Le fil conducteur. Traduire les directions et les distances par des vecteurs, choisir une méthode, calculer, puis revenir à la géométrie. Les exemples montrent une rédaction de référence ; les démonstrations expliquent pourquoi les méthodes fonctionnent.

Conventions. Les calculs de normes et de produits scalaires en coordonnées se font dans un repère orthonormé. Une figure en perspective ne conserve en général ni les angles ni les longueurs. Les résultats rappelés ou admis sont signalés ; une définition fixe le sens d’un objet et ne se démontre pas.

1. Repère orthonormé, vecteurs et longueurs

Rappel — Calcul vectoriel. Dans un même repère, \[\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A;y_B-y_A;z_B-z_A),\qquad \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}.\] On additionne les vecteurs et on les multiplie par un réel coordonnée par coordonnée. Ces règles viennent de Chasles et de l’unicité des coordonnées ; elles ne nécessitent pas un repère orthonormé.

Lecture. La diagonale horizontale \(OH\), puis la diagonale spatiale \(OM\), font intervenir deux triangles rectangles. Le dessin illustre le cas de coordonnées positives.

Attention. \(DE^2=29\) n’est pas \(DE=29\). Dans une base seulement orthogonale, les vecteurs peuvent avoir des normes différentes de \(1\) : la formule précédente n’est alors plus applicable.

2. Comprendre et calculer le produit scalaire

Propriétés — Symétrie et cas particuliers. \[\vec{u}\cdot\vec{v}=\vec{v}\cdot\vec{u},\qquad \vec{u}\cdot\vec{u}=\left\lVert\vec{u}\right\rVert^2,\qquad \vec{u}\cdot(-\vec{u})=-\left\lVert\vec{u}\right\rVert^2.\]

Exemple — Deux normes et un angle

Pour des normes \(4\) et \(3\) et un angle de \(120^\circ\), \(\vec{u}\cdot\vec{v}=4\times3\times(-1/2)=-6\). Le signe est cohérent avec l’angle obtus. Pour des vecteurs non nuls, le produit est positif pour un angle aigu, nul pour un angle droit, négatif pour un angle obtus.

Exemple — Trois côtés connus

Si \(AB=5\), \(AC=4\), \(BC=\sqrt{13}\), alors \[\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=\frac{25+16-13}{2}=14.\] Le carré soustrait est celui du côté opposé à l’angle en \(A\). Il n’est pas nécessaire de calculer l’angle d’abord.

Exemple — Coordonnées connues

Pour \(\vec{u}=(2;-1;3)\) et \(\vec{v}=(1;4;-2)\), \[\vec{u}\cdot\vec{v}=2\times1+(-1)\times4+3\times(-2)=2-4-6=-8.\] On associe les coordonnées correspondantes. Si des points sont donnés, on calcule d’abord les vecteurs. Contrôle par les longueurs : \(\left\lVert\vec{u}\right\rVert^2=14\), \(\left\lVert\vec{v}\right\rVert^2=21\), \(\left\lVert\vec{u}-\vec{v}\right\rVert^2=51\) et \((14+21-51)/2=-8\).

Attention. Un produit scalaire nul n’impose pas qu’un vecteur soit nul : \((1;0;0)\cdot(0;1;0)=0\). La règle du produit nul de deux nombres ne s’applique pas ainsi aux vecteurs.

Exemple — Une hauteur utile

Si \(AB=4\) et si le pied \(H\) est à distance \(2\) de \(A\), du côté opposé à \(B\), le produit vaut \(-4\times2=-8\). Choisir sa voie : coordonnées dans une base orthonormée ; deux normes et l’angle ; trois côtés ; ou longueur projetée et son signe.

3. Développer et calculer un angle

Corollaire — Pythagore vectoriel. \(\left\lVert\vec{u}+\vec{v}\right\rVert^2=\left\lVert\vec{u}\right\rVert^2+\left\lVert\vec{v}\right\rVert^2\) si et seulement si \(\vec{u}\perp\vec{v}\) : l’égalité équivaut à \(2\vec{u}\cdot\vec{v}=0\). On ne supprime donc pas un terme croisé sans justification.

Exemple — Deux diagonales de faces

Dans un cube d’arête \(1\), prenons le repère \((A;\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AE})\). Les points sont \(C(1;1;0)\) et \(F(1;0;1)\) ; ainsi \[\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AF}=1,\qquad AC=AF=\sqrt2,\qquad \cos\widehat{CAF}=\frac1{\sqrt2\sqrt2}=\frac12.\] Donc \(\widehat{CAF}=60^\circ\). On contrôle aussi \(CF=\sqrt2\) : le triangle \(ACF\) est équilatéral.

Exemple — Un angle approché

Pour \(\vec{u}=(1;2;2)\) et \(\vec{v}=(2;0;1)\), le produit vaut \(4\) et les normes sont \(3\) et \(\sqrt5\). L’angle vaut \(\arccos(4/(3\sqrt5))\approx53{,}4^\circ\).

Attention. Changer un vecteur en son opposé remplace l’angle par son supplémentaire. Le plus petit angle de deux droites ne dépend pas du sens de leurs directeurs : on retient alors le plus petit des deux angles supplémentaires, et non automatiquement l’angle des vecteurs choisis.

4. Orthogonalité de droites et de plans

Caractérisation. Pour des directeurs non nuls \(\vec{u},\vec{v}\), \(\mathcal{D}\perp\mathcal{D}'\) au sens de l’orthogonalité des directions si et seulement si \(\vec{u}\cdot\vec{v}=0\). Cela découle du critère vectoriel. Le choix des directeurs ne change rien : les remplacer par \(\lambda\vec{u},\mu\vec{v}\), avec \(\lambda\mu\ne0\), multiplie le produit par \(\lambda\mu\) et conserve sa nullité.

Exemple — Un contre-exemple essentiel

Les droites \((AB)\) et \((CD)\), avec \(A(0;0;0)\), \(B(1;0;0)\), \(C(0;0;1)\), \(D(0;1;1)\), ont les directeurs \((1;0;0)\) et \((0;1;0)\), de produit nul. Elles sont orthogonales, mais pas perpendiculaires : l’une est dans \(z=0\) et l’autre dans \(z=1\), donc elles ne se rencontrent pas.

Lecture. Deux directions non colinéaires décrivent le plan ; la troisième leur est orthogonale à toutes deux.

Attention. Deux directions colinéaires ne donnent qu’un seul test. Dans \(z=0\), \((0;1;0)\) est orthogonal à \((1;0;0)\), mais pas à tout le plan.

Exemple — Une preuve en coordonnées

Soient \(A(1;0;0)\), \(B(2;1;0)\), \(C(1;1;1)\) et \(D(3;-2;2)\). On a \[\overrightarrow{AB}=(1;1;0),\quad \overrightarrow{AC}=(0;1;1),\quad \overrightarrow{AD}=(2;-2;2)\ne\vec{0}.\] Les deux premiers vecteurs ne sont pas colinéaires : \(\overrightarrow{AC}=\lambda\overrightarrow{AB}\) imposerait \(\lambda=0\) par la première coordonnée, puis \(1=0\) par la deuxième. Or \[\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{AB}=2-2+0=0,\qquad \overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{AC}=0-2+2=0.\] Donc \((AD)\) est orthogonale au plan \((ABC)\).

Exemple — Une autre voie, sans coordonnées

Si les triangles \(SAB\) et \(TAB\) sont isocèles en \(S\) et \(T\), si \(I\) est le milieu de \([AB]\) et si \(S,I,T\) ne sont pas alignés, alors \((AB)\perp(SIT)\). En effet, les médianes \((SI)\) et \((TI)\) sont des hauteurs, d’après la propriété antérieure du triangle isocèle. Ces deux droites sécantes du plan \((SIT)\) sont perpendiculaires à \((AB)\) ; le critère s’applique.

5. Vecteurs normaux et équations de plans

Préalable géométrique admis. Tout plan de l’espace euclidien possède une direction normale. L’existence générale est admise ici ; le critère précédent permet de vérifier une normale proposée.

Propriété. Tout multiple non nul d’une normale est encore une normale : pour toute direction \(\vec{u}\) du plan, \((\lambda\vec{n})\cdot\vec{u}=\lambda(\vec{n}\cdot\vec{u})=0\). La condition \(\lambda\ne0\) empêche de perdre la direction.

Attention. La constante \(d\) ne fait pas partie du vecteur normal. Si \(a=b=c=0\), l’équation décrit tout l’espace lorsque \(d=0\), et l’ensemble vide lorsque \(d\ne0\) : jamais un plan. En revanche, un seul coefficient parmi \(a,b,c\) peut suffire à être non nul.

Position et direction. Une normale seule ne fixe pas le plan : \(z=0\) et \(z=2\) ont la même direction normale. Il faut aussi un point. Multiplier toute une équation de plan par un nombre non nul ne change pas ses solutions.

6. Paramétrer, intersecter et interpréter

Exemple — Écrire ou lire la représentation

Pour \(A(1;-2;0)\), \(B(3;-1;-1)\), le directeur \(\overrightarrow{AB}=(2;1;-1)\) donne \(x=1+2t,\ y=-2+t,\ z=-t\). Les paramètres \(0\) et \(1\) redonnent \(A\) et \(B\). Inversement, \(x=4-3s,\ y=1,\ z=2+5s\) décrit la droite passant par \((4;1;2)\) et dirigée par \((-3;0;5)\). Attention. Le même paramètre doit convenir aux trois coordonnées. Une composante nulle est possible ; on ne divise pas par elle. Restreindre \(t\) à \([0;1]\) ne décrit plus la droite entière mais le segment de \(A\) à \(A+\vec{u}\).

Convention. « Parallèle au plan » inclut ici la droite contenue ; « strictement parallèle » exclut l’inclusion.

Exemple — Un paramètre fractionnaire

Avec \(\mathcal{D}:x=1+2t,\ y=-2+t,\ z=-t\) et \(\mathcal{P}:x+2y-z-3=0\) : \[(1+2t)+2(-2+t)-(-t)-3=0 \quad\Longleftrightarrow\quad 5t-6=0.\] Comme \(5\ne0\), \(t=6/5\). Ainsi \[H\left(1+\frac{12}{5};-2+\frac65;-\frac65\right) =H\left(\frac{17}{5};-\frac45;-\frac65\right).\] Le contrôle donne \((17-8+6-15)/5=0\). La valeur \(t>1\) est possible sur la droite entière.

Deux autres issues. Pour la droite \((1+t;t;2)\) : dans \(x-y+z-3=0\), on obtient \(0=0\), donc toute la droite ; dans \(x-y+z-1=0\), on obtient \(2=0\), donc aucun point. Dans \(x+y+z-5=0\), on trouve \(2t-2=0\), donc le seul point \((2;1;2)\).

Exemple — La constante compte aussi

\(x-2y+z-1=0\) et \(-2x+4y-2z+2=0\) décrivent le même plan : le multiplicateur est \(-2\), constante comprise. Le plan \(2x-4y+2z+1=0\) lui est strictement parallèle : diviser par \(2\) donne une constante \(1/2\), pas \(-1\).

7. Projeter sur un plan et calculer une distance

Lecture. \(H,Q\) appartiennent au plan ; \(MH\) suit une normale et \(HQ\) une direction du plan. Le dessin suggère le minimum ; Pythagore le démontre.

Exemple — Une projection complète

Projetons \(M(5;1;2)\) sur \(\mathcal{P}:2x-y+2z-3=0\). Une normale est \(\vec{n}=(2;-1;2)\) ; la droite normale issue de \(M\) est \[x=5+2t,\qquad y=1-t,\qquad z=2+2t.\] La substitution donne \[\begin{aligned} 2(5+2t)-(1-t)+2(2+2t)-3&=0\\ 10+4t-1+t+4+4t-3&=0\\ 10+9t&=0. \end{aligned}\] Donc \(t=-10/9\) et \[H\left(5-\frac{20}{9};1+\frac{10}{9};2-\frac{20}{9}\right) =H\left(\frac{25}{9};\frac{19}{9};-\frac29\right).\] Appartenance : \((50-19-4-27)/9=0\). Direction : \(\overrightarrow{MH}=(-20/9;10/9;-20/9)=(-10/9)\vec{n}\). Ainsi \(H\) est bien le pied et \[d(M,\mathcal{P})=MH=\sqrt{\frac{400+100+400}{81}}=\frac{10}{3}.\]

Autre voie si la figure s’y prête. Si un point connu est déjà démontré être le pied, calculer directement la longueur \(MH\), éventuellement avec Pythagore. Une appartenance seule ne prouve jamais qu’il s’agit du projeté.

8. Projeter sur une droite et calculer une distance

À utiliser en exercice : repartir des deux conditions du pied ; le quotient précédent est leur conséquence, pas une formule supplémentaire à apprendre.

Lecture. Le déplacement \(\overrightarrow{AM}\) se décompose en \(\overrightarrow{AH}\) le long de la droite et \(\overrightarrow{HM}\) perpendiculaire à celle-ci.

Exemple — Une droite oblique

Soient \(A(1;-1;2)\), \(\vec{u}=(2;1;-2)\), \(M(4;2;1)\). Pour la droite passant par \(A\) et dirigée par \(\vec{u}\), écrivons \[H(1+2t;-1+t;2-2t),\qquad \overrightarrow{MH}=(-3+2t;-3+t;1-2t).\] L’orthogonalité impose \[2(-3+2t)+(-3+t)-2(1-2t)=0 \quad\Longleftrightarrow\quad -11+9t=0.\] Donc \(t=11/9\) et \(H(31/9;2/9;-4/9)\). Le point est sur la droite par construction, et \[\overrightarrow{MH}=\left(-\frac59;-\frac{16}{9};-\frac{13}{9}\right), \qquad \overrightarrow{MH}\cdot\vec{u}=\frac{-10-16+26}{9}=0.\] Ainsi \[d(M,\mathcal{D})=MH=\sqrt{\frac{25+256+169}{81}} =\frac{\sqrt{450}}9=\frac{5\sqrt2}{3}.\]

Attention. Une droite n’est pas un segment. Le pied peut correspondre à un paramètre négatif ou supérieur à \(1\). Par exemple, le projeté de \((3;2;0)\) sur l’axe des abscisses est \((3;0;0)\), qui n’appartient pas au segment allant de \((0;0;0)\) à \((1;0;0)\).

9. Plan médiateur, hauteurs, aires et volumes

Un lieu géométrique : les points équidistants

Attention. Si \(A=B\), tous les points sont équidistants : le lieu est l’espace entier. Pour caractériser un lieu, une seule inclusion ou un point testé ne suffisent pas.

Exemple — Une équation obtenue de deux façons

Avec \(A(1;0;2)\) et \(B(3;4;0)\), \(I(2;2;1)\) et \(\overrightarrow{AB}=(2;4;-2)\). Le lieu est donc le plan \[2(x-2)+4(y-2)-2(z-1)=0 \quad\Longleftrightarrow\quad x+2y-z-5=0.\] Par la seconde voie, \[(x-1)^2+y^2+(z-2)^2=(x-3)^2+(y-4)^2+z^2\] donne, après développement et annulation des termes communs, \(4x+8y-4z-20=0\), soit la même équation. Le point \((1;3;2)\) la vérifie, et ses deux distances au carré valent \(9\) : c’est un contrôle, pas une preuve du lieu entier.

Utiliser la bonne hauteur

Rappels antérieurs — Grandeurs. \[\mathcal A_{\text{triangle}}=\frac{\text{base}\times\text{hauteur correspondante}}2, \qquad V_{\text{pyramide}}=\frac{\text{aire de base}\times\text{hauteur}}3.\] La hauteur d’un triangle est la distance du sommet à la droite portant le côté choisi. La hauteur d’une pyramide est la distance du sommet au plan de base. Ces formules antérieures sont rappelées sans démonstration par intégration.

Méthode. Choisir d’abord une base simple, puis déterminer sa hauteur par une projection justifiée. Calculer l’aire ou le volume, en conservant les valeurs exactes et les unités correspondantes.

Exemple — Un tétraèdre : volume, aire et angle

Dans un repère orthonormé, considérons \[O(0;0;0),\quad A(4;0;0),\quad B(0;3;0),\quad S(1;1;6).\]

1. Volume. \(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=0\), donc le triangle \(OAB\) est rectangle en \(O\) et son aire vaut \(4\times3/2=6\). Son plan est \(z=0\). Le point \(H(1;1;0)\) appartient à ce plan et \(\overrightarrow{SH}=(0;0;-6)\) lui est normal : c’est le pied de la hauteur. Donc \(SH=6\) et \[V=\frac13\times6\times6=12.\] \(SO=\sqrt{38}\) n’est pas la hauteur.

Lecture. Le sommet n’est pas à la verticale de \(O\). La hauteur \(SH\) et l’arête oblique \(SO\) sont des segments différents.

2. Aire de la face \(ABS\). \(AB=\sqrt{16+9}=5\). Projetons \(S\) sur \((AB)\), de directeur \(\vec{u}=(-4;3;0)\). Posons \(K=A+t\vec{u}=(4-4t;3t;0)\). Alors \(\overrightarrow{SK}=(3-4t;3t-1;-6)\) et \[\overrightarrow{SK}\cdot\vec{u}=-4(3-4t)+3(3t-1)=-15+25t.\] L’orthogonalité impose \(t=3/5\), donc \(K(8/5;9/5;0)\). On contrôle \(\overrightarrow{SK}=(3/5;4/5;-6)\) et \((-4)(3/5)+3(4/5)=0\). Ainsi \[SK=\sqrt{\frac9{25}+\frac{16}{25}+36}=\sqrt{37}, \qquad \mathcal A_{ABS}=\frac{5\sqrt{37}}2.\]

3. Angle au sommet \(S\). On choisit les vecteurs partant de \(S\) : \(\overrightarrow{SA}=(3;-1;-6)\) et \(\overrightarrow{SB}=(-1;2;-6)\). Leur produit vaut \(-3-2+36=31\) et leurs normes sont \(\sqrt{46},\sqrt{41}\). Donc \[\cos\widehat{ASB}=\frac{31}{\sqrt{46}\sqrt{41}} =\frac{31}{\sqrt{1886}}, \qquad \widehat{ASB}\approx44{,}5^\circ.\] Le signe positif concorde avec l’angle aigu.

Attention. Une hauteur de pyramide utilise le plan support, même si son pied est extérieur à la face. La distance au plan n’est pas nécessairement la distance à la face triangulaire. Une aire s’exprime en unités carrées, un volume en unités cubes.

10. Lire un calcul de produit scalaire en Python

Le programme ci-dessous automatise la somme des trois produits de coordonnées. Il suppose un repère orthonormé et deux listes de trois nombres. Les positions \(0,1,2\) correspondent à \(x,y,z\).

def scalaire(u, v):
    if len(u) != 3 or len(v) != 3:
        raise ValueError("Trois coordonnees sont necessaires.")
    total = 0
    for i in range(3):
        total = total + u[i] * v[i]
    return total

Sens des instructions. Le test initial refuse les listes de longueur incorrecte. total = 0 initialise la somme. À chaque passage, Python calcule le membre de droite avec l’ancienne valeur de total, puis remplace celle-ci. range(3) donne \(0,1,2\) : la boucle s’arrête après trois passages. return renvoie le nombre obtenu.

Exemple — Suivre les états. Pour u = [1, -2, 2] et v = [3, 1, 4] :

Le résultat est \(9\), conforme au calcul \(3-2+8=9\). Après chaque passage, la variable contient la somme des produits déjà parcourus. Réinitialiser total dans la boucle ferait perdre cette accumulation.

Attention. Le programme ne connaît pas le repère : il ne vérifie pas qu’il est orthonormé. Avec des nombres flottants, un résultat très proche de zéro ne prouve pas une égalité exacte. Un calcul automatique aide à contrôler une méthode ; il ne remplace pas la justification géométrique.

11. Synthèse : choisir la méthode et contrôler