+2=0\) sont confondus : la seconde équation est \(-2\) fois la première, constante comprise.

En revanche, \(\mathcal{R}:2x-4y+2z+1=0\) est strictement parallèle à \(\mathcal{P}\). Sa normale est deux fois celle de \(\mathcal{P}\), mais en divisant son équation par \(2\), on obtient \(x-2y+z+1/2=0\), et non l’équation de \(\mathcal{P}\). Le point \((1;0;0)\) de \(\mathcal{P}\) ne vérifie pas celle de \(\mathcal{R}\), puisque \(2+1=3\ne0\).

Méthode — Deux droites : deux paramètres, trois égalités

Quand ? Pour passer de « orthogonales » à « perpendiculaires », ou pour tester une intersection entre deux droites. Utilise deux paramètres indépendants, par exemple \(t\) et \(s\), car un même point n’a pas nécessairement le même numéro dans deux représentations différentes.

Considérons \[\mathcal{D}:\begin{cases}x=1+2t,\\y=t,\\z=2-t,\end{cases} \qquad \mathcal{D}':\begin{cases}x=3+s,\\y=1-s,\\z=1+2s.\end{cases}\] Un point commun doit satisfaire \[\begin{cases}1+2t=3+s,\\t=1-s,\\2-t=1+2s.\end{cases}\] La première égalité donne \(s=2t-2\). La deuxième devient \(t=1-(2t-2)=3-2t\), donc \(t+2t=3\), soit \(3t=3\), puis \(t=1\) et \(s=0\). Il reste à contrôler la troisième : \(2-1=1+2\times0\), soit \(1=1\). Le point commun est donc \((3;1;1)\).

Variation essentielle. Si la troisième coordonnée de \(\mathcal{D}'\) devient \(z=2+2s\), les deux premières égalités imposent toujours \(t=1,s=0\), mais la troisième exigerait \(1=2\). Il n’y a plus d’intersection. Résoudre seulement deux des trois équations ne suffisait donc pas.

À tenter. Cherche l’intersection de \(d:x=t,\ y=2t,\ z=1\) et de \(d':x=1+s,\ y=2-s,\ z=1+3s\), avec \(s,t\in\mathbb{R}\).

Indice avant correction. Écris les trois égalités ; la troisième est particulièrement simple.

Correction expliquée. Les égalités sont \(t=1+s\), \(2t=2-s\), \(1=1+3s\). La dernière donne \(3s=0\), donc \(s=0\) ; la première donne alors \(t=1\). La deuxième est bien vérifiée : \(2=2\). Le point commun est \((1;2;1)\). Il n’y en a pas d’autre, puisque les paramètres sont imposés de manière unique.

À toi — Essai guidé

Une droite passe par \(A(0;1;-1)\) et a pour directeur \((1;2;1)\). Trouve son intersection avec \(\mathcal{P}:2x+y-z-4=0\).

Indice avant correction. Écris \(x=t\), \(y=1+2t\), \(z=-1+t\), puis substitue les trois expressions.

Correction expliquée. L’équation est \(2t+(1+2t)-(-1+t)-4=0\), soit \(2t+1+2t+1-t-4=0\), donc \(3t-2=0\). On ajoute \(2\), puis on divise par \(3\ne0\) : \(t=2/3\). D’où \(H(2/3;7/3;-1/3)\). Vérification : \(2(2/3)+7/3-(-1/3)-4=(4+7+1)/3-4=0\).

À toi — Trois situations à décider avant la correction

La droite \(\mathcal{D}\) a pour représentation \(x=1+t\), \(y=t\), \(z=2\). Étudie son intersection avec chacun des plans : \[\mathcal{P}:x-y+z-3=0,\qquad \mathcal{Q}:x-y+z-1=0,\qquad \mathcal R:x+y+z-5=0.\]

Indice avant correction. Ne cherche pas à tout prix une valeur de \(t\) ; une égalité toujours vraie ou impossible porte aussi une information.

Correction expliquée. Dans \(\mathcal{P}\), la substitution donne \(1+t-t+2-3=0\), donc \(0=0\), vraie pour tout \(t\) : la droite est contenue dans \(\mathcal{P}\). Dans \(\mathcal{Q}\), elle donne \(1+t-t+2-1=0\), donc \(2=0\), impossible : la droite est strictement parallèle à \(\mathcal{Q}\). Dans \(\mathcal R\), on trouve \(1+t+t+2-5=0\), soit \(2t-2=0\), donc \(t=1\). Le point d’intersection est \((2;1;2)\), qui vérifie bien \(2+1+2-5=0\).

Critères pour te vérifier :

trois substitutions complètes ; pas de division par zéro ; interprétations « contenue », « strictement parallèle », « sécante » ; coordonnées du point unique.

Justification — Pourquoi le paramètre ne suffit-il pas ?

Une élève écrit : « L’intersection est \(t=2\). » Qu’est-ce qui manque à sa réponse ?

Correction expliquée. Un paramètre est un nombre qui repère un point sur une droite ; ce n’est pas le point lui-même. Il faut remplacer \(t\) dans les trois coordonnées, donner le point obtenu, puis vérifier son appartenance au plan. Si aucune valeur unique n’existe, il faut annoncer le bon ensemble d’intersection : vide ou droite entière.

Critères pour te vérifier :

distinction nombre/point ; trois coordonnées ; interprétation géométrique du résultat.

Reprise — Quand le coefficient du paramètre disparaît

Première erreur. Après réduction, on obtient \(0t=2\), puis on cherche à écrire \(t=2/0\). La division par zéro est interdite : c’est l’équation qui est impossible.

Exemple simple corrigé. Pour \(\mathcal{D}:x=t,\ y=-t,\ z=0\) et \(\mathcal{P}:x+y=0\), on obtient \(t-t=0\), donc \(0=0\). Tous les points de la droite sont dans le plan.

Nouvel essai. Garde la même droite, mais prends \(\mathcal{Q}:x+y=2\).

Correction expliquée. La substitution donne \(t-t=2\), donc \(0=2\), impossible. L’intersection est vide. La disparition du paramètre peut donc conduire à deux conclusions opposées : il faut regarder la constante.

Retour. Reprends les deux premiers plans de la tâche précédente et explique verbalement les égalités obtenues, sans inventer de valeur pour \(t\).

Reprise différée — À refaire un autre jour

On donne \(\mathcal{D}:x=2-t,\ y=1+2t,\ z=t\) et \(\mathcal{P}:x+y+z-5=0\). Calcule leur intersection et dis si la droite est orthogonale au plan.

Indice avant correction. Les deux questions utilisent des tests différents : une équation en \(t\), puis une comparaison du directeur avec la normale.

Correction expliquée. La substitution donne \((2-t)+(1+2t)+t-5=0\), soit \(2t-2=0\). Donc \(t=1\), et l’intersection est \(H(1;3;1)\), avec \(1+3+1-5=0\). Le directeur est \((-1;2;1)\) et une normale est \((1;1;1)\). Ils ne sont pas colinéaires : le multiplicateur serait \(-1\) d’après la première coordonnée mais \(2\) d’après la deuxième. La droite est sécante au plan, mais elle ne lui est pas orthogonale.

À retenir — Substituer, résoudre, interpréter, contrôler

Une droite : un point, un directeur non nul, un même paramètre dans les trois coordonnées. Une intersection droite–plan : substituer puis résoudre une équation du premier degré, en examinant le coefficient avant de diviser. Une valeur de paramètre donne un point ; une identité donne la droite entière ; une contradiction donne l’ensemble vide. Enfin, direction parallèle au plan et direction normale au plan sont deux situations différentes.

Rappel — Les outils disponibles dans cette unité

Dans un repère orthonormé, si \(A(a_1;a_2;a_3)\) et \(B(b_1;b_2;b_3)\), alors \(\overrightarrow{AB}=(b_1-a_1;b_2-a_2;b_3-a_3)\) et \(AB^2=(b_1-a_1)^2+(b_2-a_2)^2+(b_3-a_3)^2\). Le produit scalaire de \((u_1;u_2;u_3)\) et \((v_1;v_2;v_3)\) vaut \(u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3\) ; il est nul exactement lorsque les vecteurs sont orthogonaux.

Un plan \(\mathcal{P}\) d’équation \(ax+by+cz+d=0\) possède le vecteur normal non nul \(\vec{n}=(a;b;c)\). Ainsi \(a^2+b^2+c^2>0\). Ses directions sont orthogonales à \(\vec{n}\). Une droite passant par \(M\) et de direction \(\vec{n}\) a pour points \(M+t\vec{n}\), avec \(t\in\mathbb{R}\). Cette écriture signifie que chaque coordonnée de \(M\) reçoit \(t\) fois la coordonnée correspondante de \(\vec{n}\).

Ces résultats sur les coordonnées et les équations de plans sont les outils antérieurs réénoncés ici. Le théorème de Pythagore utilisé ci-dessous est celui du collège, dans un triangle rectangle contenu dans un plan de l’espace.

Repérage — Deux conditions, pas une seule

Le plan est \(z=0\) et \(M(1;2;3)\). Parmi \(H_1(0;0;0)\) et \(H_2(1;2;0)\), lequel pourrait être le pied d’une descente perpendiculaire au plan ?

Correction expliquée. Les deux points appartiennent au plan. Mais \(\overrightarrow{MH_1}=(-1;-2;-3)\) n’est pas colinéaire à \((0;0;1)\), alors que \(\overrightarrow{MH_2}=(0;0;-3)\) l’est. C’est \(H_2\). Si tu avais choisi uniquement d’après \(z=0\), relis le rappel : l’appartenance ne vérifie pas la direction de la descente.

Définition — Projeté orthogonal sur un plan

Le projeté orthogonal de \(M\) sur un plan \(\mathcal{P}\) est le point \(H\) tel que :

• \(H\) appartient à \(\mathcal{P}\) ;

• \(\overrightarrow{MH}\) est colinéaire à un vecteur normal du plan.

Si \(M\notin\mathcal{P}\), cela signifie que la droite \((MH)\) est perpendiculaire au plan. Si \(M\in\mathcal{P}\), le projeté est \(M\) lui-même : on n’écrit pas la droite \((MM)\), qui n’est pas définie. La condition vectorielle reste correcte puisque le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur.

Intuition — Une descente perpendiculaire

Imagine un point au-dessus d’un plateau parfaitement plat et une direction perpendiculaire au plateau. Le pied est le point où cette direction rencontre le plateau. Le plateau représente le plan et la descente représente une direction normale. Cette image explique le rôle des deux conditions. Elle ne prouve pas que le trajet est minimal ; de plus, le plan mathématique est illimité et peut être incliné.

Théorème — Existence et unicité du projeté

Tout point de l’espace possède un unique projeté orthogonal sur un plan. Résultat démontré ici, dans le cadre euclidien et les coordonnées d’un repère orthonormé.

Théorème — Le point du plan le plus proche

Si \(H\) est le projeté orthogonal de \(M\) sur \(\mathcal{P}\), alors, pour tout \(Q\in\mathcal{P}\), \[MQ\geq MH,\qquad MQ=MH\ \Longleftrightarrow\ Q=H.\] La distance de \(M\) au plan, notée \(d(M,\mathcal{P})\), est donc \(MH\). Résultat démontré ici ; la distance est définie par ce minimum effectivement atteint.

Méthode — Intersecter le plan avec sa normale issue du point

Quand ? On connaît une équation du plan et les coordonnées du point. Premier geste : relever un normal non nul. Écrire ensuite la droite passant par le point dans cette direction, substituer dans l’équation du plan et résoudre pour \(t\). Calculer les trois coordonnées du pied, puis la longueur cherchée.

Contrôle : vérifier séparément l’équation du plan et la colinéarité du déplacement avec la normale. Une formule de distance seule ne donne pas les coordonnées du pied.

Exemple — Une projection avec des fractions

On cherche le projeté de \(M(5;1;2)\) sur \(\mathcal{P}:2x-y+2z-3=0\). Le vecteur \(\vec{n}=(2;-1;2)\) est normal non nul. La normale issue de \(M\) s’écrit \[x=5+2t,\qquad y=1-t,\qquad z=2+2t.\] La substitution dans le plan donne \[\begin{align*} 2(5+2t)-(1-t)+2(2+2t)-3&=0,\\ 10+4t-1+t+4+4t-3&=0,\\ 10+9t&=0. \end{align*}\] Soustraire \(10\) aux deux membres donne \(9t=-10\) ; diviser les deux membres par \(9\ne0\) donne \(t=-10/9\). Ainsi \[\begin{align*} x_H&=5-\frac{20}{9}=\frac{5\times9}{9}-\frac{20}{9}=\frac{25}{9},\\ y_H&=1+\frac{10}{9}=\frac9{9}+\frac{10}{9}=\frac{19}{9},\\ z_H&=2-\frac{20}{9}=\frac{18}{9}-\frac{20}{9}=-\frac2{9}. \end{align*}\] Appartenance : \(2\times\frac{25}{9}-\frac{19}{9}+2\times\frac{-2}{9}-3 =\frac{50-19-4-27}{9}=0\). Direction : \(\overrightarrow{MH}=(-20/9;10/9;-20/9)=(-10/9)\vec{n}\). Ces deux contrôles établissent qu’il s’agit du projeté. Enfin \[MH=\sqrt{\frac{400}{81}+\frac{100}{81}+\frac{400}{81}} =\sqrt{\frac{900}{81}}=\frac{30}{9}=\frac{10}{3}.\] La distance est \(10/3\) ; le nombre \(100/9\) aurait été son carré.

Corollaire — Une formule de distance, déduite de la construction

Dans un repère orthonormé, pour \(\mathcal{P}:ax+by+cz+d=0\) avec \((a;b;c)\ne(0;0;0)\), \[d(M,\mathcal{P})=\frac{|ax_M+by_M+cz_M+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}.\] Démontré ici ; outil dérivé, non substitut à la méthode de projection.

Dans l’exemple, le numérateur vaut \(|10-1+4-3|=10\) et le dénominateur \(\sqrt{4+1+4}=3\). On retrouve \(10/3\).

Remarque — Une autre écriture des mêmes conditions

On peut poser directement \(H(x;y;z)\), imposer \(H\in\mathcal{P}\) puis \(\overrightarrow{MH}=t\vec{n}\). Cela donne exactement le même système que la droite normale. Ce n’est pas une nouvelle méthode indépendante. En revanche, si une figure démontre déjà qu’un point connu est le pied, calculer sa distance par Pythagore évite un système inutile.

À toi — Essai guidé

Projette \(M(2;3;1)\) sur \(x+2y+2z-6=0\). 1. Écris la normale issue de \(M\). 2. Détermine son paramètre d’intersection. 3. Calcule la distance.

Indice avant correction. Utilise \((1;2;2)\), puis remplace \(x,y,z\) avant de réduire.

Correction expliquée. La droite est \((x;y;z)=(2+t;3+2t;1+2t)\). Son intersection vérifie \[(2+t)+2(3+2t)+2(1+2t)-6=0,\] soit \(2+t+6+4t+2+4t-6=0\), donc \(4+9t=0\). En soustrayant \(4\) puis en divisant par \(9\), \(t=-4/9\). On trouve \(H(14/9;19/9;1/9)\), car \(2-4/9=18/9-4/9\), \(3-8/9=27/9-8/9\) et \(1-8/9=9/9-8/9\). L’équation donne \((14+38+2-54)/9=0\), et \(\overrightarrow{MH}=(-4/9)(1;2;2)\). Sa norme vaut \((4/9)\sqrt9=4/3\).

À toi — Cherche avant de lire

Détermine le pied et la distance de \(M(3;0;-1)\) au plan \(x-y+z+1=0\). Prépare tes deux contrôles avant la correction.

Indice avant correction. La normale \((1;-1;1)\) donne une équation très courte en \(t\).

Correction expliquée. On substitue \((3+t;-t;-1+t)\) : \(3+t-(-t)-1+t+1=0\), donc \(3+3t=0\), d’où \(t=-1\). Le pied est \(H(2;1;-2)\). Il appartient au plan car \(2-1-2+1=0\) ; \(\overrightarrow{MH}=(-1;1;-1)=-\vec{n}\). La distance vaut \(\sqrt{1+1+1}=\sqrt3\).

Justification — Pourquoi le résultat ne dépend-il pas du normal choisi ?

Remplace le normal de l’essai précédent par \((-3;3;-3)\). Doit-on obtenir un autre pied ? Explique sans te limiter à « non ».

Correction expliquée. Le nouveau normal est \(-3\) fois le précédent : il définit la même droite issue de \(M\). Un plan et cette normale ont une unique intersection. Numériquement, la nouvelle paramétrisation donne \(3-9t=0\), donc \(t=1/3\), puis le même \(H(2;1;-2)\). Le paramètre change parce que le vecteur directeur change ; le point ne change pas.

Critères pour te vérifier :

Identifier le multiple non nul, expliquer que la droite reste la même et distinguer le paramètre des coordonnées du pied.

Reprise — Si tu confonds appartenance et projection

Première erreur. Pour \(M(2;1;-3)\) et le plan \(z=0\), proposer l’origine parce qu’elle est dans le plan. Rappel ciblé. Il faut aussi un déplacement normal : ici seules les coordonnées \(z\) changent. Exemple plus simple corrigé. Pour \(A(0;0;4)\) et \(z=0\), le pied est \((0;0;0)\), et le déplacement \((0;0;-4)\) est bien vertical. Nouvel essai. Projette \(B(-4;2;1)\) sur \(x=0\).

Correction expliquée. Le normal est \((1;0;0)\) ; on conserve \(y\) et \(z\). Le pied est \((0;2;1)\) et la distance \(4\). Retour. Pour le problème initial, le pied est \((2;1;0)\) et la distance \(3\). Le déplacement vers l’origine, \((-2;-1;3)\), n’était pas vertical. Reviens ensuite aux deux contrôles de l’exemple avec fractions.

Reprise — À reprendre demain, sans relire d’abord

Trouve le projeté de \(M(1;2;0)\) sur \(2x+y-z=0\), sa distance, puis explique pourquoi cette distance est minimale.

Indice avant correction. Utilise \((2;1;-1)\) ; la substitution donne \(4+6t=0\).

Correction expliquée. \(t=-4/6=-2/3\). Ainsi \(H(1-4/3;2-2/3;2/3)=(-1/3;4/3;2/3)\). L’équation est vérifiée : \(-2/3+4/3-2/3=0\). Le déplacement est \((-2/3)(2;1;-1)\), de norme \((2/3)\sqrt6\). Donc \(d(M,\mathcal{P})=2\sqrt6/3\). Pour tout autre \(Q\) du plan, Pythagore donne \(MQ^2=MH^2+HQ^2>MH^2\) : le pied est l’unique minimiseur.

À retenir — Les trois gestes indispensables

Repérer un normal non nul ; intersecter sa droite issue du point avec le plan ; contrôler le pied avant de calculer la longueur. Le produit scalaire sert à établir l’orthogonalité, et Pythagore explique le minimum. Une distance est toujours positive ou nulle ; elle est nulle exactement lorsque le point appartient au plan.

Rappel — Outils locaux et lecture de la droite

On travaille dans un repère orthonormé. Le produit scalaire de \((x;y;z)\) et \((x';y';z')\) est \(xx'+yy'+zz'\). Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si ce produit est nul ; \(\left\lVert(x;y;z)\right\rVert^2=x^2+y^2+z^2\).

Une droite \(\mathcal{D}\) passant par \(A(a_1;a_2;a_3)\), de vecteur directeur \(\vec{u}=(u_1;u_2;u_3)\ne\vec{0}\), est l’ensemble des points \[H=A+t\vec{u},\quad\text{c'est-à-dire}\quad \begin{cases}x_H=a_1+tu_1,\\y_H=a_2+tu_2,\\z_H=a_3+tu_3,\end{cases}\qquad t\in\mathbb{R}.\] Le même paramètre doit convenir aux trois coordonnées. Pour deux points \(M,H\), le vecteur \(\overrightarrow{MH}\) s’obtient par « coordonnées de l’arrivée moins celles du départ ». Le produit scalaire est distributif et \(\vec{u}\cdot\vec{u}=\left\lVert\vec{u}\right\rVert^2>0\). Un plan passant par \(M\) de normal \(\vec{u}\) se caractérise par \(\overrightarrow{MX}\cdot\vec{u}=0\).

Repérage — Appartenir à une droite de l’espace

Pour \(A(1;0;0)\) et \(\vec{u}=(1;2;0)\), le point \(K(3;4;0)\) appartient-il à la droite ? Et \(L(3;5;0)\) ?

Correction expliquée. La première coordonnée donne \(1+t=3\), donc \(t=2\). Ce paramètre donne \(2t=4\) et la troisième coordonnée \(0\) : \(K\) convient. Pour \(L\), le même \(t=2\) donnerait \(4\) et non \(5\) ; aucun paramètre commun ne convient. Si tu avais choisi un paramètre différent par ligne, reprends le rappel avant de chercher un pied de projection.

Définition — Deux conditions qui déterminent le pied

Le projeté orthogonal de \(M\) sur \(\mathcal{D}\) est le point \(H\) qui satisfait \[H\in\mathcal{D}\qquad\text{et}\qquad\overrightarrow{MH}\cdot\vec{u}=0,\] où \(\vec{u}\) est un directeur non nul de \(\mathcal{D}\). Si \(M\notin\mathcal{D}\), la droite \((MH)\) est perpendiculaire à \(\mathcal{D}\) en \(H\). Si \(M\in\mathcal{D}\), le pied est \(H=M\) : la condition vectorielle reste valable, sans inventer une droite \((MM)\).

Intuition — La séparation entre avancer et s’écarter

Un déplacement de \(A\) vers \(M\) se décompose en une partie le long de la droite, \(\overrightarrow{AH}\), et une partie perpendiculaire, \(\overrightarrow{HM}\). Avancer le long de la droite ne change pas la seconde partie : le pied enlève la composante parallèle pour ne garder que l’écart perpendiculaire.

Lecture de la figure. La droite et le point sont contenus dans un même plan lorsqu’il faut représenter le triangle \(AHM\). Cela permet un dessin plan sans réduire l’espace entier à deux dimensions. L’image suggère la décomposition ; le calcul suivant établit son existence et son unicité.

Théorème — Existence, unicité et paramètre du pied

Si \(\mathcal{D}\) passe par \(A\) et a pour directeur \(\vec{u}\ne\vec{0}\), alors le projeté de \(M\) est \[H=A+t_0\vec{u},\qquad t_0=\frac{\overrightarrow{AM}\cdot\vec{u}}{\left\lVert\vec{u}\right\rVert^2}.\] Résultat démontré ici. Le quotient est issu des deux conditions, pas d’une formule à utiliser sans les comprendre.

Remarque — Si le point est déjà sur la droite

Si \(M=A+s\vec{u}\), alors \(\overrightarrow{AM}=s\vec{u}\) et le paramètre calculé vaut \(s\left\lVert\vec{u}\right\rVert^2/\left\lVert\vec{u}\right\rVert^2=s\). On retrouve \(H=M\) et une distance nulle. On n’a pas besoin de supposer \(M\ne A\) ; c’est le directeur qui doit être non nul, pas le déplacement \(\overrightarrow{AM}\).

Théorème — Le minimum est atteint uniquement au pied

Pour tout \(Q\in\mathcal{D}\), \(MQ\geq MH\), avec égalité si et seulement si \(Q=H\). La distance de \(M\) à \(\mathcal{D}\) est \(d(M,\mathcal{D})=MH\). Résultat démontré ici à partir de Pythagore, rappel de collège.

Méthode — Paramétrer le pied puis annuler un produit scalaire

Indices : on te demande un pied ou une distance à une droite. Identifie un point \(A\) de la droite et un directeur non nul \(\vec{u}\). Pose \(H=A+t\vec{u}\), calcule \(\overrightarrow{MH}\), puis résous \(\overrightarrow{MH}\cdot\vec{u}=0\). Trouve les coordonnées de \(H\) et calcule \(MH\).

Contrôle : \(H\) doit satisfaire la paramétrisation avec un unique paramètre commun, et son déplacement depuis \(M\) doit être orthogonal au directeur. Pour calculer uniquement la distance, une figure avec un pied déjà identifié peut parfois éviter ces calculs ; il faut alors justifier ce pied géométriquement.

Exemple — Une droite oblique, un pied exact

Soit \(A(1;-1;2)\), \(\vec{u}=(2;1;-2)\) et \(M(4;2;1)\). La droite cherchée passe par \(A\) et est dirigée par \(\vec{u}\). Écrivons \[H(1+2t;-1+t;2-2t),\qquad \overrightarrow{MH}(-3+2t;-3+t;1-2t).\] La condition d’orthogonalité est \[\begin{align*} 2(-3+2t)+1(-3+t)-2(1-2t)&=0,\\ -6+4t-3+t-2+4t&=0,\\ -11+9t&=0. \end{align*}\] Ajouter \(11\) aux deux membres puis diviser par \(9\ne0\) donne \(t=11/9\). Les coordonnées sont \[x_H=\frac9{9}+\frac{22}{9}=\frac{31}{9},\quad y_H=-\frac9{9}+\frac{11}{9}=\frac2{9},\quad z_H=\frac{18}{9}-\frac{22}{9}=-\frac4{9}.\] L’appartenance est garantie par la construction avec \(t=11/9\). Vérifions encore l’orthogonalité : \[\overrightarrow{MH}=\left(-\frac5{9};-\frac{16}{9};-\frac{13}{9}\right),\qquad \overrightarrow{MH}\cdot\vec{u}=\frac{-10-16+26}{9}=0.\] Alors \[MH=\sqrt{\frac{25+256+169}{81}} =\frac{\sqrt{450}}9=\frac{15\sqrt2}{9}=\frac{5\sqrt2}{3}.\] Contrôle indépendant du paramètre : \(\overrightarrow{AM}=(3;3;-1)\) donne \(\overrightarrow{AM}\cdot\vec{u}=6+3+2=11\) et \(\left\lVert\vec{u}\right\rVert^2=4+1+4=9\). Leur quotient est bien \(11/9\).

Méthode — Passer par un plan perpendiculaire à la droite

Le plan \(\mathcal{Q}\) passant par \(M\) et de normal \(\vec{u}\) est perpendiculaire à \(\mathcal{D}\). Son intersection avec \(\mathcal{D}\) est exactement le projeté : un point \(H\) de cette intersection est sur la droite et vérifie \(\overrightarrow{MH}\cdot\vec{u}=0\).

Dans l’exemple, \(\mathcal{Q}\) a pour équation \[2(x-4)+(y-2)-2(z-1)=0,\] soit \(2x-8+y-2-2z+2=0\), donc \(2x+y-2z-8=0\). Substituer \(x=1+2t\), \(y=-1+t\), \(z=2-2t\) donne \[2+4t-1+t-4+4t-8=0,\] soit \(9t-11=0\) et le même pied.

Quand préférer cette voie ? Quand l’énoncé demande une équation du plan perpendiculaire ou fournit déjà ce plan. Pour la seule projection, la méthode précédente est généralement plus courte. Les deux voies expriment la même condition géométrique, sous deux représentations.

À essayer par cette deuxième voie. Projette \(M(2;0;1)\) sur la droite passant par \(O\) et de directeur \((1;1;0)\), en construisant d’abord le plan passant par \(M\) et perpendiculaire à la droite.

Indice avant correction. Le directeur de la droite devient une normale du plan ; écris ensuite le point de la droite sous la forme \((t;t;0)\).

Correction expliquée. Le plan a pour équation \((x-2)+(y-0)+0(z-1)=0\), soit \(x+y-2=0\). La substitution de \((t;t;0)\) donne \(2t-2=0\), donc \(t=1\) et \(H(1;1;0)\). Il est sur la droite ; le déplacement \(\overrightarrow{MH}=(-1;1;-1)\) a pour produit \(-1+1+0=0\) avec le directeur. La distance vaut \(\sqrt{1+1+1}=\sqrt3\).

Corollaire — Contrôler une distance sans recalculer trois coordonnées

Avec les notations précédentes, \[MH^2=AM^2-\frac{(\overrightarrow{AM}\cdot\vec{u})^2}{\left\lVert\vec{u}\right\rVert^2}.\] Résultat démontré ici ; conséquence des projections et de Pythagore.

Dans l’exemple, \(AM^2=9+9+1=19\), donc \(MH^2=19-121/9=(171-121)/9=50/9\), ce qui redonne \(MH=5\sqrt2/3\). Une valeur négative sous la racine signale une erreur de calcul ou d’hypothèse.

À toi — Essai guidé

Projette \(M(3;4;1)\) sur la droite passant par \(A(0;1;0)\) et dirigée par \(\vec{u}=(1;0;2)\). Commence par calculer \(\overrightarrow{AM}\), son produit avec \(\vec{u}\) et le carré de la norme du directeur.

Correction expliquée. \(\overrightarrow{AM}=(3;3;1)\), \(\overrightarrow{AM}\cdot\vec{u}=3+0+2=5\), et \(\left\lVert\vec{u}\right\rVert^2=1+0+4=5\). Donc \(t_0=1\), puis \(H(1;1;2)\). Le déplacement \(\overrightarrow{MH}=(-2;-3;1)\) vérifie \(-2+0+2=0\). La distance est \(\sqrt{4+9+1}=\sqrt{14}\).

À toi — Cherche avant consultation

Une droite passe par \(A(-1;2;0)\) et possède le directeur \((1;2;2)\). Détermine le projeté de \(M(2;2;3)\) et sa distance à la droite.

Indice avant correction. Le vecteur \(\overrightarrow{AM}\) est \((3;0;3)\) ; le paramètre est un nombre entier.

Correction expliquée. Le produit vaut \(3\times1+0\times2+3\times2=9\), et le carré de norme du directeur vaut \(1+4+4=9\). Donc \(t_0=1\) et \(H(0;4;2)\). On vérifie \(\overrightarrow{MH}=(-2;2;-1)\) et \(-2+4-2=0\). Enfin \(MH=\sqrt{4+4+1}=3\).

Justification — Pourquoi le dénominateur est-il une norme au carré ?

Explique pourquoi le paramètre utilise \(\left\lVert\vec{u}\right\rVert^2\) et non \(\left\lVert\vec{u}\right\rVert\). Puis dis si le pied change lorsqu’on remplace \(\vec{u}\) par \(-2\vec{u}\).

Correction expliquée. L’équation provient du produit \(t\vec{u}\cdot\vec{u}=t\left\lVert\vec{u}\right\rVert^2\) : c’est donc ce carré que l’on doit diviser. Avec \(-2\vec{u}\), le numérateur est multiplié par \(-2\) et le dénominateur par \(4\) ; le paramètre est divisé par \(-2\). Le déplacement final \(t_0\vec{u}\) reste inchangé.

Critères pour te vérifier :

Retrouver le produit scalaire à l’origine du carré ; expliquer les deux facteurs de changement ; conclure sur le point, pas seulement sur le paramètre.

Piège — Une droite n’est pas un segment

Pour la droite des points \((t;0;0)\) et \(M(3;2;0)\), le pied est \((3;0;0)\) et la distance vaut \(2\). Si l’on demande plutôt la distance au segment reliant \((0;0;0)\) à \((1;0;0)\), ce pied est interdit : son paramètre \(3\) n’est pas dans \([0;1]\). Pour un point \((t;0;0)\) du segment, \(0\leq t\leq1\) entraîne \(3-t\geq2\), donc la distance au carré \((3-t)^2+4\) est au moins \(8\), avec égalité pour \(t=1\). La distance au segment vaut alors \(\sqrt8=2\sqrt2\). Cette variation explique pourquoi les mots de l’énoncé comptent. Elle ne change pas la méthode valable pour la droite entière.

Reprise — Réparer une mauvaise division

Erreur de départ. Pour une droite issue de l’origine de directeur \((2;0;0)\) et \(M(3;1;0)\), on calcule à tort \(t=6/2=3\), puis un pied \((6;0;0)\). Rappel. Diviser par le carré de la norme : ici \(2^2=4\). Exemple corrigé. L’équation directe est \(2(2t-3)=0\), donc \(4t-6=0\) et \(t=6/4=3/2\). Le pied est \((3;0;0)\), la distance \(1\). Nouvel essai. La droite passe par l’origine et a pour directeur \((0;3;0)\). Projette \(M(2;-1;4)\).

Correction expliquée. Le produit est \(0-3+0=-3\) et le carré de norme \(9\), donc \(t=-1/3\). Le pied est \((0;-1;0)\) ; la distance \(\sqrt{4+0+16}=2\sqrt5\). Retour. Dans l’exemple de référence, vérifie de nouveau pourquoi le dénominateur est \(9\), et non \(3\). Les contrôles d’orthogonalité détecteraient la mauvaise division.

Reprise — À reprendre dans deux jours

La droite passe par \(A(1;0;1)\) et a pour directeur \((1;1;0)\). Trouve le pied de \(M(0;2;4)\), sa distance et une phrase justifiant le minimum.

Indice avant correction. Calcule d’abord \(\overrightarrow{AM}\cdot\vec{u}\) ; aucune division par zéro n’intervient.

Correction expliquée. \(\overrightarrow{AM}=(-1;2;3)\), donc le produit vaut \(-1+2=1\) et le carré de norme \(2\). Le paramètre est \(1/2\), puis \(H(3/2;1/2;1)\). Le déplacement \((3/2;-3/2;-3)\) a pour produit avec \((1;1;0)\) : \(3/2-3/2=0\). La distance vaut \[\sqrt{\frac9{4}+\frac9{4}+9}=\sqrt{\frac{54}{4}}=\frac{3\sqrt6}{2}.\] Pour tout autre point \(Q\) de la droite, le triangle \(MHQ\) rectangle en \(H\) donne \(MQ^2=MH^2+HQ^2>MH^2\). Le minimum est donc unique.

À retenir — Le bon ordre

Un point sur la droite, puis un déplacement perpendiculaire : ces deux conditions déterminent le pied. Le paramètre peut être négatif et n’est pas une distance. Après calcul, la norme du déplacement vers le pied donne la distance, qui, elle, est toujours positive ou nulle.

Rappel — Carrés de longueurs et produit scalaire

Une distance est positive ou nulle. Ainsi \(MA=MB\) équivaut à \(MA^2=MB^2\). Le carré de norme vérifie \[\left\lVert\vec{u}+\vec{v}\right\rVert^2=\left\lVert\vec{u}\right\rVert^2+2\vec{u}\cdot\vec{v}+\left\lVert\vec{v}\right\rVert^2.\] On le retrouve en développant \((\vec{u}+\vec{v})\cdot(\vec{u}+\vec{v})\) : les quatre termes sont \(\vec{u}\cdot\vec{u}\), \(\vec{u}\cdot\vec{v}\), \(\vec{v}\cdot\vec{u}\), \(\vec{v}\cdot\vec{v}\). Dans un repère orthonormé, un plan passant par \(I\) et de normal non nul \(\vec{n}\) est l’ensemble des points \(M\) tels que \(\overrightarrow{IM}\cdot\vec{n}=0\). Ces outils du chapitre sont rappelés ici pour éviter d’avoir à changer d’unité. Dans ce repère, \(\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A;y_B-y_A;z_B-z_A)\) et le milieu de \([AB]\) a pour coordonnées les moyennes \((x_A+x_B)/2\), \((y_A+y_B)/2\), \((z_A+z_B)/2\). Pour \(\vec{u}=(x;y;z)\) et \(\vec{v}=(x';y';z')\), on a \(\vec{u}\cdot\vec{v}=xx'+yy'+zz'\) et \(\left\lVert\vec{u}\right\rVert^2=x^2+y^2+z^2\).

Repérage — Dans le plan, puis dans l’espace

Soit \(A(-1;0;0)\) et \(B(1;0;0)\). Les points \(M(0;2;0)\) et \(N(0;0;3)\) sont-ils tous deux équidistants de \(A\) et de \(B\) ?

Correction expliquée. \(MA^2=1+4=5=MB^2\) et \(NA^2=1+9=10=NB^2\). Oui. Dans l’espace, les points équidistants ne forment donc pas seulement une droite du dessin \(z=0\). Si tu pensais uniquement à la médiatrice plane, garde le même rôle de perpendicularité mais change la dimension du lieu.

Définition — Plan médiateur d’un segment

Soit \(A\) et \(B\) deux points distincts, et \(I\) leur milieu. Le plan médiateur de \([AB]\) est le plan passant par \(I\) et de vecteur normal \(\overrightarrow{AB}\). Il est perpendiculaire à la droite \((AB)\) en son milieu. La condition \(A\ne B\) assure que \(\overrightarrow{AB}\ne\vec{0}\) et que ce plan est bien défini.

Lemme — Une différence de carrés utile

Pour tout point \(M\) de l’espace et \(I\) milieu de \([AB]\), \[MA^2-MB^2=2\overrightarrow{IM}\cdot\overrightarrow{AB}.\] Démontré ici ; lemme utilisé dans la caractérisation qui suit.

Théorème — Caractérisation par l’équidistance

Pour deux points distincts \(A,B\), le plan médiateur de \([AB]\) est exactement l’ensemble des points \(M\) tels que \(MA=MB\). Démonstration complète des deux sens, à partir du lemme précédent.

Méthode — Trouver l’ensemble des points équidistants

Premier choix : lorsque deux points fixes distincts apparaissent et que l’on demande \(MA=MB\), reconnaître le plan médiateur. Calculer leur milieu \(I\), le normal \(\overrightarrow{AB}\), puis l’équation \(\overrightarrow{IM}\cdot\overrightarrow{AB}=0\). Autre voie : développer directement \(MA^2=MB^2\) en coordonnées. Les termes \(x^2,y^2,z^2\) se compensent. Cette voie contrôle l’équation mais rend moins visible la géométrie ; elle demande plus de calculs. Conclusion indispensable : donner le lieu entier, pas seulement un point qui convient.

Exemple — De l’équidistance à une équation de plan

Soit \(A(1;0;2)\) et \(B(3;4;0)\). Leur milieu est \(I(2;2;1)\) et \(\overrightarrow{AB}=(2;4;-2)\ne\vec{0}\). Le plan médiateur a pour équation \[2(x-2)+4(y-2)-2(z-1)=0,\] soit \(2x-4+4y-8-2z+2=0\), donc \(2x+4y-2z-10=0\). Diviser les deux membres par \(2\) donne \(x+2y-z-5=0\).

Contrôle par les distances. L’égalité \(MA^2=MB^2\) s’écrit \[(x-1)^2+y^2+(z-2)^2=(x-3)^2+(y-4)^2+z^2.\] En développant, le membre de gauche devient \(x^2-2x+1+y^2+z^2-4z+4\) ; celui de droite \(x^2-6x+9+y^2-8y+16+z^2\). En soustrayant les termes du membre de droite aux deux membres, puis en réduisant, on obtient \(4x+8y-4z-20=0\). La division par \(4\) redonne \(x+2y-z-5=0\). Par exemple, \(M(1;3;2)\) convient : \(1+6-2-5=0\) et \(MA^2=9=MB^2=4+1+4\). Ce seul exemple contrôle un point ; c’est le théorème qui caractérise tous les points.

À toi — Essai guidé sur un axe

Trouve le plan médiateur de \(A(-2;0;0)\) et \(B(4;0;0)\), puis vérifie que \(M(1;5;-3)\) lui appartient.

Correction expliquée. Le milieu est \((1;0;0)\) et un normal est \((6;0;0)\). L’équation \(6(x-1)=0\) équivaut à \(x=1\) après division par \(6\ne0\). Pour le point proposé, \(MA^2=3^2+5^2+(-3)^2=43\) et \(MB^2=(-3)^2+5^2+(-3)^2=43\).

À toi — Cherche un lieu, pas un seul point

Détermine l’ensemble des points équidistants de \(A(0;2;-2)\) et \(B(2;0;2)\).

Indice avant correction. Calcule \(I\) et \(\overrightarrow{AB}\) avant d’introduire \(M(x;y;z)\).

Correction expliquée. \(I(1;1;0)\) et \(\overrightarrow{AB}=(2;-2;4)\). Le lieu est le plan \(2(x-1)-2(y-1)+4z=0\), c’est-à-dire \(2x-2-2y+2+4z=0\), puis \(x-y+2z=0\). Le point \((1;3;1)\) vérifie cette équation et ses distances au carré sont toutes deux \(11\) : \(1+1+9\) et \(1+9+1\).

Justification — Pourquoi faut-il deux sens ?

Un élève prouve seulement que tout point du plan médiateur est équidistant de \(A\) et de \(B\). A-t-il établi que le lieu demandé est exactement ce plan ? Que change \(A=B\) ?

Correction expliquée. Non : il a prouvé une inclusion. Il faut encore partir de \(MA=MB\) et montrer l’appartenance au plan ; sinon des points extérieurs pourraient aussi convenir. Si \(A=B\), l’égalité est vraie pour tout \(M\) de l’espace. Le lieu est alors l’espace entier, non un plan médiateur de normal nul.

Critères pour te vérifier :

Distinguer une inclusion d’une égalité d’ensembles ; formuler le sens manquant ; traiter la condition \(A\ne B\).

Reprise — Réparer une confusion sur la direction

Erreur. Pour \(A(-1;0;0)\) et \(B(1;0;0)\), proposer \(y=0\) parce que ce plan contient le milieu. Rappel. Le plan doit aussi avoir \(\overrightarrow{AB}\) pour normal. Exemple corrigé. Ici \(\overrightarrow{AB}=(2;0;0)\), donc le plan est \(x=0\). Le point \((3;0;0)\) appartient au faux plan \(y=0\), mais ses distances aux extrémités sont \(4\) et \(2\). Nouvel essai. Pour \(C(0;-2;0)\) et \(D(0;2;0)\), quel plan faut-il ?

Correction expliquée. Le milieu est l’origine, un normal est \((0;4;0)\) : l’équation \(4y=0\) donne \(y=0\). Retour. Dans l’exemple \(A(1;0;2)\), \(B(3;4;0)\), contrôle maintenant le milieu et les coefficients du normal dans \(x+2y-z-5=0\).

Reprise — À reprendre demain

Sans relire la méthode, décris tous les points équidistants de \((0;0;1)\) et \((2;2;3)\).

Indice avant correction. Le milieu est \((1;1;2)\).

Correction expliquée. Le vecteur entre les deux points est \((2;2;2)\). Le plan recherché a pour équation \(2(x-1)+2(y-1)+2(z-2)=0\), soit \(x+y+z=4\). Justifie les deux sens par la caractérisation, et pas seulement l’appartenance du milieu.

Rappel — Les formules ne choisissent pas la hauteur à ta place

L’aire d’un triangle est \(\frac12\times\text{base}\times\text{hauteur correspondante}\). La hauteur est une distance du sommet à la droite qui porte la base. Le volume d’une pyramide ou d’un tétraèdre est \(\frac13\times\text{aire de la base}\times\text{hauteur}\) ; ici la hauteur est la distance du sommet au plan de la base. Ce sont les formules de grandeurs antérieures, rappelées sans introduire une preuve par intégration.

Pour les calculs de ce deuxième parcours, dans un repère orthonormé, \(\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A;y_B-y_A;z_B-z_A)\) ; le produit scalaire est la somme des trois produits de coordonnées correspondantes, et la norme est la racine carrée de la somme des trois carrés. Ainsi \((x;y;z)\cdot(x';y';z')=xx'+yy'+zz'\) et \(\left\lVert(x;y;z)\right\rVert=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\).

Dans un repère orthonormé, le pied de \(M\) sur une droite \(A+t\vec{u}\) est obtenu par \(t=(\overrightarrow{AM}\cdot\vec{u})/\left\lVert\vec{u}\right\rVert^2\), avec \(\vec{u}\ne\vec{0}\). La distance au plan \(ax+by+cz+d=0\) vaut \(|ax_M+by_M+cz_M+d|/\sqrt{a^2+b^2+c^2}\), avec \((a;b;c)\ne\vec{0}\). Ces conséquences des projections sont réénoncées pour les calculs de cette unité. Pour deux vecteurs non nuls, \(\cos\theta=(\vec{u}\cdot\vec{v})/(\left\lVert\vec{u}\right\rVert\left\lVert\vec{v}\right\rVert)\).

Repérage — Arête ou hauteur ?

Une pyramide a une arête latérale de longueur \(7\) et une distance du sommet au plan de base égale à \(5\). Quelle longueur intervient dans la formule du volume ?

Correction expliquée. C’est \(5\), parce que la hauteur doit être perpendiculaire au plan de base. Une arête oblique ne devient pas une hauteur du seul fait qu’elle relie le sommet à la base. Si cette distinction t’a échappé, dessine d’abord le pied perpendiculaire avant d’utiliser une formule.

Méthode — Relier les grandeurs à l’orthogonalité

Identifie la figure et sa base ; trouve une hauteur correspondante par une projection ou une perpendicularité déjà prouvée ; calcule les longueurs exactes ; applique la formule avec ses facteurs \(1/2\) ou \(1/3\). Contrôle les unités : une aire est en unités carrées, un volume en unités cubes. Changer de base dans le même tétraèdre doit redonner le même volume.

Exemple — Un tétraèdre étudié par deux bases

Dans un repère orthonormé, on considère \[O(0;0;0),\quad A(4;0;0),\quad B(0;3;0),\quad S(1;1;6).\] On veut calculer le volume du tétraèdre, l’aire de la face \(ABS\), puis l’angle \(\widehat{ASB}\).

Description. La base \(OAB\) est dans \(z=0\). Le sommet \(S\) ne se trouve pas à la verticale de \(O\) : sa hauteur arrive en \(H(1;1;0)\). Le dessin en perspective distingue ainsi le segment perpendiculaire \(SH\) de l’arête oblique \(SO\) ; les longueurs se calculent avec les coordonnées, pas avec la taille du dessin.

1. Première base : le triangle \(OAB\). Les vecteurs \(\overrightarrow{OA}=(4;0;0)\) et \(\overrightarrow{OB}=(0;3;0)\) sont orthogonaux car leur produit est \(0\). Le triangle est rectangle en \(O\), donc son aire est \(4\times3/2=6\). Son plan est \(z=0\). Le pied de \(S\) est \(H(1;1;0)\), puisque \(H\) est dans ce plan et \(\overrightarrow{SH}=(0;0;-6)\) est normal. La hauteur est \(SH=6\), donc \[V=\frac13\times6\times6=12.\] L’arête \(SO\) mesure \(\sqrt{1+1+36}=\sqrt{38}\) : elle n’est pas la hauteur.

2. Aire de la face \(ABS\). Le côté \(AB\) mesure \(\sqrt{(-4)^2+3^2}=5\). Pour trouver la hauteur issue de \(S\), projetons \(S\) sur la droite \((AB)\). Un directeur est \(\vec{u}=\overrightarrow{AB}=(-4;3;0)\), et \(\overrightarrow{AS}=(-3;1;6)\). Donc \[\overrightarrow{AS}\cdot\vec{u}=(-3)(-4)+1\times3+6\times0=15, \qquad\left\lVert\vec{u}\right\rVert^2=16+9=25.\] Le paramètre vaut \(15/25=3/5\). Le pied est \[K=A+\frac35\vec{u} =\left(4-\frac{12}{5};\frac95;0\right) =\left(\frac85;\frac95;0\right).\] Alors \(\overrightarrow{SK}=(3/5;4/5;-6)\), et le contrôle d’orthogonalité donne \((-4)(3/5)+3(4/5)=0\). La hauteur vaut \[SK=\sqrt{\frac9{25}+\frac{16}{25}+36}=\sqrt{1+36}=\sqrt{37}.\] L’aire de la face \(ABS\) est donc \(5\sqrt{37}/2\).

3. Deuxième base : contrôler le volume. Le vecteur \(\vec{n}=(18;24;5)\) est orthogonal à \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AS}\) : \[18(-4)+24\times3+5\times0=-72+72=0,\] \[18(-3)+24\times1+5\times6=-54+24+30=0.\] Les deux vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AS}\) ne sont pas colinéaires : la troisième coordonnée du premier est nulle et celle du second vaut \(6\), alors que le premier est non nul. Ils donnent deux directions du plan \((ABS)\). Ainsi \(\vec{n}\ne\vec{0}\) est un normal, et l’équation du plan, passant par \(A\), est \[18(x-4)+24y+5z=0,\quad\text{soit}\quad18x+24y+5z-72=0.\] La distance de \(O\) à ce plan vaut \[\frac{|-72|}{\sqrt{18^2+24^2+5^2}} =\frac{72}{\sqrt{324+576+25}} =\frac{72}{\sqrt{925}}=\frac{72}{5\sqrt{37}}.\] En choisissant \(ABS\) pour base et \(O\) pour sommet, on retrouve \[V=\frac13\times\frac{5\sqrt{37}}2\times\frac{72}{5\sqrt{37}} =\frac{72}{6}=12.\] Les facteurs annulés sont non nuls. Ce contrôle emploie une autre base et une autre hauteur du même solide.

4. Angle au sommet \(S\). Les deux vecteurs doivent partir de \(S\) : \(\overrightarrow{SA}=(3;-1;-6)\) et \(\overrightarrow{SB}=(-1;2;-6)\). Leur produit vaut \(3(-1)+(-1)2+(-6)(-6)=-3-2+36=31\). Leurs normes sont \(\sqrt{9+1+36}=\sqrt{46}\) et \(\sqrt{1+4+36}=\sqrt{41}\), toutes deux non nulles. Ainsi \[\cos\widehat{ASB}=\frac{31}{\sqrt{46}\sqrt{41}}=\frac{31}{\sqrt{1886}}.\] La touche de cosinus inverse, en mode degrés, donne environ \(44{,}5^\circ\). Le résultat est cohérent avec un produit scalaire positif : l’angle est aigu. Ne remplace pas \(\overrightarrow{SA}\) par \(\overrightarrow{AS}\) sans changer le signe et l’angle étudié.

À toi — Essai guidé : reconnaître une base simple

Pour \(O(0;0;0)\), \(A(6;0;0)\), \(B(0;4;0)\) et \(S(2;1;3)\), calcule le volume du tétraèdre. Quelle distance faut-il choisir ?

Correction expliquée. Le triangle \(OAB\) est rectangle en \(O\) et son aire vaut \(6\times4/2=12\). Le plan de base est \(z=0\), donc le pied est \((2;1;0)\) et la hauteur vaut \(3\). Le volume est \(12\times3/3=12\). La longueur \(SO=\sqrt{4+1+9}=\sqrt{14}\) ne remplace pas cette hauteur.

À toi — Cherche sans modèle immédiat

Soit \(C(0;0;2)\), \(D(3;0;2)\), \(E(0;4;2)\) et \(S(1;1;-1)\). Calcule l’aire de \(CDE\) et le volume du tétraèdre \(SCDE\).

Indice avant correction. Une hauteur est une longueur : le sommet peut être en dessous du plan de base.

Correction expliquée. \(\overrightarrow{CD}=(3;0;0)\) et \(\overrightarrow{CE}=(0;4;0)\) sont orthogonaux. L’aire de base vaut \(3\times4/2=6\). Le plan est \(z=2\), le pied \((1;1;2)\) et la hauteur \(|{-1}-2|=3\). Le volume est \(6\times3/3=6\), positif malgré la coordonnée négative du sommet.

Justification — Le pied doit-il être dans la face ?

Dans l’essai précédent, on remplace le sommet par \(S'(7;8;-1)\). Le volume change-t-il ? La distance à la face triangulaire est-elle forcément la distance au plan ?

Correction expliquée. Le plan de base reste \(z=2\), donc la hauteur de la pyramide reste \(3\) et son volume \(6\). Le pied \((7;8;2)\) n’appartient pas au triangle, dont les points vérifient notamment \(0\leq x\leq3\) et \(0\leq y\leq4\). Pour un point \(Q(x;y;2)\) de cette face, on a donc \(7-x\geq4\) et \(8-y\geq4\), puis \[S'Q^2=(7-x)^2+(8-y)^2+(-1-2)^2\geq16+16+9=41>9.\] Toutes les distances à la face sont ainsi au moins \(\sqrt{41}>3\). La distance à la face est strictement supérieure à la distance au plan support. Une hauteur de pyramide utilise le plan support, même si le pied est extérieur au triangle.

Critères pour te vérifier :

Identifier le plan support ; distinguer un plan infini d’une face ; conserver la hauteur perpendiculaire et le facteur \(1/3\).

Reprise — Réparer une formule de volume mal appliquée

Erreur. Multiplier l’aire de base par une arête oblique, ou oublier de diviser par \(3\). Rappel. Une pyramide utilise une hauteur perpendiculaire au plan de base et le facteur \(1/3\). Exemple plus simple corrigé. Pour une base d’aire \(10\) et une hauteur perpendiculaire \(6\), le volume est \(10\times6/3=20\), non \(60\). Nouvel essai. La base est un triangle rectangle de côtés perpendiculaires \(6\) et \(4\), et la hauteur vaut \(5\).

Correction expliquée. L’aire est \(6\times4/2=12\), puis le volume \(12\times5/3=20\). Les facteurs \(1/2\) et \(1/3\) ont des rôles différents. Retour. Reprends la première base du grand exemple : aire \(6\), hauteur \(6\), volume \(12\). Explique pourquoi l’arête \(SO\) ne convient pas.

Reprise — À reprendre plus tard : choisis toi-même la hauteur

Le tétraèdre a pour sommets \(O(0;0;0)\), \(A(2;0;0)\), \(B(0;5;0)\) et \(S(3;-1;4)\). Calcule son volume, puis dis si le pied doit être à l’intérieur de la base.

Indice avant correction. Utilise le plan \(z=0\) et distingue le triangle de son plan.

Correction expliquée. Le triangle \(OAB\) est rectangle, d’aire \(2\times5/2=5\). Le pied est \((3;-1;0)\) et la hauteur \(4\) ; le volume vaut \(5\times4/3=20/3\). Le pied est extérieur au triangle, notamment parce que sa coordonnée \(y\) est négative. Cela n’empêche pas d’utiliser la distance au plan comme hauteur.

À retenir — Du calcul à son sens géométrique

Une équidistance à deux points distincts décrit un plan médiateur ; il faut établir les deux sens. Pour une aire ou un volume, la hauteur est perpendiculaire à la base correspondante ou à son plan. Une arête, une distance au plan et une distance à une face sont des objets différents, même lorsque certaines valeurs coïncident dans un cas particulier.

Objectif — Un calcul automatique que l’on sait expliquer

Cette unité apprend à lire et modifier un programme qui calcule un produit scalaire ou un projeté. Elle ne remplace pas la démonstration géométrique. Nous utilisons des listes de trois coordonnées, des fonctions et une boucle courte. Le mode rationnel exact est une aide facultative ; les calculs à la main restent la référence.

Rappel — Les formules utiles, avec leurs conditions

Dans un repère orthonormé, pour \(u=(u_0,u_1,u_2)\) et \(v=(v_0,v_1,v_2)\), \[u\cdot v=u_0v_0+u_1v_1+u_2v_2, \qquad \|u\|^2=u\cdot u.\] Dans le code, l’indice commence à \(0\) : les positions 0, 1, 2 correspondent aux coordonnées \(x\), \(y\), \(z\). Les lettres \(u,v\) y désignent des listes ; dans les formules elles désignent les vecteurs représentés par ces listes.

Pour projeter \(M\) sur la droite passant par \(A\) de directeur \(u\ne0\), on cherche \(H=A+tu\) tel que \(u\cdot\overrightarrow{MH}=0\). Comme \(\overrightarrow{MH}=-\overrightarrow{AM}+tu\), \[-u\cdot\overrightarrow{AM}+t\|u\|^2=0, \qquad t=\frac{\overrightarrow{AM}\cdot u}{\|u\|^2}.\] Le diviseur est strictement positif puisque \(u\ne0\).

Pour projeter \(M(x_0,y_0,z_0)\) sur \(ax+by+cz+d=0\), avec \(n=(a,b,c)\ne0\), on écrit \[k=\frac{ax_0+by_0+cz_0+d}{a^2+b^2+c^2}, \qquad H=M-kn.\] En effet, \(\overrightarrow{MH}=-kn\) est normal au plan et \(n\cdot H+d=n\cdot M-k(n\cdot n)+d=0\). Ces deux vérifications caractérisent le projeté. Enfin \(MH^2=\overrightarrow{MH}\cdot\overrightarrow{MH}\) : le carré d’une distance est souvent plus simple à conserver exactement que sa racine.

Repérage — Avant de lancer le code

Quel est le contenu de u[1] si u = [3, -2, 5] ? Que représentent [M[i] - A[i] for i in range(3)] et scalaire(u, u) ?

Correction expliquée. u[1] vaut \(-2\), car c’est la deuxième position. La liste calculée contient les trois coordonnées de \(\overrightarrow{AM}\) : arrivée moins départ. Le dernier appel donne \(\|u\|^2\), pas \(\|u\|\). Si l’un de ces points hésite, reprendre le rappel avant de poursuivre.

Notation — Une affectation n’est pas une égalité mathématique

L’instruction total = total + u[i] * v[i] remplace l’ancienne valeur de total par une nouvelle. On lit d’abord toute l’expression à droite, puis on la range dans la variable à gauche. return total renvoie la valeur à l’endroit où la fonction a été appelée. raise ValueError(...) interrompt un appel dont les entrées ne conviennent pas, au lieu de produire un résultat sans sens.

Méthode — Choisir le type de calcul

Mode exact rationnel. Fraction est un outil de la bibliothèque standard de Python qui stocke un quotient d’entiers et le simplifie. Ainsi Fraction(2, 3) représente exactement \(2/3\). Utiliser des Fraction pour toutes les coordonnées et constantes avant d’appeler les fonctions : la division de deux fractions reste exacte.

Mode flottant. Écrire par exemple 2.0 pour demander un calcul approché. Les opérations sont rapides, mais les nombres décimaux ne sont généralement pas représentés exactement dans la machine. Un petit résidu numérique n’est pas une preuve d’orthogonalité ou d’appartenance.

Premier geste : identifier si l’on veut une preuve exacte ou une approximation. Si les données sont rationnelles, le mode exact est adapté. Pour un angle ou une racine non rationnelle, conserver d’abord le résultat exact, puis demander une valeur approchée. Cette unité ne prétend pas traiter les débordements numériques ni les nombres extrêmes.

Exemple — Suivre réellement la boucle

Calculons le produit de u = [1, -2, 2] et v = [3, 1, 4]. Avant la boucle, total vaut \(0\).

La réponse \(9\) est un réel. La boucle termine après trois passages. Elle conserve la somme des produits déjà parcourus : après la dernière mise à jour, les trois produits sont présents. Il ne faut pas réinitialiser total à l’intérieur de la boucle, sinon les produits précédents sont perdus.

Exemple — Des fractions exactes aux coordonnées du pied

Prenons \(M(2,1,4)\), \(A(1,0,0)\) et \(u=(1,2,2)\). On obtient successivement \[\overrightarrow{AM}=(2-1,1-0,4-0)=(1,1,4),\qquad u\cdot u=1+4+4=9,\] \[\overrightarrow{AM}\cdot u=1\times1+1\times2+4\times2=11, \qquad t=\frac{11}{9}.\] Donc \[H=\left(1+\frac{11}{9},\,\frac{22}{9},\,\frac{22}{9}\right) =\left(\frac{20}{9},\frac{22}{9},\frac{22}{9}\right).\] Le contrôle porte sur les données réelles : \[\overrightarrow{MH}=\left(\frac29,\frac{13}{9},-\frac{14}{9}\right),\qquad \overrightarrow{MH}\cdot u=\frac29+\frac{26}{9}-\frac{28}{9}=0.\] Le point est sur la droite par sa construction ; c’est donc bien le projeté. Enfin \[MH^2=\frac{4+169+196}{81}=\frac{369}{81}=\frac{41}{9}, \qquad MH=\frac{\sqrt{41}}3.\] Pour le plan \(x+2y+2z-3=0\), la même normale donne \(k=(2+2+8-3)/9=1\), donc le pied est \((1,-1,2)\). On vérifie \(1-2+4-3=0\) et \(\overrightarrow{MH}=(-1,-2,-2)=-n\) ; la distance vaut \(3\).

Piège — « Très proche de zéro » n’est pas « égal à zéro »

En calcul flottant, 0.1 + 0.2 == 0.3 renvoie False dans l’exécution usuelle de Python ; pourtant \(1/10+1/5=3/10\). Pour représenter exactement un décimal donné, on peut écrire Fraction("0.1"). Fraction(0.1) convertit le nombre flottant déjà approché et ne rétablit pas magiquement la donnée idéale.

Un test comme \(|u\cdot v|<10^{-10}\) constate seulement une petitesse numérique à une échelle choisie. Il ne prouve pas \(u\cdot v=0\). Inversement, les gardes du programme refusent une direction nulle ; elles ne garantissent pas une analyse fiable de toutes les directions extrêmement petites en mode flottant. Pour une justification scolaire avec données rationnelles, revenir au calcul exact.

À toi — Essai guidé : une trace sans ordinateur

Pour \(u=(2,-1,0)\) et \(v=(3,4,-2)\), écrire les valeurs successives de total. Dire si les vecteurs sont orthogonaux.

Indice avant correction. Les produits sont ajoutés dans l’ordre des positions \(0,1,2\).

Correction expliquée. L’initialisation donne \(0\) ; les mises à jour donnent \(0+2\times3=6\), puis \(6+(-1)\times4=2\), puis \(2+0\times(-2)=2\). Le produit vaut \(2\), donc les vecteurs ne sont pas orthogonaux. Le dernier produit nul n’annule pas toute la somme.

À toi — Tentative avant consultation : quel point le programme renvoie-t-il ?

Sans lire la correction, calculer le projeté de \(M(0,2,1)\) sur la droite passant par \(A(1,0,0)\) de directeur \(u=(1,1,0)\). Donner le type de nombres à employer pour obtenir le résultat exact, puis contrôler la réponse.

Indice avant correction. Calculer d’abord \(\overrightarrow{AM}\), puis le numérateur et le dénominateur de \(t\) ; ne pas diviser coordonnée par coordonnée.

Correction expliquée. \(\overrightarrow{AM}=(-1,2,1)\) ; \(\overrightarrow{AM}\cdot u=-1+2+0=1\) et \(u\cdot u=1+1+0=2\). Ainsi \(t=1/2\) et \(H=(3/2,1/2,0)\). Avec des Fraction en entrée, ces coordonnées restent exactes. On a \(\overrightarrow{MH}=(3/2,-3/2,-1)\), donc \(\overrightarrow{MH}\cdot u=3/2-3/2=0\). Le carré de la distance vaut \(9/4+9/4+1=11/2\).

Justifier — Pourquoi le dénominateur ne s’annule-t-il pas ?

Expliquer en deux phrases pourquoi le programme divise par \(u\cdot u\), et pourquoi il ne suffit pas de tester u[0] != 0.

Correction expliquée. La condition d’orthogonalité du pied donne \(t(u\cdot u)=\overrightarrow{AM}\cdot u\) ; on divise donc par la norme au carré. Un vecteur non nul peut avoir une première coordonnée nulle : par exemple \((0,0,2)\) dirige une droite, alors que \(u\cdot u=4>0\).

Critères pour te vérifier :

Relier le dénominateur à l’équation géométrique ; mentionner la somme de trois carrés et au moins une coordonnée non nulle ; donner un contre-exemple au test d’une seule coordonnée.

Reprise — Réparer une confusion de type

Première erreur : « Mes coordonnées sont des entiers, donc toute division Python est exacte. » En Python, la division / de deux entiers produit normalement un flottant. Le calcul peut donc cesser d’être rationnel exact à cette étape.

Rappel et exemple simple corrigé : \(1/3\) est exactement représenté par Fraction(1, 3), tandis que 1 / 3 est approché. Convertir les entrées avant le calcul évite cette perte.

Nouvel essai : calculer exactement le projeté de \(M(1,2,3)\) sur la droite passant par l’origine de directeur \((0,0,2)\).

Correction expliquée. Le numérateur vaut \(6\), le dénominateur \(4\), donc \(t=3/2\) et \(H=(0,0,3)\). Le vecteur \(\overrightarrow{MH}=(-1,-2,0)\) est orthogonal au directeur. La distance vaut \(\sqrt5\). Revenir ensuite à la tentative précédente et vérifier que chaque liste d’entrée contient des Fraction.

Variation — Ce que le programme contrôle, et ce qu’il ne contrôle pas

Que se passe-t-il pour u = [0, 0, 0] ? Pour un point déjà sur la droite ? Pour un repère qui n’est pas orthonormé ?

Correction expliquée. Le premier appel est refusé : il n’y a pas de droite dirigée par le vecteur nul. Si \(M=A+su\), alors \(\overrightarrow{AM}\cdot u=s\|u\|^2\), donc le programme retrouve \(t=s\) et \(H=M\). Enfin il ne connaît pas le repère utilisé : dans un repère non orthonormé, la somme des produits de coordonnées n’est en général pas le produit scalaire géométrique. La responsabilité de cette hypothèse reste à l’utilisateur.

Reprise — À refaire plus tard, sans relire le code

Demain, écrire de mémoire la méthode de projection sur le plan \(z=2\), puis l’appliquer à \(M(1,2,3)\). Expliquer ce que renverrait la fonction de carré de distance.

Indice avant correction. Prendre \(n=(0,0,1)\) et \(d=-2\) ; vérifier ensuite l’appartenance et la direction de \(\overrightarrow{MH}\).

Correction expliquée. \(k=(3-2)/1=1\), donc \(H=(1,2,2)\). Il appartient au plan et \(\overrightarrow{MH}=(0,0,-1)\) lui est normal. La fonction renvoie \(1\), qui est \(MH^2\) ; ici la distance vaut aussi \(1\), mais cette coïncidence n’est pas générale.

À retenir — Trois contrôles avant de croire une sortie

Vérifier les hypothèses géométriques, le type de nombres et les deux conditions du projeté. Un programme automatise une méthode connue ; une sortie approchée, même plausible, n’est pas une démonstration.

Parcours — Aller plus loin avec les outils du chapitre

Ces approfondissements sont proposés par le programme, mais ne sont pas obligatoires pour maîtriser le noyau du cours. Ils réunissent trois idées : couper une sphère par un plan, trouver une sphère passant par quatre sommets et transformer une somme de distances au carré. Aucun produit vectoriel ni calcul matriciel n’est nécessaire.

Rappel — Les points d’appui à garder sous les yeux

Dans un repère orthonormé, \(AB^2=(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2\). Pour des vecteurs \(u,v\), on dispose de \[\|u+v\|^2=\|u\|^2+2u\cdot v+\|v\|^2, \quad \|u-v\|^2=\|u\|^2-2u\cdot v+\|v\|^2.\] Si \(H\) est le projeté de \(\Omega\) sur un plan \(\mathcal{P}\), alors, pour tout \(M\in\mathcal{P}\), \(\Omega M^2=\Omega H^2+HM^2\) par Pythagore ; cette égalité reste vraie si \(\Omega=H\) ou \(M=H\).

Un plan de normal \(n\ne0\) passant par \(A\) est décrit par \(n\cdot\overrightarrow{AM}=0\). Le plan médiateur de deux points distincts \(A,B\) passe par leur milieu \(I\) et a pour normal \(\overrightarrow{AB}\) : il rassemble exactement les points équidistants de \(A\) et \(B\). Dans le plan d’un triangle non aplati, les médiatrices se coupent en un unique centre de cercle circonscrit : c’est le résultat de géométrie plane utilisé ci-dessous.

Définition — Une surface, pas un solide plein

Pour un point \(\Omega\) et un réel \(R>0\), la sphère de centre \(\Omega\) et de rayon \(R\) est l’ensemble des points \(M\) tels que \(\Omega M=R\). La boule fermée correspond à \(\Omega M\le R\) : elle contient aussi l’intérieur. Un cercle est dans un plan ; une sphère est dans l’espace. Définition. La condition \(R>0\) exclut ici la sphère réduite à un point.

Propriété — Équation d’une sphère

Dans un repère orthonormé, la sphère de centre \(\Omega(\alpha,\beta,\gamma)\) et de rayon \(R>0\) a pour équation \[(x-\alpha)^2+(y-\beta)^2+(z-\gamma)^2=R^2.\]

Repérage — Lire l’équation

Quel est le centre et le rayon de \((x-1)^2+(y+1)^2+(z-2)^2=9\) ? Le centre appartient-il à la sphère ?

Correction expliquée. Le centre est \((1,-1,2)\), puisque \(y+1=y-(-1)\) ; le rayon est \(\sqrt9=3\), pas \(9\). Le centre ne fait pas partie de la sphère : sa distance à lui-même est \(0\), alors que \(R=3\). Reprendre la définition si l’on confond sphère et boule.

Théorème — Les trois formes d’une section plane

Soit une sphère de centre \(\Omega\), de rayon \(R>0\), et un plan \(\mathcal{P}\). On note \(H\) le projeté de \(\Omega\) sur \(\mathcal{P}\) et \(d=\Omega H\).

• Si \(d>R\), le plan et la sphère n’ont aucun point commun.

• Si \(d=R\), leur seul point commun est \(H\).

• Si \(d<R\), leur intersection est le cercle du plan \(\mathcal{P}\), de centre \(H\) et de rayon \(r=\sqrt{R^2-d^2}\).

Définition et propriété — Le plan tangent en un point de la sphère

Si \(T\) appartient à une sphère de centre \(\Omega\) et de rayon \(R>0\), le plan tangent en \(T\) est le plan passant par \(T\) et normal au rayon \(\overrightarrow{\Omega T}\). Il rencontre la sphère seulement en \(T\). Réciproquement, tout plan qui rencontre la sphère en un seul point \(T\) est ce plan tangent.

Exemple — Un rayon de section et un plan tangent

Pour la sphère \(\Omega(1,-1,2)\), \(R=3\), et le plan \(z=4\), le pied est \(H(1,-1,4)\) et \(d=2\). L’intersection est donc le cercle de ce plan, de centre \(H\) et de rayon \(\sqrt{9-4}=\sqrt5\).

Le point \(T(4,-1,2)\) est sur la sphère puisque \(\Omega T=3\). Le rayon \(\overrightarrow{\Omega T}=(3,0,0)\) est normal au plan tangent : \(3(x-4)=0\), soit \(x=4\).

Méthode — Reconnaître une section sans résoudre trois équations

Indice : un centre, un rayon et un plan sont connus. Premier geste : calculer la distance du centre au plan, en construisant son projeté. Comparer ensuite \(d\) et \(R\), puis calculer le rayon uniquement si \(d<R\). Contrôle : le centre de la section doit appartenir au plan et \(0<r\le R\). Le plus grand cercle s’obtient quand le plan passe par \(\Omega\) : \(d=0\) et \(r=R\).

À toi — Essai guidé puis changement de représentation

Pour la même sphère, décrire les intersections avec \(z=5\) puis \(z=6\).

Indice avant correction. Le pied garde les coordonnées \(x=1\), \(y=-1\).

Correction expliquée. Pour \(z=5\), \(d=|5-2|=3=R\) : un seul point \((1,-1,5)\), et le plan est tangent. Pour \(z=6\), \(d=4>3\) : aucun point commun.

Tentative sans aide immédiate : la sphère de centre \((1,1,1)\) et de rayon \(3\) est coupée par \(x+2y+2z-2=0\). Trouver le centre et le rayon de la section.

Indice avant correction. Une normale est \((1,2,2)\) ; sa norme au carré vaut \(9\). Chercher le pied sous la forme \((1,1,1)-k(1,2,2)\).

Correction expliquée. En remplaçant dans l’équation du plan, on obtient \((1-k)+2(1-2k)+2(1-2k)-2=0\), donc \(3-9k=0\), puis \(k=1/3\). Ainsi \(H=(2/3,1/3,1/3)\) et \(\Omega H=\frac13\sqrt{1+4+4}=1\). L’intersection est un cercle de centre \(H\) et de rayon \(\sqrt{9-1}=2\sqrt2\). Contrôle : \(2/3+2/3+2/3-2=0\).

Justifier — Pourquoi le cercle n’a-t-il pas pour centre \(\Omega\) ?

Correction expliquée. Le centre d’un cercle appartient à son plan. Si \(\Omega\) n’appartient pas à \(\mathcal{P}\), il ne peut donc pas être le centre du cercle de section. C’est \(H\), son projeté, qui appartient au plan et est à la même distance \(\sqrt{R^2-d^2}\) de tous les points de la section.

Critères pour te vérifier :

Mentionner l’appartenance au plan, le rôle du projeté et l’égalité de Pythagore ; ne pas conclure d’après la perspective seule.

Définition — Circonscrite signifie « passant par les sommets »

Une sphère est circonscrite au tétraèdre \(ABCD\) lorsqu’elle passe par \(A,B,C,D\). On suppose les quatre points non coplanaires : le tétraèdre n’est pas aplati. Son centre doit être équidistant des quatre sommets ; il n’est pas nécessairement à l’intérieur du solide.

Théorème — Existence et unicité

Tout tétraèdre non aplati possède une unique sphère circonscrite.

Exemple — Calculer le centre sans formule à apprendre

On considère \(O(0,0,0)\), \(A(4,0,0)\), \(B(0,6,0)\) et \(C(0,0,2)\). Pour un centre \(K(x,y,z)\), l’égalité \(KO^2=KA^2\) donne \[x^2+y^2+z^2=(x-4)^2+y^2+z^2 =x^2-8x+16+y^2+z^2.\] Après soustraction des termes communs, \(0=-8x+16\) ; en ajoutant \(8x\) aux deux membres, \(8x=16\), puis \(x=2\). De même \(KO^2=KB^2\) donne \(12y=36\), donc \(y=3\), et \(KO^2=KC^2\) donne \(4z=4\), donc \(z=1\).

Ainsi \(K(2,3,1)\) et \(R^2=KO^2=4+9+1=14\). La sphère a pour équation \((x-2)^2+(y-3)^2+(z-1)^2=14\). Les quatre substitutions donnent bien \(14\). Le système est simple parce que les arêtes issues de \(O\) suivent les axes, pas parce que toute sphère circonscrite se calcule par une formule de milieu.

À toi — Deux essais de construction

Guidé : remplacer les longueurs des arêtes précédentes par \(2\), \(4\) et \(6\). Quel centre et quel rayon obtient-on ?

Correction expliquée. Les mêmes égalités donnent \(x=1\), \(y=2\), \(z=3\) ; le rayon vaut \(\sqrt{1+4+9}=\sqrt{14}\).

À chercher seul : pour les sommets \((0,0,0)\), \((2,0,0)\), \((0,2,0)\) et \((1,1,2)\), trouver le centre et le rayon.

Indice avant correction. Les deux premières équidistances donnent \(x=y=1\). Utiliser ensuite le quatrième sommet, sans supposer que \(z\) est la moitié de \(2\).

Correction expliquée. Posons \(K(1,1,z)\). Les carrés des distances à l’origine et au quatrième sommet sont \(2+z^2\) et \((z-2)^2=z^2-4z+4\). Leur égalité donne \(2=-4z+4\), puis \(4z=2\) et \(z=1/2\). Donc \(K=(1,1,1/2)\) et \(R^2=2+1/4=9/4\), soit \(R=3/2\). Le quatrième sommet ne se trouve pas sur l’axe vertical passant par l’origine : prendre automatiquement \(z=1\) aurait été faux.

Variation — Pourquoi « non aplati » est indispensable

Pour les quatre sommets d’un carré dans le plan \(z=0\), tous les points de la droite perpendiculaire à ce plan passant par le centre du carré sont équidistants des quatre sommets. Ils donnent une infinité de sphères : l’unicité disparaît.

On peut aussi n’avoir aucune sphère. Si les quatre points sont \((0,0,0)\), \((2,0,0)\), \((0,2,0)\) et \((1,0,0)\), l’équidistance aux deux premiers impose \(x=1\) pour le centre, tandis que l’équidistance au premier et au dernier impose \(x=1/2\). Ces deux conditions sont incompatibles. Ce contre-exemple explique pourquoi on ne supprime pas l’hypothèse du théorème.

Proposition — Le milieu simplifie une somme de carrés

Si \(I\) est le milieu de \([AB]\), alors, pour tout point \(M\) de l’espace, \[\boxed{MA^2+MB^2=2MI^2+\frac{AB^2}{2}.}\] Cette identité est le cas à deux points de la fonction scalaire de Leibniz. Elle reste valable si \(A=B\), auquel cas \(I=A=B\).

Corollaire — Une somme de carrés constante définit parfois une sphère

Pour \(A,B\) fixes de milieu \(I\), les solutions de \(MA^2+MB^2=c\) vérifient exactement \[MI^2=\frac{c-AB^2/2}{2}.\] Si \(c<AB^2/2\), le lieu est vide ; si \(c=AB^2/2\), c’est le seul point \(I\) ; si \(c>AB^2/2\), c’est une sphère de centre \(I\) et de rayon \(\sqrt{(c-AB^2/2)/2}\).

Exemple — Voir le seuil avant de prendre une racine

Soient \(A(-2,1,0)\) et \(B(4,1,0)\). Le milieu est \(I(1,1,0)\) ; \(AB=6\), donc \(AB^2/2=18\). Pour \(MA^2+MB^2=26\), on obtient \(2MI^2+18=26\), puis \(2MI^2=8\) et \(MI^2=4\). Le lieu est la sphère de centre \(I\) et de rayon \(2\). Contrôle avec \(M(1,3,0)\) : \(MA^2=3^2+2^2=13\) et \(MB^2=(-3)^2+2^2=13\), donc la somme vaut \(26\).

À toi — Du calcul à une condition d’existence

Guidé : avec les mêmes \(A,B\), décrire les lieux pour \(c=18\) et \(c=17\).

Correction expliquée. Pour \(c=18\), \(MI^2=0\) : le point \(I\) seul. Pour \(c=17\), \(MI^2=-1/2\) : aucun point, car une distance au carré ne peut être négative.

Tentative : on sait seulement \(AB=4\). Quelle valeur de \(c\) donne une sphère de rayon \(3\) pour l’équation \(MA^2+MB^2=c\) ?

Indice avant correction. Placer \(MI^2=9\) dans l’identité, plutôt que résoudre une équation de sphère développée.

Correction expliquée. \(AB^2/2=16/2=8\), donc \(c=2\times9+8=26\). Tout point à distance \(3\) du milieu donne cette somme ; réciproquement, une somme égale à \(26\) impose \(MI^2=9\).

Justifier — Dire ce qui est constant et ce qui varie

Dans la dernière identité, pourquoi le milieu est-il le point où la somme est minimale ?

Correction expliquée. Les points \(A,B\) sont fixes, donc \(AB^2/2\) est constant. Le seul terme variable est \(2MI^2\ge0\) ; il vaut \(0\) exactement lorsque \(M=I\). Le minimum vaut donc \(AB^2/2\) et il n’est atteint qu’en \(I\).

Critères pour te vérifier :

Distinguer donnée fixe et point variable ; mentionner la positivité d’un carré et le cas d’égalité ; ne pas utiliser seulement une figure symétrique.

Reprise — Réparer une mauvaise lecture de « section »

Première erreur : « Si \(d<R\), le rayon de section est \(R-d\). » Cette soustraction ignore l’angle droit. Avec \(R=5\), \(d=3\), Pythagore donne \(r^2=25-9=16\), donc \(r=4\), pas \(2\).

Nouvel essai : pour \(R=13\) et \(d=5\), trouver \(r\) puis vérifier l’égalité des carrés.

Correction expliquée. \(r=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12\). Le contrôle \(5^2+12^2=25+144=169=13^2\) confirme le calcul. Revenir alors à la section oblique précédente et vérifier \(1^2+(2\sqrt2)^2=9\).

Autre réflexe de réparation : si une équation de lieu conduit à \(MI^2<0\), ne pas inventer une racine réelle ; conclure que le lieu est vide.

Reprise — Trois courtes reprises à distance

À refaire dans quelques jours avant de relire les résultats :

1. Une sphère de centre \(O\) et de rayon \(5\) est coupée par un plan à distance \(4\) de \(O\). Donner la nature de la section et son rayon.

2. Trouver la sphère passant par \((0,0,0)\), \((2,0,0)\), \((0,2,0)\) et \((0,0,2)\).

3. Pour \(AB=2\), déterminer le lieu \(MA^2+MB^2=10\).

Indice avant correction. Utiliser respectivement Pythagore, les égalités de distances au carré, puis le milieu.

Correction expliquée. (1) Le plan est sécant : cercle centré au projeté, rayon \(\sqrt{25-16}=3\). (2) Les trois égalités imposent les coordonnées \((1,1,1)\) au centre ; le rayon est \(\sqrt3\). (3) Avec \(I\) milieu, \(2MI^2+2=10\), donc \(MI^2=4\) : sphère de centre \(I\), rayon \(2\). Dans chaque réponse, préciser le centre est aussi important que trouver le rayon.

Méthode — Intersection d’une sphère et d’une droite

Cet approfondissement est lui aussi mentionné par le programme. Dans un repère orthonormé, une droite s’écrit \(M=A+t\vec{u}\), avec \(\vec{u}\ne\vec{0}\). Pour une sphère de centre \(\Omega\) et de rayon \(R>0\), on remplace les coordonnées de \(M\) dans l’équation de la sphère. On obtient une équation du second degré en \(t\) : le coefficient de \(t^2\) est \(\left\lVert\vec{u}\right\rVert^2>0\).

Pourquoi ? \(\overrightarrow{\Omega M}=\overrightarrow{\Omega A}+t\vec{u}\), donc \[\left\lVert\overrightarrow{\Omega A}+t\vec{u}\right\rVert^2=R^2 \quad\Longleftrightarrow\quad \left\lVert\vec{u}\right\rVert^2t^2+2(\overrightarrow{\Omega A}\cdot\vec{u})t+\Omega A^2-R^2=0.\] Cette équivalence vient du développement du carré de norme ; elle conserve tous les points d’intersection. Une équation du second degré a zéro, une ou deux racines réelles. Le rappel de Première est le suivant : pour \(at^2+bt+c=0\), \(a\ne0\), le discriminant \(\Delta=b^2-4ac\) est négatif, nul ou positif ; les racines sont respectivement absentes, \(-b/(2a)\), ou \((-b\pm\sqrt\Delta)/(2a)\). Si un carré est déjà isolé, il est souvent plus simple de le résoudre directement.

Contrôle. Chaque racine est un paramètre, pas encore un point. La remplacer dans les trois coordonnées de la droite puis tester la distance au centre. Le directeur non nul garantit que deux paramètres distincts donnent deux points distincts.

Exemple — Deux points, un point ou aucun

La sphère a pour centre \(\Omega(1;0;0)\) et pour rayon \(2\). Pour la droite \(x=t\), \(y=1\), \(z=0\), la substitution donne \[(t-1)^2+1^2+0^2=4 \quad\Longleftrightarrow\quad(t-1)^2=3 \quad\Longleftrightarrow\quad t=1-\sqrt3\ \text{ou}\ t=1+\sqrt3.\] Il y a donc deux points \((1-\sqrt3;1;0)\) et \((1+\sqrt3;1;0)\). Chacun a une distance au carré au centre égale à \(3+1=4\).

Si l’on remplace \(y=1\) par \(y=2\), l’équation devient \((t-1)^2+4=4\), d’où \(t=1\) : un seul point \((1;2;0)\), et la droite est tangente. Avec \(y=3\), elle devient \((t-1)^2=-5\), impossible dans les réels : aucun point. Géométriquement, la distance du centre à ces trois droites vaut respectivement \(1\), \(2\), \(3\), à comparer au rayon \(2\).

À toi — Changer le rayon sans changer la droite

Pour une sphère de centre \(O\) et de rayon \(5\), cherche l’intersection avec \(x=3\), \(y=4\), \(z=t\). Puis recommence avec un rayon \(6\). Que prévoir avec un rayon \(4\) ?

Indice avant correction. La condition est \(3^2+4^2+t^2=R^2\), soit \(25+t^2=R^2\).

Correction expliquée. Pour \(R=5\), \(t^2=0\), donc un seul point \((3;4;0)\). Pour \(R=6\), \(t^2=11\), donc deux points \((3;4;-\sqrt{11})\) et \((3;4;\sqrt{11})\). Pour \(R=4\), \(t^2=-9\) est impossible : aucun point. Chaque solution est contrôlée en rétablissant \(25+t^2=R^2\).

Critères pour te vérifier :

Substitution dans toute l’équation ; traitement du signe d’un carré ; distinction paramètre/point ; nombre de points annoncé.

Méthode — Une intersection de deux plans par un système simple

On cherche les points qui satisfont simultanément les deux équations. Le programme permet d’étudier de tels cas simples ; il ne s’agit pas d’introduire une théorie générale des systèmes linéaires.

Pour \(\mathcal{P}:x+y+z=2\) et \(\mathcal{Q}:x-y+z=0\), soustraire la deuxième équation à la première donne \(2y=2\), donc \(y=1\). La première donne alors \(x+z=1\). En posant \(z=t\), on obtient \[\mathcal{P}\cap\mathcal{Q}:\quad x=1-t,\qquad y=1,\qquad z=t,\qquad t\in\mathbb{R}.\] Vérifier les deux sens. Tout point commun satisfait les relations obtenues. Réciproquement, le point \((1-t;1;t)\) donne \(1-t+1+t=2\) et \(1-t-1+t=0\) : il appartient bien aux deux plans pour tout \(t\). On a donc trouvé toute l’intersection, une droite passant par \((1;1;0)\) et de directeur \((-1;0;1)\).

Contrôle de direction. Ce directeur a un produit nul avec chacune des normales \((1;1;1)\) et \((1;-1;1)\) : \(-1+0+1=0\) dans les deux cas. Ce contrôle seul n’aurait pas donné le point d’appui.

À essayer. Cherche l’intersection de \(x+z=2\) et \(y-z=1\).

Indice avant correction. Choisis \(z\) comme paramètre et exprime les deux autres coordonnées.

Correction expliquée. Avec \(z=t\), les équations donnent \(x=2-t\) et \(y=1+t\). L’intersection est donc la droite \((2-t;1+t;t)\), \(t\in\mathbb{R}\). Les substitutions donnent bien \((2-t)+t=2\) et \((1+t)-t=1\). Sa direction est \((-1;1;1)\), son point de paramètre zéro est \((2;1;0)\).

Piège et variation. Deux équations ne donnent pas automatiquement une droite : \(x=0\) et \(x=1\) sont incompatibles ; \(x=0\) et \(2x=0\) décrivent le même plan. Il faut interpréter les équations réellement obtenues.

Reprise — À reprendre plus tard : une solution n’est pas une intersection complète

Sans relire, reprends la sphère de centre \(\Omega(1;0;0)\) et de rayon \(2\), avec la droite \(x=t\), \(y=1\), \(z=0\). Une élève ne donne que \((1+\sqrt3;1;0)\). Sa réponse est-elle complète ?

Indice avant correction. Un carré peut avoir deux antécédents opposés.

Correction expliquée. Non. L’équation \((t-1)^2=3\) admet deux possibilités : \(t-1=\sqrt3\) ou \(t-1=-\sqrt3\). Le point \((1-\sqrt3;1;0)\) manque. Réparer une réponse consiste ici à retrouver toutes les solutions, pas seulement à vérifier que le point proposé fonctionne.

À retenir — La même géométrie, plusieurs gains de simplicité

Le projeté transforme une section en triangle rectangle ; les plans médiateurs transforment l’équidistance en équations linéaires ; le milieu fait disparaître les termes croisés d’une somme de carrés. Ces approfondissements réemploient le chapitre, sans être nécessaires à sa lecture principale.

Parcours — Un prolongement séparé du noyau

Les résultats de cette unité sont facultatifs pour le parcours principal. Ils donnent des liens utiles avec les inégalités et précisent le sens de deux plans perpendiculaires. Toutes les preuves utilisent uniquement le produit scalaire, les normes et les équations de plans. On peut les lire après le noyau, sans qu’aucune méthode centrale dépende d’eux.

Rappel — Les outils nécessaires à cette unité

Dans un repère orthonormé, \(u\cdot v=u_xv_x+u_yv_y+u_zv_z\) et \(\|u\|^2=u\cdot u\ge0\), avec égalité seulement pour \(u=0\). On utilise la symétrie, la bilinéarité et \[\|u+v\|^2=\|u\|^2+2u\cdot v+\|v\|^2.\] Deux vecteurs sont orthogonaux lorsque leur produit scalaire est nul. Un vecteur \(n\) normal à un plan est non nul et orthogonal à toutes les directions du plan. Le plan passant par \(A\) et normal à \(n\) est l’ensemble des points \(M\) tels que \(n\cdot\overrightarrow{AM}=0\). Une droite perpendiculaire à ce plan a un directeur colinéaire à \(n\).

Repérage — Le carré d’une norme et le carré d’un produit

Pour \(u=(1,2,2)\) et \(v=(2,0,1)\), calculer \(u\cdot v\), \(\|u\|^2\) et \(\|v\|^2\). Comparer \((u\cdot v)^2\) avec \(\|u\|^2\|v\|^2\).

Correction expliquée. \(u\cdot v=1\times2+2\times0+2\times1=4\) ; \(\|u\|^2=1+4+4=9\) et \(\|v\|^2=4+0+1=5\). Les valeurs à comparer sont \(4^2=16\) et \(9\times5=45\) : elles ne sont pas égales. Si l’on a répondu \(4\) au premier carré, reprendre la distinction entre un nombre et son carré.

Théorème — Inégalité de Cauchy–Schwarz

Pour tous vecteurs \(u,v\) de l’espace, \[\boxed{|u\cdot v|\le\|u\|\,\|v\|.}\] Il y a égalité si et seulement si \(u\) et \(v\) sont colinéaires, en incluant le cas où l’un est nul. Complément facultatif, démontré ici.

Sens — Pourquoi cette borne est naturelle

Pour deux vecteurs non nuls, la définition géométrique donne aussi \(u\cdot v=\|u\|\|v\|\cos\theta\). L’encadrement \(-1\le\cos\theta\le1\) rend la borne intuitive. La preuve précédente montre comment la retrouver à partir de la positivité d’une norme.

Bon réflexe : après avoir calculé un produit scalaire, comparer sa valeur absolue au produit des normes. Si elle est plus grande, une erreur est certaine. Si la borne est respectée, le calcul n’est pas pour autant démontré correct : beaucoup de valeurs fausses peuvent aussi respecter une borne.

À toi — Appliquer la borne et chercher l’égalité

Essai guidé : pour \(u=(1,0,1)\) et \(v=(2,1,0)\), calculer les deux membres de Cauchy–Schwarz.

Correction expliquée. Le produit scalaire vaut \(2\) ; les normes valent \(\sqrt2\) et \(\sqrt5\). On vérifie \(2\le\sqrt{10}\), ou, de façon équivalente ici, \(4\le10\) en élevant deux nombres positifs au carré. Les vecteurs ne sont pas colinéaires : l’inégalité est stricte.

Tentative avant correction : avec \(u=(1,t,0)\) et \(v=(2,-1,0)\), pour quelle valeur de \(t\) obtient-on l’égalité ?

Indice avant correction. Chercher \(u=av\) ; la première coordonnée impose déjà la valeur du multiplicateur \(a\).

Correction expliquée. \(1=2a\) impose \(a=1/2\), puis \(t=-a=-1/2\). Cette valeur fonctionne pour les trois coordonnées. Pour toute autre valeur de \(t\), les vecteurs ne sont pas colinéaires et l’inégalité est stricte. Il n’était pas nécessaire de résoudre une inégalité du second degré.

Corollaire — La longueur du déplacement total

Pour tous vecteurs \(u,v\), \[\boxed{\|u+v\|\le\|u\|+\|v\|.}\] Il y a égalité si l’un des vecteurs est nul, ou si les deux sont non nuls, colinéaires et de même sens.

Interprétation — Un détour ne raccourcit pas la distance

Avec \(u=\overrightarrow{AB}\) et \(v=\overrightarrow{BC}\), la relation de Chasles donne \(u+v=\overrightarrow{AC}\) ; on retrouve \(AC\le AB+BC\). Le trajet direct de \(A\) à \(C\) n’est pas plus long que le détour par \(B\). L’égalité signifie que \(B\) appartient au segment \([AC]\), y compris les extrémités. L’alignement seul ne suffit pas : si l’on dépasse \(C\) puis revient, le trajet est plus long.

Exemple — Comparer sans arrondir

Pour \(u=(1,2,2)\) et \(v=(2,0,1)\), on a \(u+v=(3,2,3)\), donc \[\|u+v\|=\sqrt{9+4+9}=\sqrt{22},\quad \|u\|+\|v\|=3+\sqrt5.\] La borne est \(\sqrt{22}\le3+\sqrt5\). Elle est stricte, puisque les vecteurs ne sont pas colinéaires. Si \(u=(3,0,0)\) et \(v=(-1,0,0)\), on obtient au contraire deux vecteurs colinéaires mais de sens opposés : \(\|u+v\|=2<4=\|u\|+\|v\|\).

À toi — Une condition change, la conclusion aussi

Guidé : étudier l’égalité triangulaire pour \(u=(2,0,0)\) avec \(v=(3,0,0)\), puis \(v=(-3,0,0)\).

Correction expliquée. Dans le premier cas, les deux membres valent \(5\) ; même direction et même sens. Dans le second, ils valent respectivement \(1\) et \(5\) ; sens opposés, donc inégalité stricte.

Tentative : reprendre \(u=(1,t,0)\) mais cette fois \(v=(-2,1,0)\). Pour \(t=-1/2\), Cauchy–Schwarz est-elle une égalité ? Et l’inégalité triangulaire ?

Indice avant correction. Déterminer le signe de \(a\) dans \(u=av\).

Correction expliquée. \(u=-\frac12v\) : les vecteurs sont colinéaires, donc Cauchy–Schwarz est une égalité. Ils sont non nuls et de sens opposés, donc l’inégalité triangulaire est stricte. La valeur absolue dans le premier résultat explique cette différence.

Justifier — Pourquoi préciser les signes avant de prendre les carrés ?

Correction expliquée. Pour des nombres positifs ou nuls, comparer les carrés revient à comparer les nombres. Sans cette condition, on perd l’information de signe : \(-3<2\), mais \((-3)^2>2^2\). Ici les normes et leur somme sont positives ou nulles, ce qui autorise le passage utilisé dans la preuve.

Critères pour te vérifier :

Identifier les quantités réellement comparées ; préciser leur positivité ; distinguer colinéarité et même sens dans le cas d’égalité triangulaire.

Reprise — Réparer une « distributivité de la norme »

Première erreur : « \(\|u+v\|=\|u\|+\|v\|\), puisque l’on additionne des vecteurs. » La norme n’est pas une opération linéaire.

Exemple plus simple : avec \(u=(1,0,0)\) et \(v=(0,1,0)\), le membre de gauche vaut \(\sqrt2\) tandis que celui de droite vaut \(2\). Les produits croisés du carré de norme expliquent la différence.

Nouvel essai : pour \(u=(0,2,0)\) et \(v=(0,4,0)\), établir l’égalité et dire pourquoi elle est permise cette fois.

Correction expliquée. \(u+v=(0,6,0)\), donc \(\|u+v\|=6=2+4\). Les vecteurs sont colinéaires de même sens. Revenir à l’exemple \(u=(1,2,2)\), \(v=(2,0,1)\) et ne pas remplacer une inégalité par une égalité.

Définition — Une droite d’un plan perpendiculaire à l’autre plan

Deux plans distincts \(\mathcal{P}\) et \(\mathcal{Q}\) sont dits perpendiculaires lorsque l’un contient une droite perpendiculaire à l’autre. Le résultat suivant montrera que cette relation est symétrique : le choix de « l’un » et « l’autre » ne change pas la propriété.

Image concrète : un mur vertical contient des droites verticales perpendiculaires au sol horizontal. Cette image aide à choisir une direction ; elle ne remplace pas la définition et ne signifie pas que toutes les droites du mur sont perpendiculaires à toutes les droites du sol.

Théorème — Une caractérisation par les normales

Soient \(\mathcal{P}\) et \(\mathcal{Q}\) deux plans de vecteurs normaux \(n_{\mathcal{P}}\ne0\) et \(n_{\mathcal{Q}}\ne0\). Alors \[\mathcal{P}\text{ et }\mathcal{Q}\text{ sont perpendiculaires} \quad\Longleftrightarrow\quad n_{\mathcal{P}}\cdot n_{\mathcal{Q}}=0.\] Prolongement facultatif, démontré ici ; aucune théorie d’angle dièdre n’est requise.

Méthode — Reconnaître et contrôler

Quand ? Lorsque deux plans sont donnés par leurs équations cartésiennes dans un repère orthonormé. Premier geste : relever les coefficients de \(x,y,z\), et non les constantes. Vérifier que chacun des deux triplets est non nul. Calculer leur produit scalaire ; un résultat nul donne la perpendicularité.

Contrôle : multiplier une équation par un réel non nul multiplie sa normale par ce réel, donc ne change pas le caractère nul du produit. Une normale n’est pas unique, mais le test donne la même réponse.

Exemple — Les constantes ne donnent pas les directions

Pour \(\mathcal{P}:x+2y-z=3\) et \(\mathcal{Q}:2x-y=4\), on choisit \(n_{\mathcal{P}}=(1,2,-1)\) et \(n_{\mathcal{Q}}=(2,-1,0)\). Alors \[n_{\mathcal{P}}\cdot n_{\mathcal{Q}}=1\times2+2\times(-1)+(-1)\times0=2-2+0=0.\] Les plans sont perpendiculaires. Les constantes \(3\) et \(4\) influencent leur position mais pas leurs directions. Les remplacer par d’autres réels ne modifierait pas ce test.

À toi — Du test direct au paramètre

Guidé : les plans \(x-y+z=0\) et \(2x+y-z=4\) sont-ils perpendiculaires ?

Correction expliquée. Les normales \((1,-1,1)\) et \((2,1,-1)\) donnent \(2-1-1=0\) : oui.

Tentative : pour quelle valeur de \(a\) le plan \(ax+y+z=1\) est-il perpendiculaire à \(x-y+z=0\) ?

Indice avant correction. Les deux normales sont non nulles pour toute valeur de \(a\) ; il reste à imposer l’annulation de leur produit.

Correction expliquée. \((a,1,1)\cdot(1,-1,1)=a-1+1=a\). Il faut et il suffit que \(a=0\). On obtient alors le plan \(y+z=1\), dont le vecteur normal \((0,1,1)\) est bien non nul.

Justifier — Un produit de normales n’est pas une intersection de plans

Pourquoi le calcul de l’exemple ne donne-t-il pas les coordonnées de la droite d’intersection ?

Correction expliquée. Il établit une relation entre les directions, pas la position des points communs. Pour trouver l’intersection, il faudrait résoudre simultanément les deux équations de plans. Le fait que les constantes puissent varier sans modifier le test de perpendicularité montre cette différence.

Critères pour te vérifier :

Distinguer relation de directions et appartenance ; expliquer le rôle des constantes ; ne pas lire un point d’intersection dans un produit scalaire.

Reprise — Réparer une généralisation trop forte

Première erreur : « Si les plans sont perpendiculaires, toutes leurs directions sont orthogonales deux à deux. » Dans \(z=0\) et \(x=0\), le vecteur \((0,1,0)\) est une direction des deux plans. Son produit avec lui-même vaut \(1\), pas \(0\) : l’affirmation est fausse.

Nouvel essai : donner une direction de \(z=0\) qui soit effectivement normale à \(x=0\).

Correction expliquée. \((1,0,0)\) convient : sa troisième coordonnée est nulle, donc c’est une direction de \(z=0\), et il est normal au plan \(x=0\). La définition demande l’existence d’une telle direction, pas une propriété de toutes les directions. Revenir au critère des normales en conservant cette distinction.

Reprise — Retrouver les conditions après quelques jours

Avant toute relecture :

1. Pour \(A(0,0,0)\), \(B(1,1,0)\), \(C(2,0,0)\), comparer \(AC\) et \(AB+BC\) ; dire pourquoi l’égalité n’a pas lieu.

2. Les plans \(x+y=1\) et \(x-y+z=0\) sont-ils perpendiculaires ? Justifier en une phrase complète.

Indice avant correction. Pour la première question, ne confondre ni alignement ni simple égalité de deux longueurs ; pour la seconde, relever les normales.

Correction expliquée. (1) \(AC=2\) et \(AB=BC=\sqrt2\), donc \(2<2\sqrt2\). Les vecteurs \(\overrightarrow{AB}=(1,1,0)\) et \(\overrightarrow{BC}=(1,-1,0)\) ne sont pas colinéaires ; le détour par \(B\) est strictement plus long. (2) Les normales non nulles \((1,1,0)\) et \((1,-1,1)\) ont pour produit \(1-1+0=0\) : les plans sont perpendiculaires.

À retenir — Ce que ces compléments ajoutent

Cauchy–Schwarz borne un produit scalaire ; l’inégalité triangulaire borne une longueur. Leurs cas d’égalité ne sont pas identiques. Pour deux plans, la perpendicularité se lit sur les normales et ne signifie pas que toutes leurs directions sont orthogonales. Ces résultats restent séparés des méthodes nécessaires du parcours principal.

Repérage — Trois choix à expliquer

1. Pour un angle, suffit-il de connaître un produit scalaire ? 2. Pour un projeté \(H\) sur un plan, suffit-il que \(MH\) soit parallèle à la normale ? 3. Dans un tétraèdre, peut-on prendre n’importe quelle arête issue du sommet comme hauteur ?

Correction expliquée. 1. Non : il faut aussi les normes des deux vecteurs non nuls. Le quotient est le produit scalaire divisé par le produit de ces normes. 2. Non : \(H\) doit aussi appartenir au plan. La condition de direction seule donne une droite entière de points possibles. 3. Non : la hauteur est la distance du sommet au plan de base, donc la longueur d’un segment perpendiculaire à ce plan. Si tu hésites, reprends les unités

,

ou

, respectivement.

Exemple — La question commande le calcul

On donne \(M(2;1;3)\) et le plan \(\mathcal{P}:z=0\), dans un repère orthonormé. On cherche la plus petite distance entre \(M\) et un point du plan.

Choix. Calculer quelques distances ne prouverait pas un minimum sur tout un plan. On cherche le projeté : \(H(2;1;0)\) appartient à \(\mathcal{P}\) et \(\overrightarrow{MH}=(0;0;-3)\) est parallèle à la normale \((0;0;1)\). Donc \(MH=3\). Pour tout \(N\) du plan, \(HN\) est perpendiculaire à \(MH\) ; Pythagore donne \(MN^2=9+HN^2\geq9\). Ainsi \(MN\geq3\), avec égalité seulement pour \(N=H\).

Contrôle. \(H\) conserve les deux coordonnées horizontales et annule la coordonnée verticale. Ce contrôle géométrique confirme le calcul, mais ne remplace pas la preuve du minimum.

À toi — Choisir avant de calculer

Guidé. Pour \(T(-1;4;2)\) et le plan \(y=0\), nomme les deux conditions à imposer à un projeté \(K\) puis trouve la distance. Sans consulter. Pour le même point et la droite \(x=0\), \(y=0\), trouve le point le plus proche. Explique pourquoi le résultat précédent ne peut pas être conservé.

Indice avant correction. Le premier support est un plan de normale \((0;1;0)\) ; le second est une droite de directeur \((0;0;1)\).

Correction expliquée. Sur le plan, \(K(-1;0;2)\) a \(y=0\) et \(\overrightarrow{TK}=(0;-4;0)\) est parallèle à la normale : la distance vaut \(4\). Sur la droite, un point s’écrit \(L(0;0;t)\) ; \(\overrightarrow{TL}=(1;-4;t-2)\). L’orthogonalité au directeur impose \(t-2=0\), donc \(L(0;0;2)\) et \(TL=\sqrt{1^2+(-4)^2}=\sqrt{17}\). Le point \(K\) n’appartient pas à cette droite, car son abscisse vaut \(-1\).

Critères pour te vérifier :

Tu distingues la nature des supports, écris appartenance et orthogonalité, puis contrôles le point obtenu.

Indices — À n’ouvrir qu’en cas de blocage

1. Un angle exige des vecteurs non nuls ; une direction ne donne pas un point d’intersection. 2. Calcule \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\), teste deux produits scalaires, puis écris \(\overrightarrow{AX}\cdot\vec{n}=0\). 3. Cherche \(H=M+t\vec{n}\) et impose l’appartenance au plan. 4. Écris \(H=P+t\vec{w}\) et impose \(\overrightarrow{QH}\cdot\vec{w}=0\). 5. Utilise le milieu de \([EF]\) et la direction \(\overrightarrow{EF}\), ou développe les carrés des distances. 6. La base est dans \(z=0\). Pour l’angle, utilise \(\overrightarrow{OI}\) et \(\overrightarrow{OS}\). 7. Le signe égal d’une affectation signifie « remplacer l’ancienne valeur par la valeur calculée ». 8. Pour les plans, pense aux équations \(x=0\) et \(y=0\).

Contrôle — Comment relire ta propre rédaction

Une réponse solide contient la condition utilisée, l’équation qui la traduit, le calcul lisible et le retour à la question. Pour les questions 3 et 4, les deux conditions du projeté sont indispensables. Pour la question 6, les unités d’aire et de volume ne s’échangent pas. Pour la question 8, un contre-exemple doit vérifier les hypothèses et contredire la conclusion ; annoncer « c’est faux » ne suffit pas.

Si une erreur est un signe ou un carré, reprends

ou

. Si elle concerne le choix des vecteurs d’un angle, reprends

. Pour une condition géométrique oubliée, travaille

à

. Pour une hauteur ou un lieu, utilise

. Pour une affectation, reprends

. Ce sont des pistes de travail, pas un diagnostic automatique de maîtrise.

Reprise — Réparer un choix et le stabiliser

Erreur à examiner : choisir un point du support « qui semble proche » sans condition de perpendicularité. Rappel : pour une droite, il faut à la fois l’appartenance et un déplacement orthogonal au directeur. Exemple plus simple : le point le plus proche de \(A(2;3;0)\) sur l’axe des abscisses est \(H(2;0;0)\). Il appartient à l’axe et \(\overrightarrow{AH}=(0;-3;0)\) est orthogonal à \((1;0;0)\) ; la distance est 3.

Nouvel essai : cherche le point le plus proche de \(B(2;-1;4)\) sur l’axe des ordonnées.

Correction expliquée. Un point de l’axe est \((0;t;0)\). Le déplacement est \((-2;t+1;-4)\), de produit scalaire \(t+1\) avec \((0;1;0)\). On impose \(t+1=0\), donc le point est \((0;-1;0)\) et la distance vaut \(\sqrt{4+16}=2\sqrt5\). Reviens à la question 4 et vérifie que tu as imposé la même paire de conditions.

À reprendre après quelques jours, avant relecture. On donne \(T(1;2;3)\) et \(\mathcal{P}:x+y+z=0\). Détermine son projeté et sa distance au plan. Explique ensuite pourquoi un point quelconque de \(\mathcal{P}\) ne peut pas donner une distance plus petite.

Indice avant correction. Écris \(H=T+t(1;1;1)\) et remplace les trois coordonnées dans l’équation.

Correction expliquée. \(H(1+t;2+t;3+t)\) appartient au plan lorsque \(6+3t=0\), d’où \(t=-2\) et \(H(-1;0;1)\). Le déplacement \((-2;-2;-2)\) est parallèle à la normale, et \(TH=\sqrt{4+4+4}=2\sqrt3\). Pour \(N\in\mathcal{P}\), Pythagore donne \(TN^2=12+HN^2\geq12\), avec égalité seulement pour \(N=H\).

À retenir — Le fil conducteur du chapitre

Traduire une condition géométrique en égalité de produit scalaire permet de calculer sans perdre le sens. Toujours identifier les objets, vérifier les conditions, effectuer le calcul, puis revenir à la géométrie. Une figure aide à comprendre ; une preuve explique pourquoi le résultat est vrai.