Correction expliquée 1.2 — Correction et point d’entrée

1. Non : \(0{,}3+0{,}8=1{,}1\), alors que la somme des probabilités de toutes les valeurs doit être \(1\). Si cette vérification t’échappe, commence par les définitions de loi et le premier exemple.

2. La moyenne est pondérée : \(0\times\frac34+4\times\frac14=0+1=1\). Le calcul \((0+4)/2=2\) attribuerait le même poids aux deux valeurs, ce qui n’est pas le modèle donné. Reprends la définition de l’espérance si tu avais choisi \(2\).

3. \((-3)^2=(-3)\times(-3)=9\) : le résultat vaut \(9\ \text{cm}^2\). Le carré concerne le nombre avec son signe, d’où les parenthèses. Si tu avais répondu \(-9\), reprends le tableau des écarts de l’exemple sur le capteur.

Correction expliquée 1.24 — Correction de l’essai guidé

Les probabilités sont positives et \(\frac14+\frac12+\frac14=1\). \[\operatorname{E}(Y)=0\times\frac14+2\times\frac12+4\times\frac14=0+1+1=2.\] Les écarts sont \(0-2=-2\), \(2-2=0\) et \(4-2=2\), puis les carrés \(4,0,4\). Ainsi \[\operatorname{V}(Y)=4\times\frac14+0\times\frac12+4\times\frac14=1+0+1=2, \qquad \sigma(Y)=\sqrt2\approx1{,}414.\] Le nombre moyen théorique est de \(2\) messages par période, sans garantie d’en recevoir exactement \(2\) pendant une période particulière. La variance s’exprime en « messages au carré  » et l’écart type en messages.

Correction expliquée 1.26 — Correction de la tentative

Le tableau comporte les trois valeurs distinctes \(-1,1,3\), avec des probabilités positives de somme \(\frac12+\frac14+\frac14=1\). \[\begin{aligned} \operatorname{E}(Z) &=(-1)\times\frac12+1\times\frac14+3\times\frac14\\ &=-\frac12+\frac14+\frac34 =-\frac24+\frac14+\frac34 =\frac24=\frac12. \end{aligned}\] La moyenne des carrés est \[\operatorname{E}(Z^2)=(-1)^2\times\frac12+1^2\times\frac14+3^2\times\frac14 =\frac12+\frac14+\frac94 =\frac24+\frac14+\frac94=\frac{12}4=3.\] Donc \[\operatorname{V}(Z)=3-\left(\frac12\right)^2=3-\frac14 =\frac{12}4-\frac14=\frac{11}4, \qquad \sigma(Z)=\sqrt{\frac{11}4}=\frac{\sqrt{11}}2\approx1{,}658\ \text{g}.\] La variance vaut \(\frac{11}4\ \text{g}^2\). Pour vérifier par les écarts, ceux-ci sont \(-\frac32,\frac12,\frac52\) : \[\frac94\times\frac12+\frac14\times\frac14+\frac{25}4\times\frac14 =\frac98+\frac1{16}+\frac{25}{16} =\frac{18+1+25}{16}=\frac{44}{16}=\frac{11}4.\] La moyenne \(\frac12\) est bien entre \(-1\) et \(3\), et la variance est positive.

Correction expliquée 1.28 — Une réponse possible et ses critères

« La moyenne théorique est \(1\) mm, alors que les observations possibles sont seulement \(-2,0,6\) mm : elle n’est donc pas obligatoirement observable. L’écart type est \(3\) mm, mais la valeur \(6\) mm est à \(6-1=5\) mm de la moyenne. L’écart type n’est donc pas un écart maximal : il est la racine de la moyenne des carrés des écarts.  » Une justification suffisante comporte les valeurs concrètes, le contre-exemple à chacune des affirmations et la signification correcte de l’écart type. Écrire seulement « c’est faux  » ou réciter la formule sans l’utiliser ne suffit pas.

Correction expliquée 1.30 — Correction de la variation

Pour A, la loi est « \(2\) avec probabilité \(1\)  » , donc \(\operatorname{E}(A)=2\) et \(\operatorname{V}(A)=(2-2)^2=0\).

Pour B, \(\operatorname{E}(B)=0\times\frac12+4\times\frac12=2\) et \[\operatorname{V}(B)=(0-2)^2\times\frac12+(4-2)^2\times\frac12 =4\times\frac12+4\times\frac12=2+2=4.\] Les moyennes sont identiques, mais A est parfaitement régulier tandis que B varie. Une moyenne seule ne décrit donc pas la dispersion d’une loi.

Correction expliquée 1.32 — Nouvel essai corrigé et retour à la première erreur

Pour le nouvel essai, \[\operatorname{E}(K)=1\times\frac34+5\times\frac14=\frac34+\frac54=\frac84=2.\] Puis \(\operatorname{E}(K^2)=1^2\times\frac34+5^2\times\frac14=\frac34+\frac{25}4=7\). Donc \(\operatorname{V}(K)=7-2^2=7-4=3\).

Revenons maintenant à \(R\). La probabilité de \(0\) est trois fois celle de \(6\) ; le calcul non pondéré les traitait à tort de la même façon. Le calcul corrigé est \[\operatorname{E}(R)=0\times\frac34+6\times\frac14=\frac64=\frac32.\] Si l’on calcule aussi la dispersion, \(\operatorname{E}(R^2)=0+36\times\frac14=9\), puis \(\operatorname{V}(R)=9-(\frac32)^2=\frac{36}4-\frac94=\frac{27}4\). Le retour est réussi si tu sais expliquer le poids \(\frac14\), et pas seulement annoncer \(\frac32\).

Correction expliquée 1.34 — Correction de la reprise

La somme des probabilités est \(\frac15+\frac35+\frac15=1\). \[\operatorname{E}(W)=(-2)\times\frac15+1\times\frac35+4\times\frac15 =-\frac25+\frac35+\frac45=\frac55=1\ \text{min}.\] Les écarts à \(1\) sont \(-3,0,3\), dont les carrés sont \(9,0,9\) : \[\operatorname{V}(W)=9\times\frac15+0\times\frac35+9\times\frac15 =\frac{18}5\ \text{min}^2, \qquad \sigma(W)=\sqrt{\frac{18}5}\approx1{,}897\ \text{min}.\] Les poids ne sont pas égaux, donc une moyenne non pondérée n’est pas la méthode justifiée, même si la symétrie donne ici fortuitement le même résultat. La variance est la moyenne des carrés d’écarts en minutes, d’où l’unité \(\text{min}^2\). Tu peux contrôler par \(\operatorname{E}(W^2)=\frac45+\frac35+\frac{16}5=\frac{23}5\), puis \(\frac{23}5-1=\frac{18}5\).

Correction expliquée 2.3 — Correction et orientation

1. Les issues diffèrent : le premier signal n’est pas le même. Pourtant leurs totaux valent tous deux \(1\). Si cette distinction n’est pas claire, lis d’abord la définition point par point et la grille des couples.

2. Non. Il faut compter combien de couples donnent chaque somme, puis additionner leurs probabilités. La somme \(1\) provient ici de deux couples.

3. Non. Sans remise, le contenu disponible change : il faut le décrire avant de compléter la deuxième étape de l’arbre. L’exemple des jetons montre précisément ce changement.

Correction expliquée 2.19 — Correction de l’essai guidé

L’indépendance autorise les produits suivants : \[\begin{array}{c|cc} &Y=0&Y=2\\ \hline X=0&\mathbb{P}=\frac12\times\frac13=\frac16,\ S=0& \mathbb{P}=\frac12\times\frac23=\frac13,\ S=2\\ X=2&\mathbb{P}=\frac12\times\frac13=\frac16,\ S=2& \mathbb{P}=\frac12\times\frac23=\frac13,\ S=4 \end{array}\] Pour \(S=2\), on additionne les deux cases : \(\mathbb{P}(S=2)=\frac13+\frac16=\frac26+\frac16=\frac36=\frac12\). La loi est \[\begin{array}{c|rrr} s&0&2&4\\ \hline \mathbb{P}(S=s)&\frac16&\frac12&\frac13 \end{array}\] Le contrôle donne \(\frac16+\frac12+\frac13=\frac16+\frac36+\frac26=1\). Même s’il y a trois totaux possibles, leurs probabilités ne valent pas toutes \(\frac13\).

Correction expliquée 2.21 — Correction de la tentative

Après \(X=0\), la probabilité de \(Y=0\) est \(1-\frac15=\frac45\). Après \(X=2\), elle est \(1-\frac35=\frac25\). On calcule alors, chemin par chemin : \[\begin{array}{c|c|c} \text{Couple}&\text{Probabilité du chemin}&\text{Total}\\ \hline (0;0)&\frac34\times\frac45=\frac{12}{20}=\frac35&0\\ (0;3)&\frac34\times\frac15=\frac3{20}&3\\ (2;0)&\frac14\times\frac25=\frac2{20}=\frac1{10}&2\\ (2;3)&\frac14\times\frac35=\frac3{20}&5 \end{array}\] Ici, les quatre totaux sont distincts : aucun regroupement supplémentaire n’est nécessaire. En les rangeant dans l’ordre croissant, \[\begin{array}{c|rrrr} s&0&2&3&5\\ \hline \mathbb{P}(S=s)&\frac35&\frac1{10}&\frac3{20}&\frac3{20} \end{array}\] Le contrôle est \(\frac{12}{20}+\frac2{20}+\frac3{20}+\frac3{20}=\frac{20}{20}=1\). On n’a pas utilisé l’indépendance : les probabilités conditionnelles étaient explicitement données et différentes selon le premier retard. Les totaux sont exprimés en secondes, comme les deux contributions.

Correction expliquée 2.23 — Réponse possible et critères

Si les deux choix sont indépendants, les couples \((0;1)\) et \((1;0)\) ont chacun la probabilité \(\frac14\), d’où \(\mathbb{P}(X+Y=1)=\frac12\). Mais si l’on tire seulement \(X\), puis recopie sa valeur pour définir \(Y=X\), les lois séparées restent les mêmes et la somme vaut seulement \(0\) ou \(2\). On a alors \(\mathbb{P}(X+Y=1)=0\).

Les données ne décrivent pas la liaison entre \(X\) et \(Y\). Le produit des probabilités marginales n’est pas une règle générale : il convient au modèle indépendant.

Une réponse complète donne deux modèles, vérifie qu’ils gardent les mêmes lois séparées, puis montre que la probabilité de la somme change. Le simple mot « dépendance  » sans exemple ne démontre pas l’insuffisance des données.

Correction expliquée 2.25 — Correction de la variation

La remise reconstitue la boîte initiale. À chaque tirage, les probabilités sont donc \(\frac23\) pour un bleu et \(\frac13\) pour un orange, quel que soit le premier résultat. \[\mathbb{P}(BB)=\frac23\times\frac23=\frac49,\qquad \mathbb{P}(BO)=\frac23\times\frac13=\frac29,\] \[\mathbb{P}(OB)=\frac13\times\frac23=\frac29,\qquad \mathbb{P}(OO)=\frac13\times\frac13=\frac19.\] Le total \(0\) correspond à \(OO\), le total \(1\) à \(BO\) ou \(OB\), le total \(2\) à \(BB\). La loi est \[\begin{array}{c|rrr} s&0&1&2\\ \hline \mathbb{P}(S=s)&\frac19&\frac49&\frac49 \end{array}\] On vérifie \(\frac19+\frac49+\frac49=1\). Le total \(0\) devient possible parce que le jeton orange a été remis après le premier tirage. La loi du total a changé, alors que les lois séparées de chacun des deux tirages sont les mêmes dans les deux modèles.

Correction expliquée 2.27 — Nouvel essai corrigé et retour à l’erreur

Les probabilités des couples sont : \[\begin{array}{c|rrrr} \text{Couple}&(0;0)&(0;1)&(1;0)&(1;1)\\ \hline \text{Probabilité}&\frac12\times\frac14=\frac18& \frac12\times\frac34=\frac38& \frac12\times\frac14=\frac18& \frac12\times\frac34=\frac38 \end{array}\] Le total \(1\) provient de deux couples, donc \(\mathbb{P}(S=1)=\frac38+\frac18=\frac48=\frac12\). La loi est \((0,1,2)\) avec probabilités \((\frac18,\frac12,\frac38)\) ; leur somme est \(\frac18+\frac48+\frac38=1\).

Revenons aux deux signaux équiprobables de la première erreur. Les quatre couples ont chacun la probabilité \(\frac14\). Il y a une façon d’obtenir \(0\), deux d’obtenir \(1\) et une d’obtenir \(2\), d’où les probabilités \(\frac14,\frac12,\frac14\). L’erreur était de donner le même poids à des totaux qui ne regroupent pas le même nombre d’issues équiprobables.

Correction expliquée 2.29 — Correction de la reprise

Les huit triplets sont \[\begin{gathered} (0;0;0),\ (0;0;1),\ (0;1;0),\ (0;1;1),\\ (1;0;0),\ (1;0;1),\ (1;1;0),\ (1;1;1). \end{gathered}\] Chaque triplet a la probabilité \(\frac12\times\frac12\times\frac12=\frac18\), grâce à l’indépendance. Le total \(0\) provient de \((0;0;0)\) ; le total \(3\) de \((1;1;1)\). Le total \(1\) provient de \((0;0;1),(0;1;0),(1;0;0)\), soit une probabilité \(\frac18+\frac18+\frac18=\frac38\). Le total \(2\) provient des trois autres triplets : \[\begin{array}{c|rrrr} t&0&1&2&3\\ \hline \mathbb{P}(T=t)&\frac18&\frac38&\frac38&\frac18 \end{array}\] On contrôle \(\frac18+\frac38+\frac38+\frac18=1\). Enfin, sur l’issue \((0;1;0)\), on a \(T=1\) mais \(3X_1=3\times0=0\). Les deux variables ne sont donc pas égales.

Correction expliquée 3.3 — Correction et orientation

1. \(\operatorname{E}(X)=2\times\dfrac34+6\times\dfrac14=\dfrac64+\dfrac64=\dfrac{12}{4}=3\). On multiplie chaque valeur par sa probabilité, puis on additionne. Si tu as obtenu \(4\), tu as probablement calculé la moyenne non pondérée de \(2\) et \(6\) : relis le rappel précédent.

2. Une variable constante égale à \(5\) prend cette valeur avec la probabilité \(1\). Son espérance vaut donc \(5\times1=5\). Le nombre de fois où l’on écrit cette constante dans un tableau ne change pas cette moyenne.

3. Oui : on obtiendra \(3+1=4\), que les variables soient indépendantes ou non. Si tu avais pensé que l’indépendance était indispensable, garde cette réponse à l’esprit : le théorème de cette unité explique exactement pourquoi elle ne l’est pas pour une espérance.

Correction expliquée 3.18 — Correction de l’essai guidé

La variable est déjà écrite comme somme de deux multiples de variables et d’une constante. Par linéarité, \[\begin{align*} \operatorname{E}(H)&=4\operatorname{E}(A)+2\operatorname{E}(B)-7\\ &=4\times2{,}5+2\times1{,}5-7\\ &=10+3-7=13-7=6. \end{align*}\] L’indépendance n’est pas nécessaire : le théorème utilisé n’en fait pas l’hypothèse. Le résultat net moyen théorique est \(6\) euros, et non un résultat garanti à chaque réalisation. Ne pas écrire \(4(2{,}5+2\times1{,}5-7)\) : cela multiplierait aussi les termes qui n’ont pas le coefficient \(4\) dans \(H\).

Correction expliquée 3.20 — Correction : construire la variable avant de calculer

Chaque objet reçoit une étiquette, donc le nombre d’étiquettes ordinaires est \(10-X\). Le coût total \(C\), en euros, est \[C=3X+1(10-X)+2.\] En distribuant le coefficient \(1\), puis en regroupant, \[C=3X+10-X+2=(3-1)X+(10+2)=2X+12.\] On en déduit \[\operatorname{E}(C)=2\operatorname{E}(X)+12=2\times4+12=8+12=20.\] Une seconde écriture, sans simplifier la variable au départ, permet le contrôle : \[\operatorname{E}(C)=3\operatorname{E}(X)+\operatorname{E}(10-X)+2 =3\times4+(10-4)+2=12+6+2=20.\] Le coût moyen est \(20\) euros. Aucune indépendance n’est requise. D’ailleurs, ici, connaître \(X\) détermine exactement le nombre \(10-X\) : demander une indépendance entre ces nombres serait une mauvaise piste.

Correction expliquée 3.23 — Correction : reconnaître la limite du théorème

La première espérance est déterminée, car la transformation est affine : \[\operatorname{E}(5X+2)=5\operatorname{E}(X)+2=5\times0+2=2.\] Pour la seconde, considérons d’abord la variable constante \(X=0\) : son espérance est \(0\) et celle de son carré aussi. Considérons ensuite une variable valant \(-1\) et \(1\), chacun avec la probabilité \(1/2\) : son espérance est encore \(0\), mais son carré vaut toujours \(1\), donc son espérance vaut \(1\).

Les deux variables satisfont \(\operatorname{E}(X)=0\) et ne donnent pas la même valeur de \(\operatorname{E}(X^2)\). La seule espérance de \(X\) ne suffit donc pas. Ce n’est pas une difficulté de calcul : il manque une information mathématique.

Correction expliquée 3.25 — Correction du nouvel essai et retour

Pour le nouvel essai, \[\operatorname{E}(3W-5)=3\operatorname{E}(W)-5=3\times4-5=12-5=7.\] La constante \(-5\) n’est pas multipliée par \(3\). Au retour au problème initial, \[\operatorname{E}(4X-3)=4\operatorname{E}(X)-3=4\times2-3=8-3=5.\] L’écriture erronée \(4(2-3)=4\times2-4\times3\) remplace en fait le coût \(3\) par le coût \(12\). La comparaison des expressions avant calcul permet de localiser l’erreur : elle se situe dans la modélisation de la constante, pas dans la soustraction finale.

Correction expliquée 3.27 — Correction de la reprise différée

L’expression \(R\) est une combinaison linéaire de \(A,B\), plus une constante. La linéarité s’applique sans indépendance : \[\operatorname{E}(R)=2\operatorname{E}(A)+\operatorname{E}(B)-6 =2\times7{,}5+4-6=15+4-6=13.\] Le score moyen est \(13\) points. En revanche, \(\operatorname{E}(A^2)\) n’est pas déterminée par \(\operatorname{E}(A)\) seule. Par exemple, \(A\) constante égale à \(7{,}5\) donne \(\operatorname{E}(A^2)=56{,}25\). Une variable valant \(6{,}5\) et \(8{,}5\) chacun avec la probabilité \(1/2\) a aussi pour espérance \(7{,}5\), mais \[\operatorname{E}(A^2)=\frac{6{,}5^2+8{,}5^2}{2} =\frac{42{,}25+72{,}25}{2}=\frac{114{,}5}{2}=57{,}25.\] La différence des deux résultats montre précisément l’information manquante. Si tu avais appliqué la linéarité au carré, refais la variation précédente avant de reprendre cette tâche.

Correction expliquée 4.4 — Correction et orientation

1. \((-3)^2=(-3)\times(-3)=9\), puis \(\sqrt9=3\), et non \(-3\). Une racine carrée désigne le nombre positif ou nul dont le carré est le nombre considéré. Si ce signe te surprend, garde le lemme sur la valeur absolue comme point de reprise.

2. La moyenne vaut \(7\times1=7\). L’écart à la moyenne est toujours \(7-7=0\) ; son carré est \(0\), donc la variance vaut \(0\). Un grand niveau de valeur n’implique pas une grande dispersion.

3. Le signe moins devant la seconde parenthèse change les deux signes : \[(2x+5)-(2\mu+5)=2x+5-2\mu-5=2x-2\mu=2(x-\mu).\] Les constantes \(+5\) et \(-5\) se compensent. Cette compensation est le mécanisme essentiel de la démonstration de la variance affine.

Correction expliquée 4.18 — Correction de l’essai guidé

On a \(a=2\) et \(b=-4\). Pour la moyenne, \[\operatorname{E}(Y)=2\operatorname{E}(X)-4=2\times10-4=20-4=16.\] Pour la variance, \[\operatorname{V}(Y)=2^2\operatorname{V}(X)=4\times9=36.\] Ainsi \(\sigma(Y)=\sqrt{36}=6\). Le contrôle par l’autre formule donne \(\sigma(X)=\sqrt9=3\), puis \(\sigma(Y)=|2|\times3=6\).

Le coefficient \(2\) double les distances à la moyenne, donc quadruple leurs carrés. Le décalage \(-4\) est appliqué aux valeurs et à leur moyenne : il ne reste pas dans les écarts. Ces deux raisons permettent de retrouver les formules si on les oublie.

Correction expliquée 4.20 — Correction : loi de départ, transformation, contrôle

La moyenne de \(X\) vaut \[\operatorname{E}(X)=1\times\frac34+5\times\frac14 =\frac34+\frac54=\frac84=2.\] On calcule les écarts à cette moyenne, puis leurs carrés : \[\begin{align*} \operatorname{V}(X)&=(1-2)^2\times\frac34+(5-2)^2\times\frac14\\ &=(-1)^2\times\frac34+3^2\times\frac14\\ &=1\times\frac34+9\times\frac14 =\frac34+\frac94=\frac{12}{4}=3. \end{align*}\] Dans \(T=(-3)X+7\), on a \(a=-3\), \(b=7\). Donc \[\operatorname{E}(T)=(-3)\times2+7=-6+7=1,\] \[\operatorname{V}(T)=(-3)^2\times3=9\times3=27, \qquad \sigma(T)=\sqrt{27}=\sqrt{9\times3}=3\sqrt3.\] Les deux valeurs possibles de \(T\) sont \(4\) et \(-8\), de probabilités \(3/4\) et \(1/4\). Elles donnent bien \[\operatorname{E}(T)=4\times\frac34+(-8)\times\frac14=3-2=1,\] et \[\begin{align*} \operatorname{V}(T)&=(4-1)^2\times\frac34+(-8-1)^2\times\frac14\\ &=3^2\times\frac34+(-9)^2\times\frac14\\ &=\frac{27}{4}+\frac{81}{4}=\frac{108}{4}=27. \end{align*}\] Le score peut être négatif, mais sa variance et son écart type ne le peuvent pas. Il ne faut donc pas confondre le signe des valeurs et le signe d’une dispersion.

Correction expliquée 4.23 — Correction : séparer position et dispersion

On a \(\sigma(X)=\sqrt4=2\). Pour \(A\), \[\operatorname{E}(A)=3+10=13,\qquad \sigma(A)=|1|\times2=2.\] Pour \(B\), \[\operatorname{E}(B)=-3+10=7,\qquad \sigma(B)=|-1|\times2=2.\] Les deux écarts types sont égaux, mais les espérances sont différentes. Les lois ne peuvent donc pas être identiques : si leurs valeurs et probabilités étaient identiques, le calcul de leur espérance donnerait le même résultat. Une mesure de dispersion ne détermine pas à elle seule la position, ni toute la loi.

Correction expliquée 4.25 — Correction du nouvel essai et retour à l’erreur

Le coefficient de \(W\) est \(a=-1/2\) et la constante est \(5\). On calcule \[a^2=\left(-\frac12\right)\left(-\frac12\right)=\frac{1}{4},\] puis \[\operatorname{V}(Q)=\frac14\times16=\frac{16}{4}=4, \qquad \sigma(Q)=\sqrt4=2.\] On vérifie aussi \(\sigma(Q)=|-1/2|\sqrt{16}=\frac12\times4=2\).

Au retour au problème initial, le bon calcul est \[\operatorname{V}(-2X+1)=(-2)^2\times9=4\times9=36,\] \[\sigma(-2X+1)=\sqrt{36}=6=|-2|\sqrt9.\] L’erreur ne vient pas de \(\sqrt9=3\), qui est exact. Elle vient de l’emploi du coefficient signé \(-2\) à la place de sa valeur absolue. Le contrôle « un écart type est positif ou nul » signale le défaut avant même de refaire le calcul.

Correction expliquée 4.27 — Correction de la reprise différée

On a \(a=1/100\) et \(b=1\). Pour la moyenne, \[\operatorname{E}(Y)=\frac{\operatorname{E}(X)}{100}+1 =\frac{50}{100}+1=0{,}5+1=1{,}5\ \text{mètre}.\] Pour la variance, le facteur est le carré de \(1/100\) : \[\operatorname{V}(Y)=\left(\frac1{100}\right)^2\times9 =\frac1{10\,000}\times9 =\frac9{10\,000}=0{,}0009\ \text{mètre carré}.\] L’écart type est \[\sigma(Y)=\sqrt{\frac9{10\,000}} =\frac3{100}=0{,}03\ \text{mètre},\] car \((3/100)^2=9/10\,000\) et \(3/100\ge0\). Il correspond bien à \(3\) centimètres, l’écart type initial. La rallonge fixe ajoute la même quantité à toutes les longueurs et à leur moyenne ; elle disparaît dans leur différence. Aucune condition \(X\ne0\) n’est nécessaire : le seul dénominateur utilisé est la constante non nulle \(100\).

Correction expliquée 5.3 — Correction et orientation

1. Le coefficient \(2\) est élevé au carré dans la variance : \[\operatorname{V}(2X)=2^2\operatorname{V}(X)=4\times9=36, \qquad \sigma(2X)=\sqrt{36}=6.\] Si tu as trouvé \(18\), reprends le changement d’échelle : doubler un écart multiplie son carré par quatre.

2. Non. Les variances individuelles ne décrivent pas la façon dont les deux valeurs se produisent ensemble. L’indépendance, lorsqu’elle est donnée par le modèle, permettra le calcul \(9+4\).

3. Non : la linéarité suffit. \(\operatorname{E}(X+Y)=5+2=7\), que les variables soient indépendantes ou non. Si tu as utilisé la même condition aux questions 2 et 3, repère bien les deux colonnes « espérance » et « variance » de la synthèse de cette unité.

Correction expliquée 5.16 — Correction de l’essai guidé

Les coefficients sont \(3\) devant \(X\) et \(2\) devant \(Y\) ; la constante vaut \(-5\). \[\operatorname{E}(T)=3\operatorname{E}(X)+2\operatorname{E}(Y)-5 =3\times12+2\times4-5=36+8-5=39.\] Pour la variance, les carrés portent sur les coefficients, pas sur les variances : \[\operatorname{V}(T)=3^2\times9+2^2\times1 =9\times9+4\times1=81+4=85.\] Ainsi \(\sigma(T)=\sqrt{85}\approx9{,}22\). On peut contrôler l’ordre de grandeur : \(9^2=81<85<100=10^2\), donc l’écart-type doit être entre \(9\) et \(10\).

Ajouter \(-5\) à chaque valeur ajoute \(-5\) à la moyenne. Mais chaque écart devient \((t-5)-(\mu-5)=t-\mu\) : les écarts, leurs carrés et leur moyenne sont inchangés. C’est pour cela que \(-5\) apparaît dans l’espérance et disparaît dans la variance.

Correction expliquée 5.18 — Correction de la tentative

La relation qui définit l’indicateur est une combinaison affine des deux mesures. Pour l’espérance, la linéarité donne, sans utiliser l’indépendance, \[\operatorname{E}(R)=\operatorname{E}(A)-2\operatorname{E}(B)+6 =7-2\times2+6=7-4+6=9\ \text{mm}.\] L’indépendance est maintenant utile : elle permet d’additionner les variances des deux composantes transformées. \[\operatorname{V}(R)=1^2\operatorname{V}(A)+(-2)^2\operatorname{V}(B) =1{,}44+4\times0{,}25 =1{,}44+1=2{,}44\ \text{mm}^2.\] L’écart-type est donc \(\sqrt{2{,}44}\ \text{mm}\approx1{,}56\ \text{mm}\). On a bien une grandeur positive dans la même unité que les mesures. Soustraire \(B\) dans l’indicateur n’autorise pas à soustraire sa contribution à la variance.

Correction expliquée 5.20 — Une réponse possible et ses critères

La différence \(X-Y\) est la somme de \(X\) et de \(-Y\). Les deux composantes restent issues des deux épreuves indépendantes. La variance de \(-Y\) est \((-1)^2\operatorname{V}(Y)=\operatorname{V}(Y)\) : le signe est perdu dans le carré. L’additivité donne donc la formule annoncée.

Dans \(X+X\), on additionne deux fois le même résultat, pas deux réalisations indépendantes. Si \(\operatorname{V}(X)>0\), la formule correcte est \(\operatorname{V}(2X)=4\operatorname{V}(X)\). Lorsque \(X\) est constante, toutes ces variances sont nulles ; ce cas particulier ne justifie pas la formule erronée en général.

Critères de contenu. Ta réponse doit identifier \(X-Y=X+(-Y)\), faire apparaître \((-1)^2\), nommer l’hypothèse utilisée et distinguer deux copies indépendantes d’une même variable répétée. Un simple « ce n’est pas la bonne formule » ne suffit pas.

Correction expliquée 5.22 — Une variation de condition, pas seulement de nombres

Les deux lois sont symétriques : \(\operatorname{E}(X)=0\) et \(\operatorname{E}(Y)=0\). Par exemple \((-2)/2+2/2=0\). La linéarité donne donc \(\operatorname{E}(X+Y)=0\) dans les trois modèles.

Les variances individuelles valent \(\operatorname{V}(X)=4\) et \(\operatorname{V}(Y)=9\), car les carrés des écarts à \(0\) valent respectivement \(4\) et \(9\) sur chaque issue.

• Sous indépendance, \(\operatorname{V}(X+Y)=4+9=13\).

• Si les signes sont identiques, les couples sont \((-2;-3)\) et \((2;3)\), chacun avec probabilité \(1/2\). La somme vaut \(-5\) ou \(5\) ; sa moyenne vaut \(0\) et sa variance vaut \(25/2+25/2=25\).

• Si les signes sont opposés, les couples sont \((-2;3)\) et \((2;-3)\). La somme vaut \(1\) ou \(-1\) ; sa variance vaut \(1/2+1/2=1\).

Les lois individuelles sont restées identiques d’un modèle à l’autre. Elles fixent l’espérance de la somme, mais ne suffisent pas à fixer sa variance. C’est la manière d’associer les valeurs qui a changé.

Correction expliquée 5.24 — Rappel, modèle plus simple et retour au calcul

Rappel utile. Dans une transformation affine, la constante ne change pas les écarts, tandis que le coefficient les multiplie. Leur carré est donc multiplié par le carré du coefficient.

Exemple plus simple. Une variable \(U\) vaut \(0\) ou \(2\) avec probabilité \(1/2\). Sa moyenne est \(1\) et sa variance \(1\). La variable \(2U+5\) vaut \(5\) ou \(9\), de moyenne \(7\). Les écarts sont \(-2\) et \(2\), donc sa variance vaut \[(-2)^2\frac12+2^2\frac12=2+2=4=2^2\operatorname{V}(U).\] La translation \(+5\) ne figure pas dans le résultat final.

Nouvel essai, à faire avant de poursuivre. Si \(\operatorname{V}(Y)=0{,}25\), calcule la variance et l’écart-type de \(W=-4Y+3\).

Correction du nouvel essai. \(\operatorname{V}(W)=(-4)^2\operatorname{V}(Y)=16\times0{,}25=4\) ; donc \(\sigma(W)=\sqrt4=2\). Le coefficient négatif a été mis au carré et la constante a été écartée pour une raison précise.

Retour à la première erreur. Il faut écrire \(\operatorname{V}(3X-2)=3^2\operatorname{V}(X)=9\times4=36\), et non \(10\). Le coefficient devait être mis au carré ; la constante ne devait pas être soustraite. Pour l’espérance, en revanche, la formule \(\operatorname{E}(3X-2)=3\operatorname{E}(X)-2\) serait correcte.

Correction expliquée 5.26 — Correction de la reprise différée

La somme de quatre espérances égales à \(2\) vaut \(\operatorname{E}(R)=2+2+2+2=8\). L’indépendance permet de calculer \[\operatorname{V}(R)=\frac12+\frac12+\frac12+\frac12=2.\] Pour \(A=R/2\), on obtient \[\operatorname{E}(A)=\frac12\times8=4,\qquad \operatorname{V}(A)=\left(\frac12\right)^2\times2=\frac14\times2=\frac12.\] Pour \(B=2X_1\), les formules sont \[\operatorname{E}(B)=2\times2=4,\qquad \operatorname{V}(B)=2^2\times\frac12=4\times\frac12=2.\] Les deux moyennes attendues sont égales, mais la variance de \(B\) est quatre fois celle de \(A\). L’une des variables rassemble quatre résultats indépendants avant de les réduire ; l’autre agrandit un seul résultat. Leurs mécanismes aléatoires ne sont pas les mêmes.

Correction expliquée 6.3 — Correction et orientation

1. La loi attribue \(0{,}7\) à \(0\) et \(0{,}3\) à \(1\). Son espérance est \(0\times0{,}7+1\times0{,}3=0{,}3\). On appelle cette loi une loi de Bernoulli de paramètre \(0{,}3\).

2. Non. Le nombre total de réussites peut être n’importe quel entier entre \(0\) et \(10\). Ce compteur n’est pas la variable \(0/1\) d’une seule épreuve : il additionne dix variables de ce type.

3. Non. Dans une expérience arrêtée à la première réussite, le nombre d’essais n’est pas fixé d’avance à dix. Si tu as seulement repéré les mots « succès » et « échec », reprends les quatre conditions du schéma de Bernoulli ci-dessous.

Correction expliquée 6.18 — Correction de l’essai guidé

Le succès est « la pièce est défectueuse ». Pour \(i\) de \(1\) à \(30\), \(I_i\) vaut \(1\) si cette pièce est défectueuse et \(0\) sinon. Ainsi \(X=I_1+\cdots+I_{30}\).

Le nombre de pièces est fixé ; chaque contrôle a deux catégories ; les résultats sont indépendants dans le modèle ; le paramètre \(p=0{,}2\) est commun. Donc \(X\) suit \(\mathcal{B}(30;0{,}2)\). \[\operatorname{E}(X)=30\times0{,}2=6,\] \[\operatorname{V}(X)=30\times0{,}2\times(1-0{,}2) =6\times0{,}8=4{,}8,\] \[\sigma(X)=\sqrt{4{,}8}\approx2{,}19.\] L’espérance \(6\) décrit une moyenne théorique sur des lots fabriqués selon ce modèle. Pour le lot qui sera effectivement contrôlé, \(X\) reste aléatoire. Dire « il y aura exactement six pièces défectueuses » remplacerait une moyenne par une certitude, sans justification.

Correction expliquée 6.20 — Correction complète

Chaque question est soit juste soit fausse, donc \(X+F=25\) et \(F=25-X\). Le nombre \(X\) suit \(\mathcal{B}(25;0{,}8)\), d’où \[\operatorname{E}(X)=25\times0{,}8=20, \qquad \operatorname{V}(X)=25\times0{,}8\times0{,}2=20\times0{,}2=4.\] Les transformations donnent \[\operatorname{E}(F)=25-\operatorname{E}(X)=25-20=5, \qquad \operatorname{V}(F)=(-1)^2\operatorname{V}(X)=1\times4=4.\] Pour le score, \[\operatorname{E}(G)=2\operatorname{E}(X)-30=2\times20-30=10,\] \[\operatorname{V}(G)=2^2\operatorname{V}(X)=4\times4=16, \qquad \sigma(G)=\sqrt{16}=4.\] Le nombre de réponses fausses est le reflet du nombre de réponses justes autour d’une constante : ses écarts à sa moyenne ont les signes opposés, mais les mêmes carrés. Les deux compteurs ont donc la même variance. Ils ne sont pas indépendants : connaître l’un détermine l’autre. Aucune indépendance entre \(F\) et \(X\) n’était nécessaire pour utiliser la transformation affine.

Correction expliquée 6.22 — Réponse possible et critères

Pour l’épreuve \(i\), je définis \(I_i=1\) en cas de succès et \(I_i=0\) sinon. Son espérance vaut \(0(1-p)+1p=p\). Le compteur est \(X=I_1+\cdots+I_n\), car chaque succès apporte exactement un.

Par linéarité, \(\operatorname{E}(X)=p+\cdots+p=np\). Pour passer à la variance, je dois disposer de l’indépendance des épreuves, donc des indicatrices de ce modèle. Je peux alors additionner leurs variances, chacune égale à \(p(1-p)\), et obtenir \(np(1-p)\).

Critères. Définir les indicatrices ; expliquer l’égalité des variables ; calculer l’espérance d’une indicatrice ; distinguer le rôle de la probabilité commune et celui de l’indépendance. Une répétition de la formule à démontrer n’est pas une démonstration.

Correction expliquée 6.24 — Garder les outils même quand un modèle ne convient pas

Le paramètre n’est pas le même pour les trois essais : une condition du schéma de Bernoulli manque. Remplacer les trois probabilités par leur moyenne ne conserve pas automatiquement la loi.

Les indicatrices \(I_1,I_2,I_3\) ont pour espérances leurs paramètres respectifs. Comme \(N=I_1+I_2+I_3\), \[\operatorname{E}(N)=0{,}2+0{,}4+0{,}6=1{,}2.\] Les essais sont indépendants, donc \[\begin{aligned} \operatorname{V}(N) &=0{,}2(1-0{,}2)+0{,}4(1-0{,}4)+0{,}6(1-0{,}6)\\ &=0{,}2\times0{,}8+0{,}4\times0{,}6+0{,}6\times0{,}4\\ &=0{,}16+0{,}24+0{,}24=0{,}64. \end{aligned}\] Une variable suivant \(\mathcal{B}(3;0{,}4)\) aurait la même espérance \(3\times0{,}4=1{,}2\), mais la variance \(3\times0{,}4\times0{,}6=0{,}72\). Les variances différentes prouvent que les deux lois ne sont pas les mêmes. Les indicatrices restent utiles même quand le nom « loi binomiale » ne convient pas.

Correction expliquée 6.26 — Rappel, exemple plus simple, nouvel essai et retour

Rappel. Avoir la même loi signifie avoir les mêmes valeurs avec les mêmes probabilités. Cela n’impose pas la même valeur à la même réalisation.

Exemple plus simple. Pour deux essais indépendants de probabilité \(1/2\), les couples d’indicatrices sont \((0;0)\), \((0;1)\), \((1;0)\) et \((1;1)\), chacun de probabilité \(1/4\). Le compteur \(I_1+I_2\) vaut parfois \(1\) ; \(2I_1\) ne peut valoir que \(0\) ou \(2\). Ce ne sont donc pas les mêmes variables. Leurs variances sont respectivement \(1/4+1/4=1/2\) et \(2^2\times1/4=1\).

Nouvel essai. On compte les succès de trois essais indépendants de probabilité \(1/3\). Calcule la variance du compteur \(N\), puis celle de \(3I_1\).

Correction du nouvel essai. Chaque indicatrice a pour variance \[\frac13\left(1-\frac13\right)=\frac13\times\frac23=\frac29.\] Donc \(\operatorname{V}(N)=3\times2/9=2/3\), alors que \(\operatorname{V}(3I_1)=3^2\times2/9=2\). Le facteur \(3\) de la première formule vient de trois variances additionnées ; le facteur \(3^2\) de la seconde vient d’une seule variable multipliée par \(3\).

Retour à l’erreur. L’égalité correcte est \(X=I_1+\cdots+I_n\), et non \(X=nI_1\). On peut remplacer les espérances des \(I_i\) par une même valeur \(p\) et leurs variances par une même valeur \(p(1-p)\) ; on ne peut pas remplacer toutes les variables par une seule réalisation commune.

Correction expliquée 6.28 — Correction de la reprise différée

Les huit essais forment un schéma de Bernoulli : nombre fixé, deux catégories, indépendance et paramètre commun. Donc \(X\) suit \(\mathcal{B}(8;1/4)\). \[\operatorname{E}(X)=8\times\frac14=2,\] \[\operatorname{V}(X)=8\times\frac14\times\frac34 =2\times\frac34=\frac32, \qquad \sigma(X)=\sqrt{\frac32}.\] Pour la variable transformée, \[\operatorname{E}(H)=3\times2+1=7, \qquad \operatorname{V}(H)=3^2\times\frac32=\frac{27}{2}.\] Ainsi \(\sigma(H)=\sqrt{27/2}=3\sqrt{3/2}\approx3{,}67\).

L’événement \(X=0\) exige huit échecs indépendants : \[\mathbb{P}(X=0)=\left(\frac34\right)^8=\frac{6561}{65536}\approx0{,}1001.\] C’est la probabilité d’un événement précis, donc un nombre entre \(0\) et \(1\). L’espérance \(2\) est une moyenne de nombres de succès ; la variance \(3/2\) est une moyenne de carrés d’écarts. Ces trois quantités ne répondent pas à la même question.

Correction expliquée 7.3 — Correction et orientation

1. Non. L’espérance de la somme est \(6+6+6+6=24\). La moyenne est cette somme divisée par \(4\) ; son espérance vaut donc \(24/4=6\).

2. Non. Quatre copies du même nombre ne fournissent pas quatre informations aléatoires indépendantes. Si le résultat initial est \(x\), la moyenne des quatre copies est \((x+x+x+x)/4=x\) : elle n’est pas plus précise que le résultat initial.

3. Non. L’espérance est une moyenne théorique. La moyenne d’un échantillon particulier est une réalisation aléatoire et peut être différente de \(6\).

Si les mots « même loi », « quatre copies » et « quatre mesures » te semblent équivalents, commence par la définition qui suit et son exemple. Si le facteur \(4\) de la première réponse t’a gêné, garde séparées les lignes « somme » et « moyenne » dans tes calculs.

Correction expliquée 7.23 — Correction de l’essai guidé

La moyenne individuelle est \[\operatorname{E}(X)=1\times\frac14+3\times\frac12+5\times\frac14 =\frac{1+6+5}{4}=3.\] Les écarts valent \(-2\), \(0\) et \(2\) : \[\operatorname{V}(X)=4\times\frac14+0\times\frac12+4\times\frac14=1+0+1=2.\] L’écart-type individuel est donc \(\sqrt2\). Pour la somme, \[\operatorname{E}(S_{16})=16\times3=48, \qquad\operatorname{V}(S_{16})=16\times2=32, \qquad\sigma(S_{16})=\sqrt{32}=4\sqrt2.\] Pour la moyenne, l’espérance vaut \(48/16=3\). La variance se calcule avec le carré du coefficient : \[\operatorname{V}(M_{16})=\left(\frac1{16}\right)^2\times32 =\frac{32}{256}=\frac18.\] On retrouve \(\operatorname{V}(X)/16=2/16=1/8\). L’écart-type vaut \(\sqrt{1/8}=\sqrt2/4\). Le contrôle demandé donne aussi \[\frac{\sigma(S_{16})}{16}=\frac{4\sqrt2}{16}=\frac{\sqrt2}{4}.\] Les deux calculs concordent, et l’écart-type de la moyenne est quatre fois plus petit que celui d’une variable individuelle.

Correction expliquée 7.25 — Correction et contrôle des unités

La variance individuelle vaut \(36\) g\(^2\). Pour la somme \(S_{36}\), \[\operatorname{E}(S_{36})=36\times150=5\,400\ \text{g},\] \[\operatorname{V}(S_{36})=36\times36=1\,296\ \text{g}^2, \qquad\sigma(S_{36})=\sqrt{1\,296}=36\ \text{g}.\] On peut contrôler directement : \(\sqrt{36}\times6=6\times6=36\) g.

Pour la moyenne, \[\operatorname{E}(M_{36})=150\ \text{g}, \qquad\operatorname{V}(M_{36})=\frac{36}{36}=1\ \text{g}^2, \qquad\sigma(M_{36})=1\ \text{g}.\] La masse emballée est \(T=S_{36}+200\). On ne divise pas l’emballage par \(36\), car on demande ici une masse totale. On obtient \[\operatorname{E}(T)=5\,400+200=5\,600\ \text{g}, \qquad\sigma(T)=36\ \text{g}.\] La masse fixe ajoute \(200\) g à chaque réalisation et à l’espérance ; elle ne change pas la dispersion.

Correction expliquée 7.27 — Réponse possible et critères de contenu

La variance de la somme indépendante est \(\operatorname{V}(S_n)=nv\) : cela vient de l’addition de \(n\) variances égales à \(v\).

Mais le passage de \(S_n\) à \(M_n=S_n/n\) est une transformation d’une seule variable par le coefficient \(1/n\). Sa variance est donc multipliée par \((1/n)^2\), pas par \(1/n\) : \[\operatorname{V}(M_n)=\frac1{n^2}\times nv=\frac{nv}{n\times n}=\frac vn.\] Les deux facteurs \(n\) ne jouent pas le même rôle : l’un vient du nombre de composantes additionnées, l’autre du carré du diviseur de la moyenne.

Critères. Ta réponse doit écrire \(M_n=(1/n)S_n\), faire apparaître \((1/n)^2\), rappeler où l’indépendance est utilisée et justifier la simplification avec \(n\geq1\). Une phrase « c’est la formule » ne répare pas la confusion.

Correction expliquée 7.29 — L’hypothèse qui permet réellement de réduire la dispersion

Les variables ont la même loi puisqu’elles sont même égales. Mais elles ne sont pas indépendantes : une fois le premier résultat connu, les quinze autres le sont aussi. La variance \(2>0\) exclut le cas d’une variable constante.

La somme est \(S=16X\) et la moyenne \(M=(16X)/16=X\). Par transformation affine, \[\operatorname{V}(S)=16^2\operatorname{V}(X)=256\times2=512, \qquad\operatorname{V}(M)=\operatorname{V}(X)=2.\] Pour un véritable échantillon indépendant de même loi et de taille \(16\), on aurait \[\operatorname{V}(S_{16})=16\times2=32, \qquad\operatorname{V}(M_{16})=\frac2{16}=\frac18.\] Dans les deux modèles, les espérances seraient \(48\) pour la somme et \(3\) pour la moyenne. Ce sont les variances qui révèlent ici la différence de dépendance. Recopier une donnée ne crée pas les informations indépendantes nécessaires à la réduction de dispersion.

Correction expliquée 7.31 — Rappel, exemple plus simple, nouvel essai, retour

Rappel. Diviser une variable par un nombre \(n\) multiplie chacun de ses écarts à la moyenne par \(1/n\). Les carrés des écarts sont donc multipliés par \(1/n^2\).

Exemple plus simple. Quatre variables indépendantes de variance \(1\) ont une somme de variance \(4\). Leur moyenne est le quart de cette somme : \[\operatorname{V}(M_4)=\left(\frac14\right)^2\times4=\frac4{16}=\frac14,\] et non \(4/4=1\).

Nouvel essai à effectuer. Neuf variables indépendantes de même loi ont chacune pour variance \(4\). Calcule la variance de leur moyenne et son écart-type.

Correction du nouvel essai. La variance de la somme vaut \(9\times4=36\). La moyenne est le neuvième de cette somme, donc \[\operatorname{V}(M_9)=\frac{36}{9^2}=\frac{36}{81}=\frac49, \qquad\sigma(M_9)=\sqrt{\frac49}=\frac23.\] On contrôle avec la formule directe \(\operatorname{V}(X)/9=4/9\).

Retour à la première erreur. Il faut diviser \(225\) par \(25^2=625\) : \[\operatorname{V}(M_{25})=\frac{225}{625}=\frac9{25}=0{,}36, \qquad\sigma(M_{25})=\sqrt{0{,}36}=0{,}6.\] Le calcul incorrect avait oublié le carré de \(1/25\) ; il annulait à tort tout le bénéfice de la moyenne.

Correction expliquée 7.33 — Correction de la reprise différée

Pour la somme de taille \(25\), \[\operatorname{E}(S_{25})=25\times8=200, \qquad\sigma(S_{25})=\sqrt{25}\times3=5\times3=15.\] Pour la moyenne, \[\operatorname{E}(M_{25})=8, \qquad\sigma(M_{25})=\frac3{\sqrt{25}}=\frac35=0{,}6.\] On cherche maintenant \(3/\sqrt n<0{,}3\). Multiplier par \(\sqrt n>0\), puis diviser par \(0{,}3>0\), donne \[3<0{,}3\sqrt n, \qquad 10<\sqrt n.\] Les deux côtés étant positifs, on élève au carré : \(100<n\). Le minimum entier est donc \(101\).

Le réflexe « diviser l’écart-type par deux, donc multiplier la taille par quatre » donne ici la taille \(4\times25=100\), pour laquelle l’écart-type vaut exactement \(0{,}3\). Elle ne convient pas à une demande strictement inférieure ; il faut une mesure de plus.

Enfin, l’objectif portait sur l’écart-type, pas sur toutes les réalisations possibles. La taille \(101\) ne garantit pas l’appartenance de chaque moyenne à l’intervalle proposé. Aucun pourcentage de couverture n’a été démontré par ce seul calcul.

Correction expliquée 8.3 — Deux nombres, deux rôles

La taille d’un groupe est \(n=12\). Le nombre de groupes est \(N=200\) : on obtient donc \(200\) moyennes et \(200\times12=2\,400\) observations. Si ces rôles se confondent, écris sur papier un groupe de trois cases, puis deux lignes de ce groupe. Les cases d’une ligne correspondent à \(n\), les lignes à \(N\). On n’obtient pas une seule moyenne de \(2\,400\) observations : on conserve ici les \(200\) moyennes séparément pour étudier leur dispersion.

Correction expliquée 8.11 — Frontières et mises à jour

a. \(0{,}24<0{,}25\) donne \(1\). Pour \(0{,}25\), la première condition est fausse, mais \(0{,}25<0{,}75\) est vraie : on obtient \(3\). Pour \(0{,}75\), les deux conditions strictes sont fausses : on obtient \(7\). Les totaux sont \(0+1=1\), \(1+3=4\), puis \(4+7=11\). La moyenne est \(11/3\approx3{,}667\). b. Les quatre observations sont \(7\), \(1\), \(3\), \(1\). Les totaux successifs sont \(7\), \(8\), \(11\), \(12\). La moyenne est \(12/4=3\). Pour contrôler, \(7+1+3+1=12\) et toutes les valeurs appartiennent à \(\{1,3,7\}\). Une valeur simulée extérieure à cet ensemble signalerait une erreur de programme ou de lecture.

Correction expliquée 8.13 — Même loi ne suffit pas

Chaque position a bien la loi de \(X\), mais toutes les positions sont égales : connaître la première révèle toutes les autres. Pour \(n\geq2\), ce modèle ne reproduit donc pas des répétitions indépendantes. Sa moyenne vaut \((x+\cdots+x)/n=nx/n=x\), puisque \(n\neq0\). La variable moyenne obtenue est \(X\), de variance \(19/4\), au lieu de \(19/(4n)\). Pour \(n=1\), il n’y a qu’une observation : les deux procédés coïncident et la question de la dépendance entre plusieurs positions ne se pose pas. Critères : distinguer la loi d’une seule observation et la dépendance entre les positions ; identifier le tirage unique ; calculer la moyenne et expliquer pourquoi sa dispersion ne diminue pas avec \(n\).

Correction expliquée 8.17 — Une autre loi, les mêmes exigences

Indice : deux intervalles de longueurs \(0{,}6\) et \(0{,}4\) suffisent.

def observation_bis():
    u = random()
    if u < 0.6:
        return 0
    return 5

On a \(\mu=0\times0{,}6+5\times0{,}4=2\) et \(\operatorname{E}(X^2)=0^2\times0{,}6+5^2\times0{,}4=25\times0{,}4=10\). Donc \(\operatorname{V}(X)=10-2^2=10-4=6\). Pour une moyenne de \(25\) observations indépendantes de même loi, l’espérance vaut \(2\), la variance \(6/25\) et l’écart type \(\sqrt6/5\approx0{,}490\). Pour utiliser cette nouvelle loi dans le programme, remplace dans le corps de la fonction echantillon la ligne x = observation() par x = observation_bis(). Conserve les autres lignes. La fonction moyennes appellera alors cette boucle modifiée ; moyennes(25,1000) produira les moyennes de \(1\,000\) groupes de taille \(25\) pour la loi \(0/5\). Définir seulement observation_bis sans changer cet appel laisserait l’ancienne loi \(1/3/7\) active. Des résultats proches des valeurs théoriques rendent le programme plausible, mais ne prouvent ni une identité mathématique générale ni la qualité parfaite du générateur. Les formules sont justifiées par les théorèmes sur l’échantillon ; la simulation en donne des illustrations.

Correction expliquée 9.9 — Deux méthodes qui se contrôlent

On a \(\operatorname{E}(X)=3/2\), \(\operatorname{E}(X^2)=0^2\times(1/4)+2^2\times(3/4)=3\) ; donc \(\operatorname{V}(X)=3-9/4=12/4-9/4=3/4\). Pour \(Y\), \(\operatorname{E}(Y)=0\) et \(Y^2=1\) dans les deux cas ; donc \(\operatorname{V}(Y)=1-0^2=1\). L’indépendance autorise \(\operatorname{V}(X+Y)=3/4+1=7/4\). La loi de \(S=X+Y\) est \[\mathbb{P}(S=-1)=\frac18,\quad \mathbb{P}(S=1)=\frac18+\frac38=\frac12, \quad\mathbb{P}(S=3)=\frac38.\] Alors \(\operatorname{E}(S)=-1/8+1/2+9/8=(-1+4+9)/8=12/8=3/2\) et \(\operatorname{E}(S^2)=1/8+1/2+27/8=(1+4+27)/8=32/8=4\). On retrouve \(\operatorname{V}(S)=4-(3/2)^2=16/4-9/4=7/4\). Cette deuxième voie vérifie le calcul sur ce modèle fini.

Correction expliquée 9.16 — Une condition suffisante n’est pas une équivalence

Le lemme prouve « indépendance \(\Rightarrow\) égalité » , pas le sens inverse. Le contre-exemple donne l’égalité sans indépendance : il suffit à réfuter la prétendue réciproque. Ici \(\operatorname{E}(X^2)=2/3\), donc \(\operatorname{V}(X)=2/3\). La variable \(Y\) vaut \(0\) ou \(1\), avec probabilités \(1/3\) et \(2/3\) ; donc \(Y^2=Y\), puis \(\operatorname{V}(Y)=2/3-(2/3)^2=6/9-4/9=2/9\). Les valeurs de \(X+Y\) sont \(0,0,2\), donc \(\mathbb{P}(X+Y=0)=2/3\) et \(\mathbb{P}(X+Y=2)=1/3\). Son espérance vaut \(2/3\), son second moment \(4/3\), et sa variance \(4/3-4/9=12/9-4/9=8/9\). On retrouve \(2/3+2/9=6/9+2/9=8/9\). Critères : citer le sens prouvé du lemme, fournir un cas respectant l’égalité mais pas l’indépendance, et distinguer la vérification des moments de celle des probabilités conjointes.