Développée : \(f(x)=ax^2+bx+c\) ; \(f(0)=c\).

Canonique : \(f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta\), avec

\(\alpha=-\dfrac b{2a}\) et \(\beta=f(\alpha)\).

Factorisée (si racines réelles \(r,s\)) :

\(f(x)=a(x-r)(x-s)\) ; \(r=s\) si racine double.

Carré complété, cas simples :

\(x^2+2tx=(x+t)^2-t^2\).

Le calcul de la forme canonique générale n’est pas exigé.

Choix de forme : développée pour les coefficients ; factorisée pour les zéros et le signe ; canonique pour le sommet et l’extremum.

Acquis : facteur commun et identités remarquables, pour \(u,v\) réels :

\(u^2+2uv+v^2=(u+v)^2\) ;

\(u^2-2uv+v^2=(u-v)^2\) ;

\(u^2-v^2=(u-v)(u+v)\).

\(UV=0\iff U=0\) ou \(V=0\) (\(U,V\) réels).

Si \(c=0\) : \(f(x)=x(ax+b)\).

Racines : \(0\) et \(-\dfrac ba\) (double si \(b=0\)).

Discriminant : \(\Delta=b^2-4ac\).

Si \(\Delta<0\) : aucune racine réelle ; pas de factorisation en deux facteurs réels de degré \(1\).

Si \(\Delta=0\) : une racine double

\(x_0=-\dfrac b{2a}\) ; \(f(x)=a(x-x_0)^2\).

Si \(\Delta>0\) : deux racines distinctes

\(x_1=\dfrac{-b-\sqrt\Delta}{2a}\) ; \(x_2=\dfrac{-b+\sqrt\Delta}{2a}\).

\(f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)\).

Cas simple \(b=0\) : poser \(q=-\dfrac ca\).

\(f(x)=0\iff x^2=q\).

\(q<0\) : aucune solution ;

\(q=0\) : \(x=0\) ; \(q>0\) : \(x=\pm\sqrt q\).

Si \(\Delta\ge0\), les racines \(r,s\) comptées avec multiplicité vérifient :

\(r+s=-\dfrac ba\) et \(rs=\dfrac ca\).

Si une racine \(r\) est connue : \(s=-\dfrac ba-r\).

Racine double : \(r=s=x_0\). On peut chercher mentalement des racines entières avec leur somme et leur produit ; vérifier dans \(f\).

Racine évidente : vérifier \(f(r)=0\), puis utiliser la somme (le produit ne suffit pas si \(r=0\)). Sinon, utiliser \(\Delta\).

Pour deux réels distincts \(r,s\), tous les trinômes s’annulant en \(r\) et \(s\) sont :

\(f(x)=a(x-r)(x-s)\), \(a\ne0\).

Les deux zéros ne fixent pas \(a\). Une autre valeur donnée de \(f\) se substitue dans cette forme.

Dans un repère orthogonal : sommet \(S(\alpha;\beta)\), axe \(x=\alpha\).

Sur \(\mathbb{R}\) : \(a>0\), minimum \(\beta\) ; \(a<0\), maximum \(\beta\) ; atteint en \(x=\alpha\).

Sur \([L;U]\) (\(L\le U\)) : comparer \(f(L)\) et \(f(U)\) ; ajouter \(\beta\) si \(\alpha\in[L;U]\).

\(f(x)>0\) : zones \(+\) ; \(f(x)<0\) : zones \(-\).

Pour \(\ge0\) ou \(\le0\), ajouter les zéros. Pour \(>0\) ou \(<0\), les exclure.

Si \(\Delta>0\) et \(a>0\), avec \(r<s\) :

\(f(x)\le0\iff x\in[r;s]\) ;

\(f(x)\ge0\iff x\in]-\infty;r]\cup[s;+\infty[\).

Sous \(\Delta>0\), si \(a<0\), échanger \(\le0\) et \(\ge0\) dans ces deux équivalences. Pour \(<0\) ou \(>0\), ouvrir aux racines.

Contrôle : les bornes infinies sont ouvertes. Le signe de \(a\) seul ne suffit pas en général : tenir compte de \(\Delta\).

Si \(\Delta>0\), racines rangées \(r<s\) :

Signe de \(a\) à l’extérieur des racines ; signe opposé entre les racines.

Si \(\Delta=0\) : signe de \(a\) pour \(x\ne x_0\) ; \(f(x_0)=0\).

Si \(\Delta<0\) : signe strict de \(a\) pour tout \(x\in\mathbb{R}\) ; aucun zéro.

Sous \(\Delta>0\) : si \(a<0\), alors \(x_1>x_2\). Pour le signe, ranger les deux racines distinctes \(r<s\).

Trait plein : \(y=x^2+d\) (\(a>0\)).

Trait tireté : \(y=-x^2-d\) (\(a<0\)).

De gauche à droite : \(d=-1,0,1\). Dans chaque repère, les deux courbes ont le même \(\Delta=-4d\).

La position par rapport à l’axe horizontal illustre le tableau de signes, sans le démontrer.

Pour \(g\) polynôme de degré au plus \(2\) et \(k\in\mathbb{R}\) : \(f(x)=k\iff f(x)-k=0\) ; \(f(x)\le g(x)\iff f(x)-g(x)\le0\).

Même règle pour \(<,>,\ge,=\) : étudier \(f-g\), non \(f\) seule.

Si le terme en \(x^2\) s’annule : traiter une expression affine ou constante, éventuellement nulle. Sur un domaine imposé \(E\), garder les solutions dans \(E\).