Exemple 1.4 — Substituer un rang ou utiliser la valeur précédente

Pour \(a_n=\dfrac{2n+1}{n+2}\), \(n\ge0\), le dénominateur est positif. On remplace chaque occurrence du rang : \[a_3=\frac{2\times3+1}{3+2}=\frac75, \qquad a_{n+1}=\frac{2(n+1)+1}{(n+1)+2}=\frac{2n+3}{n+3}.\] Pour la récurrence \(u_0=-1\), \(u_{n+1}=\frac12u_n+1\), on utilise au contraire le terme déjà obtenu : \[u_1=\frac12(-1)+1=\frac12, \qquad u_2=\frac12\times\frac12+1=\frac54.\] Remplacer \(u_n\) par \(n\) changerait la règle de calcul.

Exemple 1.7 — Retrouver la raison à partir de deux termes

Une suite arithmétique vérifie \(u_3=11\) et \(u_8=-4\). Il y a cinq passages entre ces rangs, donc \[-4=11+5r,\qquad r=-3.\] Pour \(n\ge3\), \(u_n=11-3(n-3)=20-3n\). La formule redonne bien \(u_3=11\) et \(u_8=-4\). Plus généralement, pour deux rangs \(j>i\), \(r=(u_j-u_i)/(j-i)\).

Exemple 1.10 — Rang initial et signe de la raison

Pour \(a_1=12\), \(a_{n+1}=\frac12a_n\), \[a_1=12,\quad a_2=6,\quad a_3=3, \qquad a_n=12\left(\frac12\right)^{n-1}.\] Pour \(b_0=3\), \(b_{n+1}=-2b_n\), \[b_0=3,\quad b_1=-6,\quad b_2=12, \qquad b_n=3(-2)^n.\] Une raison négative fait alterner les signes lorsque le premier terme est non nul ; conserver les parenthèses autour de cette raison.

Exemple 1.15 — Une somme qui commence au rang 2

Une suite arithmétique vérifie \(u_2=5\) et a pour raison \(3\). Pour calculer \(S=u_2+\cdots+u_8\), on repère le premier terme, le dernier terme et le nombre de termes : \[u_8=5+(8-2)\times3=23,\qquad N=8-2+1=7.\] Donc \(\displaystyle S=7\frac{5+23}{2}=98\). Le dernier terme \(23\) et le cumul \(98\) répondent à deux questions différentes.

Exemple 1.17 — Le nombre de termes fixe l’exposant de la somme

Pour \(v_n=12(1/2)^{n-1}\), \(n\ge1\), on additionne cinq termes : \[v_1+\cdots+v_5 =12\frac{1-(1/2)^5}{1-1/2} =24\frac{31}{32}=\frac{93}{4}.\] Le dernier terme contient \((1/2)^4\), mais la formule de la somme contient \((1/2)^5\). Pour \(q=1\), cette fraction serait interdite : on additionnerait directement des termes constants.

Exemple 2.5 — Passer d’une relation à une formule

On définit \(u_0=2\) et \(u_{n+1}=3u_n-2\) pour \(n\ge0\). Les premiers termes sont \(2,4,10,28\). Leurs écarts à \(1\) sont \(1,3,9,27\), ce qui suggère \[u_n=1+3^n.\] Pour démontrer cette formule, la relation \(u_{k+1}=3u_k-2\) fournit le lien entre l’hypothèse au rang \(k\) et la cible au rang \(k+1\).

Exemple 2.6 — Prouver ensemble l’existence et des bornes

On veut construire la suite \[u_0=1,\qquad u_{n+1}=\sqrt{u_n+6},\] et prouver \(1\le u_n\le3\) à tous les rangs. L’hypothèse isolée \(u_k\le3\) serait trop faible : elle n’empêcherait pas un nombre négatif sous la racine. On choisit la propriété complète : \[P(n):\quad\text{« \(u_n\) existe et \(1\le u_n\le3\) ».}\]

Exemple 3.5 — Une suite qui change de sens au début

Pour \(u_n=n^2-4n\), \(n\ge0\), \[\begin{align*} u_{n+1}-u_n &=[(n+1)^2-4(n+1)]-(n^2-4n)\\ &=2n-3. \end{align*}\] Cette différence est négative pour les rangs entiers \(n=0,1\), puis positive pour \(n\ge2\). La suite baisse de \(u_0\) à \(u_2\), puis est strictement croissante à partir du rang \(2\). Elle n’est donc pas monotone sur tout son domaine.

On trouve \(u_0=0\), \(u_1=-3\), \(u_2=-4\), \(u_3=-3\). Le signe calculé en \(n=1\) concerne le passage de \(u_1\) à \(u_2\).

Exemple 3.6 — Une différence de fractions

Pour \(u_n=(3n+2)/(n+1)\), \(n\ge0\), les dénominateurs sont positifs. \[\begin{align*} u_{n+1}-u_n &=\frac{3n+5}{n+2}-\frac{3n+2}{n+1}\\ &=\frac{(3n+5)(n+1)-(3n+2)(n+2)}{(n+1)(n+2)}\\ &=\frac1{(n+1)(n+2)}>0. \end{align*}\] La suite est strictement croissante. La différence est adaptée ici : elle ramène la comparaison de deux fractions au signe d’une seule.

Exemple 3.8 — Simplifier des puissances

Pour \(u_n=3(1/4)^n\), tous les termes sont strictement positifs et \[\frac{u_{n+1}}{u_n} =\frac{3(1/4)^{n+1}}{3(1/4)^n}=\frac14<1.\] La suite est strictement décroissante.

Exemple 3.12 — Réutiliser une étude de fonction

Pour \(u_n=\sqrt{n+2}\), la croissance stricte de la racine carrée donne directement \(\sqrt{n+2}<\sqrt{n+3}\).

Pour \(u_n=(3n+2)/(n+1)\), on peut poser \(f(x)=(3x+2)/(x+1)\) sur \([0;+\infty[\). Elle est dérivable, et \[f'(x)=\frac{3(x+1)-(3x+2)}{(x+1)^2} =\frac1{(x+1)^2}>0.\] Le critère de dérivation, connu du cours de fonctions, montre que \(f\) est strictement croissante ; la suite \(u_n=f(n)\) l’est donc aussi. On choisit cette méthode lorsqu’une étude de fonction est déjà disponible ou qu’elle simplifie la comparaison.

Exemple 3.16 — Réécrire pour encadrer

Pour \(u_n=(3n+2)/(n+1)\), on écrit \(u_n=3-1/(n+1)\). Puisque \(n\ge0\), \[0<\frac1{n+1}\le1 \quad\Longrightarrow\quad -1\le-\frac1{n+1}<0 \quad\Longrightarrow\quad \boxed{2\le u_n<3.}\] La suite est minorée par \(2\), majorée par \(3\) et bornée. Les nombres \(1\) et \(4\) seraient aussi des bornes, moins précises.

Exemple 4.2 — Une limite et un premier seuil

Pour \(n\ge0\), posons \(u_n=2+\dfrac1{n+1}\). Le dénominateur est positif et \[|u_n-2|=\frac1{n+1}.\] Pour une précision quelconque \(\varepsilon>0\), choisissons un entier \(N\ge0\) tel que \(N+1>1/\varepsilon\). Pour tout \(n\ge N\), \[0<|u_n-2|=\frac1{n+1}\le\frac1{N+1}<\varepsilon.\] Ainsi \(u_n\to2\).

Pour la bande \(]1{,}9;2{,}1[\), la condition est \[\frac1{n+1}<\frac1{10} \quad\Longleftrightarrow\quad n>9.\] Le premier seuil est donc \(N=10\). Le terme \(u_9=2{,}1\) est sur la frontière exclue ; tous les termes suivants sont à l’intérieur. Un seuil plus grand convient aussi, mais ce n’est plus le premier.

Exemple 4.4 — Dépasser définitivement chaque niveau

Pour démontrer \(3n-7\to+\infty\), fixons un réel \(A\). Comme \(3>0\), \[3n-7>A\quad\Longleftrightarrow\quad n>\frac{A+7}{3}.\] Tout entier \(N\ge0\) strictement supérieur à \((A+7)/3\) garantit donc \(3n-7>A\) pour chaque \(n\ge N\). Pour le seul niveau \(50\), le premier seuil serait \(20\) ; la preuve de limite traite, elle, chaque niveau réel.

Exemple 4.10 — Une borne après trois baisses

Trois baisses successives de \(10\,\%\) laissent la proportion \((0{,}9)^3\). Bernoulli, avec \(x=-0{,}1\), donne \((0{,}9)^3\ge0{,}7\). La valeur exacte est \(0{,}729\) : l’inégalité donne une borne, pas une égalité.

Exemple 4.12 — Une raison très proche de \(1\)

Pour \(q=1{,}001\), Bernoulli donne \((1{,}001)^n\ge1+0{,}001n\). Ainsi \(n\ge99001\) suffit à garantir \((1{,}001)^n>100\). Ce seuil suffisant n’est pas annoncé comme le premier. Même une croissance initialement lente peut conduire à \(+\infty\).

Exemple 5.2 — Nommer la condition du quotient

Pour \(n\ge0\), considérons \[w_n=\frac{3-\frac2{n+1}}{2+\frac1{n+1}}.\] Le dénominateur est supérieur à \(2\), donc le quotient est défini. Comme \(1/(n+1)\to0\), le numérateur tend vers \(3\) et le dénominateur vers \(2\ne0\). Ainsi \(w_n\to3/2\).

Exemple 5.5 — Pourquoi le signe du dénominateur est indispensable

Pour \(n\ge1\), \[\frac1{1/n}=n\to+\infty, \qquad \frac1{-1/n}=-n\to-\infty.\] Les deux dénominateurs tendent pourtant vers \(0\). Si le dénominateur est \((-1)^n/n\), son inverse vaut \((-1)^n n\) : les termes pairs tendent vers \(+\infty\) et les impairs vers \(-\infty\). Ce troisième inverse n’a aucune limite.

Exemple 5.8 — Trois comparaisons de degrés

Même degré. Pour \(n\ge0\), le dénominateur de \(a_n=(2n^2-3n+1)/(n^2+4)\) est positif. Sur \(n\ge1\), la division par \(n^2\ne0\) donne \[a_n=\frac{2-\frac3n+\frac1{n^2}}{1+\frac4{n^2}} \longrightarrow\frac21=2.\] Le nouveau dénominateur tend vers \(1\ne0\). Le terme \(a_0\) existe, même si la réécriture n’est utilisée qu’à partir de \(1\).

Degré plus petit au numérateur. Pour \(n\ge1\), \[\frac{3n-1}{2n^2+5} =\frac{\frac3n-\frac1{n^2}}{2+\frac5{n^2}} \longrightarrow0,\] car le numérateur transformé tend vers \(0\) et le dénominateur vers \(2\ne0\).

Degré plus grand au numérateur. Pour \(n\ge1\), \[\frac{-2n^3+n}{n^2+1} =n\,\frac{-2+\frac1{n^2}}{1+\frac1{n^2}}.\] Le quotient final tend vers \(-2<0\), tandis que \(n\to+\infty\). Le produit tend donc vers \(-\infty\).

Exemple 5.9 — Une différence de racines : utiliser le conjugué

Pour \(n\ge1\), posons \(a_n=\sqrt{n^2+n}-n\). Les deux termes tendent vers \(+\infty\), donc leur différence est indéterminée.

Le premier geste est de multiplier par le conjugué \(\sqrt{n^2+n}+n\), strictement positif. L’identité \((A-B)(A+B)=A^2-B^2\) donne \[\begin{align*} a_n &=\frac{(\sqrt{n^2+n}-n)(\sqrt{n^2+n}+n)}{\sqrt{n^2+n}+n}\\ &=\frac n{\sqrt{n^2+n}+n}\\ &=\frac1{\sqrt{1+\frac1n}+1}. \end{align*}\] La dernière ligne utilise \(n>0\), donc \(\sqrt{n^2}=|n|=n\), puis divise haut et bas par \(n\). Le radicand tend vers \(1\) en restant positif. Le dénominateur tend vers \(2\ne0\), d’où \(a_n\to1/2\).

Exemple 5.11 — Construire la borne dans le bon sens

Pour \(n\ge0\), le quotient \((2n+1)/(n+3)\) est positif, donc \[u_n=n^2+\frac{2n+1}{n+3}\ge n^2.\] Comme \(n^2\to+\infty\), on obtient \(u_n\to+\infty\). Il n’est pas nécessaire de calculer la limite du quotient.

Pour \(v_n=-n^2+(-1)^n\), on utilise cette fois \[v_n\le -n^2+1\longrightarrow-\infty.\] Ainsi \(v_n\to-\infty\), même si le terme oscillant n’a pas de limite.

Exemple 5.13 — Faire diminuer l’amplitude d’une oscillation

Pour \(n\ge0\), considérons \(u_n=3+(-1)^n/(n+1)\). La suite \((-1)^n\) ne converge pas ; une règle de quotient exigeant sa limite ne s’applique donc pas.

Partons de \(-1\le(-1)^n\le1\). En divisant par \(n+1>0\), puis en ajoutant \(3\), on obtient \[3-\frac1{n+1}\le u_n\le3+\frac1{n+1}.\] Les deux bornes tendent vers \(3\). Par les gendarmes, \(u_n\to3\). Les termes continuent d’alterner autour de \(3\), mais leur distance à \(3\) diminue vers \(0\).

Un simple encadrement entre deux constantes distinctes ne suffirait pas : \(-1\le(-1)^n\le1\) ne force aucune convergence.

Exemple 5.16 — Un produit qui donne la forme indéterminée \(0\times\infty\)

Pour \(n\ge1\), \[n^3\exp(-n)=\frac{n^3}{\mathrm{e}^n}\longrightarrow0,\] car \(\mathrm{e}>1\) et \(p=3\) est fixé. Les limites séparées, \(n^3\to+\infty\) et \(\exp(-n)\to0\), ne suffisaient pas : la réécriture fait apparaître la croissance comparée.

Exemple 5.17 — Normaliser par le terme géométrique

Pour \(n\ge1\), la division par \(2^n>0\) donne \[\frac{2^n+n^2}{2^n}=1+\frac{n^2}{2^n}\longrightarrow1,\] puisque \(n^2/2^n\to0\) avec \(p=2\) et \(q=2>1\). Le terme \(n^2\) n’a pas été supprimé : sa contribution après normalisation a une limite nulle.

Exemple 6.2 — Une borne n’est pas une destination

La suite \(a_n=1-1/(n+1)\) est croissante et vérifie \(0\le a_n<1\). Elle est majorée par \(1\), mais aussi par \(10\). Le théorème assure une convergence ; la formule donne ensuite \(a_n\to1\), et non \(10\).

La bonne borne doit être du bon côté : \(n\) est croissante et minorée, mais ne converge pas vers un réel ; \(-n\) est décroissante et majorée, mais ne converge pas non plus vers un réel.

Exemple 6.4 — Une étude complète sans formule du terme général

On définit \(u_0=0\) et, pour tout entier \(n\ge0\), \[u_{n+1}=\frac{u_n+3}{2}.\] La règle est définie pour chaque réel. Pour trouver un majorant stable, on remarque que \((M+3)/2\le M\) équivaut à \(M\ge3\). Cela suggère de prouver \(0\le u_n<3\).

1. Encadrement par récurrence. Au rang \(0\), \(0\le u_0=0<3\). Fixons \(k\ge0\) et supposons \(0\le u_k<3\). Ajouter \(3\), puis diviser par \(2>0\), donne \[\frac32\le\frac{u_k+3}{2}<3,\] donc \(0\le u_{k+1}<3\). Par récurrence, l’encadrement vaut à tous les rangs.

2. Variations. Pour tout \(n\ge0\), \[u_{n+1}-u_n=\frac{u_n+3-2u_n}{2}=\frac{3-u_n}{2}>0.\] La suite est strictement croissante.

3. Existence de la limite. La suite est croissante et majorée par \(3\). Elle converge donc vers un réel \(L\). Le passage à la limite dans les bornes donne \(0\le L\le3\).

4. Identification. Le décalage donne \(u_{n+1}\to L\). Les opérations donnent \((u_n+3)/2\to(L+3)/2\). L’égalité des termes et l’unicité de la limite imposent \[L=\frac{L+3}{2} \quad\Longleftrightarrow\quad 2L=L+3 \quad\Longleftrightarrow\quad L=3.\] Ainsi \(u_n\to3\), alors que \(u_n<3\) à chaque rang.

Exemple 6.8 — Prouver la non-majoration par contradiction

On définit \(z_0=1\), puis \(z_{n+1}=z_n+1/(z_n+1)\) pour tout \(n\ge0\).

Une récurrence assure que tous les termes existent et vérifient \(z_n\ge1\) : c’est vrai au départ ; si \(z_k\ge1\), alors \(z_k+1\ge2\), et \(z_{k+1}>z_k\ge1\). De plus, \[z_{n+1}-z_n=\frac1{z_n+1}>0,\] donc la suite est strictement croissante.

Supposons qu’elle soit majorée. Le théorème de convergence monotone assurerait une limite réelle \(L\ge1\). Comme \(L+1\ne0\), le passage à la limite dans la relation serait autorisé et donnerait \[L=L+\frac1{L+1},\qquad\text{donc}\qquad 0=\frac1{L+1},\] ce qui est impossible. La suite n’est donc pas majorée. Croissante et non majorée, elle tend vers \(+\infty\).

Exemple 7.7 — Une étude complète avec une racine

On considère \(u_0=1\) et \(u_{n+1}=\sqrt{2+u_n}\).

1. Existence et encadrement. Si \(x\in[1;2]\), alors \(3\leq2+x\leq4\), donc \(\sqrt3\leq\sqrt{2+x}\leq2\). Ainsi \([1;2]\) est stable et contient \(u_0\). Le théorème d’invariance donne \(1\leq u_n\leq2\) pour tout \(n\geq0\). En fait \(u_n<2\) : c’est vrai au départ, et \(u_k<2\) entraîne \(\sqrt{2+u_k}<\sqrt4=2\).

2. Variations. La fonction \(f(x)=\sqrt{2+x}\) est strictement croissante sur \([1;2]\). De plus \(u_1=\sqrt3>1=u_0\). La proposition de transmission prouve que la suite est strictement croissante. On pouvait aussi calculer, en utilisant le conjugué, \[u_{n+1}-u_n =\frac{2+u_n-u_n^2}{\sqrt{2+u_n}+u_n} =\frac{(2-u_n)(u_n+1)}{\sqrt{2+u_n}+u_n}>0,\] car \(1\leq u_n<2\). Une seule de ces deux preuves suffit.

3. Existence de la limite. La suite est croissante et majorée par \(2\) : elle converge vers un réel \(L\). Le passage des inégalités à la limite donne \(1\leq L\leq2\).

4. Identification. La fonction \(f\) est définie et continue en \(L\in[1;2]\). Donc \(L=\sqrt{2+L}\). Les deux membres sont non négatifs ; élever au carré donne \[L^2=2+L \quad\Longleftrightarrow\quad (L-2)(L+1)=0.\] Les valeurs issues de l’équation au carré sont \(2\) et \(-1\). Seule \(2\) appartient à \([1;2]\). Ainsi \(\boxed{u_n\longrightarrow2}\). Les termes restent strictement inférieurs à leur limite.

Exemple 7.12 — Converger sans être monotone

Soit \(u_0=5\) et \(u_{n+1}=-\tfrac12u_n+3\). Le centre vérifie \(L=-\tfrac12L+3\), donc \(L=2\). On pose \(v_n=u_n-2\) et l’on calcule \[v_{n+1}=-\frac12u_n+1=-\frac12(u_n-2)=-\frac12v_n.\] Ainsi \(v_0=3\) et \[u_n=2+3\left(-\frac12\right)^n\longrightarrow2.\] Pourtant \(u_0=5\), \(u_1=\tfrac12\) et \(u_2=\tfrac{11}{4}\) : il y a d’abord une baisse, puis une hausse. La suite n’est pas monotone. L’expression \(u_n-2=3(-1/2)^n\) prouve que les écarts alternent de signe, tandis que la distance \(|u_n-2|=3/2^n\) diminue vers zéro.

Exemple 8.2 — Un stock avec perte puis apport

Dans un modèle, un stock initial vaut \(100\) kg. Chaque mois, il perd \(20\,\%\) de sa masse, puis reçoit \(30\) kg. On note \(s_n\) sa masse, en kilogrammes, après \(n\) mois. Ainsi \[s_0=100,\qquad s_{n+1}=\frac45s_n+30.\] Le facteur \(4/5\) représente les \(80\,\%\) conservés. Au premier mois, \(s_1=80+30=110\). Un apport avant la perte donnerait plutôt \(\tfrac45(s_n+30)\), soit \(104\) kg au premier mois : l’ordre change le modèle.

Formule. Le point fixe vérifie \(L=\tfrac45L+30\), donc \(L=150\). On soustrait \(150\) à la relation : \[s_{n+1}-150=\frac45s_n-120=\frac45(s_n-150).\] La suite \((s_n-150)\) est géométrique de raison \(4/5\) et son premier terme vaut \(-50\). Par conséquent, \[\boxed{s_n=150-50\left(\frac45\right)^n.}\]

Comportement. Puisque \(0<(4/5)^n\leq1\), \(100\leq s_n<150\). De plus, \[s_{n+1}-s_n =-50\left(\frac45\right)^n\left(\frac45-1\right) =10\left(\frac45\right)^n>0.\] La masse augmente strictement et tend vers \(150\) kg, car \((4/5)^n\to0\). La valeur \(150\) n’est atteinte à aucun rang. Cette conclusion concerne le modèle où la proportion de perte et l’apport restent constants.

Exemple 8.4 — Atteindre au moins 140 kg

Pour le stock précédent, \[\begin{align*} s_n\geq140 &\quad\Longleftrightarrow\quad -50(4/5)^n\geq-10\\ &\quad\Longleftrightarrow\quad (4/5)^n\leq\frac15. \end{align*}\] La division par \(-50\) inverse le sens de l’inégalité. Or \[(4/5)^7=0{,}2097152>\frac15, \qquad (4/5)^8=0{,}16777216<\frac15.\] Ces puissances décroissent strictement. Le premier rang est donc \(N=8\). On contrôle \(s_7=139{,}51424<140\) et \(s_8=141{,}611392>140\). Il faut huit mois pour atteindre le seuil dans ce modèle.

Exemple 8.9 — Deux itérations pour encadrer \(\sqrt2\)

On calcule \(x_0=2\), puis deux étapes de la règle \(x_{n+1}=\tfrac12(x_n+2/x_n)\). Les quotients utilisés sont définis : \[x_1=\frac12\left(2+\frac22\right)=\frac32, \qquad x_2=\frac12\left(\frac32+\frac43\right)=\frac{17}{12}.\] Le programme suivant réalise exactement ces deux étapes et renvoie deux bornes rationnelles.

from fractions import Fraction

def encadrement_racine2():
    x = Fraction(2)
    for k in range(2):
        x = (x + 2 / x) / 2
    return 2 / x, x

Il renvoie \((24/17,17/12)\). Pour certifier l’encadrement, on compare les carrés de ces deux nombres positifs : \[\left(\frac{24}{17}\right)^2=\frac{576}{289}<2 <\frac{289}{144}=\left(\frac{17}{12}\right)^2.\] La croissance de la fonction carré sur les réels positifs donne \[\frac{24}{17}<\sqrt2<\frac{17}{12}.\] La largeur de cet intervalle est \(\tfrac{17}{12}-\tfrac{24}{17}=\tfrac1{204}\). Son milieu vaut \(\tfrac{577}{408}\). La distance de tout point de l’intervalle à son milieu est au plus la demi-largeur ; ainsi \[\left|\sqrt2-\frac{577}{408}\right|\leq\frac1{408}.\] La fraction \(577/408\) est donc une approximation accompagnée d’une garantie explicite. La preuve porte ici sur ces deux étapes calculées.