9 — Vecteurs, droites et plans de l’espace

Terminale spécialité mathématiques — Cours en classe

Objectifs. Calculer avec les vecteurs de l’espace ; caractériser une droite et un plan ; justifier des positions relatives ; choisir une base et un repère ; utiliser les coordonnées et les représentations paramétriques pour résoudre des problèmes de géométrie.

Prérequis. Calcul vectoriel dans le plan, relation de Chasles, résolution de systèmes simples, théorèmes de Thalès et des milieux. Les rappels nécessaires sont repris au moment de leur utilisation.

Une même démarche tout au long du chapitre : identifier les objets, choisir un outil, vérifier ses conditions, puis interpréter le résultat dans la configuration.

1. Objets de l'espace et calcul vectoriel

Un dessin permet de chercher. Les données de la figure, les propriétés d’incidence et les égalités vectorielles permettent de démontrer.

1.1 — Points, droites et plans

1.2 — Définitions et notations — distinguer les objets

Pour deux points distincts \(A,B\), \([AB]\) désigne le segment, \(AB\) sa longueur, \((AB)\) la droite et \([AB)\) la demi-droite d’origine \(A\) passant par \(B\). La droite se prolonge dans les deux sens.

Des points sont alignés s’ils appartiennent à une même droite ; ils sont coplanaires s’ils appartiennent à un même plan. Trois points non alignés \(A,B,C\) déterminent un plan, noté \((ABC)\), qui se prolonge sans bord. Une face d’un solide n’en représente qu’une partie.

\(A\in d\) exprime l’appartenance d’un point ; \(d\subset\mathcal P\) signifie que tous les points de la droite appartiennent au plan. Un tétraèdre \(ABCD\) a quatre sommets non coplanaires : en particulier \(A,B,C\) ne sont pas alignés et \(D\notin(ABC)\).

1.3 — Propriétés d'incidence — fondations admises

Deux points distincts déterminent une unique droite ; trois points non alignés déterminent un unique plan. Si deux points distincts d’une droite appartiennent à un plan, la droite entière y est contenue. Deux plans distincts ayant un point commun se coupent suivant une droite.

Dans un plan, par un point passe une unique parallèle à une droite donnée ; deux droites de directions différentes se coupent. Ces propriétés sont admises ici. Deux points, ou trois points alignés, ne déterminent pas un plan unique.

1.4 — Proposition et corollaire — déterminer ou reconnaître un plan

Proposition. Une droite et un point extérieur à cette droite déterminent un unique plan. Deux droites sécantes distinctes déterminent un unique plan.

Corollaire. Deux plans contenant trois mêmes points non alignés sont confondus.

Démonstration.

Pour une droite \(d\) et un point \(A\notin d\), choisissons deux points distincts \(B,C\) sur \(d\). Les trois points \(A,B,C\) sont non alignés ; leur plan contient \(d\). Tout plan contenant \(A\) et \(d\) contient ces trois points : c’est donc le même plan.

Pour deux droites sécantes distinctes, leur intersection \(O\), un point \(B\ne O\) de la première et un point \(C\ne O\) de la seconde sont non alignés ; le même argument s’applique. Le corollaire découle directement de l’unicité du plan par trois points non alignés.

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1.5 — Exemple expliqué — Une droite entière dans le plan d'une face

Dans tout le chapitre, le cube \(ABCDEFGH\) a pour faces opposées \(ABCD\) et \(EFGH\) ; les arêtes \([AE],[BF],[CG],[DH]\) relient les sommets correspondants.

Lecture de la figure. Les pointillés représentent des arêtes cachées. Les faces sont des carrés parce que le solide est un cube, même si le dessin ne montre pas d’angles droits.

La face carrée \(ABCD\) donne quatre points coplanaires. Ses triplets \(A,B,C\) et \(A,B,D\) sont non alignés : \((ABC)=(ABD)\). Les points distincts \(A,C\) appartiennent à ce plan, donc \((AC)\subset(ABD)\).

Deux points communs ne suffisent pas pour confondre deux plans : les plans des faces \(ABCD\) et \(ABFE\) contiennent \(A,B\) et sont distincts.

1.6 — Propriétés admises — lire une perspective parallèle

La représentation projette l’espace sur une feuille suivant une direction fixe non parallèle à cette feuille. Elle conserve l’alignement, les milieux et les rapports sur une droite non écrasée en un point. Des droites parallèles non écrasées ont des images parallèles ou superposées.

Elle ne conserve généralement ni les longueurs ni les angles. Un croisement dessiné ne prouve pas une intersection dans l’espace ; un alignement dessiné ne prouve pas non plus l’alignement des points réels.

1.7 — Vecteurs et translations

1.8 — Définitions — vecteur libre et translation

Le vecteur \(\overrightarrow{AB}\) décrit un déplacement. Deux vecteurs non nuls sont égaux s’ils ont même direction, même sens et même longueur. Un vecteur peut avoir plusieurs représentants : il n’est pas attaché à une origine particulière.

Le vecteur nul est \(\overrightarrow{AA}=\vec{0}\) ; il n’a pas de direction utilisable. La translation de vecteur \(\vec{u}\) associe à tout point \(M\) l’unique point \(M'\) tel que \(\overrightarrow{MM'}=\vec{u}\). L’existence et l’unicité de cette arrivée sont admises comme fondement géométrique.

1.9 — Propriétés rappelées — opérations sur les vecteurs

Pour tous points \(A,B,C,O\), la relation de Chasles donne \[\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC},\qquad \overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB},\qquad \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}.\] L’addition est associative et commutative ; \(\vec{u}+\vec{0}=\vec{u}\) et \(\vec{u}+(-\vec{u})=\vec{0}\). Pour \(a,b\in\mathbb{R}\), \[a(\vec{u}+\vec{v})=a\vec{u}+a\vec{v},\quad (a+b)\vec{u}=a\vec{u}+b\vec{u},\quad a(b\vec{u})=(ab)\vec{u}.\] Si \(\vec{u}\ne\vec{0}\) et \(a\ne0\), le vecteur \(a\vec{u}\) a la même direction ; son sens est celui de \(\vec{u}\) pour \(a>0\), le sens contraire pour \(a<0\), et sa longueur est multipliée par \(|a|\). Pour \(a=0\), on obtient \(\vec{0}\).

Exemple. Dans le cube, \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{EF}\), mais \(\overrightarrow{AB}\ne\overrightarrow{AD}\) malgré l’égalité des longueurs \(AB=AD\).

1.10 — Proposition — une translation conserve les vecteurs

Si \(\overrightarrow{AA'}=\overrightarrow{BB'}=\vec{u}\), alors \(\overrightarrow{A'B'}=\overrightarrow{AB}\).

Démonstration.

Par Chasles, \(\overrightarrow{A'B'}=\overrightarrow{A'A}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BB'}=-\vec{u}+\overrightarrow{AB}+\vec{u}=\overrightarrow{AB}\).

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1.11 — Proposition — parallélogramme et égalité de vecteurs

L’égalité \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\) équivaut à \(\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}\). Lorsque \(A,B,D\) sont non alignés, elle caractérise le parallélogramme \(ABCD\), et \(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\).

Démonstration.

Chasles donne \(\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\) : l’égalité des deux vecteurs équivaut donc à \(\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}\). Pour des points \(A,B,D\) non alignés, ces égalités construisent les deux paires de côtés opposés parallèles du parallélogramme. Enfin \(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\).

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1.12 — Combinaisons linéaires et origine commune

1.13 — Définition — combinaison linéaire

Une combinaison linéaire de \(\vec{u},\vec{v},\vec{w}\) est un vecteur \(a\vec{u}+b\vec{v}+c\vec{w}\), où \(a,b,c\) sont des réels quelconques. Leur somme n’est pas imposée. L’écriture n’est pas forcément unique : si \(\vec{u}=\vec{v}\ne\vec{0}\), alors \(\vec{u}+2\vec{v}=5\vec{u}-2\vec{v}\).

1.14 — Exemple expliqué — Construire, puis changer d'origine

Les points \(A,B,C\) ne sont pas alignés. On cherche \(M\) tel que \[\overrightarrow{AM}=\frac23\overrightarrow{AB}-\frac12\overrightarrow{AC}.\] Plaçons \(D\) tel que \(\overrightarrow{AD}=\frac23\overrightarrow{AB}\), puis \(M\) tel que \(\overrightarrow{DM}=-\frac12\overrightarrow{AC}\). Chasles vérifie la construction.

Lecture de la figure. On effectue deux déplacements successifs. Le signe moins inverse le sens du second ; il ne remplace pas une longueur par une longueur négative.

Depuis \(B\), il faut ajouter le déplacement \(\overrightarrow{BA}\) : \[\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AM} =-\frac13\overrightarrow{AB}-\frac12\overrightarrow{AC}.\] Le point \(M\) reste le même ; l’origine et les coefficients ont changé.

1.15 — Proposition et théorème — les identités du milieu

Proposition. Le point \(I\) est le milieu de \([AB]\) si et seulement si \[\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{IB},\quad\text{ou encore}\quad \overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\vec{0},\quad\text{ou encore}\quad \overrightarrow{AI}=\frac12\overrightarrow{AB}.\] Théorème. Si \(I\) est ce milieu, alors, pour tout point \(M\), \[\boxed{\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{MI}}.\] Réciproquement, si cette dernière égalité est vraie pour un point \(M\), alors \(I\) est le milieu de \([AB]\). Ces résultats restent vrais lorsque \(A=B\) ; alors \(I=A\).

Démonstration.

Le milieu vérifie \(\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{IB}\) ; Chasles donne \(\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{AI}\). Réciproquement, le déplacement \(\frac12\overrightarrow{AB}\) depuis \(A\) mène au milieu. De plus \(\overrightarrow{IA}=-\overrightarrow{AI}\), d’où les équivalences.

En passant par \(I\), \(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}\). Pour un milieu, les deux derniers termes ont une somme nulle. Réciproquement, l’identité annoncée impose cette somme nulle, donc la propriété du milieu.

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1.16 — Exemple expliqué — Joindre deux points d'un tétraèdre

Dans un tétraèdre \(ABCD\), on a \(\overrightarrow{AP}=\frac23\overrightarrow{AB}\) et \(Q\) est le milieu de \([CD]\). L’identité du milieu, appliquée depuis \(A\), donne \(\overrightarrow{AQ}=\frac12\overrightarrow{AC}+\frac12\overrightarrow{AD}\). Ainsi \[\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{AQ}-\overrightarrow{AP} =-\frac23\overrightarrow{AB}+\frac12\overrightarrow{AC}+\frac12\overrightarrow{AD}.\] Le contrôle \(\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{AQ}\) retrouve l’arrivée attendue.

Méthode. Choisir une origine commune ; utiliser Chasles pour exprimer tous les déplacements avec les mêmes vecteurs ; distribuer les coefficients ; regrouper. Le vecteur d’origine \(P\) et d’arrivée \(Q\) s’écrit toujours \(\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{AQ}-\overrightarrow{AP}\), dans cet ordre.

2. Colinéarité, droites et alignement

Un vecteur directeur donne la direction d’une droite. Un point fixe sa position dans l’espace.

2.1 — Reconnaître deux vecteurs colinéaires

2.2 — Définition — colinéarité et vecteur nul

Deux vecteurs sont colinéaires si leurs représentants issus d’une même origine ont leurs arrivées alignées avec cette origine. Le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur. Deux vecteurs non colinéaires sont donc tous les deux non nuls.

2.3 — Proposition — le critère du multiple

Si \(\vec{v}\ne\vec{0}\), alors \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires si et seulement s’il existe \(\lambda\in\mathbb{R}\) tel que \(\vec{u}=\lambda\vec{v}\).

Démonstration.

Un multiple de \(\vec{v}\) reste sur sa direction, y compris le multiple nul. Réciproquement, si les deux vecteurs sont colinéaires, on choisit le rapport des longueurs, avec un signe positif pour le même sens, négatif pour des sens contraires ; si \(\vec{u}=\vec{0}\), on prend \(\lambda=0\).

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Cas à contrôler. Si \(\vec{v}=\vec{0}\) et \(\vec{u}\ne\vec{0}\), les vecteurs sont colinéaires, mais aucune égalité \(\vec{u}=\lambda\vec{v}\) n’est possible. Le vecteur de référence dans ce critère doit être non nul.

2.4 — Lemme — identifier des coefficients

Pour deux vecteurs non colinéaires \(\vec{u},\vec{v}\), \[a\vec{u}+b\vec{v}=\vec{0}\quad\Longrightarrow\quad a=b=0.\] Par conséquent, \(x\vec{u}+y\vec{v}=x'\vec{u}+y'\vec{v}\) impose \(x=x'\) et \(y=y'\).

Démonstration.

Si \(b\ne0\), la première égalité donne \(\vec{v}=-\frac ab\vec{u}\), contradiction. Donc \(b=0\) ; comme \(\vec{u}\ne\vec{0}\), on a aussi \(a=0\). Pour identifier deux décompositions, on les soustrait et on applique ce résultat.

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Contre-exemple. Si \(\vec{v}=2\vec{u}\ne\vec{0}\), alors \(3\vec{u}+\vec{v}=\vec{u}+2\vec{v}=5\vec{u}\), avec des coefficients différents. L’égalité des vecteurs ne suffit pas à autoriser l’identification.

2.5 — Définir une droite et reconnaître ses points

2.6 — Définition et théorème — un point et un directeur

Définition. Un vecteur directeur d’une droite est un vecteur non nul ayant sa direction.

Théorème. Un point \(A\) et un vecteur \(\vec{u}\ne\vec{0}\) déterminent une unique droite \(d\), caractérisée par \[M\in d\quad\Longleftrightarrow\quad \exists t\in\mathbb{R},\ \overrightarrow{AM}=t\vec{u}.\] Pour chaque point \(M\) de \(d\), le réel \(t\) est unique.

Démonstration.

Plaçons l’unique point \(B\) tel que \(\overrightarrow{AB}=\vec{u}\). Comme \(\vec{u}\ne\vec{0}\), \(A\ne B\) ; la droite \((AB)\) existe. Un déplacement depuis \(A\) reste sur cette droite exactement lorsqu’il est un multiple de \(\overrightarrow{AB}\). Toute droite passant par \(A\) avec cette direction est \((AB)\).

Si \(t\vec{u}=t'\vec{u}\), alors \((t-t')\vec{u}=\vec{0}\), donc \(t=t'\) puisque \(\vec{u}\ne\vec{0}\).

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Attention. Avec \(\vec{u}=\vec{0}\), l’égalité \(\overrightarrow{AM}=t\vec{u}\) décrit seulement le point \(A\) ; elle ne décrit pas une droite.

2.7 — Corollaire — critère d'alignement

Si \(A\ne B\), les points \(A,B,C\) sont alignés si et seulement si \(\overrightarrow{AC}=t\overrightarrow{AB}\) pour un réel \(t\). Ce critère autorise \(C=A\) ou \(C=B\).

Démonstration.

La droite de référence est \((AB)\), dirigée par le vecteur non nul \(\overrightarrow{AB}\) ; on applique sa caractérisation au point \(C\).

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2.8 — Exemple expliqué — Un alignement obtenu après réduction

Les points \(A,B,C\) sont non alignés et \[\overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{AB}+\frac12\overrightarrow{AC},\qquad \overrightarrow{AN}=-4\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}.\] On reconnaît \(\overrightarrow{AN}=-2\overrightarrow{AM}\). De plus \(M\ne A\) : sinon \(\overrightarrow{AC}=-4\overrightarrow{AB}\) contredirait le non-alignement de \(A,B,C\). Le critère prouve que \(A,M,N\) sont alignés. Le coefficient \(-2\) place \(N\) du côté opposé à \(M\) par rapport à \(A\), avec \(AN=2AM\).

2.9 — Propriété — segment, demi-droite et droite

Pour \(A\ne B\), en écrivant \(\overrightarrow{AM}=t\overrightarrow{AB}\) : \[\begin{array}{c|c|c} M\in[AB] & M\in[AB) & M\in(AB)\\[2pt] t\in[0;1] & t\ge0 & t\in\mathbb{R} \end{array}\] Les valeurs \(0\) et \(1\) donnent \(A\) et \(B\) ; \(t>1\) place \(M\) au-delà de \(B\) et \(t<0\) de l’autre côté de \(A\).

Démonstration.

Le signe de \(t\) donne le sens du déplacement. Pour \(t\ge0\), la longueur \(AM=t\,AB\) est au plus \(AB\) exactement lorsque \(t\le1\). Cela caractérise le segment ; sans cette borne supérieure, on obtient la demi-droite.

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2.10 — Comparer deux droites

2.11 — Proposition — parallélisme et égalité

Deux droites sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires. Ici, le mot parallèles inclut les droites confondues.

Si \(d\) et \(d'\) ont des directeurs colinéaires, elles sont confondues lorsqu’un point de \(d'\) appartient à \(d\) ; sinon elles sont strictement parallèles.

Démonstration.

Des directeurs non nuls colinéaires donnent la même direction, et réciproquement. Si les deux droites ont cette direction et un point commun, l’unicité de la droite passant par ce point avec cette direction les confond. Si elles n’ont aucun point commun, elles sont strictement parallèles.

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2.12 — Exemple expliqué — Prouver un parallélisme, puis distinguer les droites

Dans un triangle non aplati \(ABC\), on définit \(M,N\) par \(\overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{AC}\) et \(\overrightarrow{BN}=2\overrightarrow{AC}\). Chasles donne \[\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BN} =-2\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}.\] Ce vecteur est non nul : \((MN)\) est définie et parallèle à \((AB)\). Si \(M\in(AB)\), l’égalité \(\overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{AC}\) rendrait \(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\) colinéaires, contradiction. Les deux droites sont donc strictement parallèles.

Méthode. Pour un alignement, comparer des vecteurs de même origine. Pour un parallélisme, comparer des directeurs non nuls. Pour l’égalité de deux droites, ajouter le contrôle d’un point : une direction seule ne fixe pas leur position.

3. Plans, directions et coplanarité

Deux directions non colinéaires permettent de parcourir un plan. Le point d’origine choisi fixe le plan dans l’espace.

3.1 — Caractériser les points d'un plan

3.2 — Théorème — caractérisation vectorielle d'un plan

Si les points \(A,B,C\) ne sont pas alignés, alors \[M\in(ABC)\quad\Longleftrightarrow\quad \exists(x,y)\in\mathbb{R}^2,\quad\overrightarrow{AM}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}.\] Pour chaque point \(M\) du plan, le couple \((x,y)\) est unique. Les deux coefficients sont des réels indépendants ; ils n’ont pas à être positifs ni à avoir une somme fixée.

Lecture de la figure. Le parallélogramme \(APMQ\) illustre deux déplacements dans le plan. Les pointillés sont parallèles aux côtés correspondants ; aucune perpendicularité n’est supposée. Le cadre dessiné ne limite pas le plan.

Démonstration.

Existence des coefficients. Si \(M\in(ABC)\), la parallèle à \((AC)\) passant par \(M\) rencontre \((AB)\) en un point \(P\). Ainsi \(\overrightarrow{AP}=x\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{PM}=y\overrightarrow{AC}\) pour deux réels \(x,y\). Chasles donne l’égalité annoncée.

Réciproque. Si l’égalité est donnée, plaçons \(P\) sur \((AB)\) et \(Q\) sur \((AC)\) tels que \(\overrightarrow{AP}=x\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AQ}=y\overrightarrow{AC}\). Pour \(x,y\) non nuls, le parallélogramme construit sur ces deux déplacements reste dans \((ABC)\) ; son sommet opposé à \(A\) est \(M\), par unicité de l’arrivée. Si \(x=0\), \(M=Q\) ; si \(y=0\), \(M=P\) ; si les deux sont nuls, \(M=A\). Dans tous les cas, \(M\) appartient au plan.

Unicité. Deux décompositions donnent une relation nulle entre \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\). Ces vecteurs sont non colinéaires ; le lemme d’identification de l’unité précédente impose l’égalité des deux coefficients.

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3.3 — Définition — directions et base d'un plan

Un vecteur directeur d’un plan est un vecteur non nul qui peut être représenté par deux points de ce plan. Deux vecteurs directeurs non colinéaires forment une base de directions du plan. Pour \((ABC)\), on peut choisir \((\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})\).

3.4 — Théorème — un point et deux directions

Un point \(A\) et deux vecteurs non colinéaires \(\vec{u},\vec{v}\) déterminent un unique plan, noté \((A;\vec{u},\vec{v})\), constitué des points \(M\) tels que \(\overrightarrow{AM}=x\vec{u}+y\vec{v}\) avec \((x,y)\in\mathbb{R}^2\). Chaque point admet un unique couple de coefficients.

Démonstration.

Transportons \(\vec{u},\vec{v}\) depuis \(A\) et appelons \(B,C\) leurs arrivées. Les points \(A,B,C\) ne sont pas alignés ; le théorème précédent fournit le plan et ses points. Tout autre plan passant par \(A\) avec ces directions contient aussi \(B,C\), donc c’est le même plan.

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Condition indispensable. Si \(\vec{v}=2\vec{u}\) avec \(\vec{u}\ne\vec{0}\), alors \(x\vec{u}+y\vec{v}=(x+2y)\vec{u}\) : on ne décrit qu’une droite. Avec deux vecteurs nuls, il reste seulement le point \(A\).

3.5 — Exemple expliqué — Reconnaître un point du plan oblique d'un cube

Dans le cube \(ABCDEFGH\) défini dans la partie 1, les points \(A,F,G\) sont non alignés : \((FG)\) appartient au plan de la face \(BCGF\), dont \(A\) est extérieur. Le plan \((AFG)\) est donc défini. Les faces du cube et Chasles donnent \[\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{FG}=\overrightarrow{AG}-\overrightarrow{AF}.\] Ainsi \(\overrightarrow{AD}\) est une combinaison de \(\overrightarrow{AF},\overrightarrow{AG}\) : \(D\in(AFG)\). Le coefficient négatif ne fait pas sortir du plan. Celui-ci contient le quadrilatère \(ADGF\) et se prolonge au-delà.

3.6 — Proposition — changer le point d'ancrage

Si \(A'\) appartient au plan \(\mathcal P=(A;\vec{u},\vec{v})\), alors \(\mathcal P=(A';\vec{u},\vec{v})\). Si \(\overrightarrow{AA'}=\alpha\vec{u}+\beta\vec{v}\) et \(\overrightarrow{AM}=x\vec{u}+y\vec{v}\), alors \[\overrightarrow{A'M}=(x-\alpha)\vec{u}+(y-\beta)\vec{v}.\]

Démonstration.

On soustrait \(\overrightarrow{AA'}\) à \(\overrightarrow{AM}\) par Chasles. Réciproquement, toute combinaison depuis \(A'\) devient une combinaison depuis \(A\) en ajoutant \(\overrightarrow{AA'}\). Les deux descriptions donnent donc exactement les mêmes points.

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Exemple. Si \(\overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{AB}-3\overrightarrow{AC}\), alors \(\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AB}-4\overrightarrow{AC}\). Changer l’origine impose de modifier les coefficients.

3.7 — Distinguer les points coplanaires des vecteurs coplanaires

3.8 — Définition et corollaire — coplanarité des points

Des points sont coplanaires s’il existe un plan qui les contient tous. Trois points sont toujours coplanaires, mais quatre ne le sont pas nécessairement.

Corollaire. Pour \(A,B,C\) non alignés, les points \(A,B,C,D\) sont coplanaires si et seulement si \(\overrightarrow{AD}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}\) pour deux réels \(x,y\).

Démonstration.

Tout plan contenant \(A,B,C\) est leur unique plan \((ABC)\) : il suffit donc de tester \(D\in(ABC)\) par sa caractérisation vectorielle. Si, au contraire, \(A,B,C\) sont alignés, les quatre points sont toujours coplanaires : une droite contenant \(A,B,C\) et le point \(D\) sont contenus dans un plan. Si \(A=B=C\), il suffit de prendre un plan contenant \(A,D\). On ne peut alors pas utiliser le couple \(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\) comme base de directions.

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3.9 — Définition — coplanarité des vecteurs

Des vecteurs sont coplanaires si, après les avoir représentés depuis une même origine \(O\), leurs arrivées et \(O\) appartiennent à un même plan. On peut déplacer les représentants sans changer les vecteurs. Deux vecteurs sont toujours coplanaires ; trois ne le sont pas nécessairement.

3.10 — Théorème — critère de coplanarité

Si \(\vec{u},\vec{v}\) sont non colinéaires, alors \[\vec{u},\vec{v},\vec{w}\text{ sont coplanaires} \quad\Longleftrightarrow\quad \exists(a,b)\in\mathbb{R}^2,\ \vec{w}=a\vec{u}+b\vec{v}.\] Le couple \((a,b)\) est alors unique. Pour prouver la non-coplanarité, il faut établir qu’aucun couple ne peut convenir.

Démonstration.

Écrivons \(\overrightarrow{OU}=\vec{u}\), \(\overrightarrow{OV}=\vec{v}\), \(\overrightarrow{OW}=\vec{w}\). Les points \(O,U,V\) sont non alignés. Les trois vecteurs sont coplanaires exactement lorsque \(W\in(OUV)\) ; le théorème du plan donne l’équivalence et l’unicité.

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3.11 — Proposition et corollaire — une origine commune, quelconque

La coplanarité de trois vecteurs ne dépend pas de l’origine choisie pour les représenter.

Corollaire. Les points \(A,B,C,D\) sont coplanaires si et seulement si les vecteurs \(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}\) sont coplanaires.

Démonstration.

Si une paire de la famille est non colinéaire, le critère précédent exprime le troisième vecteur comme combinaison des deux premiers, indépendamment de l’origine. Sinon tous les vecteurs sont colinéaires à un même vecteur non nul, ou sont tous nuls ; leurs représentants sont dans une droite, donc dans un plan. Le corollaire applique la définition depuis l’origine \(A\), y compris dans les cas dégénérés.

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3.12 — Exemple expliqué — Des représentants dispersés dans l'espace

Dans un tétraèdre \(ABCD\), \(I\) est le milieu de \([AB]\) et \(J\) celui de \([CD]\). Depuis \(A\), \[\begin{aligned} \overrightarrow{IJ}&=\overrightarrow{AJ}-\overrightarrow{AI} =\frac12\overrightarrow{AC}+\frac12\overrightarrow{AD}-\frac12\overrightarrow{AB}\\ &=\frac12\overrightarrow{BC}+\frac12\overrightarrow{AD}. \end{aligned}\] Les trois vecteurs \(\overrightarrow{BC},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{IJ}\) sont donc coplanaires. Cela ne rend pas coplanaires les six points \(A,B,C,D,I,J\), puisqu’ils contiennent les quatre sommets du tétraèdre.

Lecture de la figure. À gauche, les représentants occupent le tétraèdre. À droite, les mêmes vecteurs sont transportés depuis \(O\) : \(\overrightarrow{OW}=\frac12\overrightarrow{OU}+\frac12\overrightarrow{OV}\) les place dans un même plan. Les deux images ne représentent pas les mêmes points.

3.13 — Deux pièges — choisir le bon couple

Propriété. Une combinaison explicite \(\vec{w}=a\vec{u}+b\vec{v}\) prouve toujours la coplanarité. En revanche, l’échec avec un couple colinéaire ne prouve rien : si \(\vec{u}=2\vec{a}\), \(\vec{v}=-3\vec{a}\) et \(\vec{w}=\vec{b}\), où \(\vec{a},\vec{b}\) sont non colinéaires, les trois vecteurs sont coplanaires, mais \(\vec{w}\) n’est pas une combinaison de \(\vec{u},\vec{v}\).

Corollaire. Trois vecteurs non coplanaires sont non nuls et deux à deux non colinéaires. La réciproque est fausse : pour \(\vec{u},\vec{v}\) non colinéaires, les vecteurs \(\vec{u},\vec{v},\vec{u}+\vec{v}\) sont deux à deux non colinéaires, tout en étant coplanaires.

Démonstration.

Un vecteur nul, ou une paire colinéaire, laisse au plus deux directions : toute la famille est alors dans un plan. Pour le contre-exemple de la réciproque, si \(\vec{u}+\vec{v}\) était colinéaire à \(\vec{u}\), on en déduirait que \(\vec{v}\) est colinéaire à \(\vec{u}\), contradiction ; on raisonne de même avec \(\vec{v}\). La combinaison donnée prouve pourtant la coplanarité.

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Méthode. Pour un point \(M\), exprimer un vecteur \(\overrightarrow{AM}\) depuis un point \(A\) du plan. Pour une famille de vecteurs libres, choisir deux vecteurs non colinéaires, puis chercher à écrire le troisième comme combinaison des deux premiers. Une relation vectorielle doit précéder la conclusion géométrique.

4. Positions relatives, parallélisme et sections

Pour classer deux objets, on sépare leur direction et leurs points communs. Les droites et les plans se prolongent au-delà de la portion représentée.

4.1 — Convention — le parallélisme au sens large

Dans ce cours, des droites confondues sont parallèles, des plans confondus sont parallèles, et une droite incluse dans un plan est parallèle à ce plan. Le mot strictement ajoute l’absence de point commun.

4.2 — Deux droites de l'espace

Définition. Deux droites sont coplanaires lorsqu’un même plan les contient. Sinon, elles sont gauches.

Position	Information caractéristique	Intersection
Confondues	Même direction et un point commun	La droite entière
Strictement parallèles	Même direction, aucun point commun	\(\varnothing\)
Sécantes	Directions non colinéaires, un point commun	Un unique point
Gauches	Non coplanaires	\(\varnothing\)

Propriété — cette liste est exhaustive. Dans un plan commun, on retrouve les trois premières possibilités. Deux droites sécantes sont coplanaires : leur point commun et leurs deux directions déterminent un plan. Deux droites de même direction sont aussi coplanaires : si elles sont distinctes, un point de chacune et leur direction commune déterminent un plan. Le dernier cas est donc celui de droites sans point commun et non parallèles.

4.3 — Exemple expliqué — Des droites gauches dans un cube

Dans le cube \(ABCDEFGH\), les droites \((EF)\) et \((HB)\) sont gauches. Si un plan les contenait, il contiendrait \(E,F,H\), trois points non alignés : ce serait le plan de la face supérieure \((EFH)\). Il contiendrait alors aussi \(B\), impossible dans le cube. Les deux droites sont donc non coplanaires.

À l’inverse, \((AB)\) et \((CD)\) sont strictement parallèles ; \((AB)\) et \((BF)\) sont sécantes en \(B\) ; \((AB)\) et \((BA)\) sont confondues.

Lecture de la figure. Le croisement apparent de \((EF)\) et \((HB)\) sur la feuille n’est pas un point commun dans l’espace. La preuve utilise les incidences du cube.

Vigilance. Dans l’espace, « non parallèles » n’implique pas « sécantes ». Une intersection vide ne suffit pas non plus à conclure au parallélisme.

4.4 — Une droite et un plan

4.5 — Définition — direction d'une droite parallèle à un plan

Soit \(\mathcal P\) dirigé par deux vecteurs non colinéaires \(\vec{u},\vec{v}\), et \(d\) de directeur \(\vec{w}\ne\vec{0}\). La droite \(d\) est parallèle à \(\mathcal P\) si \(\vec{w}\) est une combinaison linéaire de \(\vec{u},\vec{v}\).

4.6 — Propriété — trois positions possibles

Si la direction de \(d\) est une direction de \(\mathcal P\), alors \(d\) est soit incluse dans \(\mathcal P\), soit strictement parallèle à \(\mathcal P\). Un point de \(d\) appartenant ou non au plan distingue ces deux cas.

Si la direction de \(d\) n’est pas une direction du plan, alors \(d\) est sécante à \(\mathcal P\) en un unique point. Cette dernière incidence est admise avant l’introduction des coordonnées.

Démonstration.

Si \(\vec{w}=a\vec{u}+b\vec{v}\) et \(A\in d\cap\mathcal P\), tout \(M\in d\) vérifie \[\overrightarrow{AM}=t\vec{w}=ta\vec{u}+tb\vec{v}.\] La caractérisation vectorielle du plan donne \(M\in\mathcal P\) : toute la droite est incluse. Ainsi, pour une direction du plan, un point commun entraîne l’inclusion ; un point extérieur la rend impossible et entraîne le parallélisme strict.

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4.7 — Exemple expliqué — Distinguer direction et position

Dans le cube, \((EF)\) a la direction de \((AB)\subset(ABC)\) et \(E\notin(ABC)\) : \((EF)\) est strictement parallèle au plan. La droite \((AB)\) est incluse dans ce plan. Enfin, \((BF)\) contient \(B\) du plan et \(F\) hors du plan : son intersection avec \((ABC)\) est exactement \(\{B\}\).

Lecture de la figure. De gauche à droite : inclusion, parallélisme strict, sécance. Le parallélogramme représente un plan sans bord ; aucune perpendicularité n’est supposée.

4.8 — Deux plans

4.9 — Définition — plans parallèles

Deux plans sont parallèles lorsqu’ils admettent un même couple de vecteurs directeurs non colinéaires.

4.10 — Propriété — trois positions possibles

Deux plans parallèles sont confondus ou strictement parallèles. Deux plans non parallèles sont sécants suivant une droite ; cette incidence est admise.

Leur intersection est donc un plan, l’ensemble vide ou une droite. Elle ne peut pas se réduire à un unique point.

4.11 — Proposition — deux directions et un point commun

Deux plans ayant deux directions communes non colinéaires et un point commun sont confondus.

Démonstration.

Soit \(A\) le point commun et \(\vec{u},\vec{v}\) les deux directions. Chacun des deux plans est exactement l’ensemble des points \(M\) tels que \(\overrightarrow{AM}=s\vec{u}+t\vec{v}\), avec \((s,t)\in\mathbb{R}^2\). Ils sont donc égaux. En particulier, des plans parallèles distincts n’ont aucun point commun.

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4.12 — Exemple expliqué — Identifier une droite d'intersection

Dans le cube, les plans \((ABC)\) et \((ABF)\) sont distincts, puisque \(F\notin(ABC)\), et contiennent les deux points distincts \(A,B\). Leur intersection est donc la droite \((AB)\).

En revanche, \((ABG)\) et \((ABH)\) sont confondus : \(\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AH}\) place \(G\) dans \((ABH)\), et \(A,B,G\) ne sont pas alignés. Des noms différents ne signifient pas des plans différents.

Vigilance. Une seule direction commune ne suffit pas à rendre deux plans parallèles. Deux points communs ne suffisent pas à les rendre confondus.

4.13 — Méthode — démontrer un parallélisme

Deux droites : vérifier que leurs directeurs non nuls sont colinéaires. Pour conclure au parallélisme strict, écarter ensuite un point commun.
Une droite et un plan : montrer que la direction de la droite est une direction du plan. En particulier, une droite parallèle à une droite incluse dans un plan est parallèle à ce plan. Tester un point si la position précise est demandée.
Deux plans : trouver deux directions communes non colinéaires. Tester un point pour distinguer confusion et parallélisme strict.

Ces critères découlent des caractérisations vectorielles : les multiples d’un directeur donnent la direction d’une droite, et deux directions indépendantes engendrent celle d’un plan.

4.14 — Exemple expliqué — Deux directions sont nécessaires

Dans un tétraèdre \(ABCD\), on définit \(I,J,K\) par \[\overrightarrow{AI}=\tfrac23\overrightarrow{AB},\qquad \overrightarrow{AJ}=\tfrac23\overrightarrow{AC},\qquad \overrightarrow{AK}=\tfrac23\overrightarrow{AD}.\] Par Chasles, \[\overrightarrow{IJ}=\tfrac23(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})=\tfrac23\overrightarrow{BC},\qquad \overrightarrow{IK}=\tfrac23(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB})=\tfrac23\overrightarrow{BD}.\] Les vecteurs \(\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BD}\) sont non colinéaires. Il en est donc de même de \(\overrightarrow{IJ},\overrightarrow{IK}\) : le plan \((IJK)\) existe et il est parallèle à \((BCD)\).

De plus, \(I\ne B\). Si \(I\) appartenait à \((BCD)\), ce plan contiendrait la droite \((IB)=(AB)\) et donc \(A\), impossible. Ainsi les deux plans sont strictement parallèles. Le seul calcul de \(\overrightarrow{IJ}\) n’aurait pas suffi.

4.15 — Construire une intersection avec une direction

4.16 — Théorème du toit

Deux plans distincts et sécants \(\mathcal P,\mathcal Q\) ont pour intersection la droite \(\Delta\). Ils contiennent respectivement deux droites parallèles \(d\) et \(d'\). Alors \(\Delta\) est parallèle à \(d\) et à \(d'\).

Démonstration.

Soit \(\vec{u}\ne\vec{0}\) un directeur commun à \(d,d'\), et \(\vec{w}\ne\vec{0}\) un directeur de \(\Delta\). Ces deux vecteurs sont des directions de chacun des plans. S’ils n’étaient pas colinéaires, les plans auraient deux directions communes non colinéaires et un point commun. La proposition précédente les rendrait confondus, contrairement à l’hypothèse. Ainsi \(\vec{u}\) et \(\vec{w}\) sont colinéaires, ce qui prouve le théorème.

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4.17 — Corollaire — traces sur deux plans strictement parallèles

Si un plan coupe deux plans strictement parallèles suivant deux droites, alors ces deux droites sont parallèles.

Démonstration.

Les deux droites sont coplanaires dans le plan de coupe. Si elles se rencontraient, leur point commun appartiendrait aux deux plans strictement parallèles, ce qui est impossible. Elles sont donc parallèles.

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4.18 — Exemple expliqué — Retrouver la droite d'intersection

Dans le cube, \(I,J\) sont les milieux de \([AD],[BC]\). On cherche \((EIJ)\cap(EFG)\). Comme \(\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}\), \[\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BJ} =-\tfrac12\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}+\tfrac12\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}.\] Ainsi \((IJ)\parallel(EF)\). Les plans \((EIJ)\) et \((EFG)\) sont distincts, car \(I\) n’est pas dans le plan supérieur, et ils ont \(E\) en commun. Leur intersection est une droite passant par \(E\), parallèle à \((EF)\) d’après le toit : c’est donc \((EF)\).

On a démontré que \(F\) appartient à \((EIJ)\) ; cela n’était pas une donnée du dessin.

Lecture de la figure. La direction de \((IJ)\) est aussi celle de \((HG)\) et de \((EF)\). Les plages colorées représentent des portions de plans ; leur intersection est la droite entière \((EF)\).

4.19 — Méthode — construire une section d'un solide

Définition. La section d’un solide par un plan est leur intersection entière. Une section polygonale comprend son intérieur, pas seulement son contour.

Vérifier que les données déterminent bien un plan, par exemple trois points non alignés.
Dans chaque face utile, déterminer la droite de trace par deux points communs, ou par un point et une direction démontrée.
Garder la portion située dans la face. Distinguer une arête de sa droite support et un sommet de section d’un point auxiliaire extérieur.
Fermer le contour dans l’ordre des faces, vérifier ses sommets et contrôler les autres faces. Pour un cube ou un tétraèdre, la convexité garantit que l’intérieur du contour est dans le solide.

4.20 — Exemple expliqué — Deux sections simples d'un cube

Triangle. Soient \(I,J,K\) les milieux de \([AB],[AD],[AE]\). Ils ne sont pas alignés : \(I,J\) sont dans \((ABC)\) et \(K\) n’y est pas. Les traces dans les trois faces issues de \(A\) sont \([IJ],[IK],[JK]\). Dans le plan de coupe, les côtés intérieurs de ces trois faces délimitent le triangle \(IJK\) : toute la section est dans ce triangle. Réciproquement, ses trois sommets sont dans le cube ; le triangle rempli l’est donc aussi par convexité. C’est exactement la section.

Quadrilatère. Prenons maintenant \(I,J,K,L\) milieux de \([AE],[BF],[CG],[DH]\). Le calcul vectoriel dans les faces donne \(\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{JK}=\overrightarrow{BC}\) et \(\overrightarrow{LK}=\overrightarrow{DC}\). Ainsi \(I,J,K\) sont non alignés ; la parallèle à \((IJ)\) passant par \(K\) est contenue dans \((IJK)\) et contient \(L\). Les quatre traces dans les faces verticales ferment \(IJKL\). Elles délimitent, du côté intérieur des faces, toute la section ; le quadrilatère rempli est dans le cube par convexité. Ses côtés ont les directions et les longueurs des côtés du carré \(ABCD\) : la section est un carré.

Lecture de la figure. Les deux panneaux correspondent à deux choix différents de \(I,J,K,L\). Les portions cachées du contour sont pointillées. Un trait entre deux points qui ne sont pas sur une même face n’est pas automatiquement un côté de section.

Cas limites. La coupe peut être une face, une arête, un point ou l’ensemble vide. Trois points alignés ne déterminent pas le plan de coupe. Un point du plan situé hors du solide n’appartient pas à la section.

5. Bases et repères de l'espace

Trois directions convenablement choisies permettent de décrire tout déplacement par trois nombres. Il faut justifier que cette décomposition existe et qu’elle est unique avant d’utiliser des coordonnées.

5.1 — Définition — base de l'espace

Une base de l’espace est un triplet ordonné \((\vec{u},\vec{v},\vec{w})\) de vecteurs non coplanaires. Après transport à une origine commune, aucun plan ne contient leurs trois représentants.

Dans une base, aucun vecteur n’est nul et aucun couple n’est colinéaire. La réciproque est fausse : pour \(\vec{u},\vec{v}\) non colinéaires, les vecteurs \(\vec{u},\vec{v},\vec{u}+\vec{v}\) sont deux à deux non colinéaires, mais ils restent coplanaires.

5.2 — Théorème — existence et unicité d'une décomposition

Si \((\vec{u},\vec{v},\vec{w})\) est une base de l’espace, alors tout vecteur \(\vec{t}\) s’écrit de façon unique \[\vec{t}=x\vec{u}+y\vec{v}+z\vec{w},\qquad (x,y,z)\in\mathbb{R}^3.\] Le triplet \((x;y;z)\) constitue les coordonnées du vecteur \(\vec{t}\) dans cette base. Les coefficients peuvent être négatifs ou nuls.

5.3 — Démontrer l'existence, puis l'unicité

On utilise le fait d’incidence géométrique suivant, admis : une droite dont la direction n’est pas une direction d’un plan rencontre ce plan en un unique point. Il précède ici l’utilisation des coordonnées.

Lecture de la figure. La projection de \(M\) sur \(\mathcal P\) se fait parallèlement à \(\vec{w}\), sans condition de perpendicularité. Le point \(P\) est une étape de la décomposition de \(\overrightarrow{OM'}\) dans le plan.

Démonstration.

Existence. Fixons \(O\) et les représentants \(\overrightarrow{OU}=\vec{u}\), \(\overrightarrow{OV}=\vec{v}\), \(\overrightarrow{OW}=\vec{w}\). Le couple \(\vec{u},\vec{v}\) est non colinéaire et dirige le plan \(\mathcal P=(OUV)\). La direction \(\vec{w}\) n’est pas une direction de \(\mathcal P\), sinon les trois vecteurs seraient coplanaires.

Pour \(\overrightarrow{OM}=\vec{t}\), la parallèle à \(\vec{w}\) passant par \(M\) coupe donc \(\mathcal P\) en un unique point \(M'\). Dans ce plan, on décompose \(\overrightarrow{OM'}=x\vec{u}+y\vec{v}\) : la parallèle à \((OV)\) passant par \(M'\) coupe \((OU)\) en \(P\), avec \(\overrightarrow{OP}=x\vec{u}\) et \(\overrightarrow{PM'}=y\vec{v}\). De plus, \(\overrightarrow{M'M}=z\vec{w}\) pour un réel \(z\). Par Chasles, \[\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OM'}+\overrightarrow{M'M} =x\vec{u}+y\vec{v}+z\vec{w}.\] Si \(M\in\mathcal P\), alors \(M'=M\) et \(z=0\) : la construction reste valable.

Unicité. Deux décompositions donnent, par soustraction, \[(x-x')\vec{u}+(y-y')\vec{v}+(z-z')\vec{w}=\vec{0}.\] Si \(z-z'\ne0\), on pourrait isoler \(\vec{w}\) et l’écrire comme combinaison de \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\), contrairement à la non-coplanarité. Donc \(z=z'\). Il reste \((x-x')\vec{u}+(y-y')\vec{v}=\vec{0}\). Comme \(\vec{u},\vec{v}\) sont non colinéaires, les deux coefficients sont nuls : \(x=x'\) et \(y=y'\). Les trois coefficients sont donc uniques.

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5.4 — Exemple expliqué — Reconnaître une base dans un solide

Dans le cube \(ABCDEFGH\), les vecteurs \(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}\) dirigent le plan \((ABD)\) et \(E\notin(ABD)\). Ainsi \((\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AE})\) est une base. Le trajet \(A\to B\to C\to G\) donne \[\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CG} =\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AE}.\] Les coordonnées de \(\overrightarrow{AG}\) dans cette base sont \((1;1;1)\). De même, dans un tétraèdre \(ABCD\), \((\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD})\) est une base puisque \(A,B,C\) sont non alignés et \(D\notin(ABC)\).

5.5 — Théorème — reconnaître une base par une relation nulle

Le triplet \((\vec{u},\vec{v},\vec{w})\) est une base si et seulement si, pour tous réels \(a,b,c\), \[a\vec{u}+b\vec{v}+c\vec{w}=\vec{0} \quad\Longrightarrow\quad a=b=c=0.\] Autrement dit, la seule relation nulle est la relation triviale. Une relation non triviale a des coefficients qui ne sont pas tous nuls ; certains peuvent être nuls.

Démonstration.

Dans une base, l’unicité appliquée au vecteur nul impose les coefficients \((0;0;0)\). Réciproquement, supposons la condition satisfaite. Aucun vecteur ne peut être nul, sinon le coefficient \(1\) sur ce vecteur fournirait une relation non triviale. Le couple \(\vec{u},\vec{v}\) ne peut pas être colinéaire : \(\vec{v}=\lambda\vec{u}\) donnerait \(\lambda\vec{u}-\vec{v}+0\vec{w}=\vec{0}\). Enfin, si les trois vecteurs étaient coplanaires, on aurait \(\vec{w}=r\vec{u}+s\vec{v}\), donc une relation non triviale \(r\vec{u}+s\vec{v}-\vec{w}=\vec{0}\). Ils sont donc non coplanaires.

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5.6 — Passer d'une base à un repère

5.7 — Définitions — repère et coordonnées d'un point

Un repère de l’espace est un quadruplet \((O;\vec{i},\vec{j},\vec{k})\) composé d’une origine \(O\) et d’une base ordonnée \((\vec{i},\vec{j},\vec{k})\). Le point \(M\) a pour coordonnées \((x;y;z)\) si \[\overrightarrow{OM}=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}.\] Les nombres \(x\), \(y\) et \(z\) sont respectivement l’abscisse, l’ordonnée et la cote de \(M\).

Le repère est orthogonal si les trois vecteurs sont deux à deux orthogonaux. Il est orthonormé s’ils sont, de plus, de norme \(1\). Les décompositions et les formules de coordonnées étudiées ici restent valables dans un repère quelconque, y compris oblique.

5.8 — Exemple expliqué — Lire les trois coefficients dans le bon ordre

Si \(\overrightarrow{OM}=2\vec{i}+\vec{j}+\vec{k}\), alors \(M(2;1;1)\). Dans le cube repéré par \((A;\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AE})\), on a \(A(0;0;0)\), \(B(1;0;0)\) et \(G(1;1;1)\). Les coordonnées d’un point dépendent de l’origine et de la base ; celles d’un vecteur dépendent de la base. Changer l’ordre des vecteurs peut donc changer l’ordre des nombres.

À retenir. Une base fournit trois directions non coplanaires et une décomposition unique. Ajouter une origine donne un repère. Pour tester une base par le calcul, on part d’une relation nulle quelconque, puis on montre que ses trois coefficients sont nuls.

6. Coordonnées et systèmes géométriques

Le repère est fixé. Traduire une égalité vectorielle en coordonnées donne trois équations simultanées. Un calcul peut fournir des coefficients candidats ; ils ne sont validés qu’après vérification de toutes les équations.

6.1 — Propriétés — calculer dans un repère quelconque

Si \(\vec{u}=\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}\), \(\vec{v}=\begin{pmatrix}a'\\b'\\c'\end{pmatrix}\) et \(\lambda\in\mathbb{R}\), alors \[\vec{u}=\vec{v}\iff a=a',\ b=b',\ c=c',\qquad \vec{u}+\vec{v}=\begin{pmatrix}a+a'\\b+b'\\c+c'\end{pmatrix},\qquad \lambda\vec{u}=\begin{pmatrix}\lambda a\\\lambda b\\\lambda c\end{pmatrix}.\] Pour \(A(x_A;y_A;z_A)\) et \(B(x_B;y_B;z_B)\), \[\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}x_B-x_A\\y_B-y_A\\z_B-z_A\end{pmatrix}.\] Le milieu \(I\) de \([AB]\) a pour coordonnées \[I\left(\frac{x_A+x_B}{2};\frac{y_A+y_B}{2}; \frac{z_A+z_B}{2}\right).\]

Démonstration.

L’égalité des coordonnées découle de l’unicité de la décomposition dans la base. La distributivité donne les formules de somme et de produit par un réel. Par Chasles, \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}\), d’où les différences « arrivée moins départ ». Enfin \(\overrightarrow{OI}=\overrightarrow{OA}+\tfrac12\overrightarrow{AB} =\tfrac12(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})\), ce qui donne les trois moyennes.

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6.2 — Exemple expliqué — Calculer dans le repère d'un cube

Dans \((A;\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AE})\), les sommets sont \[\begin{array}{llll} A(0;0;0),&B(1;0;0),&C(1;1;0),&D(0;1;0),\\ E(0;0;1),&F(1;0;1),&G(1;1;1),&H(0;1;1). \end{array}\] Soient \(I\) le milieu de \([BC]\) et \(J\) le milieu de \([EH]\). Alors \[I\left(1;\tfrac12;0\right),\quad J\left(0;\tfrac12;1\right),\qquad \overrightarrow{IJ}=\begin{pmatrix}0-1\\\tfrac12-\tfrac12\\1-0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix}=\overrightarrow{BE}.\] Les droites \((IJ)\) et \((BE)\) sont parallèles. Elles sont distinctes : sur \((IJ)\), l’ordonnée vaut \(\tfrac12\), tandis qu’elle vaut \(0\) sur \((BE)\).

Lecture de la figure. Les coordonnées proviennent des trois arêtes de base. La perspective aide à situer \(I\) et \(J\) ; c’est l’égalité des vecteurs calculés qui prouve le parallélisme.

6.3 — Reconnaître la colinéarité sans diviser par zéro

6.4 — Méthode — chercher un coefficient commun

Pour tester \(\vec{v}=\lambda\vec{u}\) avec \(\vec{u}\ne\vec{0}\), choisir d’abord une coordonnée non nulle de \(\vec{u}\) pour calculer \(\lambda\), puis vérifier les deux autres égalités. Si une coordonnée de \(\vec{u}\) est nulle, vérifier que la coordonnée correspondante de \(\vec{v}\) est aussi nulle ; sinon les vecteurs ne sont pas colinéaires. On ne forme pas de quotient par cette coordonnée. Si l’un des vecteurs est nul, les deux vecteurs sont colinéaires, mais le vecteur nul ne dirige pas une droite.

6.5 — Exemple expliqué — Une coordonnée nulle ne bloque pas le test

Pour \(\vec{u}=(0;2;-4)\) et \(\vec{v}=(0;-3;6)\), la deuxième coordonnée impose \(\lambda=-\tfrac32\). Les autres donnent \(0=(-\tfrac32)\times0\) et \(6=(-\tfrac32)\times(-4)\). Donc \(\vec{v}=-\tfrac32\vec{u}\). En revanche, \(\vec{w}=(0;-3;5)\) n’est pas colinéaire à \(\vec{u}\) : le même candidat imposerait une troisième coordonnée égale à \(6\), et non \(5\).

6.6 — Tester l'appartenance à un plan et la coplanarité

6.7 — Proposition — traduire l'appartenance à un plan

Si \(A,B,C\) sont non alignés, alors \[D\in(ABC)\iff \text{il existe }a,b\in\mathbb{R}\text{ tels que } \overrightarrow{AD}=a\overrightarrow{AB}+b\overrightarrow{AC}.\] Lorsque cette écriture existe, le couple \((a;b)\) est unique.

Démonstration.

Les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) sont non colinéaires et dirigent \((ABC)\) : on applique la caractérisation vectorielle du plan. Si deux couples conviennent, leur soustraction donne une combinaison nulle de deux vecteurs non colinéaires ; les deux différences sont donc nulles.

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6.8 — Exemple expliqué — Quatre points : un système, puis trois vérifications

Prenons \(A(1;-1;2)\), \(B(3;0;1)\), \(C(0;2;3)\) et \(D(6;-2;-1)\). On calcule \[\overrightarrow{AB}=(2;1;-1),\quad \overrightarrow{AC}=(-1;3;1),\quad \overrightarrow{AD}=(5;-1;-3).\] Les deux premiers vecteurs ne sont pas colinéaires : \(\overrightarrow{AC}=\lambda\overrightarrow{AB}\) imposerait à la fois \(\lambda=-\tfrac12\) et \(\lambda=3\). Chercher \(\overrightarrow{AD}=a\overrightarrow{AB}+b\overrightarrow{AC}\) donne \[\begin{cases} 2a-b=5,\\ a+3b=-1,\\ -a+b=-3. \end{cases}\] La première équation donne \(b=2a-5\). Dans la deuxième, \(a+3(2a-5)=-1\), donc \(7a=14\) : \(a=2\) et \(b=-1\). La troisième est vérifiée : \(-2+(-1)=-3\). Ainsi \(\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\) et les quatre points sont coplanaires.

Pour \(D'(6;-2;0)\), les deux premières équations donnent encore \((2;-1)\), mais la troisième demanderait \(-3=-2\). Donc \(D'\notin(ABC)\).

Condition à contrôler d’abord. Avec trois points alignés, le plan \((ABC)\) n’est pas défini. L’échec d’une décomposition dans \((\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})\) ne prouverait alors pas que les quatre points sont non coplanaires. Au contraire, une droite contenant \(A,B,C\) et le point \(D\) sont toujours contenus dans un même plan : les quatre points sont déjà coplanaires, même si \(D\) n’est pas sur cette droite.

6.9 — Prouver qu'un triplet est une base, puis décomposer

6.10 — Exemple expliqué — Un même système sert deux objectifs différents

Soient \(\vec{u}=(1;0;1)\), \(\vec{v}=(0;1;1)\) et \(\vec{w}=(1;1;0)\).

1. Justifier la base. Une relation nulle quelconque \(a\vec{u}+b\vec{v}+c\vec{w}=\vec{0}\) donne \[\begin{cases}a+c=0,\\b+c=0,\\a+b=0.\end{cases}\] Les deux premières équations donnent \(a=b=-c\) ; la troisième devient \(-2c=0\). Donc \(a=b=c=0\) : le triplet est une base.

2. Décomposer \(\vec{S}=(2;-1;3)\). On cherche maintenant \(\vec{S}=a\vec{u}+b\vec{v}+c\vec{w}\), soit \[\begin{cases}a+c=2,\\b+c=-1,\\a+b=3.\end{cases}\] On obtient \(a=2-c\), \(b=-1-c\), puis \(1-2c=3\). Ainsi \(c=-1\), \(a=3\) et \(b=0\). Vérification : \(3(1;0;1)-(1;1;0)=(2;-1;3)\). Donc \(\vec{S}=3\vec{u}-\vec{w}\) ; ses coordonnées dans \((\vec{u},\vec{v},\vec{w})\) sont \((3;0;-1)\).

À retenir. Le premier geste consiste à écrire l’égalité vectorielle correspondant à la question, puis à identifier les trois coordonnées. Un couple de générateurs doit être non colinéaire pour décrire un plan. Pour obtenir les coordonnées de \(M\) à partir de \(\overrightarrow{AM}\), on ajoute enfin celles de \(A\) : \(\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AM}\).

7. Représenter une droite par un paramètre

Une droite est définie par un point et une direction non nulle. Dans un repère, cette description devient un système de trois coordonnées dépendant du même nombre réel.

7.1 — Théorème — représentation paramétrique d'une droite

Soient \(A(x_A;y_A;z_A)\) et \(\vec{u}=(a;b;c)\ne\vec{0}\). Un point \(M(x;y;z)\) appartient à la droite \(d\) passant par \(A\) et dirigée par \(\vec{u}\) si et seulement s’il existe \(t\in\mathbb{R}\) tel que \[\begin{cases} x=x_A+ta,\\ y=y_A+tb,\\ z=z_A+tc. \end{cases}\] Ce système est une représentation paramétrique de \(d\) ; \(t\) est le paramètre. Il prend toutes les valeurs réelles.

Démonstration.

Par la caractérisation vectorielle d’une droite, \(M\in d\iff\overrightarrow{AM}=t\vec{u}\) pour un réel \(t\). L’égalité des trois coordonnées est équivalente à \(x-x_A=ta\), \(y-y_A=tb\), \(z-z_A=tc\) : on obtient exactement le système annoncé. La réciproque suit les mêmes équivalences en sens inverse.

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7.2 — Exemple expliqué — Construire une représentation, puis la lire

Pour \(A(1;-2;0)\) et \(B(3;-1;-1)\), \(\overrightarrow{AB}=(2;1;-1)\ne\vec{0}\). Une représentation de \((AB)\) est \[d:\quad\begin{cases}x=1+2t,\\y=-2+t,\\z=-t,\end{cases} \qquad t\in\mathbb{R}.\] \(t=0\) donne \(A\), \(t=1\) donne \(B\) et \(t=-1\) donne \((-1;-3;1)\). Réciproquement, dans \(x=4-3s\), \(y=2\), \(z=-1+5s\), on lit le point \((4;2;-1)\) et le directeur \((-3;0;5)\). Une composante peut être nulle ; les trois ne doivent pas l’être, sinon le système décrirait seulement un point.

7.3 — Méthode — tester l'appartenance d'un point

Remplacer \(x,y,z\) par les coordonnées du point proposé. Utiliser une équation dont le coefficient du paramètre est non nul pour calculer un candidat, puis le vérifier dans les deux autres équations. Le point appartient à la droite si un même paramètre vérifie les trois égalités.

7.4 — Exemple expliqué — Deux équations ne suffisent pas

Pour \(C(5;0;-2)\) et la droite \(d\) ci-dessus, \(5=1+2t\) impose \(t=2\). On vérifie \(-2+2=0\) et \(-2=-2\) : \(C\in d\). Pour \(C'(5;0;-3)\), les deux premières coordonnées donnent encore \(t=2\), mais la troisième donnerait \(-2\) au lieu de \(-3\). Donc \(C'\notin d\).

7.5 — Propriété rappelée — choisir le domaine du paramètre

Avec le directeur précis \(\overrightarrow{AB}\) et \(A\ne B\), l’écriture \(\overrightarrow{AM}=t\overrightarrow{AB}\) décrit \((AB)\) pour \(t\in\mathbb{R}\), le segment \([AB]\) pour \(t\in[0;1]\) et la demi-droite \([AB)\) pour \(t\ge0\). La justification géométrique figure p. 7. Ainsi, dans l’exemple, \(C\) correspond à \(t=2\) : il est sur la droite et sur la demi-droite, mais hors du segment.

Lecture de la figure. La graduation représente les valeurs de \(t\) sur la droite. Les deux extrémités du segment correspondent à \(0\) et \(1\) pour le choix de point \(A\) et de directeur \(\overrightarrow{AB}\).

7.6 — Propriété — imposer une coordonnée

Dans \(x=x_A+ta\), imposer \(x=\xi\) revient à résoudre \(at=\xi-x_A\). Si \(a\ne0\), il existe un unique paramètre \(t=(\xi-x_A)/a\). Si \(a=0\), tous les points conviennent lorsque \(\xi=x_A\), et aucun sinon. Le même raisonnement vaut pour \(y\) et \(z\).

Démonstration.

Lorsque \(a\ne0\), la division donne une unique solution. Lorsque \(a=0\), l’équation devient \(0=\xi-x_A\), vraie pour tout \(t\) ou fausse pour tout \(t\). On distingue donc ces deux cas avant de diviser.

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7.7 — Exemple expliqué — Une coordonnée variable, puis une coordonnée constante

Sur \(d\), la cote \(-3\) impose \(-t=-3\), donc \(t=3\) : le point est \((7;1;-3)\). Sur \(h:(1+2r;-2;-r)\), tous les points ont pour ordonnée \(-2\) et aucun n’a pour ordonnée \(0\).

7.8 — Reconnaître deux écritures de la même droite

7.9 — Propriétés — paramètre unique, représentations multiples

Dans une représentation affine fixée de directeur non nul, un point possède un unique paramètre. Mais une droite possède plusieurs représentations : on peut changer le point d’ancrage et multiplier son directeur par un réel non nul.

Démonstration.

Si \(t\) et \(s\) donnent le même point, alors \((t-s)\vec{u}=\vec{0}\). Puisque \(\vec{u}\ne\vec{0}\), on a \(t=s\). Pour changer d’écriture, poser \(t=\alpha+\beta s\), avec \(\beta\ne0\), donne un nouvel ancrage de déplacement \(\alpha\vec{u}\) et un directeur \(\beta\vec{u}\). Tout réel \(t\) est encore obtenu, car \(s=(t-\alpha)/\beta\). C’est donc toute la même droite.

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7.10 — Exemple expliqué — Changer de paramètre oblige à transformer les bornes

Pour \(d\) ci-dessus, poser \(t=1-2s\) donne \[e:\quad\begin{cases}x=3-4s,\\y=-1-2s,\\z=-1+2s,\end{cases} \qquad s\in\mathbb{R}.\] Les substitutions donnent les trois égalités, et l’inverse \(s=(1-t)/2\) montre que chaque point de \(d\) est atteint : \(d=e\). Pour le segment \([AB]\), \[0\le t\le1\iff 0\le1-2s\le1\iff 0\le s\le\tfrac12.\] Contrôle : \(s=0\) donne \(B\) et \(s=\tfrac12\) donne \(A\). Pour la demi-droite \([AB)\), \(t\ge0\) devient \(s\le\tfrac12\). Conserver automatiquement les anciennes bornes changerait l’ensemble décrit.

À retenir. Un directeur non nul, un même paramètre dans les trois coordonnées et un domaine annoncé. Le paramètre n’est, par lui-même, ni une longueur ni un temps.

8. Déterminer des intersections dans l'espace

Pour chercher des points communs, on décrit un point de chaque objet avec des paramètres indépendants, puis on égalise les trois coordonnées. La conclusion doit préciser l’ensemble obtenu : aucun point, un point, une droite ou des objets confondus.

8.1 — Deux droites : comparer les directions, puis chercher un point commun

8.2 — Méthode — classer deux droites

Vérifier que les directeurs sont non nuls, puis tester leur colinéarité. S’ils sont colinéaires, les droites sont parallèles : un point de la première appartient à la seconde si et seulement si elles sont confondues. Sinon, elles sont strictement parallèles.

Si les directeurs ne sont pas colinéaires, égaliser les trois coordonnées avec deux paramètres indépendants \(t\) et \(s\). Une solution donne l’unique point d’intersection ; aucune solution signifie que les droites sont non coplanaires.

8.3 — Exemple expliqué — Un point commun à deux droites

Considérons \[d:\begin{cases}x=1+2t,\\y=-2+t,\\z=-t,\end{cases} \qquad e:\begin{cases}x=5-s,\\y=-5+2s,\\z=3-2s,\end{cases} \qquad t,s\in\mathbb{R}.\] Les directeurs \((2;1;-1)\) et \((-1;2;-2)\) ne sont pas colinéaires : la première coordonnée imposerait le coefficient \(-\tfrac12\), ce que la deuxième contredit. L’égalité des coordonnées donne \[\begin{cases}2t+s=4,\\t-2s=-3,\\-t+2s=3.\end{cases}\] La première donne \(s=4-2t\). La deuxième devient \(t-2(4-2t)=-3\), soit \(5t=5\) ; donc \(t=1\) et \(s=2\). La troisième est vérifiée : \(-1+4=3\). Ces valeurs donnent, dans les deux droites, \(M(3;-1;-1)\). Ainsi \(d\cap e=\{M\}\).

8.4 — Proposition — le contrôle final établit l'appartenance

Un point est commun aux deux droites si et seulement si un couple de paramètres satisfait les trois égalités de coordonnées.

Démonstration.

Tout point commun possède un paramètre dans chaque représentation : ses trois coordonnées sont donc égales. Réciproquement, un couple qui vérifie les trois égalités produit un même point dans les deux droites. Résoudre seulement deux équations fournit un candidat, pas la conclusion.

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8.5 — Exemple expliqué — Distinguer non-coplanarité et parallélisme

Remplaçons \(e\) par \(e_1:(5-s;-5+2s;4-2s)\). Les deux premières coordonnées donnent encore \(t=1\), \(s=2\), mais les cotes sont \(-1\) sur \(d\) et \(0\) sur \(e_1\). Aucun point commun, et des directeurs non colinéaires : \(d\) et \(e_1\) sont non coplanaires.

En revanche, \(d_0:(t;0;0)\) et \(f:(2-3s;0;0)\) sont confondues : \(t=2-3s\) parcourt tous les réels. La droite \(g:(2-3s;1;0)\) est strictement parallèle à \(d_0\) : même direction, mais ordonnées différentes.

8.6 — Une droite et un plan décrit par deux directions

8.7 — Méthode — faire coïncider les trois coordonnées

Pour un plan \((ABC)\), commencer par vérifier que \(A,B,C\) sont non alignés. Écrire \(\overrightarrow{AM}=s\overrightarrow{AB}+r\overrightarrow{AC}\) avec deux réels \(s,r\). Pour la droite, écrire sa représentation avec un troisième paramètre \(t\). Égaliser les coordonnées, résoudre et contrôler le point dans les deux objets. Pour un segment, vérifier ensuite le domaine du paramètre.

8.8 — Exemple expliqué — Une droite sécante au plan, mais un segment qui ne le rencontre pas

Soient \(A(1;0;1)\), \(B(3;1;0)\), \(C(0;2;2)\), \(D(0;1;0)\) et \(E(1;2;1)\). Les vecteurs \(\overrightarrow{AB}=(2;1;-1)\) et \(\overrightarrow{AC}=(-1;2;1)\) sont non colinéaires : les deux premières coordonnées excluent un coefficient commun. De plus, \(\overrightarrow{DE}=(1;1;1)\ne\vec{0}\). Les points du plan et de la droite s’écrivent respectivement \[(ABC):\ (1+2s-r;\ s+2r;\ 1-s+r),\qquad (DE):\ (t;\ 1+t;\ t),\qquad s,r,t\in\mathbb{R}.\] Un point commun vérifie \[\begin{cases}t=1+2s-r,\\1+t=s+2r,\\t=1-s+r.\end{cases}\] Les première et troisième équations donnent \(3s=2r\), donc \(r=\tfrac32s\) et \(t=1+\tfrac12s\). La deuxième devient \(2+\tfrac12s=4s\), soit \(7s=4\). Ainsi \(s=\tfrac47\), \(r=\tfrac67\) et \(t=\tfrac97\).

La droite donne \(M(\tfrac97;\tfrac{16}{7};\tfrac97)\) ; dans le plan, \[\left(1+\tfrac87-\tfrac67;\ \tfrac47+\tfrac{12}{7};\ 1-\tfrac47+\tfrac67\right) =\left(\tfrac97;\tfrac{16}{7};\tfrac97\right).\] Toutes les solutions du système ont été contraintes à ce triplet, qui convient : l’intersection est ce point unique. Mais \([DE]\) impose \(t\in[0;1]\), et \(\tfrac97>1\). Donc \([DE]\cap(ABC)=\varnothing\).

Lecture de la figure. Le point \(M\) est sur le prolongement de \([DE]\), au-delà de \(E\). Le calcul \(t=\tfrac97>1\) prouve son exclusion du segment ; la perspective seule ne suffit pas. Le plan est représenté par une portion de parallélogramme.

8.9 — Exemple expliqué — Reconnaître l'inclusion ou le strict parallélisme

Le plan \(P\) passant par \(B(0;0;1)\) et dirigé par les vecteurs non colinéaires \(\vec{v}=(1;0;1)\) et \(\vec{w}=(0;1;1)\) s’écrit \(P:(s;r;1+s+r)\), avec \(s,r\in\mathbb{R}\). La droite \(h:(t;0;1+t)\) est incluse dans \(P\) : pour tout \(t\), prendre \(s=t\) et \(r=0\) donne le même point. La droite \(h_0:(t;0;t)\) a le même directeur. Pourtant ses points ne peuvent pas être dans \(P\) : \(s=t\), \(r=0\) imposeraient \(t=1+t\). Elle est donc strictement parallèle à \(P\).

À retenir. Vérifier d’abord la validité des descriptions, puis utiliser des paramètres indépendants. Contrôler toutes les coordonnées et conclure sur l’objet réellement demandé. Si un paramètre représente un temps, une intersection de trajectoires ne prouve pas une rencontre au même instant.

9. Synthèse — choisir et contrôler une méthode

Des milieux et des faces parallèles invitent à examiner la configuration. Des relations vectorielles invitent à utiliser Chasles. Des points repérés invitent à comparer les coordonnées ; des points variables invitent au paramétrage. Le choix se justifie par les données disponibles.

9.1 — Les premiers gestes à retenir

Objectif	Méthode et condition décisive
Exprimer un vecteur	Introduire une origine ou un point intermédiaire utile ; appliquer Chasles ; réduire dans les directions choisies.
Prouver un alignement	Choisir deux points distincts ; établir la colinéarité des deux déplacements issus d’un même point.
Placer un point dans un plan	Choisir un point du plan et deux directions non colinéaires ; écrire le déplacement comme leur combinaison.
Vérifier une base	Tester la non-coplanarité du triplet, par exemple en résolvant la relation homogène. Trois paires non colinéaires ne suffisent pas.
Décomposer un vecteur	Poser les trois coefficients, traduire les trois coordonnées, résoudre puis recomposer le vecteur.
Décrire une droite	Donner un point, un directeur non nul et un paramètre commun aux trois coordonnées ; préciser son domaine.
Classer deux droites	Comparer les directions, puis chercher un point commun. Directions différentes : sécantes ou gauches.
Trouver une intersection	Utiliser des paramètres indépendants pour des objets différents ; résoudre toutes les équations et vérifier chaque appartenance.
Prouver un parallélisme strict	Établir la relation de direction puis écarter la confusion ou l’inclusion à l’aide d’un point.
Construire une section	Déterminer les traces sur les faces, garder les portions dans le solide et justifier le contour complet.

9.2 — À savoir et à savoir faire

À savoir. Définitions et caractérisations d’une droite, d’un plan, de la colinéarité, de la coplanarité, d’une base et d’un repère ; relation de Chasles ; formules de coordonnées et du milieu ; positions relatives ; critères de parallélisme et théorème du toit.

À savoir faire. Construire une combinaison linéaire ; exploiter les données d’un cube ou d’un tétraèdre ; justifier un alignement ou une coplanarité ; choisir une base ; obtenir une décomposition ; déterminer et reconnaître une représentation paramétrique ; traduire une configuration par un système simple et interpréter ses solutions.

Contrôle final d’une rédaction. Les objets sont-ils bien définis ? Les directeurs sont-ils non nuls et les générateurs indépendants ? Toutes les composantes ont-elles été vérifiées ? Les paramètres respectent-ils leurs domaines ? La conclusion nomme-t-elle exactement un point, une droite, un plan ou l’ensemble vide ?

Une figure aide à choisir une démarche ; les données et les résultats démontrés justifient la conclusion.