Définition. \(f(x)=ax^2+bx+c\), \(a,b,c\in\mathbb{R}\), \(a\ne0\), est un trinôme défini sur \(\mathbb{R}\). Racine : \(f(r)=0\). Discriminant : \(\Delta=b^2-4ac\).

Propriété et méthode. Même fonction, usages différents :

Développée \(ax^2+bx+c\) : coefficients; \(f(0)=c\).

Canonique \(a(x-\alpha)^2+\beta\) : sommet et extremum.

Factorisée \(a(x-r)(x-s)\) : racines et signe, si les racines réelles existent.

Méthode – Comparer deux trinômes. Réduire leur différence, vérifier son degré, puis étudier son signe.

Méthode. Compléter un carré dans les cas simples :

Méthode – Sommet et point connus. Écrire la canonique; une image d’abscisse \(t\ne\alpha\) permet de trouver \(a\).

Exemple. \(S(2;-1)\), \(f(0)=3\) : \(4a-1=3\), donc \(a=1\).

Propriété. \(\alpha=-\dfrac b{2a}\), \(\beta=f(\alpha)\). En repère orthogonal, on obtient une parabole de sommet \(S(\alpha;\beta)\) et d’axe \(x=\alpha\).

Sens : \((x-\alpha)^2\ge0\); le signe de \(a\) fixe l’ouverture.

Exemple graphique. \(g(x)=(x-2)^2-1\) sur \(\mathbb{R}\).

Méthode de lecture.

Image de \(4\) : verticale vers la courbe, puis horizontale vers l’axe des ordonnées : \(g(4)=3\).

Antécédents de \(3\) : suivre \(y=3\), puis descendre de chaque intersection : \(x=0\) ou \(4\).

Zéros : \(1\) et \(3\), sur l’axe horizontal.

Valeurs calculées ici; sinon, lecture approchée.

Méthode – Optimiser. Modéliser sur \(D\), utiliser la canonique, tester si \(\alpha\in D\). Sur \([L;U]\), comparer \(f(L)\), \(f(U)\) et \(\beta\) si \(\alpha\in[L;U]\).

Exemple. Rectangle de périmètre \(16\) cm : côtés \(t\) et \(8-t\) (en cm), \(0<t<8\).

Méthode. Réduire à \(ax^2+bx+c=0\), vérifier \(a\ne0\) et les signes de \(a,b,c\). Tester §4, sinon calculer \(\Delta\). Si \(a=0\), résoudre \(bx+c=0\), pas ces formules.

Théorème – Racines et factorisation sur \(\mathbb{R}\).

Si \(\Delta>0\) : deux racines distinctes

Justification-clé. \(4af(x)=(2ax+b)^2-\Delta\), donc \(f(x)=0\iff(2ax+b)^2=\Delta\) (\(a\ne0\)). Un carré est \(\ge0\) : trois cas. Si \(\Delta>0\), \(2ax+b=\pm\sqrt\Delta\) : soustraire \(b\), diviser par \(2a\).

Exemple. \(2x^2-3x-2=0\) :

Méthode – Repérer une forme simple.

Facteur commun : \(2x^2-6x=2x(x-3)\).

Identité remarquable : \(x^2-9=(x-3)(x+3)\).

Carré isolé : \((x-2)^2=9\iff x-2=\pm3\iff x\in\{-1;5\}\). Si le carré doit être négatif : aucune solution réelle.

Propriété. Si les racines réelles sont \(r,s\) (répétées en cas de racine double), alors

\(x^2-x-6\) : \((-2)+3=1\), \((-2)\times3=-6\), donc \(x^2-x-6=(x+2)(x-3)\).

Méthode – Racine évidente. Vérifier \(f(r)=0\); trouver \(s=-\dfrac ba-r\), même si \(r=0\).

Si \(f(x)=2x^2-2x-4\) : \(f(2)=0\), \(s=1-2=-1\), donc \(f(x)=2(x-2)(x+1)\).

Produit nul. \(UV=0\iff U=0\) ou \(V=0\); ni pour une somme, ni pour \(UV=5\).

Théorème. Ordonner \(r<s\) : les formules « \(-\) » et « \(+\) » inversent cet ordre si \(a<0\).

\(\Delta>0\) : signe de \(a\) à l’extérieur des racines, signe opposé entre \(r\) et \(s\).

\(\Delta=0\) : signe de \(a\) sauf zéro en \(r\); pas de changement de signe.

\(\Delta<0\) : signe strict de \(a\) sur tout \(\mathbb{R}\).

Repères visuels – Exemples, non preuves.

Plein : \(a=1\); tireté : \(a=-1\). De gauche à droite : \(\pm(x^2-1)\), \(\pm x^2\), \(\pm(x^2+1)\), sur \(\mathbb{R}\).

Méthode. \(f(x)\le k\iff f(x)-k\le0\) (idem pour \(=,<,>,\ge\)) : étudier le nouveau trinôme \(f-k\). Retenir les intervalles voulus; inclure les zéros seulement pour \(\le\) ou \(\ge\). Recouper avec le domaine.

Exemples. Avec \(g(x)=(x-1)(x-3)\) :

Piège. Diviser par un négatif renverse le sens. Ne pas diviser par une expression de signe inconnu.

Caractérisation. Pour \(r,s\) réels distincts, tous les trinômes qui s’y annulent sont

Exemple. Racines \(-1,3\) et \(f(0)=-6\) : \(-3a=-6\), donc \(a=2\) et \(f(x)=2(x+1)(x-3)\).

Pièges. Garder \(a\); tout \(-b\pm\sqrt\Delta\) est divisé par \(2a\). Signe et variations : deux questions différentes.